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热力学统计物理习题及答案第八章玻色统计和费米统计

159第八章玻色统计和费米统计8.1 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即ln .S k Ω=解: 对于理想费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））()!,!!l ll l l Ωa a ωω=-∏（1）取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））()()ln ln ln ln .l l l l l l l l lΩa a a a ωωωω=----⎡⎤⎣⎦∑ （2）另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为()ln ln ln ln S k ΞΞΞk ΞN Uαβαβαβ⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭=++ ()ln ,l l l k Ξa αβε⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑ （3）其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））()ln ln 1.l l lΞe αβεω--=+∑ （4）由费米分布e 1l ll a αβεω+=+易得1e l l l la αβεωω--+=- （5）和l n.l ll la a ωαβε-+= （6）将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为ln ln.l l ll lΞa ωωω=-∑ （7）将式（6）和式（7）代入式（3），有160 ln ln l l ll l l l l l aS k a a a ωωωω⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭∑ ()()ln ln ln .l l l l l l l l lk a a a a ωωωω=----⎡⎤⎣⎦∑ （8）比较式（8）和式（2），知ln .S k Ω= （9）对于理想玻色系统，证明是类似的.8.2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为()()()()B.E.F.D.ln 1ln 1,ln 1ln 1,s s s s ss s s s sS k f f f f S k f f f f =-++⎡⎤⎣⎦=-+--⎡⎤⎣⎦∑∑其中s f 为量子态s 上的平均粒子数. s∑表示对粒子的所有量子态求和. 同时证明，当1s f <<时，有()B.E. F.D.M.B.ln .s s s sS S S k f f f ≈≈=--∑解: 我们先讨论理想费米系统的情形. 根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为()()()F.D.ln ln ln ln ln l l l l l l l l ll l l l l l l l l S k a a a a a a k a a ωωωωωωωω=----⎡⎤⎣⎦⎡⎤-=--+⎢⎥⎣⎦∑∑1ln 1ln ,lll l l l lll l aa a a k ωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ （1）式中l∑表示对粒子各能级求和. 以ls la f ω=表示在能量为l ε的量子态s 上的平均粒子数，并将对能级l 求和改为对量子态s 求和，注意到~,l lsω∑∑上式可改写为()()F.D.ln 1ln 1.s s s s sS k f f f f =-+--⎡⎤⎣⎦∑ （2）161由于1s f ≤，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的. 对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明()()F.D.ln 1ln 1.s s s s sS k f f f f =--++⎡⎤⎣⎦∑ （3）对于玻色系统0s f ≥，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的. 由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值. 在1s f <<的情形下，式（2）和式（3）中的()()()()1ln 11s s s s s f f f f f ±≈±≈-所以，在1s f <<的情形下，有()B.E. F.D.ln .s s s sS S k f f f ≈≈--∑ （4）注意到s sf N =∑，上式也可表示为B.E. F.D.ln .s s sS S k f f Nk ≈≈-+∑ （5）上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.8.3 求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵. 解: 式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为32252311122π2N h U NkT g V mkT ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=± ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（1）（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）. 利用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）2,3Up V=（2）可直接求得弱简并气体的压强为32252111,2π2h p nkT n g mkT ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=± ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（3）式中Nn V=是粒子数密度. 由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为162 32272311,22π2V VU C T h Nk n mkT ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（4）参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为()0.VC S dT S V T=+⎰（5）将式（4）代入，得弱简并气体的熵为()322072311ln .22π2hS Nk T Nk n S V g mkT ⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭ （6）式中的函数()0S V 可通过下述条件确定：在322312πN hn V mkT λ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体. 将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g ），可确定()0S V ，从而得弱简并费米（玻色）气体的熵为332227222π511ln .22π2mkT h S Nk ng h g mkT ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎢⎥=+±⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭（7）弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数ln Ξ，然后根据式（8.1.6）、（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵. 在求巨配分函数的对数时可利用弱简并条件作相应的近似. 关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪《统计物理学导论》§65和§64.8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解: 如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度c T ，气体的化学势将趋于-0. 在c T T <时将有宏观量级的粒子凝聚在0ε=的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚. 临界温度c T 由条件163()0d e 1c kT D n εεε+∞=-⎰（1）确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））()222πd d L D m hεεε=代入式（1），得2202πd .e 1c kT L m n hεε+∞=-⎰ （2）二维理想玻色气体的凝聚温度c T 由式（2）确定. 令cx kT ε=，上式可改写为2202πd .e 1c x L x mkT n h +∞=-⎰ （3）在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有()()211e 1e e ,e 1e 1e x x xx x x----==+++-- 则d 111e 123xx +∞=+++-⎰11.n n∞==∑ （4）式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零. 换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.8.5 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场()22222212x y x V m x y z ωωω=++中运动. 如果原子是玻色子，试证明：在c T T ≤时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02x y z εωωω=++164 的基态，在3,0,N N ωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度c T 由下式确定：31.202,c kT N ω⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭其中()13.x y z ωωωω=温度为T 时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比为31.c N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解: 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达为222222222111,222222y x z x y z p p p m x m y m z m m m εωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）这是三维谐振子的能量（哈密顿量）. 根据式（6.2.4），三维谐振子能量的可能值为,,111,222xyzn n n x x y y z z n n n εωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,0,1,2,x y z n n n = （2）如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为T 时处在量子态,,x y z n n n 上的粒子数为,,11112221.e1x y z x x y y z z n n n n n n kT a ωωωμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=- （3）处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即()0.2x y z μεωωω<≡++（4）化学势μ由()01,,1e1x x y y z z x y zn n n n n n kT N ωωωεμ⎡⎤+++-⎣⎦=-∑（5）确定. 化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值c T 时，μ将趋于0.ε临界温度c T 由下式确定：165()1,,1,e1x x y y z z x y zn n n n n n kT N ωωω⎡⎤++⎣⎦=-∑（6）或,,1,e1x y zx y zn n n n n n N ++=-∑（7）其中(),,.ii i cn n i x y z kT ω==在1ickT ω<< 的情形下，可以将i n 看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替. 注意到在d d d x y z n n n 范围内，粒子可能的量子态数为3d d d ,c x y z kT n n n ω⎛⎫ ⎪⎝⎭即有3d d d ,1x zy x y zc n n n kT n n n N eω++⎛⎫= ⎪⎝⎭-⎰ （8）式中()13.x y z ωωωω=为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为()()()011e 1e 1ee e .x y z x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n l n n n l ++-++++∞-++-++==⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=∑积分等于00003d d de d e d e d e 111.202.y xz x y z x y z l n l n l n x y zn n n l l n n n n n n l ∞+∞+∞+∞---++=∞==-==∑⎰⎰⎰⎰∑ 所以式（8）给出166 13.1.202C N kT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（9）式（9）意味着，在,0N ω→∞→而3N ω保持有限的极限情形下，C kT 取有限值. 上述极限称为该系统的热力学极限.在c T T <<时，凝聚在基态的粒子数0N 由下式确定：30 1.202,kT N N ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭上式可改写为31.C N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（10）式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果. 实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异. 互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同. 关于互作用玻色气体的凝聚可参阅Dalfovo et al. Rev. Mod. Phys. 1999, 71（465）.8.6 承前8.5题，如果,z x y ωωω>>，则在z kT ω<< 的情形下，原子在z 方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体. 试证明C T T <时原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02x y εωω=+的基态，在2,0,N N ωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度c T 由下式确定：21.645,C kT N ω⎛⎫= ⎪⎝⎭其中()12.x y ωωω=温度为T 时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比为21.C N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解: 在,z x y ωωω>>的情形下，原子z 方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体. 与8.5题相似，在c T T <时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02x y εωω=+的基态. 临界温度c T 由下式确定： 2d de 1x yx yC n n kT n n N ω+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰16721.645,C kT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）其中()12,x y ωωω=201d d 11.645.e 1x y x y n n l n n l∞+∞+===-∑⎰（2）在,0N ω→∞→而2N ω保持有限的热力学极限下c kT 为有限值，有12.1.645C N kT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（3） C T T ≤时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比由下式确定：20 1.645,kT N N ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭或21.C N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（4）低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看8.5题所引Dalfovo et al及其所引文献. 低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见Gorlirz et al.Phys.Rev.Lett.2001,87（130402）.8.7 计算温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a ）温度为1000K 的平衡辐射.（b ）温度为3K 的宇宙背景辐射中光子的数密度.解: 式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V 内，在ω到d ωω+的圆频率范围内光子的量子态数为()223d d .πV D c ωωωω=（1）温度为T 时平均光子数为()()d ,d .e1kTD N T ωωωωω=- （2）因此温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均光子数为168 ()223d .πe1kTVN T cωωω+∞=-⎰（3）引入变量x kTω=，上式可表示为 ()3223033233d πe 12.404.πx V kT x xN T c kVT c +∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭=⎰或()332332.404.πk n T T c =（3）在1000K 下，有163210.n m -≈⨯在3K 下，有835.510.n m -≈⨯8.8 试根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为()58πd ,d ,e1hc kThcu T λλλλλ=-并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长m λ满足方程m hc x kT λ⎛⎫=⎪⎝⎭5 5.x e x -+=这个方程的数值解为 4.9651.x = 因此,4.9651m hcT kλ=m λ随温度增加向短波方向移动.解: 式（8.4.7）给出平衡辐射内能按圆频率的分布为()3231,d d .πe 1kTu T c ωωωωω==- （1）根据圆频率与波长熟知的关系2cπωλ=，有16922πd d .cωλλ=（2）如果将式（1）改写为内能按波长的分布，可得()58πd ,d .e1hc kThcu T λλλλλ=-- （3）令hcx kTλ=，使(),u T λ取极大的波长m λ由下式确定： 5d 0.d e 1x x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（4）由式（4）易得55e .x x --= （5）这方程可以用数值方法或图解方法求解. 图解方法如下：以x 为横坐标，y 为纵坐标，画出两条曲线1e ,,5x y xy -=-= 如图所示. 两条曲线的交点就是方程（5）的解，其数值约为4.96. 精确的数值解给出 4.9651.x = 所以使(),u T λ为极大的m λ满足4.9651m hcT kλ=32.89810m K.-=⨯⋅ （6）右方是常量，说明m λ随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律.值得注意，式（6）确定的使(),u T λ为极大的m λ与式（8.4.11）给出的使(),u T ω为极大的m ω并不相同. 原因是(),u T λ是单位波长间隔的内能密度，170 (),u T ω是单位频率间隔的内能密度. m λ与m ω分别由5d 0d e 1x x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（4）和3d 0d e 1x x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（7）确定，其中.hcx kT kTωλ== 由这两个方程解得m x 显然不同.8.9 按波长分布太阳辐射能的极大值在480nm λ≈处，假设太阳是黑体，求太阳表面的温度. 解: 由上题式（6）知32.89810m K.m T λ-=⨯⋅假设太阳是黑体，太阳表面温度的近似值为392.89810K 6000K.48010T --⨯==⨯8.10 试根据热力学公式d VC S T T=⎰及光子气体的热容量求光子气体的熵.解: 式（8.4.10）给出光子气体的内能为24433π.15k U VT c =（1）由此易得其定容热容量为243334π15V V U k C VT T c ∂⎛⎫== ⎪∂⎝⎭（2）根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有0d d ,V V C p S T V S T T ⎡⎤∂⎛⎫=++ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰ （3）171积分沿任意一条积分路线进行. 如果取积分路线为由（0，V ）到（T ，V ）的直线，即有242423333304π4πd ,1545Tk k V S T T T c c ==⎰ （4）其中已取积分常量0S 为零.如果取其他积分路线，例如由（0，0）至（T ，V ）的直线，结果如何？8.11 试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度.u J 计算6000K 和1000K 时u J 的值. 解: 根据式（8.4.3）和（6.2.15），在单位体积内，动量大小在p 到d p p +，动量方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围内，平衡辐射的光子数为232sin d d d ,e 1cpp p h βθθϕ- （1）其中已利用式（8.4.2）将动量为p 的光子能量表示为cp ，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的.以d A 表示法线方向沿z 轴的器壁的面积元. 以d d d ΓA t 表示在d t 时间内碰到d A 面积上，动量大小在p 到d p p +，方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围的光子数. 它等于以d A 为底，以cos d c t θ为高，动量在d d d p θϕ范围内的光子数. 因此单位时间（d 1t =）内，碰到单位面积()d 1A =的器壁上（或穿过单位面积），动量在d d d p θϕ范围内的光子所携带的能量为232sin d d d cos .e 1cp p p c cp h βθθϕθ⋅⋅- （2）对式（2）积分，p 从0到,θ+∞从0到π,2ϕ从0到2π，即得到辐射动量密度u J 为π232π2300023302d sin cos d d e 12πd .e 1u cp cp c p p J h c p p h ββθθθϕ+∞+∞=⋅⋅-=-⎰⎰⎰⎰ 令x cp β=，上式可表示为172 4233042432π1d e 12ππ6,90u x c x x J h c c kT h c β+∞⎛⎫=⋅ ⎪-⎝⎭⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰或24423π.60u k J T c =（3）在6000K ，有727.1410J m ;u J -=⨯⋅在1000K ，有520.5510J m .u J -=⨯⋅8.12 室温下某金属中自由电子气体的数密度283610m ,n -=⨯某半导体中导电电子的数密度为28310m n -=，试验证这两种电子气体是否为简并气体. 解: 根据§8.5，在e 1α>>，即31n λ<<的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻耳兹曼分布；反之，在e 1α<<，即31n λ>>的情形下，气体形成强简并的费米气体.3223,2πh n n mkT λ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）将283300,610m T K n -==⨯代入，得33101,n λ≈>> （2）说明该金属中的自由电子形成强简并的费米气体. 将203300K,10m T n -==代入，得35101,n λ-≈<<所以该半导体中的导电电子是非简并气体，可以用玻耳兹曼统计讨论. 金属中自由电子数密度的估计见§8.5，半导体中导电电子数密度的估计请参阅补充题3.8.13 银的导电电子数密度为28 3.5.910m -⨯试求0 K 时电子气体的费米能量、费米速率和简并压.173解: 根据式（8.5.6）和（8.5.8），0 K 下金属中自由电子气体的费米能量（电子的最大能量）、费米速率（电子的最大速率）和电子气体的压强取决于电子气体的密度n . 式（8.5.6）给出()()222303π.2n mμ= （1）将31342839.110kg, 1.0510J s, 5.910m m n ---=⨯=⨯⋅=⨯ 代入，即得()1800.87610J 5.6eV.μ-=⨯= （2）费米速率F υ等于61F 1.410m s .υ-==⨯⋅ （3）式（8.5.8）给出0 K 下电子气体的压强为()()10200 2.110Pa.5p n μ=≈⨯ （4）8.14 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.解: 根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为F 1,,f p p =≤F 0,,f p p => （1）其中F p 是费米动量，即0 K 时电子的最大动量. 据此，电子的平均动量为FF34F30F 23F38π1d 34.8π14d 3p p Vp pp h p p V p p p h ===⎰⎰（2）因此电子的平均速率为F F 33.44p p υυm m === （3）8.15 试证明，在绝对零度下自由电子的碰壁数可表示为1,4n υΓ=174 其中Nn V=是电子的数密度，υ是平均速率. 解: 绝对零度下电子速率分布为F F 1,,0,,f υυf υυ=≤=> （1）式中F υ是0 K 时电子的最大速率，即费米速率. 单位体积中速率在d υd d θϕ间隔的电子数为()32F 32sin d d d .m υυυυh θθϕ≤ （2）单位时间内上述速度间隔的电子碰到法线沿z 轴的单位面积器壁上的碰撞数为3232cos sin d d d .m d υυυhΓθθθϕ=⋅ （3）将上式积分，υ从0到F ,υθ从0到π,2ϕ从0到2π，得0 K 时电子气体的碰壁数为F π32π32300034F 32d sin cos d d 211242υm υυh m υh Γθθθϕπ==⋅⋅⋅⎰⎰⎰ 34F 3π.2m υh = （4）但由式（2）知单位体积内的电子数n 为F 3π2π2300033F 32d sin d d 2122π3υm υυh m υh Γθθϕ==⋅⋅⋅⎰⎰⎰ 33F 38.3m υh π= （5）所以F 31.444n υn υΓ=⋅=最后一步用了8.14题式（3）.8.16已知声速a= 1.8.8）），试证明在0 K理想费米气体中a=解: 式（1.8.8）已给出声速a为a=（1）式中的偏导数是熵保持不变条件下的偏导数. 根据能氏定理，0 K下物质系统的熵是一个绝对常数，因此0 K下物理量的函数关系满足熵为不变的条件.根据式（8.5.8）和（8.5.6），0 K下理想费米气体的压强为()()()2252322523π52p nnmμ==()()22523353213π.52mmρ=（2）故()2222F32213π,323Sppnm m mρ⎛⎫∂==⎪∂⎝⎭即a==（3）8.17 等温压缩系数Tκ和绝热压缩系数Sκ的定义分别为1TTpVκρ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭和1.SSpVκρ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭175176 试证明，对于0 K 的理想费米气体，有()()()3100.20T S n κκμ==解: 根据式（8.5.6）和（8.5.4），0 K 下理想费米气体的压强为()()5223232203π.552N p n mV μ⎛⎫== ⎪⎝⎭（1）在温度保持为0 K 的条件下，p 对V 的偏导数等于()2223223π.32T p N V m V ∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭由式（A.5）知()()222232313.23π2T TV V p p N N V m V -⎛⎫∂== ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪∂ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）所以0 K 下()()5223231331.2203π2T T V VV p n N mV κμ⎛⎫∂=-==⎪∂⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭（3）根据能氏定理，T =0 的等温线与S =0 的等熵线是重合的，因此0 K 下.T SV V p p ⎛⎫⎛⎫∂∂= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 由此可知()131.20S S V V p n κμ⎛⎫∂=-= ⎪∂⎝⎭ （4）式（4）也可以从另一角度理解. 式（2.2.14）和（2.2.12）给出s VT pC C κκ= （5）和2.p V TVT C C ακ-=（6）由式（6）知，0 K 下,p V C C =177所以式（5）给出0 K 下.S T κκ8.18 试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K 时的费米能量、内能和简并压.解: 极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为.cp ε=根据习题6.4式（2），在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()238πd d .VD ch εεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题6.4式（2）的结果乘以因子2.0 K 下自由电子气体的分布为()()()1,0;0,0.f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（2）费米能量()0μ由下式确定：()()()()023338π8π1d 0,3VV N ch ch μεεμ==⋅⎰ 故()1330.8n ch μπ⎛⎫=⎪⎝⎭（3） 0 K 下电子气体的内能为()()()()()()0003343d 8πd 8π104U D Vch V ch μμεεεεεμ===⋅⎰⎰()30.4N μ=（4）根据习题7.2式（4），电子气体的压强为178 ()110.34U p n V μ== （5）8.19 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为.n 试求0 K 时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.解: 根据6.3题式（4），在面积A 内，在ε到d εε+的能量范围内，二维自由电子的量子态数为()24d d .AD m hπεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2.0 K 下自由电子的分布为()()()1,0;0,0.f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （2）费米能量()0μ由下式确定：()()02204π4πd 0,A AN m m h hμεμ==⎰ 即()220.4π4πh N h m A mμ== （3）0 K 下二维自由电子气体的内能为()()()022204π4πd 00.22A A m NU m h h μεεμμ===⎰ （4）仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为.Up A=（5）因此0 K 下二维自由电子气体的压强为()10.2p n μ= （6）8.20 已知0 K 时铜中自由电子气体的化学势()07.04eV,μ=试求300 K 时的一级修正值.179解: 根据式（8.5.17），温度为T 时金属中自由电子气体的化学势为()()()22π01,120kT T μμμ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦300 K 下化学势()T μ对()0μ的一级修正为()()()22350 1.121001207.8810eV.kT πμμμ-⎡⎤-=-⨯⎢⎥⎣⎦=-⨯ 这数值很小，不过值得注意，它是负的，这意味着金属中自由电子气体的化学势随温度升高而减小. 这一点可以从下图直接看出. 图中画出了在不同温度下电子分布函数()f ε随ε的变化. 0 K 时电子占据了能量ε从零到()0μ的每一个量子态，而()0εμ>的状态则全部未被占据，如图中的0T 线所示. 温度升高时热激发使一些电子从能量低于μ的状态跃迁到能量高于μ的状态. 温度愈高，热激发的电子愈多，如图中的1T 线和2T 线所示()12.T T < 费米分布1e 1hT f εμ-=+要求在任何温度下εμ=的状态12f =，即占据概率为1.2从图8-2可以看出，化学势μ必然随温度升高而减少，即()210.μμμ<<8.21 试根据热力学公式VC S dT T=⎰，求低温下金属中自由电子气体的熵.解: 式（8.5.19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为()2π.20V kTC Nk μ= （1）180 根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有0d d .V V C p S T V S T T ⎡⎤∂⎛⎫=++ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰ （2）取积分路线为（0，V ）至（T ，V ）的直线，即有()()2220ππd ,2020T Nk kTS T Nk μμ==⎰ （3）其中已取积分常量0S 为零.8.22 由N 个自旋极化的粒子组成的理想费米气体处在径向频率为r ω，轴向频率为r λω的磁光陷阱内，粒子的能量（哈密顿量）为()()222222221.22x y z r m p p p x y z m εωλ=+++++ 试求0 K 时费米气体的化学势（以费米温度表示）和粒子的平均能量. 假设5-1210,3800s ,8r N ωλ===，求出数值结果.解: 由式（6.2.4）知，粒子的能量本征值为(),,,xyzn n n r x y z n n n εωλ=++,,0,1,2,x y z n n n = （1）式中已将能量零点取为1.2r λω⎛⎫+ ⎪⎝⎭理想费米气体的化学势(),T N μ由下式确定：(),,1.e1r x y z x y zn n n n n n N βωλμ⎡⎤++-⎣⎦=+∑（2）如果N 足够大使大量粒子处在高激发能级，粒子的平均能量远大于r ω ，或者温度足够高使r kT ω>> ，式（2）的求和可以改写为对能量的积分. 令,,,d ,d ,d ,x x r y y r z z r x r y r z r n n n εωεωελωεωεωελω======式（2）可表达为()()3d d d 1.e 1x y z x y zr N βεεεμεεελω+++=+⎰ （3）引入新的积分变量x y z εεεε=++，可进一步将式（2）改写为181()()31d d d ,e 1xyrN βεμεεελω-=+⎰⎰⎰ （4）式中被积函数只是变量ε的函数，与x ε和y ε无关. 对一定的ε，d x ε和d y ε的积分等于以x ε轴、y ε轴和x y εεε+=三条直线为边界的三角形面积，如图所示，这面积等于21.2ε 所以式（4）可表达为()()d ,1D N eβεμεε-=+⎰（5）其中()()231d d .2r D εεεελω=（6）它是能量在ε到d εε+范围内粒子的状态数.0 K 时系统尽可能处在能量最低的状态. 由于泡利原理的限制，粒子将从能量为零的状态开始，每一量子态填充一个粒子，到能量为()0μ的状态止.()0μ由下式确定：()()()()30233011d .322rr N μμεελωλω==⎰由此可得()()1306.r N μωλ= （7）0 K 时费米气体的能量为182 ()()()()()()0003343d 1d 20142r r E D μμεεεεελωμλω===⎰⎰()30.4N μ=（8）粒子的平均能量为()30.4εμ= （9）对于题给的数据，可得30nK,r ω=()0 3.5μK,F T kμ==2.7μK.Ek=8.23 承上题，试求低温极限F T T <<和高温极限F T T >>下，磁光陷阱中理想费米气体的化学势、内能和热容量.解: 首先讨论低温极限F T T <<的情形. 根据式（8.5.13）和（8.5.16）,积分()d ,e 1kT I εμηεε+∞-=+⎰（1）在低温极限下可展开为()()()220πd 6I kT μηεεημ'=++⎰ （2）对于磁光陷阱中的理想费米气体，有20d ,e 1kT c N εμεε+∞-=+⎰（3）其中()31.2r c λω=上式确定费米气体的化学势. 利用式（1），（2）可得1832321π,3c kT N μμ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此11233231πN kT c μμ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()22π01.30kT μμ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≈-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（4）气体的内能为30d ,1kTc U e εμεε+∞-=+⎰利用式（1），（2）可得()()()()()()24242224242224212π4π0112π430034π0112π4300C kT U C kT kT kT kT N μμμμμμμμ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪≈-⋅+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪≈-⋅+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭()()223201π.430kT N μμ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≈+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（5）热容量为()2d π.d 0U kTC Nk T μ== （6）在高温极限F T T >>的情形下，有Fe ee1.T kTTμα--=≈≈ （7）磁光陷阱内的费米气体是非简并的，遵从玻耳兹曼分布. 按照玻耳兹曼统计求热力学函数的一般程序，先求粒子配分函数184 ()()1023e d 1ed 2rZ D βεβεεεεελω+∞-+∞-==⎰⎰()3312.2r βλω=（8）内能为1ln 3.U NZ NkT β∂=-=∂ （9）上式与能量均分定理的结果相符. 根据式（7.6.7），气体的化学势为()31Z ln ln 6.0kT kT kT N μμ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=-=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（10）最后一步用了式（8）和补充题4式（7）.实验已观察到处在磁光陷阱内的费米气体在温度低于费米温度时所显示的费米简并性和费米压强. 见B. DeMarco, D. S. Jin. Science. 1999,285(1703). A. G . Truscott et al. Science. 2001,191(2570).8.24 关于原子核半径R 的经验公式给出()151/31.310m ,R A -=⨯⋅式中A 是原子核所含核子数. 假设质子数和中子数相等，均为A /2，试计算二者在核内的密度.n 如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，试求二者的()0μ以及核子在核内的平均能量.核子质量271.6710kg.n m -=⨯ 解: 根据核半径的经验公式()11531.310m ,R A -=⨯⋅假设核内质子数和中子数相等，均为2A，则二者的密度均为 ()45-31520.0510m .4π1.310m 3A n A -=≈⨯⨯⋅如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，根据式（8.5.6），费米能量()0μ185为()()22231103π20.4310J 27MeV.n mμ-==⨯≈由式（8.5.7）知，核子在核内的平均能量为()113050.2610J 16MeV.εμ-==⨯≈ 核的费米气体模型是20世纪30年代提出的核模型. 它在定性描述原子核的粗略性质方面取得了一定的成功. 核的费米气体模型把核子看作是约束在核内的无相互作用的自由粒子. 从核子散射实验知道，核子之间存在很强的相互作用，其中包含非常强的排斥心. 将核子看作核内无相互作用的自由粒子，可以这样理解：排斥心的半径约为150.410m -⨯，核内核子之间的平均距离约为152.410m -⨯，因此原子核的“最密集”体积与实际体积之比约为30.412.4100⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，这样核子实际上感受到的只是相互作用中较弱的“尾巴”部分. 其次，由于泡利原理的限制，大多数核子（特别是处在费米面深处低能态的粒子）发生碰撞时，其状态很难发生改变，仅在费米面附近的少数核子有可能在碰撞时改变其状态. 作为一个初步近似，费米气体模型忽略了核子之间的相互作用.8.25 3He 是费米子，其自旋为1/2在液3He 中原子有很强的相互作用. 根据朗道的正常费米液体理论，可以将液3He 看作是由与原子数目相同的3He 准粒子构成的费米液体. 已知液3He 的密度为-381kg m ⋅，在0.1 K 以下的定容热容量为 2.89.V C NkT = 试估算3He 准粒子的有效质量*.m解: 我们首先粗略地介绍一下朗道费米液体理论的有关概念.如§8.5所述，在0 K 理想费米气体处在基态时，粒子占满了动量空间中半径为费米动量F p 的费米球：()123F 3π,p n = （1）F p p >的状态则完全未被占据. 气体处在低激发态时，有少量粒子跃造到186 F p p >的状态，而在费米球中留下空穴. F p 的大小取决于气体的数密度.n朗道假设，如果在理想费米气体中逐渐加入粒子间的相互作用，理想费米气体将过渡为费米液体，气体的粒子过渡为液体的准粒子. 液体中的准粒子数与原来气体或液体中的实际粒子数相同. 对于均匀系统，准粒子的状态仍可由动量p 和自旋S 描述. 在0 K 费米液体处在基态时，准粒子占满了动量空间中半径为F p 的费米球，F p 仍由式（1）确定，但n 是液体的粒子数密度. 费米液体处在低激发态时，有少量准粒子跃迁到F p p >的状态，而在费米球中留下空穴.以()d f p ω表示单位体积中动量在p 到d p p +的准粒子数. 在自旋量子数为1/2的情形下，有32d d .ph ω=()f p 满足归一化条件()d .f p n ω=⎰ （2）由于费米液体的准粒子之间存在相互作用，单个粒子的能量()p ε与其他准粒子所处的状态有关，即与准粒子的分布有关. 因此，与理想费米气体不同，费米液体的能量不能表达为单个准粒子的能量之和，即()()d ,Ep f p Vεω≠⎰ （3）而是分布函数()f p 的泛函. 准粒子能量()p ε由下式定义：()()δδd ,Ep f p Vεω=⎰ （4）或()()δ.δE V p f p ε⎛⎫∂ ⎪⎝⎭=∂⎡⎤⎣⎦（5）上式的意义是，准粒子能量()p ε等于增加一个动量为p 的粒子所引起的系统能量的增加. ()p ε既与液体中准粒子的分布有关，也是分布函数()f p 的泛函. 习题8.2曾得到处在平衡状态的理想费米气体的熵的表达式()()()(){}ln 1ln 1d ,S kV f p f p f p f p ω=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ （6）式中的两项可以分别理解为由于粒子具有分布()f p 和空穴具有分布()1f p -所导致的熵. 式（6）不仅适用于平衡态，也适用于非平衡态. 如果()f p 是某187非平衡态下粒子的分布，相应的熵也由式（6）表达. 在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布（费米分布）使式（6）的熵取最大值. 根据前述朗道的假设，费米液体的准粒子与理想费米气体的粒子存在一一对应的关系. 将式（6）中的()f p 理解为费米液体中准粒子的分布，费米液体的熵亦可由式（6）表达. 在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布使式（6）的熵取最大值. 可以证明，平衡态的分布具有下述形式：()()1.e1p kTf p εμ-=+ （7）这是平衡态下费米液体中准粒子的分布函数，1kT 和kTμ是拉氏乘子. 显然，T 和μ分别是费米液体的温度和化学势. 需要强调，虽然式（7）形式上与费米分布相似，但由于()p ε是分布函数()f p 的泛函，式（7）实际上是分布函数()f p 的一个复杂的隐函数表达式.以()()()()00,f p p ε和()0μ分别表示0 K 时的分布函数、准粒子能量和化学势. 由式（7）可知，()()0f p 是一个阶跃函数：()()()()()()()()0001,0;0,0.p f p p εμεμ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ （8）上式给出0 K 时费米液体准粒子的动量分布，与前述的图像一致.在接近0 K 的低温下，分布函数应与阶跃分布()()0f p 接近. 作为一级近似，可以用()()0f p 近似地确定准粒子的能量().p ε 这意味着()p ε简单地成为p 的确定的函数()()0.p ε 对于F p p ≈的动量值，可以将函数()()0p ε按F p p -作泰勒展开，即()()()()0F F 0,p υp p εμ-=- （9）其中()()F0F p p υp ε⎡⎤∂=⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦ （10）是准粒子在费米面的速度. 对于理想费米气体，有()2F F ,.2p p p υm mε==可以类似地引入准粒子有效质量*m 的概念，定义188 *FF,p m υ=（11）并将()0μ和F ~p p 处的()()0p ε简单地记为()2F*0,2p mμ= （12）()()()20F *.2p p p p mε=≈ （13）如§8.5所述，仅费米面附近的电子对理想费米气体的低温热容量有贡献，其表达式为（式（8.5.19）和（8.5.6））()()222223ππ.203πV C kT mkTNk n μ== （14）根据费米液体与理想费米气体的相似性，可以直接写出低温下费米液体的热容量为()()22*2223ππ,203πV C kT m kTNk n μ== （15）其中*m 是费米液体准粒子的有效质量. 将题中所给液3He 的实测数据代入，注意3He 的质量密度nm ρ=（m 是3He 原子的质量），可得3He 准粒子的有效质量约为*3.m m ≈ （16）关于朗道费米液体理论，可参看《量子统计物理学》（北京大学编写组）§5.5和Lifshitz, Pitaevskii. Statistical Physics Ⅱ. §1, §2.189补充题1 写出二维空间中平衡辐射的普朗克公式，并据此求平均总光子数、内能和辐射通量密度.解: 根据（6.2.14），二维空间中在面积A 内，在x p 到d ,x x y p p p +到d y yp p +的动量范围内，光子可能的量子态数为22d d .x yA p p h（1）换到平面极坐标，并对辐角积分，可得在面积A 内，动量大小在p 到d p p +范围内，光子的量子态数为24πd .Ap p h（2）再利用光子的能量动量关系cp ε=和能量频率关系εω= ，可得二维空间中在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内的光子的量子态数为()2d d .AD cωωωωπ=（3）根据玻色分布和式（3），可得温度为T 时二维平衡辐射在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内的光子数为()2,d d .πe 1A N T c βωωωωω=- （4）对频率积分，得温度为T 时二维平衡辐射击的总光子数为()()02220,d d πe 11d πe 1x N T N T A cA x x c βωωωωωβ+∞+∞+∞==-⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰2222π.6A k T c =（5）温度为T 时在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内，二维平衡辐射的能量为()22,d d .πe 1A u T c βωωωωω=- （6）这是二维平衡辐射的普朗克公式. 对频率积分，得温度为T 时二维辐射场的内能为190 ()223220d πe 11d πe 1x Au T cA x x c βωωωβ+∞+∞=-⎛⎫=⎪-⎝⎭⎰⎰33222.404.πA k T c =（7）参照式（2.6.7）或8.11题，可得二维辐射场的辐射通量密度u J 与内能密度的关系为33221.202.2πu c J u k T c π==（8）应当说明，随着人工微结构材料研究的进展，目前已有可能研制出低维的光学微腔. （参阅E. Yablonovitch. Jour. Mod·Opt. 1994,41（173）. 章蓓. 光学微腔. 见：介观物理. 北京：北京大学出版社，1995.276）. 不过光学微腔中辐射场的模式分布与（3）所表达的自由空间中的模式分布是不同的.补充题 2 金属中的自由电子在外磁场下显示微弱的顺磁性. 这是泡利（Pauli ）根据费米分布首先从理论上预言的，称为泡利顺磁性. 试根据费米分布导出0K 金属中自由电子的磁化率.解: §7.8和习题7.27讨论的顺磁性固体，其顺磁性来自磁性离子的磁矩在外磁场作用下的取向. 离子磁矩是其不满壳层的束缚电子的轨道磁矩与自旋磁矩之和，磁性离子是定域的，遵从玻耳兹曼分布。

【精品】热力学作业题答案

【关键字】精品第二章2-1.使用下述方法计算1kmol 甲烷贮存在体积为0.1246m 3、温度为50℃的容器中产生的压力：（1）理想气体方程；（2）R-K 方程；（3）普遍化关系式。

解：甲烷的摩尔体积V =0.1246 m 3/1kmol=124.6 cm 3/mol查附录二得甲烷的临界参数：T c =190.6K P c =4.600MPa V c =99 cm 3/mol ω=0.008 (1) 理想气体方程P=RT/V=8.314×323.15/124.6×10-6=21.56MPa(2) R-K 方程 ∴()0.5RT aPV b T V V b =--+=19.04MPa (3) 普遍化关系式323.15190.6 1.695r c T T T === 124.6 1.259r c V V V ===＜2∴利用普压法计算，01Z Z Z ω=+∵ c r ZRTP P P V == ∴c r PV Z P RT =迭代：令Z 0=1→P r0=4.687 又Tr=1.695，查附录三得：Z 0=0.8938 Z 1=0.462301Z Z Z ω=+=0.8938+0.008×0.4623=0.8975此时，P=P c P r =4.6×4.687=21.56MPa同理，取Z 1=0.8975 依上述过程计算，直至计算出的相邻的两个Z 值相差很小，迭代结束，得Z 和P 的值。

∴ P=19.22MPa2-4.将压力为2.03MPa 、温度为477K 条件下的2.83m 3NH 3压缩到0.142 m 3，若压缩后温度448.6K ，则其压力为若干？分别用下述方法计算：（1）Vander Waals 方程；（2）Redlich-Kwang 方程；（3）Peng-Robinson 方程；（4）普遍化关系式。

解：查附录二得NH 3的临界参数：T c =405.6K P c =11.28MPa V c =72.5 cm 3/mol ω=0.250 (1) 求取气体的摩尔体积对于状态Ⅰ：P=2.03 MPa 、T=447K 、V=2.83 m 3477405.6 1.176r c T T T === 2.0311.280.18r c P P P ===—普维法∴01.6 1.60.4220.4220.0830.0830.24261.176r BT =-=-=- 11c r c rBP PV BP P Z RT RT RT T =+==+→V=1.885×10-3m 3/mol∴n=2.83m 3/1.885×10-3m 3/mol=1501mol对于状态Ⅱ：摩尔体积V=0.142 m 3/1501mol=9.458×10-5m 3/mol T=448.6K (2) Vander Waals 方程 (3) Redlich-Kwang 方程 (4) Peng-Robinson 方程 ∵448.6405.6 1.106r c T T === ∴220.3746 1.542260.269920.3746 1.542260.250.269920.250.7433k ωω=+-=+⨯-⨯=∴()()()a T RTPV b V V b b V b =--++- (5) 普遍化关系式 ∵559.458107.2510 1.305r c V V V --==⨯⨯=＜2 适用普压法，迭代进行计算，方法同1-1（3）2-7：答案： 3cm第三章3-3. 试求算1kmol 氮气在压力为10.13MPa 、温度为773K 下的内能、焓、熵、V C 、p C 和自由焓之值。

传热学(第8章--导热)

q
t r
r
1 1
2 2
3 3
则
q
r
0.0015 200
0.0002 0.0001 1.5 0.1
151(倍)
q r
0.0015
200
33
思考题
在三层平壁的稳定导热问题中，已测得tw1、tw2、 tw3、tw4依次为600℃、500℃、200℃、100℃，试问哪一层壁热阻最大？假设各层厚度相同，问哪一层壁材料的热导率最小？
（答案：中间层热阻最大，热导率最小）
34
8-4 圆筒壁的稳定导热
➢ 电厂中的很多换热设备均采用管式结构，如锅炉水冷壁、过热器、省煤器以及凝汽器、回热加热器等管壁的导热。
无限长圆筒壁：指长度比内、外径大得多（通常取L/D大10倍及以上时）的圆筒壁。其导热过程在圆柱坐标系中可简化为仅沿半径方向的一维导热。
度
场
一维不稳定温度场 t f (x, )
不稳定温度场二维不稳定温度场 t f (x, y, )
三维不稳定温度场 t f (x, y, z, )
19
三、等温面与等温线：
1.定义：
➢ 等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面。
➢ 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇。
的温度分布为一条曲折线。
38
8-5 不稳定导热
一、不稳定导热过程的特点
1、不稳定导热的定义： ——物体的温度随时间而变化的导热过程称
不稳定导热。 t f (x, y, z, ) , Φ f( )
2、不稳定导热的分类：周期性不稳定导热：物体的温度随时间而作
周期性的变化。瞬态不稳定导热：物体的温度随时间的推移

大学物理答案8.第八章

⼤学物理答案8.第⼋章第⼋章热⼒学第⼀和第⼆定律思考题8-13 强光照射物体，可以使物体的温度上升，导致物体内能的改变。

试问这⼀过程属于热量传递还是⼴义的做功。

8-14 储⽓瓶中的⼆氧化碳急速喷出，瓶⼝处会出现固态的⼆氧化碳----⼲冰。

为什么？8-15 ⽇常⽣活中有“摩擦⽣热”的提法，从物理上讲正确的表述是什么？8-16 有⼈说：只有温度改变时，才有吸热或放热现象。

这种说法正确吗？试举例说明之。

8-17 微元dW、dQ和dU与具体微元过程有关吗？微元dQT呢？8-18 参考§8.4关于开尔⽂表述与克劳修斯表述等价性的证明，试⽤反证法证明卡诺循环与克劳修斯表述的等价性。

8-19 等温膨胀过程的熵变⼤于零，有⼈说这表明此过程是不可逆的过程。

这种说法正确吗？8-20 基于克劳修斯表述证明两条绝热线不可能相交。

8-21 定义状态量焓H=U+pV。

对准静态且只有压强做功的过程，证明dH=Tds+Vdp，并说明该量在等压过程中的物理意义。

8-22报载，⼀⼩孩在夏季午睡时，由于长时间压着⼀个⼀次性打⽕机，导致打⽕机破裂，其⽪肤轻度冻伤。

试思考其中的物理原因。

8-23 ⼀般来说，物体吸热（放热）温度上升（下降），其热容量为正值。

但是对于⾃引⼒系统，热容量可能取负值。

试以第七章例7.3为例说明之。

习题8-1 某⼀定量氧⽓原处于压强P1=120atm 、体积V1=1.0L 、温度t1=27摄⽒度的状态，经（1）绝热膨胀，（2）等温膨胀，（3）⾃由膨胀，体积增⾄V2=5.0L 。

求这三个过程中⽓体对外做功及末状态压⼒值。

解：112120, 1.0,300 5.0p atm V l T K V l====氧⽓的775225p vC R R C γ=== （1）绝热膨胀：111611122212() 1.2810a V p V p V p p P V ---===? 1412[1()] 1.44101V pVW J V γγ-=-=?- （2）等温过程：111611122212() 1.2810a V p V p V p p P V ---=∴==? 1412[1()] 1.44101V pVW J V γγ-=-=?- （3）⾃由膨胀，T 不变 622.4310a p P =? W=08-2 将418.6J 的热量传给标准态下的5.00×10-3kg 的氢⽓[Cv,m=20.331J/(mol.k)] (1) 若体积不变，这热量变为什么？氢⽓的温度变为多少？ (2) 若温度不变，这热量变为什么？氢⽓的压强及体积变为多少? (3) 若压强不变，这热量变为什么？氢⽓的温度和体积变为多少？解：（1）V 不变5131416.8, 1.01310,273.15 510Q W U Q J P Pa T K M Kg-?=+?∴?==?==?50, 8.05522M QW Q U R T T KM R µµ?=?=?=∴?== 273.158.05281.2()T K ∴=+=（2）T 不变12211123111111 0, 1.0775.610QMRT V VMU Q W RT Ln e V V MRT MPV RT V m P µµµµ-===∴===∴==?223112225.610 1.0776.0310() 9.4110 ( )PV V m P Pa V --∴=??=?==? （3）P 不变22321212221211111 , 5.85(),72273.15 5.7279.0()5.7210P MQQ C T T K M R T K V V T MRTT MRT V V m T T T PT P µµµµ??===∴=+======?1125()121.6 299.02M W P V V J U R T J µ=-=?== 计算结果Q U W ?≠?+是因为Cp 和Cv 近似取值，若取实验值20.331,28.646v p C C ==可得：25.845,279.0,297.1T K T K U J ?==?=8-3有20.0L 的氢⽓，温度为27摄⽒度，压强为P=1.25105pa 。

工程热力学第八章湿空气作业

第8章湿空气例1：如果室外空气的参数为p=1.0133bar ，t=30℃,φ=0.90，现欲经空气调节设备供给2t =20℃，2φ=0.60的湿空气，试用h-d 图分析该空气调节过程，并计算析出的水分及各过程中的热量。

解：利用h-d 图分析计算该题所给条件下的空调过程，如图8.1，根据所给条件t=30℃,φ=0.90，在h-d 图上确定初态1,并查得1h =62.2kJ/k(a)，1d =15.7g/kg(a)同样,由2t =20℃，2φ=0.60在图上确定终态2,并查得2h =34.1kJ/k(a)，2d =15.7g/kg(a)，由定2d 线与φ=1线的交点4, 查得4h =26.4kJ/kg(a), 2d =4d空调过程的分析：定湿冷却过程：湿空气的冷却过程，因其组成成分不变，即含湿量不变,但相对湿度增加,温度下降,直降到露点。

所以,是定湿降温过程。

例如,在h-d 图上自初态1沿1d =15.7g/kg(a)的定湿线进行到与φ=1线的交点3。

此时已成饱和空气,再继续冷却，过程自状态3沿饱和线(临界线)进行,直至与终态含湿量相等的状态4,在这个冷却去湿阶段中,将有水蒸气凝结成水析出,并放出热量。

1-4过程的放热量，可用焓差表示,即q=14h h -=26.4-62.2=-35.8kJ/kg(a)式中负号表示冷却时湿空气放出热量。

冷却去湿过程：每公斤干空气所析出的水分等于湿空气含湿量的减少量,即14d d d -=∆=7.1-15.7=-8.6g/kg(a)式中负号表示湿空气析出水分。

加热过程：为了达到工程所要求的湿度，常采用降温去湿,但往往使温度过低(如4点C t 08.8=，为了保证空调后的气体温度(本题要求20℃)，去湿后，常常需要加热升温。

如在图8.1中就是自状态4沿定4d 线进行到终点2,温度升高，含湿量不变，相对湿度下降，这是定湿加热过程。

加热过程的吸热量也可以用焓差表示,即42h h q -==34.1-26.4=7.7kJ/kg(a)图8.1例2：已知干湿球湿度计的读数为：干球温度t 1=28℃，湿球温度t 2=19解ϕ=44%例3空气t 1=34t 3=20℃，ϕ3m A =50kg/min 试计算：（1（2（3解：按给定参数和过程在h —d 图上查出状态点1、2、3的有关参数，根据t 1、ϕ1查得d 1=0.0274kg/(kg 干空气)h 1=105kJ/(kg 干空气)根据t 3、ϕ3查得d 3=0.0073kg/(kg 干空气)h 3=38kJ/(kg 干空气)冷却去湿过程达到的状态为d 2=d 3=0.0073kg/(kg 干空气)的饱和空气状态，照此查得h 2=105kg/(kg 干空气)t 2=9℃（1）空气中需要除去的水分为min kg/005.1)0073.00274.0(50)(21=-⨯=-=d d mm a w（2）冷却介质带走的热量为w w a h m h h mQ --=)(2112 其中凝结水的焓为kJ/kg 64.379186.42=⨯==t C h pw w故有 min /kJ 2.38667.37005.1)27105(5012=⨯--⨯=Q（3）加热器加入的热量为假定空气处理室所用的喷雾水的水温为t w =12℃。

8热力学

习题及参考答案第八章热力学参考答案思考题8-1 “功、热量和内能都是系统状态的单值函数”这种说法对吗?如有错请改正。

8-2 质量为M 的氦气(视为理想气体)，由同一初态经历下列两种过程：(1)等体过程；(2)等压过程。

温度升高了ΔT ，要比较这两种过程中气体内能的改变，有一种解答如下：(1) 等体过程T C ME V V ∆∆μ= (2) 等压过程T C ME p p ∆∆μ=∵V p C C ，∴Vp E E ∆∆以上解答是否正确？如有错误请改正。

8-3 摩尔数相同的氦气和氮气(视为理想气体)，从相同的初状态(即p 、V 、T 相同)开始作等压膨胀到同一末状态，下列有关说法有无错误？如有错误请改正。

（1）对外所作的功相同；（2）从外界吸收的热量相同；（3）气体分子平均速率的增量相同。

8-4 一定量的理想气体，从p-V 图上同一初态A 开始，分别经历三种不同的过程过渡到不同的末态，但末态的温度相同，如图所示，其中A →C 是绝热过程，问：(1)在A →B 过程中气体是吸热还是放热？为什么？ (2)在A →D 过程中气体是吸热还是放热?为什么?8-5 在下列理想气体各种过程中，哪些过程可能发生？哪些过程不可能发生？为什么？(1)等体加热时，内能减少，同时压强升高； (2)等温压缩时，压强升高，同时吸热； (3)等压压缩时，内能增加，同时吸热； (4)绝热压缩时，压强升高，同时内能增加。

8-6 甲说：“系统经过一个正的卡诺循环后，系统本身没有任何变化。

”乙说：“系统经过一个正的卡诺循环后，不但系统本身没有任何变化，而且外界也没有任何变化。

”甲和乙谁的说法正确？为什么？8-7 从理论上讲，提高卡诺热机的效率有哪些途径？在实际中采用什么办法? 8-8 关于热力学第二定律，下列说法如有错误请改正： (1)热量不能从低温物体传向高温物体；(2)功可以全部转变为热量，但热量不能全部转变为功。

8-9 理想气体经历如图所示的abc 平衡过程，则该系统对外作功A ，从外界吸收的热量Q 和内能的增量ΔE 的正负情况为(A )ΔE >0，Q >0，A <0； (B )ΔE >0，Q >0，A >0； (C )ΔE >0，Q <0，A <0； (D )ΔE <0，Q <0，A >0。

第八章统计热力学

12．若规定粒子在 0K 的能值为零, 则在 0K 时, 系统的热力学函数不一定等于零的是 (A) U (B) H (C) A (D) S 答案：D 13．统计热力学主要研究。 (A) 平衡体系 (B) 近平衡体系 (C) 非平衡体系 (D) 耗散结构 (E) 单个粒子的行为答案：A 14．体系的微观性质和宏观性质是通过（）联系起来的。 (A) 热力学 (B) 化学动力学 (C) 统计力学 (D) 经典力学 (E) 量子力学答案：C 15．在台称上有 7 个砝码，质量分别为 1g、2g、5g、10g、50g、100g，则能够称量的质量共有：
U Ni i
i
答案：B
26．对于单原子理想气体在室温下的一般物理化学过程, 若欲通过配分函数来求过程中热力学函数的变化 (A) 必须同时获得 qt、qr、qV、qe、qn 各配分函数的值才行 (B) 只须获得 qt 这一配分函数的值就行； (C) 必须获得 qt、qr、qV 诸配分函数的值才行 (D) 必须获得 qt、qe、qn 诸配分函数的值才行。答案：B 27．通过对谐振子配分函数的讨论, 可以得出 1mol 晶体的热容 CV,m=3R, 这一关系与下列哪一著名定律的结论相同？ (A) 爱因斯坦(Einstein)定律 (B) 杜隆-柏蒂(Dulong-Petit)定律； (C) 德拜 (Debye) 立方定律； (D) 玻兹曼分布定律．答案：B 28．单维谐振子的配分函数 qV=[exp(-h /2kT)]/[(1-exp(-h /kT)]在一定条件下可演化为 kT/h , 该条件是 (A) h kT, m 1 (B) kT h , m 1 (C) 0 = 0, kT >> h (D) 0 = 0, kT h (E) 0 = 0, m 1．答案：C 29．根据热力学第三定律, 对于完美晶体, 在 S0=kln0 中, 应当是 (A) 0 = 0 ； (B) 0 0 ； (C) 0 = 1 ； (D) 0 1 ； (E) 0 1

工程热力学第八章(气体与蒸汽的流动)09(理工)(沈维道第四版)

扩压管（） ◆四、扩压管（2）
当M入>1，， M出<1时时
dA dc 2 = M −1 dp 与 dc 异号 A c
应先收缩应先收缩, 收缩
(
)
超音速流入亚音速流出流入，即超音速流入，亚音速流出显然，为使得dp>0 显然，为使得后再扩张当M =1后再扩张，从而使出口 <1，即采用后再扩张，从而使M ，缩放型扩压管缩放型扩压管
c 定义式: 定义式: M = a
◆3、气体流动速度分类气体流动速度速度分类
M <1时， c <a 时 M =1时， c =a 时 M >1时， c >a 时音速
8314.5 J/(kg.K) = 343m/s a = kRgT = M a = 1.4 × 287 × 293
只能在有介质亚音速流动声音只能在亚音速流动声音只能在有介质的场中传播传播，的场中传播，不能音速流动真空中传播在真空中传播超音速流动超音速流动如：在20℃的空气中 ℃
dA dc dv dA dc dρ + − =0 + + =0 或 A c v ρ A c
（7-2））
3、动量方程、由 δq = dh + δwt = dh − vdp 得 − dh = − vdp 由
2 c2 (c2 − c12 ) 得 − dh = d ( ) h1 − h2 = 2 2
a= ∂p ( ) ∂ρ s
过程式: 过程式: dp + k dv = 0 p v 定熵过程压力波的传播过程可作定熵过程定熵过程处理可作定熵过程处理
a = kpv
理想气体
a = kRgT

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第八章热力学基础一、选择题［ A ］1.（基础训练4）一定量理想气体从体积V 1，膨胀到体积V 2分别经历的过程是：A →B 等压过程，A →C 等温过程；A →D 绝热过程，其中吸热量最多的过程(A)是A →B. (B)是A →C. (C)是A →D.(D)既是A →B 也是A →C , 两过程吸热一样多。

【提示】功即过程曲线下的面积，由图可知AD AC AB A A A >>；根据热力学第一定律：E A Q ∆+= AD 绝热过程：0=Q ； AC 等温过程：AC A Q =；AB 等压过程：AB AB E A Q ∆+=，且0>∆AB E［ B ］2.（基础训练6）如图所示，一绝热密闭的容器，用隔板分成相等的两部分，左边盛有一定量的理想气体，压强为p 0，右边为真空．今将隔板抽去，气体自由膨胀，当气体达到平衡时，气体的压强是(A) p 0． (B) p 0 / 2． (C) 2γp 0． (D) p 0 / 2γ．【提示】该过程是绝热自由膨胀：Q=0，A=0；根据热力学第一定律Q A E =+∆得 0E ∆=，∴0T T =；根据状态方程pV RT ν=得00p V pV =；已知02V V =，∴0/2p p =.［ D ］3.（基础训练10）一定量的气体作绝热自由膨胀，设其热力学能增量为E ∆，熵增量为S ∆，则应有 (A) 0......0=∆<∆S E (B) 0......0>∆<∆S E ． (C) 0......0=∆=∆S E ． (D) 0......0>∆=∆S E【提示】由上题分析知：0=∆E ；而绝热自由膨胀过程是孤立系统中的不可逆过程，故熵增加。

［ D ］4.（自测提高1）质量一定的理想气体，从相同状态出发，分别经历等温过程、等压过程和绝热过程，使其体积增加1倍．那么气体温度的改变(绝对值)在 (A) 绝热过程中最大，等压过程中最小． (B) 绝热过程中最大，等温过程中最小． (C) 等压过程中最大，绝热过程中最小．(D) 等压过程中最大，等温过程中最小．【提示】如图。

等温AC 过程：温度不变，0C A T T -=；等压过程：A B p p =，根据状态方程pV RT ν=，得：B AB AT T V V =，2B A T T ∴=，B A A T T T -= p 0绝热过程：11A A D D T V T V γγ--=，1112A D A A D V T T T V γγ--⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得：1112D A A A T T T T γ-⎡⎤⎛⎫-=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，选择（D ）【或者】等压过程：()()p A B A B A A p V V R T T ν=-=-，pB A A T T Rν-=；绝热过程：()2D A iA E R T T ν=-∆=--，2D A A T T i R ν-=；∵2iR R νν<，由图可知p A A >，所以 B A D A T T T T ->-［ A ］5.（自测提高3）一定量的理想气体，分别经历如图（1）所示的abc 过程，(图中虚线ac 为等温线)，和图（2）所示的def 过程(图中虚线df 为绝热线)．判断这两种过程是吸热还是放热．(A) abc 过程吸热，def 过程放热． (B) abc 过程放热，def 过程吸热．(C) abc 过程和def 过程都吸热． (D) abc 过程和def 过程都放热．【提示】（a ） , 0a c c a T T E E =∴-=Q ，()0abc abc c a abc Q A E E A =+-=>，吸热。

（b ）df 是绝热过程，0df Q =，∴f d df E E A -=-，()def def f d def df Q A E E A A =+-=-，“功”即为曲线下的面积，由图中可见，def df A A <，故0def Q <，放热。

［ B ］6.（自测提高6）理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小（图中阴影部分）分别为S 1和S 2，则二者的大小关系是：(A) S 1 > S 2． (B) S 1 = S 2．(C) S 1 < S 2． (D) 无法确定．【提示】两条绝热线下的面积大小即为“功的大小”。

绝热过程的功的大小为12()2i A E R T T ν=-∆=-，仅与高温和低温热源的温差有关，而两个绝热过程对应的温差相同，所以作功A 的数值相同，即过程曲线下的面积相同。

二、填空题1.（基础训练13）一定量的某种理想气体在等压过程中对外作功为 200 J ．若此种气体V为单原子分子气体，则该过程中需吸热 500 J ；若为双原子分子气体，则需吸热 700 J.【提示】据题意200()molMA pdV p V R T J M ==⋅∆=⋅∆=⎰ 22mol i M i E R T A M ⎛⎫∆=⋅∆=⎪⎝⎭，22i Q A E A +=+∆= 对于单原子分子：3i =，所以5500()2Q A J ==；对于双原子分子：5i =，所以7700()2Q A J ==2.（基础训练14）给定的理想气体(比热容比γ为已知)，从标准状态(p 0、V 0、T 0)开始，作绝热膨胀，体积增大到三倍，膨胀后的温度T ＝01 3T γ-，压强p ＝03p γ【提示】求温度的变化，可用绝热过程方程：1100T V TVγγ--=，100013V T T T V γγ--⎛⎫==⎪⎝⎭求压强的变化，可用绝热过程方程：00p V pV γγ=，得：0003V p p p V γγ⎛⎫== ⎪⎝⎭3.（自测提高11）有ν摩尔理想气体，作如图所示的循环过程acba ，其中acb 为半圆弧，b -a 为等压线，p c =2p a ．令气体进行a -b 的等压过程时吸热Q ab ，则在此循环过程中气体净吸热量Q ＜ Q ab ． (填入：＞，＜或＝) 【提示】a-b 过程：2ab i Q A E S R T ν=+∆=+∆矩形而acba 循环过程的净吸热量Q A S '==半圆，∵p c =2p a ，由图可知：S S >矩形半圆，且0T ∆>，0E ∆>，所以 ab Q Q >4.（自测提高12）如图所示，绝热过程AB 、CD ，等温过程DEA ，和任意过程BEC ，组成一循环过程．若图中ECD 所包围的面积为70 J ，EAB 所包围的面积为30 J ，DEA 过程中系统放热100 J ，则：(1) 整个循环过程(ABCDEA )系统对外作功为40J ．(2) BEC 过程中系统从外界吸热为 140J .【提示】(1) 整个循环过程(ABCDEA )系统对外作功为()307040J EABE ECDE A A A =+=-+=逆循（正循）（）环环；（2）ABCDEA AB BEC CD DEA Q Q Q Q Q =+++00(100)BEC Q =+++-，Vp abp同时40()ABCDEA Q A J ==， 140()BECQ J ∴=5.（自测提高13）如图示，温度为T 0，2 T 0，3 T 0三条等温线与两条绝热线围成三个卡诺循环：(1) abcda ，(2) dcefd ，(3) abefa ，其效率分别为η1：33.3% ，η2： 50% ，η3：66.7%【提示】由121T T -=η （1T 对应高温热源的温度，2T 对应低温热源的温度），得：010211133cd ab T T T T η=-=-=，02011122ef cdT T T T η=-=-=，03021133ef abT T T T η=-=-=6.（自测提高15）1 mol 的单原子理想气体，从状态I (p 1,V 1)变化至状态II (p 2,V 2)，如图所示，则此过程气体对外作的功为12211() 2p p V V +-（），吸收的热量为1221221113()() 22p p V V p V p V +-+-（）【提示】①气体对外作的功 = 过程曲线下的梯形面积；②由热力学第一定律，得 21()2i Q A E A R T T ν=+∆=+-，其中3i =，1mol ν=，212211()R T T p V p V ν-=-，1221221113(()()22Q p p V V p V p V ∴=+-+-）三．计算题1.（基础训练18）温度为25℃、压强为1 atm 的1 mol 刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍．(1) 计算这个过程中气体对外所作的功． (2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？解：（1）等温膨胀：127325298T K =+=，213V V =，1mol ν=211ln 2720()V A RT J V ν∴==（2）绝热过程：21()2i A E R T T ν=-∆=--，其中5i =，1mol ν=，2T 可由绝热过程方pOV3T 02TT 0fa db c e,V 2)程求得：112211T V TV γγ--=，111211211923V T T T K V γγ--⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，518.31(192298)2202()2A J ∴=-⨯⨯⨯-=2、（基础训练19）一定量的单原子分子理想气体，从初态A 出发，沿如图所示直线过程变到另一状态B ，又经过等容、等压两过程回到状态A ．(1) 求A →B ，B →C ，C →A 各过程中系统对外所作的功W ，内能的增量∆E 以及所吸收的热量Q ．(2) 整个循环过程中系统对外所作的总功以及从外界吸收的总热量(过程吸热的代数和)．解：3i =，(1) A B →：11()()2002B A B A A p p V V J =+-= 13()()75022B A B B A A i E R T T p V p V J ν∆=-=-=111950Q A E J =+∆=C B →：20A =23()()60022C B C C B B i E R T T p V p V J ν∆=-=-=-222600Q A E J =+∆=-A C →：3()100A A C A p V V J =-=-33()()15022A C A A C C i E R T T p V p V J ν∆=-=-=-333250Q A E J =+∆=-(2) 123100A A A A J =++=J Q Q Q Q 100321=++=3.（基础训练22）一定量的理想气体经历如图所示的循环过程，A →B 和C →D 是等压过程，B →C 和D →A 是绝热过程．已知：T C ＝300 K ，T B ＝400 K ．试求：此循环的效率．解： 211Q Q η=-)(1A B P T T C Q -=ν, 2()P C D Q C T T ν=-21(1/)(1/)C D CD C B A B A B Q T T T T T Q T T T T T --==--根据绝热过程方程得到：γγγγ----=D D A A T p T p 11， γγγγ----=C C B B T p T p 11而 B A p p = ， D C p p = 所以有 C D B A T T T T //= ，21CBQ T Q T =ABCD OVp1 2 3 1 2OV (10-33) 5 A BC故 %251112=-=-=BC T T Q Q η （此题不能直接由BCT T -=1η 式得出，因为不是卡诺循环。