指数与指数函数

§2.7 指数与指数函数考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理 1．根式(1)一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. (2)式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 正数的负分数指数幂：m n a－＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈Q )． 4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R .(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R值域 (0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)4(－4)4＝－4.( × )(2)2a ·2b ＝2ab .( × )(3)函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x－1的值域是(0，＋∞)．( × ) (4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) 教材改编题1．已知函数y ＝a ·2x 和y ＝2x＋b都是指数函数，则a ＋b 等于( )A ．不确定B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 由函数y ＝a ·2x 是指数函数，得a ＝1， 由y ＝2x ＋b 是指数函数，得b ＝0，所以a ＋b ＝1.2．计算：()(222327130π－－＋－－________.答案 1 解析 原式＝2333⎛⎪⨯⎫⎝⎭－＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.3．若指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a ＝________.答案 2或12解析 若a >1，则f (x )max ＝f (1)＝a ＝2；若0<a <1，则f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝2，得a ＝12.题型一 指数幂的运算 例1 计算： (1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93； (2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅(a >0，b >0)．解 (1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93 ＝1＋2233222710938⎛⎫⎛⎫⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1＋⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫322－10＋33 ＝1＋1－10＋27＝19.(2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅＝331322223322240.1a b a b--⋅⨯⨯＝2×1100×8＝425.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1 计算： (1)933713332÷·aa a a -- ；(2)()13633470.001+16+238-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭.解 (1)因为a －3有意义，所以a >0，所以原式＝7139333322a a a a --⋅÷⋅＝3a 3÷a 2＝a ÷a ＝1.(2)原式＝()()61113343234101+2+23-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭－＝10－1＋8＋23·32＝89. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)(多选)已知非零实数a ，b 满足3a ＝2b ，则下列不等关系中正确的是( ) A ．a <bB ．若a <0，则b <a <0C ．|a |<|b |D ．若0<a <log 32，则a b <b a 答案 BCD 解析 如图，由指数函数的图象可知，0<a <b 或者b <a <0，所以A 错误，B ，C 正确； D 选项中，0<a <log 32⇒0<a <b <1，则有a b <a a <b a ，所以D 正确．(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1B．0<a<1C．b>0D．b<0答案BD解析由函数f(x)＝a x－b的图象可知，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x)＝a x－b的图象是由y＝a x的图象向左平移所得，如图，∴－b>0，∴b<0，故D正确．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式大小例3设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则()A ．b <c <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．b <a <c答案 D解析 b ＝2－0.4<20＝1，c ＝90.4＝30.8>30.7＝a >30＝1， 所以b <a <c .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 (2023·青岛模拟)已知y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0) C ．(0,1)∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 ∵y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴1≤4x －3·2x ＋3≤7. ∴－1≤2x ≤1或2≤2x ≤4. ∴x ≤0或1≤x ≤2.命题点3 指数函数性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝8x ＋a ·2x a ·4x (a 为常数，且a ≠0，a ∈R )，且f (x )是奇函数．(1)求a 的值；(2)若∀x ∈[1,2], 都有f (2x )－mf (x )≥0成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝1a ×2x ＋12x ，因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以1a ×12x ＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫1a ×2x ＋12x ， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫2x ＋12x ＝0， 即1a ＋1＝0，解得a ＝－1. (2)因为f (x )＝12x －2x ，x ∈[1,2]，所以122x －22x ≥m ⎝⎛⎭⎫12x －2x ，所以m ≥12x ＋2x ，x ∈[1,2]，令t ＝2x ，t ∈[2,4]，由于y ＝t ＋1t 在[2,4]上单调递增，所以m ≥4＋14＝174.思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3 (1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的有( )A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的值域为(－1,1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案 AC解析 对于A 中，由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，函数f (x )的图象关于原点对称，故选项A 正确，选项B 错误；对于C 中，设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋yy －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1,1)，所以C 正确；对于D 中，对∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，可得函数f (x )为减函数，而f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．(2)已知函数f (x )＝24313ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋，若f (x )有最大值3，则a 的值为________．答案 1解析 令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )， ∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，则⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1.课时精练1．若m ＝5(π－3)5，n ＝4(π－4)4，则m ＋n 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．1 D ．7 答案 C解析 m ＋n ＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.2．已知指数函数f (x )＝(2a 2－5a ＋3)a x 在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析 由题意得2a 2－5a ＋3＝1，∴2a 2－5a ＋2＝0，∴a ＝2或a ＝12.当a ＝2时，f (x )＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当a ＝12时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意． ∴a ＝2.3．函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 当a >1时，0<1a <1，函数y ＝a x 的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x 的图象向下平移1a个单位长度可得，故A ，B 错误；当0<a <1时，1a >1，函数y ＝a x 的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度可得，故D 正确，C 错误．4．已知1122x x－＋＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27 答案 B 解析 因为1122x x－＋＝5，所以21122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝52，即x ＋x －1＋2＝25，所以x ＋x －1＝23，所以x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝23.5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，实数a ，b 满足f (a )＝f (b )(a <b )，则( ) A ．2a ＋2b >2B ．∃a ，b ∈R ，使得0<a ＋b <1C ．2a ＋2b ＝2D ．a ＋b <0 答案 CD解析 画出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．由图知1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2，故A 错，C 对． 由基本不等式可得2＝2a ＋2b >22a ·2b ＝22a ＋b ，所以2a ＋b <1，则a ＋b <0，故B 错，D 对．6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a >1，函数y ＝(a －1)x －1＋1的图象必过定点A (m ，n )，f (x )＝⎝⎛⎭⎫n m x 的定义域为[0,2]，g (x )＝f (2x )＋f (x )，则g (x )的值域为( ) A ．(0,6] B ．(0,20] C ．[2,6] D ．[2,20]答案 C解析 令x －1＝0得x ＝1，y ＝2，即函数图象必过定点(1,2)， 所以m ＝1，n ＝2，f (x )＝⎝⎛⎭⎫n m x＝2x，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤2x ≤2，解得x ∈[0,1]，g (x )＝f (2x )＋f (x )＝22x ＋2x ，令t ＝2x ， 则y ＝t 2＋t ，t ∈[1,2]， 所以g (x )的值域为[2,6]． 7．计算化简： (1)()1123232770.02721259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝________；(2)2312a ---⎛÷＝________.答案 (1)0.09 (2)1566a b -解析 (1)112323277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.232a --÷＝2211333212113332a bb a a ba b ---⨯＝2112112132332333·ab＋－－－－－＝1566.a b －8．已知函数f (x )＝3x ＋1－4x －5，则不等式f (x )<0的解集是________． 答案 (－1,1)解析 因为函数f (x )＝3x ＋1－4x －5， 所以不等式f (x )<0即为3x ＋1<4x ＋5，在同一平面直角坐标系中作出y ＝3x ＋1，y ＝4x ＋5的图象，如图所示，因为y ＝3x ＋1，y ＝4x ＋5的图象都经过A (1,9)，B (－1,1)，所以f (x )<0，即y ＝3x ＋1的图象在y ＝4x ＋5图象的下方，所以由图象知，不等式f (x )<0的解集是(－1,1)．9．已知定义域为R 的函数f (x )＝a x －(k －1)a －x (a >0，且a ≠1)是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若f (1)<0，判断函数f (x )的单调性，若f (m 2－2)＋f (m )>0，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，∴k ＝2，经检验k ＝2符合题意，∴k ＝2.(2)f (x )＝a x －a －x (a >0，且a ≠1)，∵f (1)<0，∴a －1a<0，又a >0，且a ≠1， ∴0<a <1，从而y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x 在R 上单调递增，故由单调性的性质可判断f (x )＝a x －a －x 在R 上单调递减，不等式f (m 2－2)＋f (m )>0可化为f (m 2－2)>f (－m )，∴m 2－2<－m ，即m 2＋m －2<0，解得－2<m <1，∴实数m 的取值范围是(－2,1)．10．(2023·武汉模拟)函数f (x )＝a 2x ＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a 的值．解 由f (x )＝a 2x ＋a x ＋1，令a x ＝t ，则t >0，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 其对称轴为t ＝－12. 该二次函数在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上单调递增． ①若a >1，由x ∈[－1,1]，得t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋a ＋1＝13，解得a ＝3或a ＝－4(舍去)．②若0<a <1，由x ∈[－1,1]，可得t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 故当t ＝1a，即x ＝－1时， y max ＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a ＋1＝13.解得a ＝13或a ＝－14(舍去)． 综上可得，a ＝3或13.11．(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0,2)答案 ABD解析 ∵函数f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |＋b 的图象过原点， ∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |－a ，且f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－2·⎝⎛⎭⎫12|x |＋2，故A 正确； 由于f (x )为偶函数，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于在(－∞，0)上，f (x )＝2－2·2x 单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；∵⎝⎛⎭⎫12|x |∈(0,1]，∴f (x )＝－2·⎝⎛⎭⎫12|x |＋2∈[0,2)，故D 正确． 12．(2022·长沙模拟)若e x －e y ＝e ，x ，y ∈R ，则2x －y 的最小值为________．答案 1＋2ln 2解析 依题意，e x ＝e y ＋e ，e y >0，则e 2x －y ＝e 2x e y ＝(e y ＋e )2e y ＝e y ＋e 2e y ＋2e ≥2e y·e 2e y ＋2e ＝4e ， 当且仅当e y＝e 2e y ，即y ＝1时取“＝”， 此时，(2x －y )min ＝1＋2ln 2，所以当x ＝1＋ln 2，y ＝1时，2x －y 取最小值1＋2ln 2.13．(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系为( )A ．f (c x )≥f (b x )B ．f (c x )≤f (b x )C ．f (c x )>f (b x )D ．f (c x )＝f (b x )答案 A解析 根据题意，函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，则有b 2＝1，即b ＝2， 又由f (0)＝3，得c ＝3，所以b x ＝2x ，c x ＝3x ，若x <0，则有c x <b x <1，而f (x )在(－∞，1)上单调递减，此时有f (b x )<f (c x )，若x ＝0，则有c x ＝b x ＝1，此时有f (b x )＝f (c x )，若x >0，则有1<b x <c x ，而f (x )在(1，＋∞)上单调递增，此时有f (b x )<f (c x )，综上可得f (b x )≤f (c x )．14．(2023·宁波模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－23，0 解析 ∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝－03x －m ＋1，∴2m ＝－03x -－03x ＋2，构造函数y ＝－03x -－03x＋2， x 0∈[－1,1]， 令t ＝03x ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，3，则y ＝－1t－t ＋2＝2－⎝⎛⎭⎫t ＋1t 在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递增， 在(1,3]上单调递减，∴当t ＝1时，函数取得最大值0，当t ＝13或t ＝3时， 函数取得最小值－43，∴y ∈⎣⎡⎦⎤－43，0， 又∵m ≠0，∴－43≤2m <0， ∴－23≤m <0.。