指数与指数函数A

指数与指数函数学完本节你可以：1、了解指函数模型的实际背景．2、理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3、理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，并运用指数函数的性质解题． 知识点总结： 根与幂的运算 1．根式(1)n 次方根的定义：若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈N ＋，式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)n 次方根的性质：①一个数a 的奇次方根只有一个，即na (n 为奇数，a ∈R)．②一个正数a 的偶次方根有两个，即±na (n 为非零偶数)，0的偶次方根为0，负数没有偶次方根． (3)两个重要公式①n a n ＝ (n 为偶数)；②(na )n＝ a (n ＞1，且n ∈N ＋)(注意a 必须使na 有意义)． (4)有理指数幂的运算性质①a r a s＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)； ②(a r )s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r ＝ (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． ④pa-= （0a ≠）= （0,0m n >>） ⑥nma = （0,0m n >>） (5)无理指数幂一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算法则同(),0,,0a a a n a a a ⎧⎪⎪≥⎧⎨⎪=⎨⎪-<⎪⎪⎩⎩为奇数样适用于无理指数幂．指数函数的图象和性质注：1．指数函数图象的三个关键点画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，(－1，1a)．2．不同底指数函数的比较． 在第一象限图象从下至上底数依次变大． 考点分析：考点一 指数式的化简与求值例1. 计算下列各式（式中字母都是正数）211511336622(1)(2)(6)(3);a b a b a b -÷- 31884(2)().m n解析：2115211115110336632623622(1)(2)(6)(3)[2(6)(3)]44a b a b a b a bab a ++++-÷-=⨯-÷-==331128833388443(2)()()()m m n m n m n n--==•=【答案】（1）4a （2）23m n变式训练1（1）计算下列各式：⑴⑵111344213243(,0)6a a b a b a b ---⎛⎫- ⎪⎝⎭>-． 解析：⑴ 5=；⑵ 111344111121442333213243226a a b a b ab a b -⎛⎫⎛⎫+----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫- ⎪⎝⎭==-． （2）写出使下列等式成立的x 的取值范围5)5()25)(5(2+-=--x x x x解析： ∵22(5)(25)(5)(5)55x x x x x x --=-+=-+∴55(5)5x x x x -+=-+成立的充要条件是 50x +=或5055x x x +>⎧⎨-=-⎩，即5x =-或550x x >-⎧⎨-≤⎩ ∴x 的取值范围是[]55-，【答案】 []55-，考点二 指数函数的图像性质例2. 如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数xy a =的图象，而12,,3,2a π⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________． 【答案】22 12π 3 【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C 2的底数＜C 1的底数＜C 4的底数＜C 3的底数． 变式训练2（1）设()|31|xf x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是（ ）A ．33c b <B ．33c b >C ．332c a +>D ．332c a+< 【答案】D（2）为了得到函数935xy =⨯+的图象，可以把函数3xy =的图象( )A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 【答案】C【解析】注意先将函数935xy =⨯+转化为235x y +=+，再利用图象的平移规律进行判断．∵293535xx y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935xy =⨯+的图象，故选C ． 考点三 利用指数函数解不等式及比较大小 例3（1）判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2(4)23(0,1)a a a a >≠与 【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。

【答案】（1）1.8a<1.8a+1（2）2-24311()<()<333 （3） 2.50 2.51()<(2.5)<22（4）当a>1时，23a a <，当0<a<1时，23a a >【解析】(1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x为单调增函数，又因为a<a+1，所以1.8a <1.8a+1.(2)因为44133-⎛⎫= ⎪⎝⎭，又13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以-42-23111()<()<333⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2-24311()<()<333． (3)因为 2.521>， 2.5112⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以 2.50 2.51()<(2.5)<22(4)当a>1时，23a a <，当0<a<1时，23a a >．例3（2）如果215x x aa +-≤（0a >，且1a ≠），求x 的取值范围．【答案】当01a <<时，6x ≥-；当1a >时，6x ≤- 【解析】（1）当01a <<时，由于215x x aa +-≤，215x x ∴+≥-，解得6x ≥-．（2）当1a >时，由于215x x aa +-≤，215x x ∴+≤-，解得6x ≤-．综上所述，x 的取值范围是：当01a <<时，6x ≥-；当1a >时，6x ≤-．变式训练3（1）利用函数的性质比较122，133，166【答案】133>122>166 【解析】122=31136662(2)8== 12112366633(3)9=== 作出8,9,6xxxy y y ===的图象知 986xxxy y y =>=>=所以133>122>166（2）比较1.5-0.2， 1.30.7， 132()3的大小.【答案】7.02.0313.15.1)32(<<- 【解析】先比较31512.02.0)32()32()23(5.1与==--的大小.由于底数32∈(0，1)， ∴ x y )32(=在R 上是减函数，∵ 05131>>， ∴ 1)32()32()32(005131=<<<，再考虑指数函数y=1.3x， 由于 1.3>1， 所以y=1.3x在R 上为增函数 1.30.7>1.30=1， ∴7.02.0313.15.1)32(<<-. 考点四 指数函数的综合应用 例4（1）求函数2323x x y -+-=的单调区间及值域.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域.设u=-x 2+3x-2， y=3u，其中y=3u为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323xx y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x 2+3x-22311()244x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].例4（2）设a 是实数，()221x f x a =-+ (x ∈R) (1)试证明对于任意()af x 为增函数； (2)试确定a 值，使()f x 为奇函数.解析：(1)设1212x x R x x ∈<，，且 则()()1212222121x x f x f x a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ =12212212+-+x x=)12)(12()22(22121++-x x x x 由于指数函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <,所以2122x x <即12220x x -<又由20x >得1210x +>，2210x +> 所以()()120f x f x -< 即()()12f x f x <因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f (x )为增函数. (2)若f (x )为奇函数，则()()f x f x -=-即22()2121x x a a --=--++ 变形得:2222(21)221x x x x a -⋅=++⋅+=12)12(2++xx 解得1a =所以当1a =时，()f x 为奇函数.变式训练4（1） 已知函数2()()1x x af x a a a -=--，其中0a >，1a ≠． ⑴判断函数()f x 的奇偶性；⑵判断函数()f x 的单调性，并证明．解析：2()()()1x x af x a a f x a --=-=--，∴()f x 为奇函数 ⑵法一：若1a >，则210a ->，有201aa >-，又101a <<，且1()x x a a -=，∴x a -单调递减 ，∴x a --单调递增 ∵x a 单调递增，∴x x a a --单调递增，由201a a >-可知2()1x x aa a a ---单调递增若01a <<，则210a -<，有201aa <-，又11a>，且1()x x a a -=，∴x a -单调递增，∴x a --单调递减 ∴x a 单调递减，∴x x a a --单调递减，由201a a <-可知2()1x x aa a a ---单调递增综上，不论01a << 还是1a >，()f x 在R 上为增函数． 法二：设12x x <，则2211212()()()1x x x x af x f x a a a a a ---=--+-若1a >，有210x x a a ->，120x x a a --->，且210a ->， ∴21()()f x f x >，∴()f x 为增函数若01a <<，有210x x a a -<，120x x a a ---<，且210a -<， ∴21()()f x f x >，∴()f x 为增函数【答案】增函数（2） 已知函数()x f x b a =(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B(3,24).(1)求()f x ；(2)若不等式1123xxm ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()1x ∈-∞，时恒成立，求实数m 的取值范围.解析：把A (1,6)，B(3,24)代入()x f x b a =，得3624.abb a =⎧⎨=⋅⎩ 结合2003a a a b =⎧>≠⎨=⎩且，解得： ∴()32x f x =.(2)要使1123xxm ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数1123xxy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可.∵函数1123xx y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(－∞，1]上为减函数，∴当1x =时，1123x xy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有最小值56.∴只需56m ≤即可. 【答案】56m ≤家庭作业1.下列个函数中，是指数函数的是（ ）A.(3)x y =-B.3x y =-C. 13x y -= D. 3xy =解析： D 根据指数函数的概念判断。