1.指数与指数函数
指数与指数函数知识点
指数与指数函数知识点数学中的指数与指数函数是非常重要且常见的概念。
在我们的日常生活中，指数和指数函数可以用来描述各种自然现象、科学问题以及经济趋势等。
本文将详细介绍指数与指数函数的定义、性质以及一些常见应用，以加深读者对这一概念的理解。
一、指数的定义和性质在数学中，指数是一种表示幂次方的数学运算。
指数是由两个数构成，其中一个为底数，另一个为指数。
底数表示要进行幂运算的数字，指数表示底数要乘以自身多少次。
例如，2的3次方即为2的指数为3的结果，即2x2x2=8。
指数函数是指数的一种特殊形式，即以常数为底数的幂函数。
指数函数的一般形式为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是指数函数的值。
指数函数的图像通常具有特定的特征，例如，当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。
指数有一些基本的性质。
首先，任何数的0次方都等于1，即a^0=1。
其次，任何非零数的负指数都是倒数，即a^(-n)=1/(a^n)。
此外，指数相乘等于底数不变指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
二、指数函数的应用指数函数在各个领域都有广泛的应用。
以下是指数函数在生活和科学中的一些常见应用：1. 经济增长：经济学家常常使用指数函数来描述一个国家或地区的经济增长趋势。
经济增长往往呈现指数增长的形式，即以固定的增长率逐渐增加。
指数函数可以帮助经济学家预测未来的经济趋势和制定相应的政策。
2. 生物衰变：在生物学的研究中，指数函数可以用来描述物种的衰变过程。
例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数进行建模。
指数函数的形式可以提供准确地描述和计算物种在特定时间内的衰减情况。
3. 自然增长：人口学家使用指数函数来研究人口的自然增长过程。
指数函数可以帮助人口学家了解一个地区的人口趋势和人口变化的因素，为政府提供人口规划和政策制定方面的参考。
4. 电子电路：在电子学中，指数函数可以用来描述电路中的电流和电压变化。
指数与指数函数知识点
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载指数与指数函数知识点地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容指数函数（一）整数指数幂1．整数指数幂概念：2．整数指数幂的运算性质：（1）（2）（3）其中，．3．的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，即：若，则叫做的次方根，例如：27的3次方根，的3次方根，32的5次方根，的5次方根．说明：①若是奇数，则的次方根记作；若则，若则；②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根）③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；④ ∴；⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。
∴．．4．的次方根的性质一般地，若是奇数，则；若是偶数，则．（二）分数指数幂1．分数指数幂：即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，例如：若，则，，∴ ．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；（2）正数的负分数指数幂的意义是．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：1．1 实数指数幂及其运算(一)(一)选择题1．下列正确的是( )A．a0＝1 B． C．10－1＝0.1 D．2．的值为( )A．±2B．2 C．－2 D．43．的值为( )A．B．C．D．4．化简的结果是( )A．a B．C．a2 D．a35．把下列根式化成分数指数幂的形式(其中a，b＞0)（1）______；（2）=______；6．______．7．化简______．8．=______(三)解答题9．计算10．计算1．2 实数指数幂及其运算(二)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1．下列说法正确的是(n∈N*)( )A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0 D．是无理数2．函数的定义域为( )A．R B．[0，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，1] 3．可以简化为( )A．B．C．D．4．化简的结果是( )A．B．x2 C．x3 D．x4(二)填空题5．________，________________________．6．________．7．计算________．8．若a＋a－1＝3，则a2＋a－2＝______．10．若求的值．1.3 指数函数(一)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是( ) A．5 B．9 C．6 D．82．下列函数中为指数函数的是( )A．y＝2·3x B．y＝－3x C．y＝3－x D．y＝1x3．若0.2m＝3，则( )A．m＞0 B．m＜0 C．m＝0 D．以上答案都不对4．函数f(x)＝ax＋1(其中a＞0且a≠1)的图象一定经过点( )A．(0，1) B．(0，2) C．(0，3) D．(1，3)(二)填空题5．若函数f(x)是指数函数且f(3)＝8，则f(x)＝______．6．函数的定义域为______，值域为______．7．函数y＝2x－1的图象一定不经过第______象限；若函数的图象不经过第一象限，则实数b的取值范围是______．8．若2m＞4，则m的取值范围是______；若(0.1)t＞1，则t的取值范围是______．9．指数函数y＝(a2－1)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是______．(三)解答题10．根据函数f(x)＝2x的图象，画出下列函数的草图．(1)y＝－2x (2)y＝－2x＋1 (3)y＝2｜x｜11．求函数的定义域和值域．12．已知a＞0且a≠1，函数f1(x)＝，f2(x)＝，若f1(x)＜f2(x)，求x 的取值范围．1.4 指数函数(二)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．若，则x的取值范围是( )A．(－∞，－3] B．(－∞，－3) C．[－3，＋∞)D．R2．已知三个数M＝0.32－0.32，P＝0.32－3.2，Q＝3.2－0.32，则它们的大小顺序是( )A．M＜P＜Q B．Q＜M＜P C．P＜Q＜M D．P＜M＜Q3．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与0和1的大小关系是( )A．0＜a＜b＜1＜c＜d B．0＜b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d D．0＜a＜b＜1＜d＜c4．函数y＝2x－2－x( )A．在R上减函数B．在R上是增函数C．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数D．无法判断其单调性(二)填空题5．函数y＝3x＋1－2的图象是由函数y＝3x的图象沿x轴向______平移______个单位，再沿y轴向______平移______个单位得到的．6．函数f(x)＝3x＋5的值域是______．7．函数y＝ax－1＋1(其中a＞0且a≠1)的图象必经过点______．8．若指数函数y＝ax在区间[0，1]上的最大值和最小值的差为，则底数a ＝______．9．函数g(x)＝x2－x的单调增区间是______，函数y＝的单调增区间是______．(三)解答题10．函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x－1，求x＜0时函数的解析式．11．若关于x的方程｜2x－1｜＝a有两个解，借助图象求a的取值范围．12．已知函数f(x)＝22x－2x＋1－3，其中x∈[0，1]，求f(x)的值域．您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
第7讲 指数与指数函数
第7讲指数与指数函数知识整合【基础知识】1．指数的运算性质(1)aαaβ＝aα＋β(2)(aα)β＝aαβ(3)(ab)α＝aαbβ(a＞0，b＞0，α∈Q，β∈Q)2．指数函数y＝a x在底数a>1及0<a<1两种情况下的图象和性质如下表所示：a>10<a<1图象性质(1)定义域R.(2)值域(0，＋∞)．(3)过定点(0,1)．(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数3.指数函数图象规律：当a>1时，底数越大，在(0，＋∞)内图象越靠近y轴．当0<a<1时，底数越小，在(－∞，0)内图象越靠近y轴．【基础自测】1.2，32，54，88，916从小到大的排列顺序是__________．2．化简810＋41084＋411的值等于__________．3．函数y＝a x－2＋1(a＞0，且a≠1)的图象必经过点________．4．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．重难点突破考点1指数幂的运算难点释疑1．利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程．2．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．例1：已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，且a<b.求：(1)3a72a－3÷3a－8·3a15；(2)a －1＋b －1(ab )－1； (3)(a －b )÷(a 13－b 13)－(a ＋b )÷(a 13＋b 13)． 【解】【点评】 注意利用根式与有理指数幂互化为化简计算带来的方便．求下列各式的值：(1)(3－x )2＝__________.(2)9－32＝__________. (3)(181)－34＝__________. (4)(3a )2·ab 3＝__________.(5)若a ＋a －1＝3，则a 12－a －12＝__________. 考点2 指数函数的图象与性质难点释疑1．指数函数的定义重在“形式”，像y ＝2·3x ，y ＝21x，y ＝3x ＋2，y ＝3x ＋1等函数都不符合形式y ＝a x (a >0，a ≠1)，因此，它们都不是指数函数．2．在指数函数的解析式中，必须规定a >0，且a ≠1.3．在有关指数函数的单调性时需对底数进行分类讨论．例2：若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.【解】举一反三【点评】 本题考查了指数函数的相关性质，注意对指数函数的底数进行分类讨论是解题的关键，通过对底数的讨论确定函数的单调性，进而求解．举一反三：指数函数y ＝f (x )的图象经过点(－2，4)，则f (－3)＝________.课堂 训练1．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)得________．2．(13江苏模拟)设x ∈R ，f (x )＝(12)|x |，若不等式f (x )＋f (2x )＜k ，对于任意实数x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________．3．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________． 4．已知x 满足2x 2＋x ≤(14)x －2，则函数y ＝2x －2－x 的值域是________．。
指数与指数函数知识点
指数与指数函数知识点一、指数运算的基本性质1.任何数的0次方等于12.非零数的负指数等于该数的倒数。
3.相同底数的指数之间的乘方运算，底数保持不变，指数相加。
4.相同指数的指数之间的乘方运算，指数保持不变，底数相乘。
二、指数运算的规律1.法则1：a的m次方乘以a的n次方，等于a的m加n次方。
2.法则2：a的m次方除以a的n次方，等于a的m减n次方。
3.法则3：（a的m次方）的n次方，等于a的m乘n次方。
4.法则4：a的m次方的p次方，等于a的m乘p次方。
5.法则5：零的任何正次方都是0，零的0次方没有意义，规定为1三、指数函数的定义与性质指数函数的定义为：y=a^x，其中a>0且a≠1，a为底数，x为指数。
指数函数可以看作是以底数为底，自变量为指数的函数。
指数函数的性质如下：1.底数a大于1时，指数函数是递增的，即自变量x的增大，函数值y也增大。
2.底数a介于0和1之间时，指数函数是递减的，即自变量x的增大，函数值y也减小。
3.指数函数的图象都经过点(0,1)，即当x=0时，y=14.指数函数的图象在直线x=0和y=0上均没有交点。
5.指数函数的图象没有水平渐近线，但有一条过点(0,0)的铅直渐近线。
指数函数常见的应用有：1.在金融领域中，指数函数可以用来描述货币的增长规律，例如复利计算。
2.在自然科学领域中，指数函数可以用来描述人口增长、病原体传播等现象。
3.在电路中，指数函数可以用来描述电容、电感等元件的充放电过程。
4.在计算机领域中，指数函数可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等特性。
总结：。
指数与指数函数
47 .
方法总结
指数幂运算的一般原则
1.有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.
2.先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
3.底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数.底数是带分数
的,先化成假分数.
4.若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运
为选项C.
考点三
指数函数的性质及应用
◉角度(一) 比较指数式的大小或解不等式
例3
(1)(2024·吉林白山模拟)已知 a ＝0.310.1， b ＝0.310.2， c ＝
0.320.1，则(
D )
A. a ＞ b ＞ c
B. b ＞ a ＞ c
C. c ＞ b ＞ a
D. c ＞ a ＞ b
由 y ＝0.31 x 单调递减可知0.310.1＞0.310.2，即 a ＞ b ；
即b＜a＜c.
C )
6.
2 −4
1
不等式 3
＞ 的解集为
27
−∞，1 ∪ 3，＋∞
2 −4
1
由3
＞ ＝3－3，所以 x 2－4 x ＞－3，即
27
＜1或 x ＞3.
.
− 1 − 3 ＞0，解得 x
7. 函数 y ＝
1
1
－
＋1在区间[－3，2]上的值域是
4
2
因为 x ∈[－3，2]，所以若令 t ＝
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 幂的运算
1. 指数与指数运算
指数与指数函数 (1)
函数一轮复习学案五（指数与指数函数）知识梳理一．指数的概念与分数指数幂1、根式的概念：一般地，如果一个数的n 次方等于)1(*N n n a ∈>且,那么这个数叫做a 的n 次方根。
也就是说，若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，其中*1N n n ∈>且。
式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
2、根式的性质：（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次方根用符号n a 表示。
（2）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示。
正负两个n 次方根能够合写为)0(>±a a n 。
此时，负数没有n 次方根。
（3）()a a nn=；（4）当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n（5）零的任何次方根都是零。
3、分数指数幂的意义： （1）)1,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 且，；（2）)1,,0(1≥∈>=⨯-n N n m a aanm nm ，且4、指数的运算法则： （1）),,0(Q s Q r a aa a sr sr∈∈>=⋅+；（2））（Q s Q r a a a a sr sr∈∈>=÷-,,0 （3）()),,0(Q s Q r a a a rs sr∈∈>=；（4）()),,0(Q s Q r a a a ab sr r∈∈>⋅=二．指数函数的图像和性质1、指数函数的概念：一般地，函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量， 的定义域是R 。
3、深化：（1）指数函数的定义必须符合xa y =才能够，如函数xy 32⨯=不是指数函数。
指数与指数函数
指数与指数函数指数与指数函数1.1 指数与指数幂的运算1) 根式的概念如果$x=a$，$a\in R$，$x\in R$，$n>1$，且$n\in N^+$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根。
当$n$是奇数时，$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
当$n$是偶数时，正数$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
负数$a$没有$n$次方根。
式子$n\sqrt{a}$叫做根式，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数。
当$n$为奇数时，$a$为任意实数；当$n$为偶数时，$a\geq0$。
根式的性质：$(n\sqrt{a})^n=a$；当$n$为奇数时，$n\sqrt{a^n}=a$；当$n$为偶数时，$n\sqrt{a^2}=|a|$，即$\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}$。
2) 分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$。
正数的负分数指数幂的意义是：$a^{-m/n}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。
正分数$a^{1/m}=\sqrt[m]{a}$，负分数指数幂没有意义。
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。
3) 分数指数幂的运算性质a^r\cdot a^s=a^{r+s}$（$a>0,r,s\in R$）。
a^r)^s=a^{rs}$（$a>0,r,s\in R$）。
ab)^r=a^rb^r$（$a>0,b>0,r\in R$）。
例题精讲例1】求下列各式的值：1) $n(3-\pi)$（$n>1$，且$n\in N^+$）；2) $(x-y)^2$。
1) 当$n$为奇数时，$n\sqrt{3-\pi}=|\sqrt{3-\pi}|=\sqrt{3-\pi}$。
高考数学专题：指数与指数函数
高考数学专题:指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.知 识 梳 理1.根式(1)概念:式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质:(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质:a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质(1)概念:函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质R1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)4（－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( ) (4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )解析 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错. (2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴a x2＋1≥a .故y ＝a x2＋1(a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A.－9B.7C.－10D.9解析 原式＝(26)12－1＝8－1＝7. 答案 B3.函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D.答案 D4.（·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.b <c <a解析 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 答案 C5.指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 解析 由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案 (1，2)考点一 指数幂的运算【例1】 化简:(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解 (1)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意:①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简求值:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5.解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . 考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称， 又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]， 因此排除B 、C 、D ，只有A 满足.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知:如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案 (1)A (2)[－1，1]规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【训练2】 (1)（·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________.解析 (1)因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1. 则f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x >0，图象A 满足.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 (1)A (2)1考点三 指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62 C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值. (1)解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 B(2)解 ①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是:①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 【训练3】 (1)（·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <cB.c <a <bC.a <c <bD.c <b <a(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是________.解析 (1)由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0， 所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)， 故b ＞a ＞c ，选B.(2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27； 当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27]. 答案 (1)B (2)(－∞，27][思想方法]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论. [易错防范]1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.（·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A.c <a <bB.c <b <aC.a <b <cD.a <c <b解析 当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a <b .答案 A2.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a >1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0解析 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D3.（·德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <c <a解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在R 上为减函数，35>25，∴b <c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D4.（·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A.1 B.a C.2D.a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝a x 1·a x 2＝a x 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 A5.（·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 27.（·江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________. 解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1<x <2}8.（·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________. 解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ， 因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 三、解答题9.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1). (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立.解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ). ∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x －1）>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1. 因此a >1时，f (x )>0.10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0， 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13， 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组(建议用时:20分钟)11.若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞) 解析 因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1， 所以a >－1.答案 D12.（·宜宾诊断检测)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解析 ∵x ∈(0，4)，∴x ＋1>1，∴f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号.∴a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确.答案 A13.（·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析 依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x . 答案 －2x (x <0)14.（·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数).(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数.又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三学堂学科教师辅导教案
2．有理数指数幂
a>10<a<1
R
做一做
1．(2015·东北三校联考)函数f (x )＝a x －
1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )
A ．y ＝1－x
B ．y ＝|x －2|
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝log 2(2x )
2．(2014·高考陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．
3．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．
三、例题解析
考点一 指数幂的运算
化简下列各式：
(1)0.027－
1
3－2)71(-＋21
)9
7
2(－(2－1)0；
(2))6
5(231
-b a ·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)1
2·ab .
[规律方法] 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
1.化简下列各式：
(1)(0.027)2
3
＋3
1
)125
27(
-－5.0)972(； (2)(2a 23b 1
2)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56
)．
考点二 指数函数的图象及应用
(1)函数y ＝a x －1
a
(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )
(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．
[规律方法] 指数函数图象由其底数确定，在底数不确定时要根据其取值范围进行分类讨论．从甲函数图象通过变换得到乙函数的图象，通过顺次的逆变换，即可把乙函数的图象变换为甲函数的图象．
2．(1)函数f (x )＝a x －b
的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A ．a >1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0<a <1，b >0
D ．0<a <1，b <0
(2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2(e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________．
考点三 指数函数的性质及应用(高频考点)
指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现，高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：
(1)比较幂值的大小； (2)解简单指数不等式； (3)研究指数型函数的性质．
(1)已知a ＝32)21(，b ＝2－
43，c ＝31
)2
1(，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <b
D ．a <b <c
(2)(2015·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )
A ．{x |x <－2或x >4}
B ．{x |x <0或x >4}
C ．{x |x <0或x >6}
D ．{x |x <－2或x >2}
(3)函数f (x )＝)
2
1
(－x
2
＋2x ＋1
的单调减区间为______.
[规律方法] 利用指数函数的性质解题策略
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．
3.(1)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．c >a >b
D ．b >c >a
(2)已知函数y ＝2－x
2
＋ax ＋1
在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．
方法思想——解决与指数函数型有关的值域问题(换元法)
函数f (x )＝)41(x －)2
1(x
＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________．
已知函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2，2]上单调递减，则m 的取值范围为________．
四、课堂总结
五、当堂检测
1．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝)10
1(x
在x ∈[0，
4]上解的个数是()
2．已知f (x )＝3x －
b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )
A ．[9，81]
B ．[3，9]
C ．[1，9]
D ．[1，＋∞)
3．(2015·浙江绍兴一中月考)函数f (x )＝a |x ＋
1|(a ＞0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)＞f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)＜f (1)
D ．不能确定
4．函数y ＝)2
1(x
＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )
5．(2015·浙江丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－2，1)
B ．(－4，3)
C ．(－1，2)
D ．(－3，4)
6．(2015·四川绵阳一诊)计算：23×31.5×612＝________．
7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )＞f (n )，则m 、n 的大小关系为________．
8．已知函数f (x )＝a 2x －
4＋n (a >0且a ≠1)的图象恒过定点P (m ，2)，则m ＋n ＝________．
9．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝)2
1
(2x －x
2
；(2)y ＝
32x －
1－19
.
10．已知函数f (x )＝)
3
1
(ax 2
－4x ＋3
.
(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．。