高中数学《直线与方程》练习题
高中直线方程练习题
高中直线方程练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 直线方程 \( y = -3x + 2 \) 与 \( x \) 轴的交点坐标是：A. (0, -2)B. (0, 2)C. (2, 0)D. (-2, 0)2. 已知直线 \( l \) 过点 A(-1, 3) 且与直线 \( 2x - 3y + 4 = 0 \) 平行，求直线 \( l \) 的方程。
3. 若直线 \( 3x + 4y - 5 = 0 \) 与 \( x \) 轴相交于点 P，求点P 的坐标。
4. 直线方程 \( y = kx + b \) 与直线 \( y = 2x \) 平行，求斜率\( k \) 的值。
5. 直线 \( x - 2y + 5 = 0 \) 与 \( y \) 轴相交于点 Q，求点 Q 的坐标。
二、填空题（每题3分，共15分）6. 直线 \( 2x + y - 6 = 0 \) 与 \( x \) 轴相交于点 \( (3, 0) \)，求直线的斜率。
7. 若直线 \( ax + by + c = 0 \) 与 \( x \) 轴平行，求斜率\( b \) 的值。
8. 已知直线 \( 3x - 4y + 12 = 0 \) 与 \( y \) 轴相交于点 B，求点 B 的坐标。
9. 直线方程 \( y = 5x - 1 \) 与 \( x \) 轴相交于点 R，求点 R 的坐标。
10. 若直线 \( x + y - 3 = 0 \) 与 \( y \) 轴相交于点 S，求点S 的坐标。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知直线 \( l_1 \) 方程为 \( x + 2y - 4 = 0 \)，直线\( l_2 \) 方程为 \( 3x - y + 1 = 0 \)，求两直线的交点坐标。
12. 直线 \( l \) 经过点 M(1, 2) 并且与直线 \( y = 4x - 5 \) 垂直，求直线 \( l \) 的方程。
完整版高中数学直线方程练习题
高中数学直线方程练习题一．选择题（共12小题）1．已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8] B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）D．（﹣∞，∞）+）∪（2，﹣8相交，与线段AB2x﹣）+1），B（﹣2，﹣1．若直线l：y=k（32．已知点A（1，））则k的取值范围是（[，+∞）D．[﹣2，．C（﹣∞，﹣2（﹣∞，﹣A．[，+∞）B．2]]∪]（含端点）ABm=0x2），若直线l：+my+与线段（1A3．已知点（﹣1，），B2，﹣）相交，则实数m的取值范围是（﹣．D∪．B．2[，] C（﹣∞，﹣2][[﹣，+∞）+．A∪（﹣∞，][2，∞）]2，﹣相交，那1）且与线段MN，﹣过点，43）直线lP（2，14．已知M（，2）N（）k么直线l的斜率的取值范围是（﹣﹣∞，∞）[（﹣∞，﹣A．3]∪2，+] D．（，] C．[﹣32[B．]﹣，∞）+∪[，相交，MN）且与线段，，直线03N），﹣（﹣M23，（，）l过点（﹣12．已知5）则直线的取值范围是（kl的斜率．kA．或≥D．CB． 5，），P2（，（﹣1，1），若直线l过点．已知6A（﹣2P且与线B，）段AB有公共点，则直线l的倾斜角的范围是（）．B．A∪DC．．251第页（共页）始终没ABl过点P（1，1）与线段B7．已知点A（2，3），（﹣3，﹣2），若直线）有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（2k＜＞D．2＜k＜B．k＞2或kk＜CA．．且内一点，已知O为△ABC8，若B，O，D三点共线，，．）则t的值为（．CAD．B．．）0，4）两点的直线方程是（9．经过（3，0），（12=03y﹣．4x+4x3x﹣4y+12=0 C．﹣3y+12=0 DA．3x+4y﹣12=0B．），﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（10．过点（33=0+y．x+A．2x+y=0 By=0+3=0或2xx﹣y+3=0D．x+y+C．）1）且在两轴上截距相等的直线是（11．经过点M（1，y=0或x﹣C．x=1或y=1 D．x+y=2A．x+y=2B．x+y=1边上的，则BC3），且三条中线交于点G（4，1）A12．已知△ABC的顶点（2，）中点坐标为（）33）D．（6，﹣，﹣（5，0）B．（61）C．（5，﹣A．小题）4二．填空题（共．的值是y+1）+1=0，若l∥l，则实数a：ax13．已知直线l：+3y+1=0，l2x+（a2211．y=82x+（5+a）平行，则a=：xl14．直线：（3+a）+4y=5﹣3a和直线l21，ll∥，当m=时，3y：x15．设直线l：+my+6=0和l（m﹣2）x++2m=02211．l ⊥lm=时，当21互相﹣1=0+3）y++y4=0与直线（2﹣a）x（a﹣x2a16．如果直线（+5）+（a2）．垂直，则a的值等于小题）三．解答题（共11始AB，﹣11）且与线段过点2B，（﹣2，），直线lP（﹣），（．已知点17A11．的取值范围为kl终有交点，则直线的斜率第2页（共25页）18．已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；时，求的取值范围．，3]）当x∈[1（219．已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．20．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．21．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．22．已知光线经过已知直线l：3x﹣y+7=0和l：2x+y+3=0的交点M，且射到x21轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l的方程．3距离为的直线方程．）求与l（3323．已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．24．已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ 的周长最小．25．已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l；x+y+1=0和l：x+y+6=0截21得的线段之长为5，求直线l的方程．26．已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．27．已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点．第3页（共25页）ACB=，求△ABCOB上，且∠的面积；在线段（1）若点C（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知108=0经过点P84﹣，求直线l的倾斜角．++：直线Lax10y第4页（共25页）高中数学直线方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016秋?滑县期末）已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8] B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）D．（﹣∞，∞）+8）∪（2，﹣利用斜率计算公式与斜率的意义即可得出．【分析】，﹣k【解答】解：8==2，k==PBPA∵直线l与线段AB有交点，∴l的斜率的范围是k≤﹣8，或k≥2．故选：C．【点评】本题考查了斜率计算公式与斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2016秋?碑林区校级期末）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k （x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）[，+∞）D．[﹣]（﹣∞，﹣CB+∞）．（﹣∞，﹣2]．2∪2，A．，[]所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与l【分析】由直线系方程求出直线上点的斜率的最小值和最大值得答案．线段AB，2y=k【解答】解：∵直线l：（x﹣）+11），过点P（2，l1AAB连接P与线段上的点（，3）时直线的斜率最小，为．2BABP连接与线段上的点（﹣，﹣l1）时直线的斜率最大，为．k∴的取值范围是．故选：D5第25页（共页）【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．3．（2016秋?雅安期末）已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）﹣，+∞）D．[﹣C．（﹣∞，﹣2]∪A．[（﹣∞，]∪[2，+∞）B．，[2]，﹣2]【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．【解答】解：直线l：x+my+m=0经过定点P（0，﹣1），﹣=k．=k==﹣2，PBPA∵直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，≤≤﹣2∴，．∴．B故选：考查了推【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，理能力与计算能力，属于中档题．，﹣2过点），N（4，3）直线lP（?4．（2016秋庄河市校级期末）已知M（1，2）1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（]3﹣，2]﹣∞，（﹣D．[C]．B[﹣，．23A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∞），[∪+，用或k≥k ≤kk kl【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足PMPN的取值范围．的斜率kl和k直线的斜率公式求出k的值，解不等式求出直线PMPN解：如图所示：【解答】，或≤kk kk满足的斜率由题意得，所求直线lk ≥PMPN，﹣3= ，或=2 即k≥k≤∴k≥2，或k≤﹣3，故选：A．第6页（共25页）本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．【点评】过点（﹣，直线l3，0）NM（﹣2，﹣3），（迎泽区校级月考）已知5．（2013秋?）l的斜率k的取值范围是（1，2）且与线段MN相交，则直线．．5 B．CDA．或k≥求出边界直线的斜率，作出图象，由直线的倾斜角和斜率的关系可得．【分析】，），2P【解答】解：（如图象）即（﹣1，=5=由斜率公式可得PM的斜率k1，=PN直线的斜率k=2，l′xl与轴垂直（红色线）时记为当直线，5k≥PM可知当直线介于l′和之间时，，≤﹣和PN之间时，kl′当直线介于5k≥k的斜率的取值范围是：k≤﹣，或l故直线A故选257第页（共页）涉及数形结合的思想和直线的倾斜角与斜率本题考查直线的斜率公式，【点评】的关系，属中档题．，若1）（﹣1，B（2，），P（6．2004秋?南通期末）已知A（﹣2，），）l的倾斜角的范围是（有公共点，则直线直线l过点P且与线段AB．．AB∪CD．．再根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角先求出直线的斜率的取值范围，【分析】的范围求出倾斜角的具体范围．αk，直线的倾斜角为l【解答】解：设直线的斜率等于﹣==k==k﹣，或由题意知，PAPB，，tanα=kπ[0，）∈设直线的倾斜角为α，则α180°α＜≤α≤120°或150°≤由图知0°．D故选：258第页（共页）属于基直线的斜率公式的应用，【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，础题．始终没）与线段AB（1，1，﹣（﹣32），若直线l过点P27．已知点A（，3），B）l的斜率k的取值范围是（有交点，则直线2＜D．．kk＞k＜k＜2B．＞2或kC＜A．所在直线的斜率，数形结合得答案．PBPA，【分析】求出，），（1123，﹣），若直线l过点PB，解：点【解答】A（23），（﹣，PA=2的斜率是∵直线．PB=的斜率是直线如图，始终有公共点，∵直线l与线段AB．，的取值范围是（2）∴斜率k．A故选：259第页（共页）考查了数形结合的解题思想方【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，法，是基础题．，若内一点，且，O．（2017?成都模拟）已知为△ABC8）O，D三点共线，则t 的值为（B，．CDA．． B ．E，与BC相交于点E【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF的中AE为BC=2的中点．由，点，可得O=2是直线作的交点．过点O是点．根据BO与AC，B，O，D三点共线，可得点D的中点．即可得出．为ACM，则点MOM∥BC交AC于点，E BC相交于点OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与【解答】解：以OB，的中点．BCE为，∵=2，∴=2的中点．是直线AEO∴点三点共线，，D，B，O∵的交点．AC是BO与D∴点的中点．为ACMAC于点，则点MBCO过点作OM∥交=，则OM=BCEC=，，DM=MC∴第1025页（共页）AM=AC∴，AD=t=∴．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋?沙坪坝区校级期中）经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）A．3x+4y﹣12=0B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=0【分析】直接利用直线的截距式方程求解即可．所以所求直线方程为：两点，，0，4）因为直线经过（3，0），（【解答】解：．12=0+3y﹣即4x．D故选本题考查直线截距式方程的求法，考查计算能力．【点评】）且在两坐标轴上的截距相等的3，﹣6．（2016秋?平遥县校级期中）过点（10）直线的方程是（3=0y+B．x++A．2xy=0y=0或3=02x+3=0+D．x+y+xC．﹣y【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线过原点时，方程为y=﹣2x，即2x+y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可第11页（共25页）得k=﹣3，故直线方程是x+y+3=0．综上，所求的直线方程为x+y+3=0或2x+y=0，故选：D．【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．11．（2015秋?运城期中）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2B．x+y=1C．x=1或y=1 D．x+y=2或x﹣y=0【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或x﹣y=0．故选：D．【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题．12．（2013春?泗县校级月考）已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G（4，1），则BC边上的中点坐标为（）A．（5，0）B．（6，﹣1）C．（5，﹣3）D．（6，﹣3）【分析】利用三角形三条中线的交点到对边的距离等于到所对顶点的距离的一半，用向量表示即可求得结果．第12页（共25页）；【解答】解：如图所示，，1）（4，（2，3），三条中线交于点G∵△ABC的顶点A，），则=2边上的中点D（x，y设BC，）y﹣1=2（x﹣4，∴（4﹣2，1﹣3），即，解得；），0即所求的坐标为D（5．A故选：是基本题考查了利用三角形三条中线的交点性质求边的中点坐标问题，【点评】础题．小题）4二．填空题（共，若+1=01）ya，l：2x+（+1=0益阳校级模拟）已知直线13．（2015?l：ax+3y+21．的值是﹣3l∥l，则实数a21【分析】根据l∥l，列出方程a（a+1）﹣2×3=0，求出a的值，讨论a是否满21足l∥l即可．21【解答】解：∵l∥l，21∴a（a+1）﹣2×3=0，2+a﹣6=0即a，解得a=﹣3，或a=2；当a=﹣3时，l为：﹣3x+3y+1=0，1第13页（共25页）；l，满足l∥为：2x﹣2y+1=0l221，++3y1=0a=2时，l为：2x当1重合；l与l+3y+1=0，l为：2x212．的值是﹣3所以，实数a．故答案为：﹣3或者对应系数成比例的应用问题，本题考查了两条直线平行，斜率相等，【点评】是基础题目．）（+5+a（?天津校级期末）直线l：3+a）x+4y=5﹣3a和直线l：2x（14．2015秋217﹣a=y=8平行，则．【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．【解答】解：直线l：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l：2x+（5+a）y=8平行，21则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，2+8a+7=0即a．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5﹣3a≠8是本题的易错点．属于基础题．15．（2015秋?台州期末）设直线l：x+my+6=0和l：（m﹣2）x+3y+2m=0，当21m=﹣1时，l∥l，当m=时，l⊥l．2211【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l：x+my+6=0和l：（m﹣2）x+3y+2m=0，21l∥l，21∴=≠，页）25页（共14第；1解得m=﹣，2m=0x+3y+6=0和l：（m﹣2）∵直线l：x+my+21，⊥ll21，2）+3m=0∴1×（m ﹣；m=解得．，故答案为：﹣1本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意【点评】直线的位置关系的合理运用．+a）xy+4=0与直线（2﹣a2016春?信阳月考）如果直线（2a+5）x+（﹣2）16．（．a=﹣2的值等于a=2或+（a3）y﹣1=0互相垂直，则a的方程可求．a【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于）3a+）x+（a2）y+4=0为直线M；直线（2﹣）【解答】解：设直线（2a+5x+（a ﹣N为直线﹣1=0y时，直，a=2，即a﹣2=0M①当直线斜率不存在时，即直线M的倾斜角为90°互相垂直，所与直线N0°，故：直线M，即直线线N的斜率为0M的倾斜角为时两直线互相垂直．以a=2的斜率都存在时，k=（，N和k要使两直线互相垂直，=②当直线M NM．a=﹣21即让两直线的斜率相乘为﹣，故：斜率不存在时，显然两直线不垂直．③当直线N2a=﹣综上所述：a=2或2﹣故答案为：a=2或a=，应注意斜【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于﹣1率不存在的情况．小题）三．解答题（共11P）（﹣1，），B2，2，直线l过点1A?2016．17（秋兴庆区校级期末）已知点（≤﹣klAB11（﹣，﹣）且与线段始终有交点，则直线的斜率的取值范围为k页（共15第25页）．，或k≥13由题意画出图形，数形结合得答案．【分析】解：如图，【解答】，）1，﹣1），直线l过点P（﹣B∵A（1，1），（﹣2，2，又．k≥1k的取值范围为k≤﹣3，或∴直线l的斜率．k≥1故答案为：k≤﹣3，或本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．【点评】．+2y=6y满足直线l：x18．（2015春?乐清市校级期末）已知x，的坐标；的对称点P）求原点O关于直线l（1的取值范围．时，求1，3]2（）当x∈[l关于直线），根据点的对称即可求原点OP（1）设对称后的点（a，b【分析】的坐标．P的对称点）的两点的斜率2，1）根据斜率公式可知，表示的为动点（（2x，y）到定点（的取值范围．，b）的对称点P的坐标为（a，）设原点【解答】解：（1O关于直线l；，故，解得a=，b=则满足）的斜率的取值范围．，1（3]时，的几何意义为到点C2，x（2）当∈[1，y=y=，当x=3时，时，当x=1，，B（3），，（由可得A1）页（共第1625页）﹣=k从而k，===，ACBC[，∪+∴k∞）的范围为（﹣∞，﹣]【点评】本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称点的坐标的求解和斜率几何意义的灵活运用．19．（2016秋?浦东新区校级月考）已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．，|AB|＞2解：∵【解答】|AB|，==5∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，﹣xy=的方程为+b时：①当直线l平行直线ABk=，可设直线l AB b=，=2，解得：b=或依题意得：第17页（共25页）故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；﹣y=k，可设直线lAB的中点为（3的方程为，）②当直线l过线段AB中点时：（x ﹣3）k=，解得：，依题意得：=2﹣=0；x﹣2y故直线l的方程为：（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，经过AB中点的直线，若2m＜|AB|，则有2条；若2m=|AB|，则有1条；若2m＞|AB|，则有0条，∵|AB|=5，综上：当m＜2.5时，有4条直线符合题意；当m=2.5时，有3条直线符合题意；当m＞2.5时，有2条直线符合题意．【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力20．（2015秋?眉山校级期中）已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．，联立方程组，求）=0+y+m（y2）把直线方程变形得，【分析】（12x+恒过的定点．l得方程组的解即为直线，再由两点间的PQ||PM上的射影为点lM，由题意可得||≤在直线）设点（2P 的距离的最大值lP距离公式求得点到直线2518第页（共页）【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，解方程组，得Q（1，﹣2），∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，=2 的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于．∴点P到直线l【点评】本题考查了直线系方程问题，考查了点到直线的距离公式，正确理解题意是关键，是中档题．21．（2010秋?常熟市期中）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x ﹣y﹣4．（3分）得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）OA=∴﹣|..（10|k1）（﹣2）分）=|﹣=S?OA?OB=|（AOB△，0＞，∴﹣＜∵k0k第19页（共25页）（﹣）+（﹣k）]﹣]≥=[4+∴S4=[．AOB△当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）∴△AOB的面积最小值是4，（14分）直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）【点评】本题是中档题，考查直线恒过定点的知识，三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．22．（2016秋?枣阳市校级月考）已知光线经过已知直线l：3x﹣y+7=0和l：212x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l的方程．3距离为的直线方程．）求与l（33【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；（3）设出与l平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．3得，∴M（﹣21解：（，）由1）．【解答】所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．…（4分）（2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．α.﹣，所以180°α，则直线l的斜斜角为直线MN的倾斜角为3．的斜率直线l3的方程为：故反射光线所在的直线l分）．即．…（93解法二：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．所以反射光线所在的直线l的方程就是直线PN的方程．3，整理得：．直线PN 的方程为：页（共第2025页）的方程为．…l（9分）故反射光线所在的直线3，（3）设与l平行的直线为3，或b=3，根据两平行线之间的距离公式得：，解得，或．…（所以与l13分）为：3【点评】本题考查了点对称、直线对称问题，考查求直线方程，是一道中档题．23．（2015秋?嘉峪关校级期末）已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得到关于m，n的方程组，求得m、n的值，可得P′的坐标；（2）求出交点坐标，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2则由，7）．，解得：交点为，）由（2在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点为，所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题．24．（2014秋?宜秀区校级期中）已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．第21页（共25页）【分析】本题实际是求点M关于l的对称点M，点M关于y轴的对称点M，21求得直线MM的方程，21与y轴交点为Q，与直线l：x﹣2y+2=0的交点为P．【解答】解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M（5，1）．同1样容易求得点M关于y轴的对称点M（﹣3，5）．2据M及M两点可得到直线MM的方程为x+2y﹣7=0．2121，）得交点P．（，）．Q（0x=0，得到MM与y轴的交点令21解方程组x+2y﹣7=0，x﹣2y+2=0，，）即为所求．Q（（0，）、故点P【点评】本题考查直线关于直线对称的问题，三角形的几何性质，是中档题．25．（2010?广东模拟）已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l；x+y+1=01和l：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．2【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l、l联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=521可求出k的值，从而求得l的方程．法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l的夹角为θ，求1出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l、l之间的距离及l21与l夹角的关系求解．1法三：设直线l、l与l分别相交于A（x，y），B（x，y），211212则通过求出y﹣y，x﹣x的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l2112的方程．【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，第22页（共25页）此时与l、l的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），21截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．解方程组得）（．，﹣A得解方程组，﹣）．（B由|AB|=5．222．=5﹣）++）（﹣得（解之，得k=0，直线方程为y=1．综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．=之间的距离为，d=解法二：由题意，直线l、l21且直线L被平行直线l、l所截得的线段AB的长为5，21=，故θ=45°的夹角为θ，则．sinθ=与直线设直线ll 1由直线l：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，1又由直线l过点P（3，1），故直线l的方程为：x=3或y=1．解法三：设直线l与l、l分别相交A（x，y）、B（x，y），则x+y+1=0，x+y+6=0．2122211211两式相减，得（x﹣x）+（y﹣y）=5．①221122=25）．②y+（y﹣）x又（﹣x2211或联立①、②可得由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°．故所求的直线方程为x=3或y=1．第23页（共25页）本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，直【点评】线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错的地方，注意本题的三种方法．）且与1（2，+2y3=0，直线l′经过点P26．（2009秋?重庆期末）已知直线l：5x+的一般方程．l'的夹角等于45，求直线l，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求k′设出直线l′的斜率为【分析】出直线的方程．，k′解：设直线l′的斜率为【解答】分）7…（则，分）10…（，分）（…137y﹣13=0；：7x﹣3y﹣11=0和3x+直线l′本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式【点评】与到角公式的区别，考查计算能力．为坐标原点．，O，6）02，），B（027．已知点A（的面积；ABCACB=，求△C（1）若点在线段OB上，且∠，已知||BD，且|PD|=2的对称点为（2）若原点O关于直线ABD，延长BD到P的倾斜角．，求直线l=0经过点P：ax+10y+84﹣108L直线A，点C的坐标，即得边长BC【分析】（1）依据条件求出AC的斜率，可得点的横坐标就是三角形的高，代入三角形的面积公式进行计算．的坐标，的对称点D待定系数法求出原点O关于直线AB）（2利用对称的特点，，把相关向量的坐标代入，利用两个向量相等的条件求出点=2由题意可得的斜率，l的方程，求出la，即得直线的坐标代入代入直线的坐标，再把点PP2524第页（共页）由斜率求直线l的倾斜角．ACO=，故ACACB=，∴∠的解：（1）∵点C在线段OB上，且∠【解答】，倾斜角为1=），由﹣0，b0，即点C（，2），AC的斜率为﹣1，设点C（故得b=2ABC的面积为××42=4．A到BC的距离为2，故△BC=4，点+=1，即3x+y，（c，d）AB﹣的方程6=0，）（2）设D（m，n，点P，）（n=，故由得Dm=，，，）=，c（﹣，﹣d），=（﹣由题意知，，=2﹣d=，，解得d= c=∴﹣c=，﹣，﹣108﹣+84，﹣+，把）P（（）代入直线，﹣l：axP=0，故10ya=10，即得=084+﹣108．得10?+ a?，故直线l的倾斜角为的斜率为∴直线l120°=﹣．【点评】本题考查直线的倾斜角的定义，倾斜角与斜率的关系；点关于直线的对称点的坐标求法，两个向量相等时向量坐标间的关系．第25页（共25页）。
高中数学《直线与方程》测试题
高中数学《直线与方程》测试题1.直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（）A。
(2,0) B。
(-2.-1/3) C。
(-11/3,0) D。
(-2,-3/23)2.直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（）A。
重合 B。
平行 C。
垂直 D。
相交但不垂直3.直线过点(-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（）A。
2x-3y=0 B。
x+y+5=0 C。
2x-3y=5 D。
x+y+5或x-y+5=04.直线x=3的倾斜角是（）A。
0 B。
π/2 C。
π D。
不存在5.点(-1,2)关于直线y=x-1的对称点的坐标是（）A。
(3,2) B。
(-3,-2) C。
(-3,2) D。
(1,-2)6.点(2,1)到直线3x-4y+2=0的距离是（）A。
4/5 B。
5/4 C。
4/25 D。
25/47.直线x-y+3=0的倾斜角是（）A。
30° B。
45° C。
60° D。
90°8.与直线l: 3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A。
3x+4y-5=0 B。
3x+4y+5=0 C。
-3x+4y-5=0 D。
-3x+4y+5=09.设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与直线bx-ysinB+sinC=0的位置关系是（）A。
平行 B。
重合 C。
垂直 D。
相交但不垂直10.直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为（）A。
-1/3 B。
-3 C。
1/3 D。
311.直线kx-y+1=3k,当k变动时，所有直线都通过定点（）A。
(0,0) B。
(0,1) C。
(3,1) D。
(2,1)13.直线过原点且倾角的正弦值是4/5，则直线方程为y=4x/5.14.直线mx+ny=1(mn≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为1/2|mn|.15.如果三条直线mx+y+3=0,x-y-2=0,2x-y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m的一个值是 -1/2.16.已知两条直线 (-∞,1).17.△ABC中，点A(4,-1),AB的中点为M(-1,2)，直线CM 的方程为 3x+y-11=0.1.3,2为重心P，求边BC的长度。
高一数学直线与方程相关习题及答案
直线与方程一、选择题1.若A －2,3,B 3,－2,C ),21(m 三点共线,则m 的值为A.B ．－C ．－2D ．22.如图,在同一直角坐标系中,表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是3.两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是A.B.C. D. 4.直线l 1：3－ax ＋2a －1y ＋7＝0与直线l 2：2a ＋1x ＋a ＋5y －6＝0互相垂直,则a 的值是A ．－B.C. D.5.直线kx －y ＋1－3k ＝0,当k 变动时,所有直线都通过定点A ．0,0B ．0,1C ．3,1D ．2,16.已知A 2,4与B 3,3直线l 对称,则直线l 的方程为A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝07.已知直线l 过点1,2,且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍,则直线l 的方程为A ．x ＋2y －5＝0B ．x ＋2y ＋5＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －5＝0D ．2x －y ＝0或x －2y ＋3＝08.直线y ＝x ＋3k －2与直线y ＝－x ＋1的交点在第一象限,则k 的取值范围是 A.)1,32(- B.)0,32(-C ．)1,0( D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,32 9.经过点2,1的直线l 到A 1,1、B 3,5两点的距离相等,则直线l 的方程A ．2x －y －3＝0B ．x ＝2C ．2x －y －3＝0或x ＝2D ．以上都不对10．直线l 过点P 1,3,且与x ,y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0二、填空题11.直线l 方程为y －a ＝a －1x ＋2,且l 在y 轴上的截距为6,则a ＝________.12.已知点m,3到直线x ＋y －4＝0的距离等于,则m 的值为________.13.经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点,且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．14.已知A ,B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上,且线段AB 的中点为)10,0(aP ,则线段AB 的长为________． 三、解答题15.已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0,l 2：m －2x ＋3my ＋2m ＝0,当m 为何值时,l 1与l 2 1相交；2平行；3重合．16.若一束光线沿着直线x －2y ＋5＝0射到x 轴上一点,经x 轴反射后其反射线所在直线为l ,求l 的方程．17．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的方程为2x ＋k －3y －2k ＋6＝0,k ∈R . 1若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和为1,求坐标原点O 到直线l 的距离； 2若直线l 与直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0分别相交于A ,B 两点,点P 0,2到A 、B 两点的距离相等,求k 的值．18.已知△ABC 的顶点B －1,－3,AB 边上高线CE 所在直线的方程为x －3y －1＝0,BC 边上中线AD 所在的直线方程为8x ＋9y －3＝0.1求点A 的坐标；2求直线AC 的方程．直线与方程答案1—5：ACCBC6-10：DCACA11：12：－1或313：2x＋3y－2＝014：1015：解当m＝0时,l1：x＋6＝0,l2：x＝0,∴l1∥l2.当m＝2时,l1：x＋4y＋6＝0,l2：3y＋2＝0,∴l1与l2相交．当m≠0且m≠2时,由＝,得m＝－1或m＝3,由＝,得m＝3.故1当m≠－1且m≠3且m≠0时,l1与l2相交．2当m＝－1或m＝0时,l1∥l2.3当m＝3时,l1与l2重合．16：解直线x－2y＋5＝0与x轴交点为P－5,0,反射光线经过点P.又入射角等于反射角,可知两直线倾斜角互补．∵k1＝,∴所求直线斜率k2＝－,故所求方程为y－0＝－x＋5,即x＋2y＋5＝0.17：解1令x＝0时,纵截距y0＝2；令y＝0时,横截距x0＝k－3；则有k－3＋2＝1k＝2,所以直线方程为2x－y＋2＝0,所以原点O到直线l的距离d＝＝.2由于点P0,2在直线l上,点P到A、B的距离相等,所以点P为线段AB的中点．设直线l与2x－y－2＝0的交点为Ax,y,则直线l与x＋y＋3＝0的交点B－x,4－y,由方程组解得即A3,4,又点A在直线l上,所以有2×3＋k－3×4－2×k＋6＝0,即k＝0.18：解1设点Ax,y,则解得故点A的坐标为－3,3．2设点Cm,n,则解得m＝4,n＝1,故C4,1,又因为A－3,3,所以直线AC的方程为＝,即2x＋7y－15＝0.。
高中数学《直线与直线方程》练习题
高中数学《直线与直线方程》练习题A 组——基础对点练1．直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的倾斜角的大小是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的斜率为－33，令其倾斜角为θ，则tan θ＝－33，解得θ＝150°，故选D. 答案：D2．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，∵AB <0，BC <0，∴－A B >0，－CB >0.∴直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D. 答案：D3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4] B ．[3π4，π) C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是[3π4，π)． 答案：B4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32 B ．m ≠0 C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．答案：D5．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1，故选C. 答案：C6．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线l 的方程，可得斜率k ＝－1cos θ. 因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， 所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，综上知，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案：C7．(2018·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋15＝0 B ．4x ＋3y ＋6＝0 C ．3x ＋y ＋6＝0D ．3x －4y ＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 答案：A8．直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( ) A ．(1，－3) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(2,3)解析：2mx ＋x ＋my ＋y －7m －4＝0，即(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝7，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.则直线过定点(3,1)，故选C. 答案：C9．(2018·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0≤α≤π4 B ．π2<α<π C.π4≤α<π2D ．π2<α≤3π4解析：直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α<π2.答案：C10．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0B ．2 C.2 D ．1解析：直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D. 答案：D11．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)解析：∵点N 在直线x －y ＋1＝0上， ∴可设点N 坐标为(x 0，x 0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得k MN ＝(x 0＋1)＋1x＝x 0＋2x 0.∵直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，直线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，∴k MN ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，即x 0＋2x 0＝2，解得x 0＝2.因此点N 的坐标是(2,3)，故选B.答案：B12．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________． 解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)13．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 解析：令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2. 答案：1或－214．(2018·武汉市模拟)若直线2x ＋y ＋m ＝0过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，则m 的值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x ＋y ＋m ＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m ＝0，m ＝0. 答案：015．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，求b 的取值范围． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．B 组——能力提升练1．已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π3 B ．π6 C.π4D ．3π4解析：令x ＝π4，则f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝a b ＝－1，其倾斜角为3π4.故选D. 答案：D2．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0. 答案：A3．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，而这两点连线所在直线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2，故选A. 答案：A4．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1－22，12) C ．(1－22，13]D ．[13，12)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a >0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点(－b a ，0)，结合图形(图略)知12×a ＋b a ＋1×(1＋b a )＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a >0，∴b 21－2b >0，解得b <12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b＝1－22，故选B. 答案：B5．已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当π2<α≤π时，tan α≤0，即k ≤0，而当k >1时，即tan α>1，则π4<α<π2，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.6．若经过点(1,0)的直线l 的倾斜角是直线x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －4＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x ＋4y －3＝0D ．4x ＋3y －4＝0解析：设直线x －2y －2＝0的倾斜角为α，则其斜率tan α＝12，直线l 的斜率tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.又因为l 经过点(1,0)，所以其方程为4x －3y －4＝0，故选A. 答案：A7．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35 B ．－32或－23 C ．－54或－45D ．－43或－34解析：由题知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切， ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.答案：D8．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( )A.103 B ．－103 C.1013D ．－1013解析：依题意，tan θ＝－3(θ∈[0，π))，所以23sin 2θ－cos 2θ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)3sin 2θ－cos 2θ＝2(tan 2θ＋1)3tan 2θ－1＝1013，故选C. 答案：C9．(2018·天津模拟)已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．16解析：∵直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，∴2n ＝m (n －1)，∴m ＋2n ＝mn ，两边同除以mn 可得2m ＋1n ＝1，∵m ，n 为正整数， ∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2m n ≥5＋22n m ·2m n ＝9.当且仅当2n m ＝2mn 时取等号．故选B. 答案：B10．直线x cos θ－y －1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围为________．解析：直线的斜率为k ＝cos θ∈[－1,1]，即tan α∈[－1,1]，所以α∈[0，π4]∪[34π，π)．答案：[0，π4]∪[34π，π)11．过点A (1,2)且与直线x －2y ＋3＝0垂直的直线方程为________．解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，所以所求方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0. 答案：2x ＋y －4＝012．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5.答案：513．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)图象的一条对称轴，求直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角． 解析：f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，将x ＝π4代入，得sin(π4－φ)＝±1，即π4－φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝－k π－π4，k ∈Z.所以tan φ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π－π4＝－1＝b a ，所以直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率为－a b ＝1，故倾斜角为π4.高中语文《椭圆》练习题 A 组——基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 解析：由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B.答案：B2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <4解析：方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k <4，故选D. 答案：D3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B ．x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1D ．x 24＋y 2＝1解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A. 答案：A4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( ) A.12 B ．55 C.14D ．5－2解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12. 答案：A5．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12 B ．22 C ．1D ． 2解析：如图，假设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得，(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2，∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22.故选B. 答案：B6．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________． 解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k ＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，所以2k >2，解得0<k <1. 答案：(0,1)7．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8. 答案：4或88．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于________．解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3. 答案：39．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，过F 2作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|＝36c . (1)求椭圆C 的离心率；(2)M ，N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和x 轴相交于R ，Q 两点，O 为坐标原点．若|OR →|·|OQ →|＝4，求椭圆C 的方程．解析：(1)∵点A 的横坐标为c ， 代入椭圆，得c 2a 2＋y 2b 2＝1. 解得|y |＝b 2a ＝|AF 2|，即b 2a ＝36c ， ∴a 2－c 2＝36ac .∴e 2＋36e －1＝0，解得e ＝32. (2)设M (0，b )，N (0，－b )，P (x 0，y 0)， 则直线MP 的方程为y ＝y 0－bx 0x ＋b .令y ＝0，得点R 的横坐标为bx 0b －y 0.直线NP 的方程为y ＝y 0＋bx 0x －b .令y ＝0，得点Q 的横坐标为bx 0b ＋y 0. ∴|OR →|·|OQ →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2x 20b 2－y 20＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2b 2－a 2y 20b 2－y 20＝a 2＝4，∴c 2＝3，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝12，焦距为2，过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在A ，M 之间．又线段AB 的中点的横坐标为47，且AM →＝λMB →. (1)求椭圆C 的标准方程． (2)求实数λ的值．解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知A ，B ，M 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意． 则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，解得k 2<14，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.由x 1＋x 22＝16k 23＋4k 2＝47， 可得k 2＝18，将k 2＝18代入方程①，得7x 2－8x －8＝0. 则x 1＝4－627，x 2＝4＋627.又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →＝(x 2－4，y 2)， AM →＝λMB →，所以λ＝4－x 1x 2－4，所以λ＝－9－427.B 组——能力提升练1．(2018·合肥市质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 答案：D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1)B ．(22，1) C ．(0，22)D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝ac .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点， F 1，F 2是该椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然，|MF 2|>|MF 1|，∴a －c <|MF 2|<a ＋c ，即a －c <2a 2a ＋c <a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2>0， ∴e 2＋2e －1>0， 解得e >2－1，又e <1，∴2－1<e <1，故选D. 答案：D3．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝04．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)． 答案：[2,22)5．(2018·保定模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程．(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值． 解析：(1)因为e ＝32＝c a ， 所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，① 把①代入x 24＋y 2＝1， 解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.② ①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．。
直线与方程习题(带答案)
直线与方程习题(带答案)直线与方程题（带答案）一、选择题1.若直线x=1的倾斜角为α，则α()．A。
等于0B。
等于π/2C。
等于πD。
不存在斜率2.图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．A。
k1＜k2＜k3B。
k3＜k1＜k2C。
k3＜k2＜k1D。
k1＜k3＜k23.已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x，6)，且l1∥l2，则x＝()．A。
2B。
－2C。
4D。
14.已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()．A。
π/3B。
2π/3C。
π/4D。
3π/45.如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()．A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限6.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()．A。
x＋y－5＝0B。
2x－y－1＝0C。
2y－x－4＝0D。
2x＋y－7＝07.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()．A。
19x－9y＝0，19y＝0B。
9x＋19y＝0C。
19x－3y＝0D。
3x＋7y＝08.直线l1：x＋a2y＋6＝0和直线l2:(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是()．A。
3B。
－3C。
1D。
－19.将直线l沿y轴的负方向平移a(a＞0)个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l'，此时直线l'与l重合，则直线l'的斜率为()．A。
a/(a＋1)B。
－a/(a＋1)C。
(a＋1)/aD。
－(a＋1)/a10.点(4，5)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是()．A。
(－6，8)B。
(6，－8)C。
(－6，－8)D。
(6，8)二、填空题11.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，则直线l2的斜率k2的值为tan(75°)或2＋√3.12.若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(1，m)共线，则m的值为－1.13.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标为D(2，3)。
高中直线与方程练习题及答案详解
高中直线与方程练习题及答案详解1.高中直线与方程练题及答案详解一、选择题1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A．a+b=√2/2B．a-b=√2/2C．a+b=0D．a-b=02.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y-1=0B．2x+y-5=0C．x+2y-5=0D．x-2y+7=03.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（）A．-8B．2C．10D．无法确定4.已知ab0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°,1B．135°,-1C．90°，不存在D．180°，不存在6.若方程(2m+m-3)x+(m-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足（）A．m≠1B．m≠-1/2C．m≠1/2D．m≠0二、填空题1.点P(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是√2/2.2.已知直线.3.若原点在直线l上的射影为(2,-1)，则l的方程为2x-y=0.4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上，则x+y的最小值是4.5.直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4),D(5,0)，则直线l的方程为y=-3x。
三、解答题1.已知直线Ax+By+C=0。
1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；当C=0时，方程变为Ax+By=0，解得y=-A/B*x，即过原点且斜率为-A/B的直线。
2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；当A≠0且B≠0时，直线与x轴和y轴都相交。
3）系数满足什么条件时只与x轴相交；当B=0且A≠0时，直线只与x轴相交。
4）系数满足什么条件时是x轴；当A=0且B≠0且C=0时，直线是x轴。
高二数学直线与方程精选50题
直线与方程精选50题1、求过点()5,3，倾斜角等于直线13+=x y 的倾斜角的一半的直线方程.★2、已知直线l 的倾斜角为α，53sin =α，且这条直线经过点()5,3P ，求直线l 的一般式方程.★3、已知矩形OACB 的顶点的坐标分别为()()()5,00,80,0B A O 、、，求该矩形的对角线所在直线方程.4、已知直线0632=+-y x ，这条直线的点方向式可以是________________★5、求过点P 且平行于直线0l 的一般式方程：（1）()04:,1,20=+x l P ★（2）()07143:,2,10=++y x l P6、求过点P 且垂直于直线1l 的直线的一般式方程：（1）()03:,1,21=-y l P（2）4231:),1,2(1+=---y x l P ★7、求满足下列条件的直线方程（1）直线l 经过()()7,3,0,2B A 两点★（2）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 平行★（3）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 垂直★8、已知直线()0816:1=--+y t x l 与直线()()01664:2=-+++y t x t l（1）当t 为何值时，21l l 与相交？（2）当t 为何值时，21l l 与平行？（3）当t 为何值时，21l l 与重合？（4）当t 为何值时，21l l 与垂直？★9、已知直线08:1=++n y mx l 与直线012:2=-+my x l .当直线1l 与直线2l 分别满足下列条件时，求实数m 、n 的值（1）直线1l 与直线2l 平行；（2）直线1l 与直线2l 垂直，且直线1l 在y 轴上的截距为1-..★10、根据下列条件，写出满足条件的直线的一般式方程.★（1）经过直线012=+-y x 与直线0122=-+y x 的交点，且与直线05=-y x 垂直.（2）经过直线01=+-y x 与直线022=+-y x 的交点，且与直线1243=+y x 平行.11、已知直线2:1++=k kx y l 与直线42:2+-=x y l 的交点在第一象限，求实数k 的范围.★12、已知集合(){}R y x y x y x A ∈=--=、,01|,,集合(){}R y x y ax y x B ∈=+-=、,02|,,且φ=⋂B A ，求实数a 的值.13、是否存在实数a ，使直线()()0121:1=--+-y a x a l 与直线()03326:2=--+y a x l 平行？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由.★14、求过点()3,2P 且与直线012=+-y x 垂直的直线方程★15、若坐标原点O 在直线l 的射影H 的坐标为()2,4-，求直线l 的方程★16、已知平面内三点()()()2,14,33,1---C B A 、、，点P 满足BC BP 23=，则直线AP 的方程是17、已知()()4,1,1,3--B A ，则线段AB 的垂直平分线方程是★18、已知三点()()()a C B a A 2,4,1,5,2,-共线，则实数a 的值是___________________19、不论m 取何实数，直线()()()01131=--+--m y m x m 恒过什么象限？20、分别写出下列直线的一个方向向量d 和一个法向量n ★（1）0543=-+y x（2）152=+y x （3）()5413+-=-x y （4）1=x（5）01=+y21、已知0,0<<bc ac ，则直线0:=++a cy bx l 不通过_______________象限22、直线l 的倾斜角的正弦值为54，则其斜率为______________★ 23、过()()a B a a A 2,3,1,1+-的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围★24、直线l 的斜率k 满足13<≤-k ，求其倾斜角的取值范围★25、直线l 的倾斜角是()()2,6,1,2--B A 两点连线的倾斜角的两倍，求直线l 的倾斜角的大小26、直线l 过点()2,1且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求l 的方程★27、求直线()R y x ∈=-+αα010cos 的倾斜角的取值范围28、直线()()039372:222=+-++-a y a x a a l 的倾斜角大小是4π，求实数=a __________★29、方程x k y =与方程()0>+=k k x y 的曲线有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是____________________30、过点()()3,0,0,4B A 的直线的倾斜角大小是________________★31、将直线033=++y x 绕着它与x 轴的交点顺时针旋转︒30后，所得的直线方程是★32、将直线0943=+-y x 绕其与x 轴的交点逆时针旋转︒90后得到直线l ，求直线l 的方程★33、ABC ∆的一个顶点()4,3B ，AB 边上的高CH 所在直线方程是01632=-+y x ，BC 边上的中线AM 所在的直线方程是0132=+-y x ，求边AC 所在直线方程.34、已知直线l 沿x 轴的负方向平移3个单位，再沿y 轴的正方向平移1个单位，又回到原来的位置，求直线l 的斜率k 和倾斜角α★35、过点()4,5-P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为5个面积单位，求直线l 的方程★36、直线()()01213:=----y a x a l （其中a 为实数）★（1）求证：不论a 取何值，直线l 恒过定点；（2）已知直线l 不通过第二象限，求实数a 的取值范围37、已知()()2211,,,y x B y x A 为直线()0≠+=k b kx y 上的两点（1）求证：2121x x k AB -+=；（2）根据（1）的形式特征，用21,,y y k 表示AB38、已知ABC ∆中，顶点()7,2-A ，AC 边上的高BH 所在直线方程为0113=++y x ，AB 边上中线CM 所在的直线方程072=++y x ，求ABC ∆三边所在直线方程39、从点()2,5A 发出的光线经过x 轴反射后，反射光线经过点()3,1-B ，求发射光线所在直线与x 轴的夹角大小★40、求经过0332:01:21=++=++y x l y x l 和的交点且与直线0523=-+y x 的夹角为4π的直线方程★'41、已知等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中点是()2,4，直角边AC 所在的直线方程是02=-y x ，求斜边AB 和直角边BC 所在直线的方程42、光线沿直线052=+-y x 的方向入射到直线0723=+-y x 后反射出去，求反射光线所在的直线方程43、已知()()8,4,3,2-B A 两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程★44、已知平行直线21l l 与的距离为5，且直线1l 经过原点，直线2l 经过点()3,1，求直线1l 和直线2l 的方程★45、已知直线l 过点()1,0P ，且被平行直线0243:0843:21=++=-+y x l y x l 与所截得的线段的长为22，求直线l 的方程46、求与直线032012=+-=+-y x y x 和距离相等的点的轨迹47、已知点()4,3P 到直线l 的距离为5，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线是___________________★48、过点()2,1P 的所有直线中，与原点距离最大的直线方程是______________49、直线l 经过直线002477=-=-+y x y x 与直线的交点，且原点到直线l 的距离为512，则直线l 的方程为★50、经过直线032=-+y x 和直线0624=--y x 的交点，且与y 轴平行的直线方程为★。
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高中数学《直线与方程》练习题一、选择题.1. 已知直线l 的倾斜角为α，且0º ≤α≤135º，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.［0，＋∞)B.(－∞，＋∞)C.［－1，+∞）D.(－∞，－1］∪［0，＋∞) 2. 直线l 经过点A （2，l ），B （1，m 2），m ∈R ，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.［0，2）B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π 0， C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π 0，∪⎪⎭⎫ ⎝⎛ π2π， D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π 0，∪⎥⎦⎤ ⎝⎛ π2π， 3. 已知直线mx + 4y - 2 = 0与2x - 5y + n = 0互相垂直，垂足为(1，p )，则m - n + p 的值是( )A. 24B. 20C. 0D. －44. 已知直线l 1 : ax +2 y = 0与直线l 2 : x +(a – 1)y + a 2 – 1 = 0平行，则实数a 的值是( )A. -1或2B. 0或1C. -1D. 25. 下列说法中正确的是( ) A. 11x x y y --= k 表示过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k 的直线方程 B. 直线y = kx + b 与 y 轴交于一点B (0，b )，其中截距b = |OB |C. 在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是 a x + by = 1 D. 方程(x 2 - x 1)(y - y 1)=(y 2 - y 1)(x - x 1)表示过任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线6. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜07. 若直线 ax + by + c = 0(ab ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a ，b ，c 满足的条件是( )A. a = bB.|a |=|b |C. a = b ，且c = 0D. c = 0，或c ≠0且a = b8. 已知直线 l 1 和 l 2 夹角的平分线的方程为 y =x ，如果 l 1 的方程是ax + by + c =0(ab >0)，那么 l 2 的方程是( )A. bx + ay + c = 0B. ax - by ＋c = 0C. bx + ay – c = 0D. bx - ay + c = 09. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C.2D. 2210. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( ) A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题.1. 已知直线l 1的倾斜角为1α，则 l 1 关于x 轴对称的直线 l 2 的倾斜角2α为 __________.2. 如果直线 l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率为_______________.3. 已知两点A (-3，4)，B (3，2)，过点P (2，-1)的直线 l 与线段 AB 有公共点. 则直线l 的斜率k 的取值范围是____________.4. 过点(5，2)，且在x 轴上的截距(直线与x 轴交点的横坐标)是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是___________________.5. 若原点O 在直线l 上的射影为点 H (- 2，1)，则直线l 的方程为__________________．6. 若两直线(m ＋2)x - y + m = 0，x + y = 0与x 轴相交且能构成三角形，则m 满足的条件是 _________________.三、解答题.1. 求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角θ：(1)A (-1，3)，B (3，-3)；(2)C (m ，n )，D (m ，-n )(n ≠0).2. △ABC 的一个顶点为A (-4，2)，两条中线分别在直线3x - 2y + 2 = 0和3x + 5y - 12 = 0上，求直线BC 的方程.3. 已知直线l1 : mx + 8y + n = 0与l2 : 2x + my - 1 = 0互相平行，求l1，l2之间的距离为5时的直线l1的方程.4. 过－点P(1，2)的直线l被两平行线l1：4x + 3y + 1 = 0与l2：4x + 3y + 6 = 0截得的线段长|AB|=2，求直线l的方程.参考答案一、选择题.1. D2. C【解析】tan θ = 112m -= 1 - m 2.∴ tan θ∈(-∞，1］.∵ 倾斜角θ∈[0，π)，∴θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π 0，∪⎪⎭⎫⎝⎛ π2π，.3. B 【解析】⎪⎭⎫⎝⎛-4m ×52= -1，∴ m = 10.∵ 直线过(1，p )，∴ 10 + 4 p - 2 = 0.∴ p = - 2.∴ 2 + 10 + n = 0.∴ n = - 12.∴ m – n + p = 20.4. D【解析】∵ -2a= -11-a ，∴ a = 2，或 a = -1，当 a = -1 时，两直线重合，∴ a = 2.5. D【解析】A ：该式由于 x ≠x 1，∴ 不为直线.B ：截距b 可为负值.C ：当截距a ，b 为0时，不满足方程.6. D【解析】∵ 所给直线在一、三象限，∴ -b a＞0，∴ ab ＜0.又∵ 直线过第二象限，∴ -b c＞0，∴ bc ＜0.7. D【解析】当c = 0时，直线过原点满足条件；当 c ≠0时，|a | = |b |.8. A【解析】l 2 的方程与l 1中的x ，y 互换即可.∴ bx + ay + c = 0.9. C【解析】∵ ⎩⎨⎧=--=+-，，0230132y x y x∴ 交点为(1，1).又∵ l 与 y = x 垂直，∴ 斜率为 -1.∴ l : y = -x + 2.∴ 原点到 y = -x + 2 的距离为2.10. B【解析】∵ 这条直线经过第二象限，∴ 对称点在第二象限.二、填空题.1. 0°，或180° -α1.【解析】当 α1 = 0° 时，α2 =0°；当 0°＜α1＜180° 时，α2 =180° - α1.2. -31. 【解析】设直线为y = kx + b ， ①∴ y + 1= k (x + 3)+ b ， ②①-②，得1 = -3k ，∴ k = -31. 3. k ≤-1，或k ≥3.【解析】直线l 位于直线P A ，PB 之间，∴ k ≤-1，或k ≥3.4. x + 2y - 9 = 0，或2x - 5y = 0.【解析】设直线方程为y = kx + b .当b = 0时，又直线过点(5，2)，∴ k = 52， ∴ 直线方程为2x - 5y = 0；当b ≠0时，∴ kb = 2b ， ∴ k = -21， 又直线过点(5，2)，∴ 直线方程为x + 2y - 9 = 0.5. 2x - y + 5 = 0.【解析】直线OH 的的斜率为 -21. 直线l 经过点H ，且与OH 垂直，所以直线l 的方程为y - 1= 2(x + 2)，即2x - y + 5 = 0.6. m ≠-2，m ≠-3，且m ≠0.【解析】显然直线x + y = 0与x 轴相交于原点(0，0). 由于(m + 2)x －y ＋m =0不能经过原点，所以m ≠0；(m + 2)x －y + m = 0与x 轴不能平行，所以m + 2≠0，m ≠－2；直线(m + 2)x - y + m = 0与直线x + y = 0不能平行，所以m + 2≠-1，m ≠-3.综上，m 满足的条件是m ≠-2，m ≠-3，且m ≠0.三、解答题.1. 【解】(1)k AB = 31)3(3---- = )13(1)3(3+-+ = -3，即tan θ = -3，又0º ≤θ＜180º ，∴ θ = 120º .(2)∵ C ，D 两点的横坐标相同，∴ 直线CD ⊥x 轴，故斜率不存在，θ =2π.2. 【解】依题意可知已知两条中线为过B ，C 顶点的两条中线. 设重心G (0x ，0y ).则有⎩⎨⎧=-+=+-.0125302230000y x y x ，∴ G ⎪⎭⎫ ⎝⎛2 32，. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+-=++=-+.012530223232323422112121y x y x y y x x ，，，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====.04422211y xy x ，，，故直线BC 的方程为2x + y - 8 = 0.3. 【解】因为l 1∥l 2，∴ 2m =m 8≠1-n，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠=；，24n m 或 ⎩⎨⎧≠-=.24n m ， (1)当m = 4时，直线l 1的方程是4x + 8y + n = 0，把l 2的方程写成4x + 8y - 2 = 0. 两平行线间的距离为6416|2|++n . 由已知，得54|2|+n =5. 解得n = -22，或n = 18.所以，所求直线l 1的方程为2x + 4y - 11 = 0，或2x + 4y + 9 = 0.(2)当m = -4时，直线l 1的方程为4x - 8y - n = 0，把l 2的方程写成4x - 8y - 2 = 0. 两平行线距离为6416|2|+-n . 由已知，得54|2|-n =5. 解得n =-18，或n = 22.所以，所求直线l 1的方程为2x - 4y + 9 = 0，或2x - 4y - 11 = 0.4. 【解】设 l 1 的方程为y - 2 = k (x - 1).由⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=，0134,2y x k kx y 解得⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-4385,4373 k k k k A ； 由⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=，0634,2y x k kx y 解得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-43108,43123 k k k k B ． 因为|AB |=2，所以243543522=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k k ， 整理，得074872=--k k ，解得k 1=7，或k 2 = -71. 所求直线l 的方程为x + 7y - 15 = 0，或7x - y - 5 = 0.。