工程力学 强度理论
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工程力学第十章：强度理论及应用
问题引入：
1 基本变形只研究了构件横截面上的正应力和切应力，并且 建立了相应的强度条件，但是有些情况下，构件破坏不沿横 截面，如铸铁的受压破坏沿斜截面发生，这是为什么？
2 工程实际中有大量问题，如各种组合变形涉及到复杂的应 力状态，需要用更加合适的强度理论来解决问题。
铸铁扭转现象：破坏截面是
45度螺旋面，为什么？ 螺旋桨轴：在工作的时候既受
B
B
B
B
FQ h 2 F h2 h2 9F 2 B ( y ) ( ) 1 2I z 4 4 16 8bh 2 bh 3 12
（4）C点单元体如图所示 C
C
F 3F C 1.5 1.5 A bh 2bh
FQ
二、主应力和主平面 1. 主平面和主应力的概念 取单元体分析的时候，应尽量使取出的单元体三对面上的应力
主应力计 算及主平 面确定
第四强度理论 r 4
①从构件危险点处截取单元体，计算主应力 计算步骤 ②选用适当的强度理论，计算相当应力 ③确定材料的许可应力，从而进行强度计算 一般应力状态下的脆性材料，三向受拉的塑性材料采用第一、二强度理论 应用条件 一般应力状态下的塑性材料，三向受压的脆性材料采用第三、四强度理论
x y
2
sin 2 x cos 2
3. 主应力和主平面的计算
主平面方位的确定：令 0
x y
2
sin 2 0 x cos 2 0 0
2 x 0 ( 4 , 4 ) tan 2 0 x y 90 0 0
y
t
F
t
0
dA ( x dA cos ) cos ( x dA cos ) sin
1 基本变形只研究了构件横截面上的正应力和切应力，并且 建立了相应的强度条件，但是有些情况下，构件破坏不沿横 截面，如铸铁的受压破坏沿斜截面发生，这是为什么？
2 工程实际中有大量问题，如各种组合变形涉及到复杂的应 力状态，需要用更加合适的强度理论来解决问题。
铸铁扭转现象：破坏截面是
45度螺旋面，为什么？ 螺旋桨轴：在工作的时候既受
B
B
B
B
FQ h 2 F h2 h2 9F 2 B ( y ) ( ) 1 2I z 4 4 16 8bh 2 bh 3 12
（4）C点单元体如图所示 C
C
F 3F C 1.5 1.5 A bh 2bh
FQ
二、主应力和主平面 1. 主平面和主应力的概念 取单元体分析的时候，应尽量使取出的单元体三对面上的应力
主应力计 算及主平 面确定
第四强度理论 r 4
①从构件危险点处截取单元体，计算主应力 计算步骤 ②选用适当的强度理论，计算相当应力 ③确定材料的许可应力，从而进行强度计算 一般应力状态下的脆性材料，三向受拉的塑性材料采用第一、二强度理论 应用条件 一般应力状态下的塑性材料，三向受压的脆性材料采用第三、四强度理论
x y
2
sin 2 x cos 2
3. 主应力和主平面的计算
主平面方位的确定：令 0
x y
2
sin 2 0 x cos 2 0 0
2 x 0 ( 4 , 4 ) tan 2 0 x y 90 0 0
y
t
F
t
0
dA ( x dA cos ) cos ( x dA cos ) sin
工程力学强度理论
2、比较能说明问题的是下面的实验：用钢、铜、镍等塑性
金属制成薄壁管，让它受内压力q和外拉力P的共同作用，
得到一个二向应力状态。实验时调整P 和q ，可得到σ1、
σ2 、 σ3不同组合。
1
P
P
2
3、结论：第三强度理论计算的结果与试验结果相差约达 10%～ 15%。而用第四强度理论计算的结果与实验误差约在 5%以内。第三强度偏安全（工业设计、化工）、第四强度 偏实际、经济（钢结构）。
§9.1 强度理论的概念
（3）相当应力状态：
复杂应力状态根据同等安全原则，按照一定的条件，代之 以单向应力状态，称为相当应力状态。
（4）相当应力σr（Equivalent Stress）
相当应力状态的作用应力。
（5）失效准则： u
（6）失效准则研究模式
σ2
σ3
σ1
σr
σr σu
σu
§9.1 强度理论的概念
方法二：
第三强度理论： r3
2 x
4
2 x
1232 464.682 178.39MPa
第四强度理论： r4
2 x
3
2 x
1232 3 64.682 166.28MPa
强度理论例题
例4 图示工字钢截面简支梁，许用应力为[σ]=170MPa ，
[τ]=100MPa 。试校核梁的强度。
550kN 550kN 550kN
（7）强度理论：
认为无论是单向应力状态还是复杂应力状态，材料破坏 都是由某一特定因素引起的，从而可利用单向应力状态下的 试验结果，建立复杂应力状态的强度条件。这种关于材料破 坏的学说称为强度理论 （Strength Theory） 。
工程力学第5节 强度理论
max 0
1 3 max 13 2
第三强度理论 建立的强度条件
1 3 s
1 3 [ ]
4、形状改变比能理论（第四强度理论） 这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破 坏的主要因素。即无论什么应力状态，只要构件内 一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限 值，材料就要发生屈服破坏。经推导可得危险点处 于复杂应力状态的构件发生塑性屈服破坏的条件为
二、四种强度理论 1、最大拉应力理论（第一强度理论） 该理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最 大拉压力。即无论什么应力状态下，只要构件内一 点处的最大拉压力达到单向应力状态下的极限应力， 材料就要发生脆性断裂。于是危险点处于复杂应力 状态的构件发生脆性断裂破坏的条件为：
1 b
第一强度理论 建立的强度条件
1 b / E 1 1 [1 ( 2 3 )] E
第二强度理论 建立的强度条件
1 ( 2 3 ) b
1 ( 2 3 ) [ ]
3、最大切应力理论（第三强度理论） 这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因 素。即无论什么应力状态，只要最大切应力达到单 向应力状态下的极限切应力，材料就要发生屈服破 坏。于是危险点处于复杂应力状态的构件发生塑性 屈服破坏的条件为：
纵截面上的正应力
2）确定主应力 因t <<D，p 值比 和 小得多，工程计算常忽略。
pD 150106 Pa 2t
1 150MPa 2 75MPa 3 0
3）按照形状改变比能理论校核强度
r 4 1 2 2 3 3 1
2 1 2 2 2 3
工程力学强度理论
P
A
P x
x
A
y
B
P
x B x
C
Mx
z
C
第二节 二向应力状态分析
y
y y
x x
x z
等价
y y
x
y
x
Ox
y y
一、单元体截面上的应力 规定：
x
a 截面外法线同向为正；
y
x
a绕研究对象顺时针转为正；
a由x轴转到外法线为逆时针为正。
Ox
图1 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
a
a
Fn 0
x
y
y
件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。
T
解：危险点A的应力状态如图：
A P
T
P
PA405.102 1036.37MPa
AA
T 16 7000 35.7MPa W 0.13
t
1
2
( )2 2
2
6.37 2
(6.37 )2 35.72 39MPa 2
1 故，安全。
distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版 后才知道的。
1、最大拉应力（第一强度）理论： 认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。当最大
拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。
1、断裂准则： 1 b ;( 1 0)
2、强度条件： 1 ; ( 1 0)
y
y
主单元体(Principal Body)：
x
各侧面上切应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
切应力为零的截面。 x
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
工程力学 强度理论
1、未考虑
σ2
的影响，试验证实最大影响达15%。 的影响，试验证实最大影响达15%。 15%
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 此准则也称特雷斯卡（ 此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则 ）
畸变能密度理论 第四强度理论） 理论（ 4. 畸变能密度理论（第四强度理论） 畸变能密度； 材料发生塑性屈服的主要因素是 畸变能密度； 无论处于什么应力状态, 无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到 屈服。 与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服 与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。
塑性屈服（流动）： 塑性屈服（流动）： 材料破坏前发生显著的塑性变形； 材料破坏前发生显著的塑性变形； 破坏断面粒子较光滑； 破坏断面粒子较光滑； 且多发生在最大切应力面上； 且多发生在最大切应力面上； 例如低碳钢拉、 例如低碳钢拉、扭，铸铁压。 铸铁压。
最大拉应力理论（第一强度理论） 1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 材料发生断裂的主要因素是最大拉应力 最大拉应力； 材料发生断裂的主要因素是最大拉应力； 认为无论是什么应力状态， 认为无论是什么应力状态，只要危险点处最大拉应力 达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂 达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂
[τ ]
建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则： 建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则： 强度理论的基本思想是 的基本思想是： 强度理论的基本思想是：
确认引起材料失效存在共同的力学原因 力学原因， 确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一 共同力学原因的假设； 共同力学原因的假设； 根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验 根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验 简单受力 如拉伸），建立起材料在复杂应力状态 ），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的 （如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的 弹性失效准则和强度条件。 弹性失效准则和强度条件。 实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和 实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑 脆性断裂 性屈服两类失效形式 分别提出共同力学原因的假设。 两类失效形式， 性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。
σ2
的影响，试验证实最大影响达15%。 的影响，试验证实最大影响达15%。 15%
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 此准则也称特雷斯卡（ 此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则 ）
畸变能密度理论 第四强度理论） 理论（ 4. 畸变能密度理论（第四强度理论） 畸变能密度； 材料发生塑性屈服的主要因素是 畸变能密度； 无论处于什么应力状态, 无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到 屈服。 与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服 与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。
塑性屈服（流动）： 塑性屈服（流动）： 材料破坏前发生显著的塑性变形； 材料破坏前发生显著的塑性变形； 破坏断面粒子较光滑； 破坏断面粒子较光滑； 且多发生在最大切应力面上； 且多发生在最大切应力面上； 例如低碳钢拉、 例如低碳钢拉、扭，铸铁压。 铸铁压。
最大拉应力理论（第一强度理论） 1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 材料发生断裂的主要因素是最大拉应力 最大拉应力； 材料发生断裂的主要因素是最大拉应力； 认为无论是什么应力状态， 认为无论是什么应力状态，只要危险点处最大拉应力 达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂 达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂
[τ ]
建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则： 建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则： 强度理论的基本思想是 的基本思想是： 强度理论的基本思想是：
确认引起材料失效存在共同的力学原因 力学原因， 确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一 共同力学原因的假设； 共同力学原因的假设； 根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验 根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验 简单受力 如拉伸），建立起材料在复杂应力状态 ），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的 （如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的 弹性失效准则和强度条件。 弹性失效准则和强度条件。 实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和 实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑 脆性断裂 性屈服两类失效形式 分别提出共同力学原因的假设。 两类失效形式， 性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。
工程力学第7章_2 强度理论jt
1、破坏判据： 2、强度准则
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 s 2
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。
即许用切应力约为许用正应力的0.6倍。这是按第四强度理论 得到的许用切应力与许用正应力之间的关系。
28
强度理论的应用：
一、强度计算的步骤： 1、外力分析：确定所需的外力值。
2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。
3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体， 求主应力。 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算。
1 , 2 0, 3
对塑性材料，按最大切应力理论得强度条件为
1 3 ( ) 2 [ ]
[ ] 2
另一方面，剪切的强度条件是
[ ]
[ ] 0.5[ ] 2
27
比较上面两式，可见
如按畸变能密度理论，则纯剪切强度条件为
max
x y
2
1 2
2 y 4 xy 29.28MPa x 2
min
x y
2
1 2
2 y 4 xy 3.72MPa x 2
1＝29.28MPa,2＝3.72MPa, 3＝0
r1 1 30MPa
4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！
[例3] 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构
件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。 T P T A A A P
工程力学中四种强度理论
为了探讨导致材料破坏的规律，对材料破坏或失效进行了假设即为强度理论，简述工程力学中四大强度理论的基本内容一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用第一理论的应用和局限1、应用材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。
2、局限没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。
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σy σx
适用范围： 材料的脆断
要求材料在脆断前均服从胡克定律 铸铁在混合型应力状态中，压应力占主导引起的材料脆断
1 0
3 0
1 3
与实验结果也较符合；
局限性：
1、第一强度理论不能解释的问题，未能解决，
2、在二向或三向受拉时，
r 2 1 ( 2 3 ) r1 1
§2
经典强度理论
构件由于强度不足将引发两种失效形式 脆性断裂： 材料无明显的塑性变形即发生断裂； 断面较粗糙； 且多发生在垂直于最大正应力的截面上； 如铸铁受拉、扭，低温脆断等。
塑性屈服（流动）： 材料破坏前发生显著的塑性变形； 破坏断面粒子较光滑； 且多发生在最大切应力面上； 例如低碳钢拉、扭，铸铁压。
适用范围： 材料的脆断
1 特别适用于拉伸型应力状态：
混合型应力状态中拉应力占主导 但
2 3 0
1 0, 3 0,
1 3
适用范围
铸铁拉伸 铸铁扭转
局限性：
1 只突出
1未考虑的 2 , 3
影响，
2、对没有拉应力的应力状态无法应用， 3、对塑性材料的破坏无法解释， 4 不能解释材料在三向均压下不发生断裂的事实；
max [ ]
是否强度就没有问题了？
强度理论：
人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概 括，提出了种种关于破坏原因的假说，
找出引起破坏的主要因素， 经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符 合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）
材料发生断裂的主要因素是最大伸长线应变； 无论处于什么应力状态,只要危险点处最大伸长线应变 达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂
σ2 σ1 σ3
σ
脆断准则：
1 jx
复杂应力状态下最大线伸长应变
1 [ 1 ( 2 3 )] / E
杆件基本变形下的强度条件
max
M max max [ ] W
FN ,max [ ] A
max [ ]
Fs S max [ ] bI z T max [ ] Wp
* z
max [ ]
max
max
满足
max [ ]
、不同材料在同一环境及加载条件下对为失
效具有不同的抵抗能力。
例1 常温、静载条件下 低碳钢的拉伸破坏 低碳钢塑性屈服失效时光滑
表面出现45度角的滑移线；
表现为塑性屈服失效； 具有屈服极限
s
铸铁拉伸破坏
铸铁脆断失效时沿横截面断裂； 表现为脆性断裂失效； 具有抗拉强度极限
b
二、同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对 失效的不同抵抗能力。
例2 常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉
平断口 不再出现塑性变形； 切槽导致应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸应力状态。 沿切槽根部发生脆断；
例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时
铸铁受压后形成鼓形，具有明显的塑性变形； 此时材料处于压缩型应力状态； 不再出现脆性断口，而出现塑性变形；
建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则： 强度理论的基本思想是：
确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一 共同力学原因的假设； 根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验 （如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的 弹性失效准则和强度条件。 实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑 性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。
局限性：
1、未考虑
2
的影响，试验证实最大影响达15%。
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，
σ2 σ1 σ3
σ
屈服准则：
max jx
复杂应力状态下的最大切应力
单向应力状态下 屈服条件 相应的强度条件：
max ( 1 3 ) / 2
jx
s
2
1 3
s
ns
低碳钢拉伸
低碳钢扭转
适用范围： 塑性屈服
此理论较满意地解释了塑性材料的屈服现象； 并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。 偏于安全 常用于载荷往往较不稳定的机械、动力等行业
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
材料发生断裂的主要因素是最大拉应力；
认为无论是什么应力状态，只要危险点处最大拉应力 达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂
σ2
σ
σ1 σ3
脆断准则：
1 b
相应的强度条件：
1 t
t
b
nb
与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合
例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件受轴向 压力和围压作用下
发生明显的塑性变形； 此时材料处于三向压缩应力状态下；
在简单试验的基础上已经建立的强度条件
根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的 弹性失效准则； 考虑安全系数后，其强度条件 根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性 失效准则； 考虑安全系数后，强度条件
似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。
局限性
虽然考虑了
2 3
的影响，
它只与石料、混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合；
，
混凝土、花岗岩受压时在 横向（ε1方向）开裂
但上述材料的脆断实验不支持本理论描写的 对材料强度的影响规律。
2 3
3. 最大切应力理论（第三强度理论） 材料发生塑性屈服的主要因素是 最大切应力； 无论处于什么应力状态,只要危险点处最大切应力达到 与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。
单向应力状态下 断裂条件
jx b / E
b 1 [ 1 ( 2 3 )] E E
1 ( 2 3 ) b
相应的强度条件：
1 u( 2 3 ) t
b
nb
实验表明：
此理论对于一拉一压的二向应力 状态的脆性材料的断裂 较符合 铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。