《飞行管理问题》
多架飞机同层飞行安全分析
摘要
随着经济的发展和航空航天技术的进步，航空飞行出行在居民出行方式所占的比重也越来越大。因此，航空安全问题也越来越受到人们的关注，解决航空安全问题月发迫切。
本文主要讨论飞机同一水平层安全飞行，避免碰撞的问题，通过运用非线性规划模型，对不同角度飞行对飞机安全的影响进行了分析与评价。
问题一中采用非线性规划程序对6架飞机中两两进行分析，根据所给的数据计算，结果发现第6架飞机和第3架、第5架飞机会发生碰撞，碰撞是在第6架飞机进入飞行区域后，在飞行区域边缘并不会发生碰撞。
问题二中将t等分成若干小段，利用动态规划，使得在每小段时间上都满足距离大于8公里，这样使得在飞行区域内基本满足距离值大于8公里。
关键词：航空安全、非线性规划，动态规划
一、问题提出
在约10000米的高空某边长为160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一驾欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。
根据题目，提出以下问题：
1.判断新进入区域的飞机是否会与此区域的飞机发生碰撞；
2.怎样调整角度以避免碰撞且使角度最小；
3.模型评价与推广。
二、基本假设
1、假设1：不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；
2、假设2：飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；
3、假设3：所有飞机飞行速度均为每小时800公里；
4、假设4：进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以
上；
5、假设5：最多需考虑6架飞机；
6、假设6:不必考虑飞机离开此区域后的状况.
三、符号说明
四、问题分析
飞机飞行角度对飞机行驶安全起着至关重要的作用，而且飞机在空中飞行的路线一般都是确定的，且不能碰到任何障碍物，在空中飞行时调整角度可以适当改变航向，但不能过度调解。所以当多架飞机同时在同一水平层，为避免碰撞，有时需要调解角度来确保安全飞行。
问题一的分析
问题一中要求计算当新飞机进入飞行区域是时，是否会与该区域内的飞机发生碰撞，运用非线性规划模型对所给的数据进行分析，并通过计算得出结果。
五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型建立与求解
5.1.1 问题一的分析
问题1主要判断当6号飞机进入该区域后，判断是否会有飞机发生碰撞。碰撞发生的条件为两飞机的距离小于8公里。
5.1.2 问题一模型的建立
当飞机进入场地后，首先建立起坐标系。其中每架飞机共存在3个变量（xi，yi，a）。利用两点间距离公式可以得到任意两架飞机之间距离的平方S=(xi-xj)^2+（yi-yj）^2。针对第一问，利用线性规划模型求出S的最小值，比较Smin与64的大小，大于64则说明两架飞机之间距离大于8公里，即不会发生碰撞，否则会发生碰撞。
5.1.3 问题一模型的求解
首先，因为进入该区域飞机到达边缘处要与其他飞机距离在60公里以上，利用matlab 判断当x6=0和x6=160时，S是否大于3600，大于时，则满足与其他飞机距离在60公里以上，可以发现，满足条件。
之后利用线性规划求解Smin，目标函数为S=（xi-xj）?2-（yi-yj）?2
约束条件为 0＜xi＜1600＜yi＜160 0＜xj＜160 0＜yj＜160
其中i，j为飞机序号。求出的Smin为：
比较Smin与64大小，可以得出S（3，6），S（5，6）小于64，即第三架飞机与第六架飞机，第五架飞机与第六架飞机会发生碰撞。
5.2 问题二模型建立与求解
5.2.1 问题二的分析
第二问中存在两组变量，t和Δa，因此问题不太好解决，我们可以试着消去一个变量，利用将t等分成足够多的小分，使得在每一小分上均满足S>64,则此时只存在变量Δu，则利用非线性规划可以解决问题。
5.2.2 问题二模型的建立
当飞机进入场地后，首先建立坐标系。可以证明出早调整优于晚调整，一次调整优于多次调整，我们在飞机的初始时调整角度来达到彼此不相撞的目的。将问题2中，求出max{t1…t6},并将最大的飞出时间等分成100小份，将问题转化成动态规划问题中的离散规划问题，根据6架飞机在每一小时间段内均大于8公里。则可以近似得出两架飞机之间距离大于8公里。然后由每一段时间内距离大于八公里，得出S>64,并由此不等式可以建立起约束条件，求出min=∑|Δa|
5.2.3 问题二模型的求解
利用MATLAB将初始角度值转化为弧度制，利用约束方程[(x(i)-x(j))+v*t(d)*(cos(a(i))-cos(a(j))))^2+((y(i)-y(j))+v*t(d)*(sin(a(i)) -sin(a(j))))^2-64>0来求出目标函数min=∑|Δa|的最小值，可以求出Δa1=0，Δa2=0，Δa3=0.4932994，Δa4=0，Δa5=0，Δa6=0.1328732；转化为角度制，即Δa3= 2.8264度，Δa6=0.7613度。即其他飞机不调整，3号飞机调整2.8264度，6号飞机调整0.7613度。
5.2.4 问题二结果的分析及验证
优点：问题2中，将连续的时间t转化为离散的时间点t之后，可以消去一个未知量t，使得模型建立较为容易，约束方程容易列出。
不足：将连续时间转化为时间点之后，不能严格证明在每一时间点上均大于8公里，且计算出来的角度存在一定的误差。Lingo程序运行时间过长，分成100份后，运行需要16分钟，难以做到进一步精确。
六、模型的评价与推广
7.1 模型的评价
优点：
对于第一问，我们从两两分析模拟飞行的角度得出飞机飞行的结果，比较直观
对于第二问，我们利用非线性规划的原理，将时间t转换为离散变量，然后将t分为100份，要求每一份都满足s>64，然后得出最优结果。
不足：将连续时间转化为时间点之后，不能严格证明在每一时间点上均大于8公里，且计算出来的角度存在一定的误差。Lingo程序运行时间过长，分成100份后，运行需要16分钟，难以做到进一步精确。并且一开始程序过于繁琐，耗费时间，理论模型的建立也不太合适，需要我们进一步努力完善
7.2 模型的推广
本模型虽然存在一些不足之处，但是得到的结还是较为合理的，本模型还可以用于优化人员配置，资源安排分配等领域，在大体上要考虑全面，相信更加令人满意
。
七、参考文献
[1] 姜启源等, 《数学模型》（第三版），高等教育出版社，2003年8月
[2] 肖华勇等，《大学生数学建模》（第一版）
八、附录
8.1 附录清单
附录1：求解问题一的LINGO程序
附录2：求解问题二的Mathematica程序
附录3：求解问题一的中间数据
附录4：问题二的完整数据结果
8.2 附录正文
附录1：求解问题一的LINGO程序
附录2：求解问题一的中间数据
附录3：求解问题二的LINGO程序
附录4：问题二的中间数据
求解问题一的LINGO程序
min=(150+800*t*@cos(4.2412)-85-800*t*@cos(4.1190))^2+(40+800*t*@sin(4.2412) -85-800*t*@sin(4.1190))^2;
0<150+800*t*@cos(4.2412/180);
150+800*t*@cos(4.2412/180)<160;
0<40+800*t*@sin(4.2412/180);
40+800*t*@sin(4.2412/180)<160;
0<85+800*t*@cos(4.1190);
85+800*t*@cos(4.1190)<160;
0<85+800*t*@sin(4.1190);
85+800*t*@sin(4.1190)<160;
通过改变角度值，可以分别求出两两飞机之间的距离：
附录2：求解问题一的中间数据
附录1：求解问题二的LINGO程序
model:
title 飞行管理问题 ;
sets:
plane/1..6/:x,y,a,a0,d_a;!x:初始横坐标，y：初始纵坐标，a：初始角度，a0:调整后角度 d_a：调整角度
link(plane,plane)|&1 #lt# &2;
time/1..100/:t;
endsets
data:
x=150,85,150,145,130,0;
y=40,85,155,50,150,0;
a0=4.2412,4.1190,3.8485,2.7751,4.0143,0.9076;
v=800;
enddata
min=@sum(plane(i):@abs(d_a(i)));
@for(time(d):t(d)=0.283/100*d);
@for(plane(i):a(i)=a0(i)+d_a(i));
@for(time(d):
@for(link(i,j):
((x(i)-x(j))+v*t(d)*(@cos(a(i))-@cos(a(j))))^2+((y(i)-y(j))+v*t(d)*(@sin(a
(i))-@sin(a(j))))^2-64>0
);
);
@for(plane:@bnd(-0.5236,d_a,0.5236));
end
附录4：问题二的中间数据
0.4932994 :d_a(3)改变量的弧度制值
0.1328732 :d_a(6)改变量的弧度制值
4.2412 ，4.1190 ，3.8485 ，2.7751 ，4.0143，0.9076:各飞机初始飞行角度的弧度制值