离散数学课件-第1章-2共54页文档
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离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
11/20/2020
chapter1
14
1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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4
1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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6
1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
11/20/2020
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7
1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
大一离散数学第1,2章 集合-ppt
Ａ∩(Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∩Ｃ；
4. 恒等律:Ａ∪Φ=Ａ； Ａ∩Ｕ=Ａ； 5. 零 律:Ａ∪Ｕ=Ｕ； Ａ∩Φ=Φ； 6. 分配律:Ａ∩(Ｂ∪Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∪(Ａ∩Ｃ)
Ａ∪(Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∪Ｂ)∩(Ａ∪Ｃ)
7. 吸收律:A∩(A∪B)=A; A∪(A∩B)=A； 8. 否定律:
AA
9. DeMorgan律： A B A B
又再∵计|算A||=A4,|,||BB||=和5，|A∪B|， 然∴后|代A|入＋公|B|式－(|2A.4∩.1B)|两=4端＋，5－验2=证7=等|式A∪B|
即定理即2可.4.。1成立；
(2)略。
三个集合的情形
• 定理2.4.3 设A，B和C是任意三个有限集合， 有
A∪B∪C =( A + B + C )-( A∩B + A∩C + B∩C )+ A∩B∩C
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ... E+ ２ ４ ６ ８ 10 ... 2(n+1) ... 所以，E+也是可数集合。
3）
在P与N之间建立1-1对应的关系 f：N→P如下： N ０ １ ２ ３ ４ ...
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... P ２ ３ ５ ７ 11 ... 所以，P也是可数集合。
4）
• 推论2.4.4 设U为全集， A，B和C是任意有 限集合，则
A∩B∩C = U -( A + B + C ) +( A∩B + A∩C + B∩C )- A∩B∩C
容斥原理的推广
• 定理2.4.5 设A1, A2, …, An是任意n个有限集合， 则
n
A1∪A2 ∪ ∪An = Ai - Ai∩Aj + Ai∩Aj∩Ak
4. 恒等律:Ａ∪Φ=Ａ； Ａ∩Ｕ=Ａ； 5. 零 律:Ａ∪Ｕ=Ｕ； Ａ∩Φ=Φ； 6. 分配律:Ａ∩(Ｂ∪Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∪(Ａ∩Ｃ)
Ａ∪(Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∪Ｂ)∩(Ａ∪Ｃ)
7. 吸收律:A∩(A∪B)=A; A∪(A∩B)=A； 8. 否定律:
AA
9. DeMorgan律： A B A B
又再∵计|算A||=A4,|,||BB||=和5，|A∪B|， 然∴后|代A|入＋公|B|式－(|2A.4∩.1B)|两=4端＋，5－验2=证7=等|式A∪B|
即定理即2可.4.。1成立；
(2)略。
三个集合的情形
• 定理2.4.3 设A，B和C是任意三个有限集合， 有
A∪B∪C =( A + B + C )-( A∩B + A∩C + B∩C )+ A∩B∩C
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ... E+ ２ ４ ６ ８ 10 ... 2(n+1) ... 所以，E+也是可数集合。
3）
在P与N之间建立1-1对应的关系 f：N→P如下： N ０ １ ２ ３ ４ ...
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... P ２ ３ ５ ７ 11 ... 所以，P也是可数集合。
4）
• 推论2.4.4 设U为全集， A，B和C是任意有 限集合，则
A∩B∩C = U -( A + B + C ) +( A∩B + A∩C + B∩C )- A∩B∩C
容斥原理的推广
• 定理2.4.5 设A1, A2, …, An是任意n个有限集合， 则
n
A1∪A2 ∪ ∪An = Ai - Ai∩Aj + Ai∩Aj∩Ak
离散数学课件第
离散数学课件第
第一页，共一百三十九页，2022年，8月28日
第二篇: 集合论
集合论是研究集合的一般性质的数学 分支, 它研究集合不依赖于组成它的事物 的特性的性质。
在现代数学中, 每个对象（如数, 函数 等）本质上都是集合, 都可以用某种集合 来定义。数学的各个分支本质上都是在研 究这种或那种对象集合的性质。集合论已 经称为全部现代数学的理论基础。
第十四页, 共一百三十九页, 2022年, 8月28日
第三章: 集合与关系
4.幂集合
【定义】 设A是集合，A的所有子集构成的集合称为
A的幂集合，记为P (A)，即
P (A) = S | S A
【例】设A= a,b,c ,Æ是空集,试求
P (A)，P (P (Æ))。解: P
(A)=
Æ, a , b , c , a,b , a,c ,
和B是互不相交的。
第十八页, 共一百三十九页, 2022年, 8月28日
第三章: 集合与关系
【定义】 设A, B是集合, 属于A的而不属于B 的元素组成的集合, 称为B对于A的补集, 也叫 B对于A的相对补集。记为A-B。 A-B= x |x A∧x B 相对补集定义如图3.4所示。
【例】令A= Æ, Æ ,B=Æ, 则A-B= Æ,Æ -Æ= Æ, Æ
③ 文氏图法: 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集
合的的方方法法, 人人们们
常用文氏图描述集合运算和它们之间的关系。如图3.1 （形象，直观
）。
第三章: 集合与关系
3.集合间的关系
【定义】设A，B是任意的集合，当A的每一元素都是B的元素时，则称A
是
B的子集，也称A包含在B内或B包含A。记为A B或B A。
第一页，共一百三十九页，2022年，8月28日
第二篇: 集合论
集合论是研究集合的一般性质的数学 分支, 它研究集合不依赖于组成它的事物 的特性的性质。
在现代数学中, 每个对象（如数, 函数 等）本质上都是集合, 都可以用某种集合 来定义。数学的各个分支本质上都是在研 究这种或那种对象集合的性质。集合论已 经称为全部现代数学的理论基础。
第十四页, 共一百三十九页, 2022年, 8月28日
第三章: 集合与关系
4.幂集合
【定义】 设A是集合，A的所有子集构成的集合称为
A的幂集合，记为P (A)，即
P (A) = S | S A
【例】设A= a,b,c ,Æ是空集,试求
P (A)，P (P (Æ))。解: P
(A)=
Æ, a , b , c , a,b , a,c ,
和B是互不相交的。
第十八页, 共一百三十九页, 2022年, 8月28日
第三章: 集合与关系
【定义】 设A, B是集合, 属于A的而不属于B 的元素组成的集合, 称为B对于A的补集, 也叫 B对于A的相对补集。记为A-B。 A-B= x |x A∧x B 相对补集定义如图3.4所示。
【例】令A= Æ, Æ ,B=Æ, 则A-B= Æ,Æ -Æ= Æ, Æ
③ 文氏图法: 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集
合的的方方法法, 人人们们
常用文氏图描述集合运算和它们之间的关系。如图3.1 （形象，直观
）。
第三章: 集合与关系
3.集合间的关系
【定义】设A，B是任意的集合，当A的每一元素都是B的元素时，则称A
是
B的子集，也称A包含在B内或B包含A。记为A B或B A。
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
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联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
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1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
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一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
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例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
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例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
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二、命题的表示法
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。在数理逻辑中，使 用大写字母，或带下标的大写字母，或用方括号括起的数字表示命题。
例：P： 今天下雨。 “今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。
它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。
离散数学的应用
◆关系型数据库的设计（关系代数） ◆表达式解析（树） ◆编译技术、程序设计语言（代数结构） ◆人工智能、自动推理、机器证明（数理逻辑） ◆网络路由算法（图论） ◆游戏中的人工智能算法（图论、树、博弈论） ◆专家系统（集合论、数理逻辑—知识和推理规则的计算机表达） ◆软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划分） ◆(各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学的
第一章 命题逻辑
目标语言：就是表达判断的一些语言的汇集。 目标语言和一些符号公式构成了数理逻辑的形式 符号体系。
1-1 命题及其表示法
一、命题
1、定义 能表达判断的陈述句，称作命题（Proposition）。 例：判断下列语句是否为命题: (陈1)述地句球：外述存说在一智件事慧情生的物句。子，句末用句号。 (祈2)使1＋句1：=要10求。或者希望别人做什么事或者不做什么事时用的 (句3)子今，天句下末雨用。句号或感叹号。 (疑4)问你句今：年提暑出假问去题的旅句行子吗，？句（末疑用问问号句。） (感5)叹克句里：特带岛有人浓说厚感：情“的克句里子特，岛句末人用是感说叹谎号话。者”。 悖（：相悖反论。）悖论：自相矛盾的陈述。
各分支）
教材
左孝凌，李为鉴，刘永才编著．离散数学．上海： 上海科学技术文献出版社,1982 主要参考教材: 孙吉贵，杨凤杰，欧阳丹彤，李占山编著．离散数 学．高等教育出版社，2002
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显然
¬P ∨Q P Q
（P ∧ Q）∨（ ¬P ∧ ¬ Q ） P Q
提示：判断两个公式是否等价，更好的方法是当变元
数不多时，直接构造两个公式的真值表，看两个真值表 是否相等即可。
命题公式的等价
可以证明（例如可以用真值表证明）： 命题公式等价有下面的三条性质： ⑴ 自反性，即对任意命题公式A， AA ⑵ 对称性，即对任意命题公式A和B，若 AB，则BA ⑶ 传递性，即对任意命题公式A，B和C， 若AB，BC，则AC
F
F
TT
T
T
（P ∧ Q）∨（ ¬P ∧ ¬ Q ） T
F F T
P Q T
F F T
在上面的真实表中你是否发现什么问题？
¬P ∨Q ？＝P Q
（P ∧ Q）∨（ ¬P ∧ ¬Q ）
＝？P Q
命题等价
命题公式 真值表
等价公式
重言式和蕴含式
命题公式的等价
AB的定义：A、B是含有命题变元P1,P2,…, Pn的命题 公式，如不论对P1, P2 , …, Pn作任何指派，都使得A和 B的真值相同，则称之为A与B等价，记作AB。
元，给pl，p2，…，pn各指定一个真值，称为对公式A 的一个赋值或解释。
若指定的赋值使A的真值为T，则称这个赋值为A
的成真赋值，若使A的真值为F，则称这个赋值为A的 成假赋值。
例如，给公式(p∨q→r)赋值011是指p=0，q=1， r=1，它是该公式的成真赋值；赋值110是指p=1，q=1， r=0，它是该公式的成假赋值。
命题公式
上面的定义给出合式公式定义的方法 称为归纳定义，它包括三部分：
基础、归纳、界限
其中⑴是基础，⑵和⑶是归纳，⑷是 界限。
以后将多次出现这种形式的定义。
命题公式
下列符号串合式公式： ¬(p∨q)，¬(p∨q)，(p→(p∨¬q))， (((p→q)∧(q→r))↔(s↔t))
下列符号串不是合式公式： (p→q)→(∧q)，(p→q，(p∧q)→q)
命题是能判断真假的陈述句。而命题 变元代表任意的命题，其真值是不确定 的。因而不是命题。
复合命题
如果一个命题不能再分解成更简单的命
题，则称该命题为原子命题。如果一个命 题不是原子命题，称该命题为复合命题。
如果用命题变元表示原子命题时，该命
题变元称为原子变元。
命题逻辑中，可以通过命题联结词将原 子变元联结起来表示复合命题。
T
T
FF T
F
F
真值表的概念
说明:
➢ 设P1，P2,…,Pn为命题公式P中的命题变量 ，对于命题变元每一种真值指派的可能 组合，都能唯一确定P的真值（即有2的n 次幂种分布）。
➢ 为了有序地列出公式的真值表，在对命 题变元做指派时，可以按照二进制数的 次序列表。
【 例 】 构 造 命 题 公 式 ¬p∨q 的 真 值 表 ， 并 求 成真赋值和成假赋值。
解：命题公式¬p∨q的真值表如表1.6所示。 00，01，11是成真赋值，10是成假赋值。
p
q
¬p ¬p∨q
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
【例】构造命题公式(p∧q)∨(¬p∧¬q)的真值表，并求 成真赋值和成假赋值。
解：命题公式(p∧q)∨(¬p∧¬q)的真值表如下表所示。 00， 11是成真赋值，01，10是成假赋值。
第一章 逻辑与证明
学习内容
1.1 逻辑
1.2 命题等价 1.3 谓词和量词 1.4 对偶与范式 1.5 推理规则 1.6 证明导论 1.7 证明的方法和策略 1.8 数理逻辑的应用
命题等价
命题公式
真值表 等价公式 重言式和蕴含式
命题变元
如果命题标识符表示一个具体、确定 的命题，称为命题常元。如果命题标识符 表示任意一个命题，称为命题变元。命题 变元无确定的真值。
命题公式
约定：为方便，最外层括号可以不写， 合式公式可以写成： P∧Q，PR，(P∨Q)∧R
如果规定逻辑联接词的优先级： ¬ 、 ∧、 ∨、 → 、
则： P ∧Q R也是合式公式
命题等价
命题公式
真值表
等价公式 重言式和蕴含式
命题公式的赋值
设pl，p2，…，pn是出现在公式A中的全部命题变
命题公式
把命题常元，命题变元按照 一定的逻辑顺序和规则，用命题 联结词连接起来就构成了命题演 算的合式公式，也叫命题公式。
命题公式
合式公式 ( wff ) (well formed formulas)：
按下列规则构成的符号串称为命题演算的合式 公式，也称为命题公式，简称公式。
⑴单个命题变元和常元是合式公式。 ⑵如果A是合式公式，那么¬A是合式公式。 ⑶如果A和B是合式公式，那么(A∧B)、(A∨B)、 (A→B)和(A↔B)是合式公式。 ⑷当且仅当有限次地应用了⑴、⑵、⑶所得到 的符号串是合式公式。
例如列出P(QR)的真值表
P Q R Q R P(QR)
000 F F F
T
T
001 F F T
T
T
010 F T F
F
T
011 F T T
T
T
100 T F F
T
T
101 T F T
T
T
110 T T F
F
F
111 T T T
T
T
观察下面的真值表
P Q ¬P ∨Q P Q
FF
T
T
FT
T
T
TF
p q p∧q ¬p ¬q ¬p∧¬q (p∧q)∨(¬p∧¬q)
00 0 11 1
1
01 0 10 0
0
10 0 01 0
0
11 1 00 0
1
真值表构造总结
➢ 为了有序地列出A(P1,P2,…,Pn)的真值表，可以将F看成0， 将T看成1，按照二进制数00…0, 00…01, 00…010, …, 11…10, 11…1(即十进制的0,1,2,…. ,2n -1)的次序进行指派 列真值表。
➢ 如A(P,Q)的真值表可按照如下次序指派： 00(F,F)，01(F,T)，10(T,F)，11(T,T)
➢ 如A(P,Q,R)的真值表可按照如下次序指派： 000(F,F,F), 001(F,F,T), 010(F,T,F), 011(F,T,T) 100(T,F,F), 101(T,F,T), 110(T,T,F), 111(T,T,T)
真值表的概念
在命题公式A中，对A的每 一个赋值，就确定了A的一个
真值，把它们汇列成表，称该 表为命题公式A的真值表。
真值表的概念
在命题公式A中，对A的每一个赋值，就确定了A
的一个真值，把它们汇列成表，称该表为命题公
式A的真值表。 例如：
P Q P PQ (PQ)∨Q
TT F
T
T
TF F
T
T
FT T