饮酒驾车的数学模型(1)

目录摘要 (1)一. 问题重述………………………………………………………二.问题分析…………………………………………………………三. 模型假设…………………………………………………………四.符号说明…………………………………………………………五.模型的建立与求解………………………………………………5.1 快速饮酒的模型……………………………………………5.2 慢速饮酒的模型……………………………………………5.3 多次饮酒模型………………………………………………六.模型的评价与改造…………………………………………………6.1 解释题目中大李遇到的问题…………………………………6.2 喝了三瓶酒或半斤底度白酒后多久才能驾车………………6.3 估计血液中酒精含量在何时最高……………………………6.4 天天喝酒,能否开车……………………………………………6.5 给司机的忠告……………………………………………………七.模型评价…………………………………………………………………八.模型推广…………………………………………………………………九.参考文献…………………………………………………………………十.附录………………………………………………………………………一、问题重述关键词：微分方程、模型。

本问题主要是分析驾驶员在喝过一定量的酒后，血液中酒精含量上升，影响司机驾车，所以司机饮酒后需经过一段时间后才能安全驾车，国家标准新规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，司机大李在中午12点喝下一瓶啤酒，6小时后检查符合新标准，晚饭地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2点驾车，被检查时定为饮酒驾车，为什么喝相同量的酒，两次结果不一样？讨论问题：1. 对大李碰到的情况做出解释；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1）酒是在很短时间内喝的；2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：二、模型假设1、酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。

2、酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。

3、酒精从胃转移到体液的过程中没有损失，且不考虑误差。

三、符号说明:酒精从体外进入胃的速率；kf(t):酒精从胃转移到体液的速率；1(t):酒精从体液转移到体外的速率；f2X(t):胃里的酒精含量；Y(t)：体液中酒精含量；V 0:体液的容积；K 1:酒精从胃转移到体液的速率系数；K 2:酒精从体液转移到体外的速率系数；C(t):体液中的酒精浓度。

0D ：短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。

T ：较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间。

四、模型的分析与建立（一）、模型分析：假设酒精先以速率0k 进入胃中，然后以速率)(1t f 从胃进入体液，再以速率f 2(t)从体液中排到体外。

（二）模型建立：找到C(t)与t 的关系用x(t)与y(t)分别表示酒精在胃、体液中的酒精量，c(t)表示酒精在体液中的浓度。

根据前面的假设可知：)()(11t x k t f =)()(22t y k t f =1.对胃建立方程： dx(t)=k 0dt-f 1(t)dt)()(10t f k dtt dx -= 可得：01)()(k t x k dtt dx =+ 利用一阶线性常微分方程求解，可以得到；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=-01110111)0()(1x x A c k k A A e c t x t k 又因为)()(11t x k t f = ，联合式可得：111111)(A k e c k t f t K +=-0111k e c k t k +=-00011)(k ek x k t k +-=-2又对中心室可建立方程组如下； ⎪⎩⎪⎨⎧=-=021)0()()()(y y t f t f dt t dy 同理：)()()(21t y k t f dtt dy -= 因为000111)()(k e k x k t f t k +-=-，将其代入上式可得到：000121)()()(k e k x k t y k dtt dy t k +-=+- 利用微分求解：t k t k t k t k e B A e c e k k k x k k k e c t y 121222212001202)(----++=--++= 又酒精浓度为酒精量与体液容积之比，0)()(v t y t c =，即： t k t k e B A e c t c 12333)(--++=（其中 023v c c =，0203v k k A =，0120013)(v k k k x k B --=，0333)0(c c C B A ==++）。

（三）模型的讨论：情况一 1当酒是在较短时间内喝时此时有00)0(x D x ==，00=k ，00=c 。

由上可得：03=A ，012013)(v k k D k B -=，33B c -= 因此有：]333121212[)()(t k t k t k t k tk t k e e A e e B e B e B t c -------=--=+-= （其中 021013)(v k k D k B A -=-=） 设K1>K2,因此可认为：t k Ae t c 2)(-≈tK A t c 2ln )(ln -=⇒利用数表一：（喝下两瓶啤酒 取0.25小时以后）通过Matlab 进行曲线拟合可得：>> t=[ 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16];y1=[82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4];y2=log(y1);polyfit(t,y2,1);ans =-0.1940 4.77535459.118=A ，1940.02=k根据查阅资料可知：一瓶啤酒的酒精量一般为640ml ，密度为810mg/ml 酒精浓度不超过4.5%，所以两瓶啤酒的酒精总量mg D 46656%5.481064020=⨯⨯⨯=由于体重为70kg,体重的65%左右，体液密度为1.05mg/ml 33.43310005.110%657030=⨯⨯⨯=v 毫克/百毫升。

由02101)(v k k D k A -=可求得：114.21=k 。

可得短时间内喝下两瓶啤酒时关系式如下；][5459.118)(114.21940.0t t e e t c ---=用Matlab 软件画出图形为：情况二1当酒是在较长时间内喝时我们可将其进行分段讨论。

当t ](，T0∈时，同样可以得到：T 为喝酒总用时，取2小时。

此时T D k 00=，x （0）=0，y （0）=0因为：t k t k e B A e c t c 12333)(--++=可知)()1()()(12223313333t k t k t k tk t k e e B e A e B A e B A t c --------=+++-=由上式可以求得：A 3=277.50259B 3=28.0386772所以可得 :T k T k T k T k T k t k Be e e B e e B e A T c 212122][)()1()(33------=-=---=2当t T >时，则此时血液中的浓度与时间关系式如下： )(2)(1)(20211)(][)()()(T t k T t k T t k e T C e e v k k T x k t c ------+-⨯-= 其中]1[1)(110011001T k T k e k k k k e k k x k T x ---=+-= ][)(]1[)(212102020T k T k T k e e k k k e y k k T c -----+-= 综上所述，可得，当T t ≥时⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--+-=-=+-⨯-=----------][]1[)(]1[)()(][)()()(212121*********)()()(0211T k T k t k T k T t k T t k T t k e e k k k e y k k T c e k k T x e T C e e v k k T x k t c 五、问题的解答问一：假设大李第一次喝酒是在短时间内喝的，根据所建立模型，符合情况一][27295.59)(114.21940.0t t e e t c ---=（一瓶啤酒）当6=t 时，可以求得百毫升/2778.18)(mg t c =，小于200mg/百毫升，所以第一次检查时不是饮酒驾驶。

紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车。

第一次喝完6小时后残余18.2778mg/百毫升，又过8小时残余 3.92mg/百毫升，因此晚六点喝酒不是短时间喝完，因此可知，18.2778+3.92=22.1978＞20。

因此为饮酒驾车。

问二（1）当酒是在较短时间内喝时，符合情况一所以：三瓶啤酒时 ][81885.177)(114.21940.0t t e e t c ---=当百毫升毫克/20)(=t c 时，可求得小时261.11=t 。

所以当驾驶员在较短时间内喝下三瓶啤酒时，必须经过11.261小时后开车才不会被认为是饮酒驾车。

（2）当酒是在较长时间内喝时，符合情况二t k t k e B A e c t c 12333)(--++=当百毫升毫克/20)(=t c 时，可以求出407.13=t 小时，所以当驾驶员在较长时间（T 为二小时）喝下三瓶啤酒后，必须经过13.407小时后开车才不被认为是饮酒驾车。

问三：（1） 短时间内喝酒时，符合情况一 ][)()(1202101t k t k e e V K K D k t c ----=当)(t c 的导数等于0时，可解得：23.1212ln 1ln =--=k k k k T 所以当t=1.23时，)(t c 取得最大值。