线性代数模拟试题及答案
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《线性代数期末模拟试题一》
(填成立或不成立)。
3. 设〉1厂2,〉3均为3维列向量,记矩阵A =(:1,:2,:3),记矩阵
(填行或列)初等变换而得到。
、填空(本题20分每小题2分)
1•设det (a j )为四阶行列式 若M 23表示元素a 23的余子式,A 23表示元素a 23的代
数余子式,则 M 23 + A 23= ___________
a 11
2.三阶行列式 0 a 22
a
31
a
i3
0中只有位于两条对角线上的元素均不为零, a
33
则该
三阶行列式的所有项中有
_________ 项不为零,这一结论对n 阶行列式
‘2 1
、
4.设矩阵A = 0 3 B =
<_1 2」
r
1 7 -2
5
4丿
且矩阵C 二AB ,所以矩阵 C 一定可以由矩阵B 经过
5.设矩阵A 可逆, 1 4 2
7 2 0 -1 3 1
B =(〉1 -2〉2, >2 • >3, >1 一 >3
6.设向量组0102,4304,若只(01,。203)=2 只(。2巴3,。4)=3,贝U。1 一定7 •非齐次线性方程组Ax = b有唯一的解是对应的齐次方程组Ax = O只有零解的充分但不必要条件。
可以由向量唯一的线性表示。
8•设3阶矩阵A的行列式A =0,则矩阵A一定有一个特征值。
9. n阶矩阵A有n个特征值1, 2,…,n , n阶矩阵B与A相似,则B -
10.向量组: P:;1,山2];1,(填是或不是)向量空间R2一个规范正交基
、单项选择(本题10分,每小题2分)
注意:请务必将你的选择题的答案按要求填入下表,否则答案无效!
1. 设矩阵A为n阶方阵,则关于非齐次线性方程组Ax二b的解下列说法() 不正确
(A)若方程组有解,则系数行列式A=0;
(B)若方程组无解,则系数行列式 A =0;
(C)若方程组有解,则或者有唯一解或者有无穷多解
(D) 系数行列式A H O 是方程组有唯一解的充分必要条件 2. 设A 为n 阶可逆矩阵,下列正确的是( )
(A) (2A)T =2A T ;
(B) (2A)」=2A ,;
(C) [(A 」)f [(A T )]J ; (D) [(A T )T ]J =[(A 」)」]T O
3. 奇异方阵经过( )后,矩阵的秩有可能改变。 (A)
初等变换; (B) 左乘初等矩阵;
(C)左、右同乘初等矩阵; (D) 和一个单位矩阵相加。
4 •设非齐次线性方程组Ax 二b 的系数矩阵A 是4 5矩阵,且A 的行向量组线性 无关,则有( )。
(A) A 的列向量组线性无关;
(B) 增广矩阵B 的行向量组线性无关;
(C) 增广矩阵B 的任意4个列向量组线性无关; (D) 增广矩阵B 的列向量组线性无关。
5•设,=2是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵1
A 2 有一个特征值为( )
2丿 '7
(A) 4/3 ; (B) 3/4 ; (C) 1/2; (D) 1/4 三、计算(2道题,共16 分)
M “,M 32,M 33,M 34分别是第三行各个元素的对应的余子式)
4 0
2
2 2
-7 0 0 ,求 M 31 + M 32 + M 33 + M 34 (其中 3
-2 2
3 2 1 •设行列式
D= 0
广 1 0 1'
已知A , B 为3阶矩阵,E 表示3阶单位阵,且A= 0
2 0
^1 0 b
(1)求A’ ;(2)证明矩阵(A-E )为逆矩阵; (3)若矩阵A ,B 满足AB
A 2
B ,证明A E 。
问k 取何值时,方程组
X 1 X 2
X 1 3X 2 6X 3 X 4
3咅 - X 2 - kx
3
15X 4
X [ - 5X 2 - 10X 3 12X 4 二 1
1•有唯一解;2•有无穷多解,并求通解。
五、(本题12分)
1 1 1 b 1 a 1 % b 2
b 2 a 2
2•计算
-■-
---
b n-1
b
n_1
b n_
1
b n
b n
b n
四、(本题12分)
得分
1 1
a 1… a 1
a 2
…
a 2
■--
(nX1)
b
nV …
a
n —1
b n …
a n
n+1
2X 3 3X 4 二 1
二 3
二 3
六、(本题10分)
向量组A : a 1^t 2^(3^(4,由四个向量组成,其中
■V
1
-3
2
—6 a
1 = 1 ,口
2 = 5 ,
3 =
-1 ,a 4 = 10
6
<1」
<4 J
<2」
求: ( 1)向量组A 的秩RA ; (2)向量组A 线性相关性;(3)向量组A 的一个最 大无关组。
已知二次型 f (x 1
,x 2,x 3^x 12 x2 xl 2ax 2x 3 - 2x 1x 3 (其中 a 为待定系 数)经过正交变换x =Py 化为f =2y ; - y l ,试回答下列问题:
(1) 写出二次型的矩阵A 可以含待定系数a ; (2) 写出A 的全部特征值;
⑶利用(1)、(2)求出a 的值
在R 3中,取两组基
:组::1=(1,0,-1)丁,:- 2=(1,-1,0)丁,: 3=(0,1,-2)T [组:=(2,1,0)T ,
-2 ^-1,2,1)T ,飞二(1,1,0)T
七、(本题10分)
八、(本题5 分)
若向量
b 在基-,:匕,下的坐标为1, -1, -1,求它在基一:1「2「3下的坐标