圆心角--知识讲解(基础)

圆心角--知识讲解（基础）
【学习目标】
1.了解圆心角的概念；
2.掌握弧、弦和圆心角定理及其推论，并能解决有关问题；
3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它
两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．
【要点梳理】
要点一、圆心角与弧的定义
1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.
要点诠释：
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.
2．1°的弧的定义
.如下图，
1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧
(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
要点二、圆心角定理及推论
1.圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
要点诠释：
(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
2.圆心角定理的推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.
要点诠释：
在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相
等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.
【典型例题】
类型一、圆心角的概念
1. 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
【思路点拨】根据圆心角的定义进行判断．
【答案与解析】
解：①不是，因为顶点在圆内非圆心的位置;
②不是，因为顶点在圆外，没有在圆心;
③不是，因为顶点在圆上，而不是在圆心;
④是，满足圆心角定义.
【总结升华】掌握与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、圆心角等. 类型二、圆心角定理及推论
2.（2016•台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（）
A．25 B．40 C．50 D．55
【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．
【答案】B
【解析】
解：连接OB、OC，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，
∵∠A=65°，∠D=60°，
∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，
∵=150°，
∴∠AOD=150°，
∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，
则=40°．
故选B
【总结升华】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．
举一反三：
【变式】如图，AB是⊙O的直径，BC CD DE
==，∠COD＝35°，求∠AOE的度数．
【答案】
解：∵BC CD DE
==，∠COD＝35°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=35°，
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=75°．
3.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知AD=BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB=CD；
（2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．
【答案与解析】
（1）证明：如图，∵AD=BC，
∴=，
∴﹣=﹣，即=
∴AB=CD；
（2）解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF=FD，BG=CG．
∵AD=BC，
∴AF=CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF=OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF=EF．
设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，
解得x=3．
则AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．
【总结升华】本题考查了勾股定理，垂径定理以及圆心角、弧、弦间的关系．注意过圆心作弦的垂线是圆中常见的辅助线．
举一反三：
【变式】已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．
【答案与解析】
证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ A B C D =．
∴ A B B D C D B D -=-，即AD BC =，
∴ AD ＝BC ．
证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，
∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ．
∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ，
即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．
4.如图所示，AB 是⊙O 的弦，C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD ，分别交⊙O 于点E 、F. 试证: =A E B F .
【思路点拨】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE ＝∠BOF.
【答案与解析】
证明： ∵OC ＝OD ，
∴∠OCD ＝∠ODC.
∵AO ＝OB ，∴∠A ＝∠B.
∴∠OCD －∠A ＝∠ODC －∠B ，
即∠AOC＝∠BOD，
即∠AOE＝∠BOF.
AE BF.
∴=
【总结升华】本题利用了在同圆或等圆中，等弧对等弦及等弦对等弧求解．
举一反三：
=. 【变式】如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA. 求证：AC AE
A
【答案】
证明：连接OE，
∵BE∥OA，
∴∠B=∠COA，∠E=∠AOE，
∵OE=OB，
∴∠B=∠E，
∴∠COA=∠AOE，
=.
∴AC AE。