离散数学39偏序关系
离散数学 偏序
离散数学中的偏序关系是一个核心概念，它描述了集合中元素之间的一种特定关系。
与等价关系和全序关系不同，偏序关系允许集合中的元素之间只有部分元素之间存在比较关系，而不是全部元素之间都有比较关系。
偏序关系是一种二元关系，通常表示为集合上的一个小于或等于的符号（≤）。
这种关系满足两个基本性质：自反性和传递性。
自反性意味着集合中的每一个元素都小于或等于自己；传递性则意味着如果元素a小于或等于元素b，元素b小于或等于元素c，那么可以推出元素a小于或等于元素c。
偏序关系的一个重要特点是它允许集合中存在不可比较的元素对。
也就是说，对于某些元素a和b，我们不能确定a小于b，也不能确定b小于a。
这种不可比较性使得偏序关系比全序关系更加灵活和实用。
偏序关系在实际应用中有广泛的应用。
例如，在计算机科学中，偏序关系可以用于描述程序的执行顺序、任务之间的依赖关系等。
在数据结构中，偏序关系可以用于定义优先队列、堆等数据结构，从而实现对元素的快速排序和检索。
此外，偏序关系还与数学中的其他概念密切相关，如格、有向无环图等。
通过偏序关系，我们可以对集合中的元素进行排序、分类和比较，从而更好地理解和分析问题的本质。
总之，离散数学中的偏序关系是一种重要的二元关系，它描述了集合中元素之间的部分比较关系。
偏序关系具有自反性、传递性和不可比较性等特点，广泛应用于计算机科学、数据结构、数学等领域。
通过偏序关系的研究和应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
离散数学中的关系
离散数学中的关系
离散数学中的关系指的是集合之间元素的联系或对应关系。
这种关系可以描述为有序对的集合，其中每个有序对都由一对元素组成。
在离散数学中常见的关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。
等价关系是一种自反、对称和传递的关系，即元素之间具有相等的性质。
例如，集合中两个元素的相等关系就是一种等价关系。
偏序关系是一种自反、反对称和传递的关系，即对元素之间存在一种偏序或排序关系。
例如，在集合中，可以通过元素之间的比较来确定它们的顺序关系。
全序关系是一种偏序关系，它不仅是自反、反对称和传递的，还具有完备性，即对于集合中任意两个元素，它们之间必定存在一种顺序关系。
离散数学中还有其他类型的关系，如函数关系、包含关系等。
函数关系是一种特殊的关系，它对于集合中的每个元素，都存在唯一的映射元素。
包含关系则描述了两个集合之间的包含或包含于关系。
通过对这些关系的研究和分析，可以帮助理解和解决离散数学中的问题。
同时，关系的性质和特征也为其他学科如计算机科学、逻辑学等提供了基础。
离散数学___等价关系与偏序关系
思考：
设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 问哪些是A的划分, 哪些不是 A 的划分？ 答案： π 1和π 2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分.
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同年龄关系 R是等价关系。
4
再如设集合A的情况同上所述 若令集合A={a , b , d , c , e , f } 同房间 同房间
其中a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 如果同住一个房间的大学生认为是相关的，那么 “同房间”关 系 R也是等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同房间的，所以满足自反性；
7
（1）a ,b,c都姓“张”，d,e,f 都姓“李” a b
√ √ √
c
√ √ √
d
e
f
a √ b √
c √ d e f
a b c
√ √ √ √ √ √ √
d e f
√
√
a 1 1 1 0 0 0
b c d e f 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
用刀分
{
离散数学实验三：偏序关系中盖住关系的求取及格论中有补格的判定
题目：输入n，求1~n 中的满足整除关系的因子。
再根据盖住关系的原理求盖住关系。
最后判断是否为有补格。
任意输入一个整数作为n 值。
程序代码#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>#include <string>using namespace std;int count = 0; //从0 开始计数int n; //正整数int factors[100]; //存因子int matrixs[100][100] = {0}; //初始化为0//计算正整数n 的因子void factor(){cout << "The factors of " << n << " are: " << endl;for(int i = 1; i <= n/2; ++i){ //到n/2 结束就行if(n % i == 0){factors[count++] = i;cout << i << ",";}}factors[count] = n; //n 自己也是因子cout << n << endl;}//盖住关系void cover(){//关系矩阵初始化for(int i = 0; i <= count; ++i){for(int j = 0; j <= count; ++j){if(factors[j] % factors[i] == 0){ //如果满足整除关系，就设为1matrixs[i][j] = 1;}}}//开始判断for(int i = 0; i <= count; ++i){for(int j = 0; j <= count; ++j){for(int k = 0; k <= count; ++k){matrixs[k][k] = 0; //先去掉自反性if(matrixs[i][j] && matrixs[j][k]){matrixs[i][k] = 0; //再去掉传递性}}}}cout << "The cover is: {";for(int i = 0; i <= count; ++i){for(int j = 0; j <= count; ++j){if(matrixs[i][j]){ //除去前面去掉的，其他就满足盖住关系了cout << " <" << factors[i] << "," << factors[j] << ">";}}}cout << " }" << endl;}//求最大公约数int gcd(int x, int y){int m;//辗转相除法while(m != 0){m = x % y;x = y;y = m;}return x;}//判断有补格void complemented_lattice(){bool flag;int Gcd, Lcm;for(int i = 1; i < count; i++){flag = false;for(int j = 1; j < count; j++){if(i == j)continue;Gcd = gcd(factors[i], factors[j]); //最大公约数，即最大下界Lcm = factors[i] / Gcd * factors[j]; //最小公倍数，即最小上界if(Gcd == factors[0] && Lcm == factors[count]) //最大下界为1，最小上界为n{flag = true;break;}if(!flag){cout << "This is not complemented lattice!" << endl;return;}}}cout << "This is complemented lattice!" << endl;return;}int main(){cout << "Please input a positive integer: ";cin >> n;cout << endl;factor();cout << endl;cover();cout << endl;complemented_lattice();cout << endl;return 0;}实验结果测试数据一n：25因子为：1，5，25。
离散数学39偏序关系
偏序关系一、偏序关系和哈斯图1、定义3-12.1 若集合A上的二元关系R是自反的、反对称的和传递的，则称R是A的偏序关系，记作≼.设≼为偏序关系，如果<x,y>∈≼，则记作x≼y，读作“小于或等于”。
.序偶<A, ≼>称为偏序集合.（Partially Ordered Relations）注意：这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏序关系中的顺序性.x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，x排在y的前边或者x就是y.根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释.例如整除关系是偏序关系， 3 ≼ 6的含义是3整除6.大于或等于关系也是偏序关系，针对这个关系写5≼4是说大于或等于4,关系≼中5排在4的前边，也就是5比4大.注：和空关系都是A上的偏序关系， 1. 集合A上的恒等关系IA但全域关系E一般不是A上的偏序关系.A2. 实数域上的小于等于关系（大于等于关系），自然数域上的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系.定义设R为非空集合A上的偏序关系，定义(1) ∀x, y∈A, x ≺ y当且仅当 x ≼ y且x≠y;(2) ∀x, y∈A, x 与 y 可比当且仅当 x ≼ y 或 y ≼ x.注：在具有偏序关系的集合A中任二元素 x 和 y 之间必有下列四种情形之一：x ≺ y ，y ≺ x ，x=y ，x 与 y 不可比.例设A={1, 2, 3}(1) ≼是A上的整除关系，则：1 ≺ 2, 1 ≺ 3, 1＝1, 2＝2, 3＝3，2 和3 不可比；(2) ≼是 A 上的大于等于关系，则: 2 ≺ 1, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2,1＝1, 2＝2，3＝3.2、定义3-12.2 在偏序集<A , ≼ >中，如果x,y∈A ， x ≼y，x ≠ y，且没有其他元素z满足x≼ z、z ≼y，则称元素y盖住元素 x.并且把所有具备盖住性质的续偶集合记作COV A，COV A={<x,y>| y盖住x }.例1A为正整数m＝12的因子的集合，并设≼为整除关系，求COV A.二、哈斯图（偏序集合图，Hasse Diagram）1、对于给定的偏序集<A，≼ > ，它的盖住关系是唯一的，所以可以用哈斯图表示偏序集合图.哈斯图作图规则：(1)用小圆圈代表元素.(2) 如果 X ≼ Y，且X ≠ Y，则将代表Y的小圆圈画在代表X的小圆圈之上.(3) 如果<X,Y> ∈COV A,则在X与Y之间用直线连接.2、哈斯图举例例2 画出偏序集A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，≼为整除关系的哈斯图.例3 A={a,b,c}， 画出 <ρ(A), ⊆> 的哈斯图。
偏序关系
注：覆盖P的链数 P中任一反链的元素个数.
等价结论:有限偏序集中存在一个链覆盖和一个反链，它们 大小相等
Dilworth定理的归纳证明
证明. 按照P中元素个数（|P|=1, 2 …）进行归纳证明. 设a为P中的一个极大元素, P’ =P-{a} 设(P’,≼)有一个大小为k的反链{a1, a2, …, ak}，并有一个规模 为k的链覆盖{C1, C2, …, Ck}. 对任意Ci , P’中大小为k的任一反链均有唯一的元素属于Ci， 这些元素有一个最大元，记为xi. A={x1, x2, …, xk}必是反链。否则，不妨假设A中有两个元素 xi≼ xj. 根据xj的定义，P’中必有一个大小为k的反链Aj, xj是Aj 和Cj的公共元素，假设y是Aj和Ci的公共元素，则y≼ xi. 从而 y≼ xj.与Aj是反链矛盾.
x1 x2且x1 ≼ x2, 或者x1 = x2且y1 ≼ y2
易证R是AA上的偏序关系
给定有限字符集合，若在上有一个偏序关系，类似上述 办法，可以对任意正整数 k, 定义 k( 由 中字符构成的长度 为 k的串的集合 ) 上的偏序关系。加以适当的技术处理，则 容易定义 +(由 中字符构成的长度为任意正整数的串的集 合)上的偏序关系：字典关系
b
c a1 a2
….
….
ai ak
d
e
f
g
C
i 1
k
i
P(Ci互不相交）
Dilworth定理
链覆盖 是(P,≼)中一组互不相交的链, 它们一起包 含了P中的所有元素. Dilworth 定理 (1950) 在任意有限偏序集(P,≼)中, 覆盖P的最小链数等于 P中最长反链的长度（元素个数）.
《离散数学》偏序关集与格
第六章 偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
18
积偏序和字典序
• 定理 假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
42
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
43
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
44
最大元与最小元
12 8
9
6
4
10
11 3
2
57
1
45
极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
46
{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
12
偏序集
• 例如：
– 小于等于关系 和
– 大于等于关系
次序关系-集合与关系-离散数学
第8页
偏序集哈斯图（Hasse图）的画法
令<A,≤>是偏序集， x,y,z∈Ａ 作图规则：
(1)用“ ° ”表示A中元素。 (2)若x≤y，且x≠y，则将结点y画在结点x的上
方。 (3)若x≤y， x≠y且没有不同于x,y的z，使得
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三、偏序集哈斯图（Hasse图）
(1)用矩阵表示偏序关系，不能明显看出二元关系的 特征。
(2)用简化的关系图表示较合适。 简化的关系图： (1)自反性：每个结点都有自回路，可省去自回路。 (2)反对称性：两个结点间只可能有一个箭头方向，
所以将箭头默认为从下→上，可省略箭头。 (3)传递性：由于有<a,b>,<b,c> ∈R，则<a,c> ∈R，
自反 对称 传递 反对称 反自反
等价关系
有 向 图
等 价 类
商 集
划 分
相容关系
简 化
图
相 容 类
容 类
最 大 相
完 全 覆 盖
偏序关系 全
序
哈 斯 图
重要 元素
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一、偏序关系(partial order relation)
1. 定义3-12.1 R是A上自反、反对称和传递的关系，则称R是 A上的偏序关系。并称<A,R>是偏序集。
<2,6>, <4,4>, <6,6>} R
所以，R是偏序关系。
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2. x与y是可比较的
<A,≤>是偏序集，x,y∈A，若要么x≤y，要么y≤x， 则称x与y是可比较的。
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偏序关系
一、偏序关系和哈斯图
1、定义3-12.1 若集合A上的二元关系R是自反的、反对称的和传递的，则称R是A的偏序关系，记作≼.设≼为偏序关系，如果<x,y>∈≼，则记作x≼y，读作“小于或等于”。
.序偶<A, ≼>称为偏序集合.（Partially Ordered Relations）
注意：这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏
序关系中的顺序性.x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，
x排在y的前边或者x就是y.
根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释.
例如整除关系是偏序关系， 3 ≼ 6的含义是3整除6.
大于或等于关系也是偏序关系，针对这个关系写5≼4是说大于或等于4,关系≼中5排在4的前边，也就是5比4大.
注：
和空关系都是A上的偏序关系， 1. 集合A上的恒等关系I
A
但全域关系E
一般不是A上的偏序关系.
A
2. 实数域上的小于等于关系（大于等于关系），自然数域上的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系.
定义设R为非空集合A上的偏序关系，定义
(1) ∀x, y∈A, x ≺ y当且仅当 x ≼ y且x≠y;
(2) ∀x, y∈A, x 与 y 可比当且仅当 x ≼ y 或 y ≼ x.
注：
在具有偏序关系的集合A中任二元素 x 和 y 之间必有下列四种情形之一：
x ≺ y ，y ≺ x ，x=y ，x 与 y 不可比.
例设A={1, 2, 3}
(1) ≼是A上的整除关系，则：1 ≺ 2, 1 ≺ 3, 1＝1, 2＝2, 3＝3，
2 和
3 不可比；
(2) ≼是 A 上的大于等于关系，则: 2 ≺ 1, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2,
1＝1, 2＝2，3＝3.
2、定义3-12.2 在偏序集<A , ≼ >中，如果x,y∈A ， x ≼y，x ≠ y，且没有其他元素z满足x≼ z、z ≼y，则称元素y盖住元素 x.并且把所有具备盖住性质的续偶集合记作COV A，
COV A={<x,y>| y盖住x }.
例1A为正整数m＝12的因子的集合，并设≼为整除关系，求COV A.
二、哈斯图（偏序集合图，Hasse Diagram）
1、对于给定的偏序集<A，≼ > ，它的盖住关系是唯一的，所以可以用哈斯图表示偏序集合图.
哈斯图作图规则：
(1)用小圆圈代表元素.
(2) 如果 X ≼ Y，且X ≠ Y，则将代表Y的小圆圈画在代表X
的小圆圈之上.
(3) 如果<X,Y> ∈COV A,则在X与Y之间用直线连接.
2、哈斯图举例
例2 画出偏序集A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，≼为整除关系的哈斯图.。