二次函数实际应用问题及解析

中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题，主要是解答题，也有少量的选择和填空

题，常见问题有以几何为背景问题，以球类为背景问题，以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。

一. 以几何为背景问题

原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45o 的角，水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中：

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ？

【答案】（1）213222y x x =-

++；（2）(27m ． 【解析】

试题分析：（1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C （2，3.5）及B （0，1.5），设顶点式求解析式；

（2）求AD ，实际上是求当y=0时点D 横坐标．

在如图所建立的直角坐标系中，

由题意知，B 点的坐标为(01.5)，，

45CBE BEC ∠=∴o ，△为等腰直角三角形，

2BE ∴=，

点坐标为(23.5)，

（1）设抛物线的函数解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，

则抛物线过点(01.5)，顶点为(23.5)，

， 当0x =时， 1.5y c == 由22b a -=，得4b a =-， 由24 3.54ac b a

-=，得2

616 3.54a a a -= 解之，得0a =（舍去），1422a b a =-∴=-=，．

所以抛物线的解析式为213222

y x x =-++．

考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用

点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从

中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型．

原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC x 边长为（m ），花园的面积为y （m ）．

（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）满足条件的花园面积能达到200 m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；

（3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）x x y 202

12+-

=)150(≤

2120(015)2

y x x x =-+<∴≤ （2）当200y =时，

即21202002

x x -+= ∴2404000x x -+=

解得：2015x =>

015x <∵≤

∴此花园的面积不能达到200m

考点：本题考查实际问题中二次函数解析式的求法及二次函数的实际应用

点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型．

二. 以球类为背景问题

原创模拟预测题3.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m 的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式()2

=-+。已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点y a x6h

的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求二次函数中二次项系数a的最大值。

【答案】（1）把x=0，y=2及h=2.6代入到()2

=-+，

2a06 2.6

=-+，即()2

y a x6h

∴1a 60=-。 ∴当h=2.6时， y 与x 的关系式为()21y x 6 2.660=-

-+。

（3）把x=0，y=2代入到()2

y a x 6h =-+，得h 236a =-。 x=9时，()2

y a 96236a 227a =-+-=-＞2.43 ①， x=18时，()2

y a 186236a 2108a =-+-=+≤0 ②， 由① ②解得1a 54

≤-。 ∴若球一定能越过球网，又不出边界，二次函数中二次项系数a 的最大值

为154

-。 【考点】二次函数的性质和应用，无理数的大小比较。

三. 以桥、隧道为背景问题

原创模拟预测题4.如图，一大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax 2+bx+c ，小王骑自行车从O 匀速沿直线到拱梁一端A ，再匀速通过拱梁部分的桥面AC ，小王从O 到A 用了2秒，当小王骑自行车行驶10秒时和20秒时拱梁的高度相同，

则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面AC 共需 秒．

【答案】26。

【考点】二次函数的应用

四. 以利润为背景问题

原创模拟预测题5. 某山区的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润P=()21x 604150

--+（万元）。当地政府拟规划加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出60万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售。在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润Q=()()249288100x 100x 160505

--+-+（万元）。