不定积分例题及问题详解

第4章不定积分

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)

思路: 被积函数52

x -

=，由积分表中的公式（2）可解。

解：

5

3

2

2

23x dx x C -

-

==-+⎰

★(2)dx

-

⎰

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1

14111

33322

23

()2

4dx x x dx x dx x dx x x C -

-

=-=-=-+⎰⎰⎰⎰

★(3)2

2x x dx +⎰

（）

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2

2

3

2122ln 23

x x

x

x dx dx x dx x C +=+=++⎰

⎰⎰（）

★(4)

3)x dx -

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：

3153

22

222

3)325

x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰

⎰⎰

★★(5)422

331

1

x x dx x +++⎰ 思路:观察到422

223311311

x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，

分别积分。

解：4223

2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2

2

1x dx x +⎰

思路:注意到22222

111

1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x

=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，

通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x

⎰

34134

（-

+-）2 思路:分项积分。 解：34

11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-

+-）2 223134

ln ||.423

x x x x C --=--++ ★

(8)23(

1dx x -+⎰

思路:分项积分。 解

：2231(

323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰

⎰ ★★

(9)

思路

=？

111

7248

8

x

x ++==，直接积分。

解

：

715

8

88

.15x dx x C ==+⎰

⎰

★★(10)

221

(1)dx x x +⎰

思路:裂项分项积分。 解：

222222

111111

()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x

x x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)21

1

x x

e dx e --⎰ 解：21(1)(1)

(1).11

x x x x x x

x

e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x x

e dx ⎰

思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x x x

e e =（）。

解：333.ln(3)

x

x

x

x

e e dx e dx C e ==+⎰⎰

（）

（） ★★(13)2

cot xdx ⎰

思路:应用三角恒等式“2

2

cot csc 1x x =-”。 解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰

★★(14)23523

x x

x

dx ⋅-⋅⎰ 思路:被积函数

235222533

x x x

x ⋅-⋅=-（），积分没困难。 解：2

()2352232525.33ln 2ln 3

x

x

x

x x dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★(15)2cos 2

x dx ⎰ 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

解：2

1cos 11cos

sin .2222x x d dx x x C +==++⎰⎰ ★★(16)1

1cos 2dx x

+⎰

思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

解：

2

21111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰ ★(17)cos 2cos sin x

dx x x

-⎰

思路:不难，关键知道“2

2

cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。

解：

cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x

dx x x dx x x C x x =+=-+-⎰⎰

★(18)22

cos 2cos sin x

dx x x

⋅⎰ 思路:同上题方法，应用“2

2

cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。

解：22222222cos 2cos sin 11

cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x

x x x x -==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰ 22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰