数论

断断续续的学习数论已经有一段时间了，学得也很杂，现在进行一些简单的回顾和总结。学过的东西不能忘啊。。。

1、本原勾股数：

概念：一个三元组(a,b,c)，其中a,b,c没有公因数而且满足：a^2+b^2=c^2

首先，这种本原勾股数的个数是无限的，而且构造的条件满足：

a=s*t,b=(s^2-t^2)/2,c=(s^2+t^2)/2

其中s>t>=1是任意没有公因数的奇数！

由以上概念就可以导出任意一个本原勾股数组。

2、素数计数（素数定理）

令π(x)为1到x中素数的个数

19世纪最高的数论成就就是以下这个玩意儿：

lim(x->∞){π(x)/(x/ln(x))}=1

数论最高成就，最高成就！！！有木有！！！

3、哥德巴赫猜想(1+1)

一个大偶数(>=4)必然可以拆分为两个素数的和，虽然目前还没有人能够从理论上进行证明，不过我根据科学家们利用计算机运算的结果，如果有一个偶数不能进行拆分，那么这个偶数至少是一个上百位的数！！

所以在ACM的世界中（数据量往往只有2^63以下）哥德巴赫猜想是成立的！！所以拆分程序一定能够实现的

4、哥德巴赫猜想的推广

任意一个>=8的整数一定能够拆分为四个素数的和

证明：

先来说8=2+2+2+2，（四个最小素数的和）不能再找到比2小的素数了，所以当n小于8，就一定不可能拆分为四个素数的和！

那么当n大于等于8，可以分情况讨论：

（1）n&1==0(n为偶数)，那么n就一定可以拆分为两个偶数的和

那么根据哥德巴赫猜想，偶数可以拆分为两个素数的和，于是，n一定可以拆分为四个素数的和

（2）n&1==1(n为奇数)，n一定可以拆分为两个偶数+1

由于有一个素数又是偶数，2，那么奇数一定有如下拆分：2+3+素数+素数

得证。

5、欧拉函数（欧拉公式）

欧拉函数ph(n)的意思是所有小于n且与n互质的数的个数

比如说ph(12)=4,[1,5,7,11与12互质]

欧拉公式

a^ph(m)=1(mod m)

6、费马小定理

费马小定理是欧拉公式的一种特殊情况

由于当p为质数的时候ph(p)=p-1这是显然的

那么带入欧拉公式就得到了费马小定理

a^(p-1)=1(mod p)

p为质数(prime)

7、抽屉原理

抽屉原理其实是废话，关键在于运用

这句废话是说，如果现在有3个苹果，放进2个抽屉，那么至少有一个抽屉里面会有两个苹果，这个很废话。

8、抽屉原理的运用

抽屉原理本身只是一句废话，不过他的运用却非常强大

现在假设有一个正整数序列a1,a2,a3,a4.....an，试证明我们一定能够找到一段连续的序列和，让这个和是n的倍数，该命题的证明就用到了抽屉原理

我们可以先构造一个序列si=a1+a2+...ai

然后分别对于si取模，如果其中有一个sk%n==0，那么a1+a2+...+ak就一定是n的倍数（该种情况得证）

下面是上一种情况的反面，即任何一个sk对于n的余数都不为0

对于这种情况，我们可以如下考虑，因为si%n!=0

那么si%n的范围必然在1——（n-1），所以原序列si就产生了n个范围在1——（n-1）的余数，于是抽屉原理就来了，n个数放进n-1个盒子里面，必然至少有两个余数会重复，那么这两个sk1,sk2之差必然是n的倍数，

而sk1-sk2是一段连续的序列，那么原命题就得到了证明了

9、判断n!是否能够被m整除

计算方法是把m进行质因数分解，看下m的每一个质因数是否能够在n!中找到；

n!中间包含了多少个x(x是任意的一个数，不过一般情况下我们都只讨论x为质数)，这种问题的答案是：

n/x+n/(x^2)+n/(x^3).....[一直加到x的乘方不超过n]，这个定理的证明也非常的简单，这里就不再赘述了

根据以上观点，就可以分别计算m的每一个质因数是否被完全包含，如果有一个没有被包含，那么就不能被整除！

10、因子和的计算方法

神马叫因子和：一个数的所以因子的和就叫因子和。。。

好吧，举个例子：12的因子和为：1+2+3+4+6+12

计算方法是把12分解为质因数的表达形式2^2*3

那么他的因子和就是：(1+2+2^2)*(1+3)

证明写起来比较麻烦，大体上思路就是牛顿二项式。。。

11、判断组合数C(n,m)的奇偶性

有一个我也不知道证明的方法

当n&m==m为奇数，反之就是偶数

就总结到这儿了。

以前大一也总结过一片类似的，不过那时候之总结了一点关于欧几里得算法之类的。

数论专题总结

膜拜AekdyCoin！！！大多数东西都从他那里学来的。

写了好久。慢慢读下来，涵盖的东西还是比较都多的。。写的还不完善。。。

同余问题：

同余问题一般来说有三类：线性同余方程（这个可以用扩展GCD解决），高次剩余问题，组合数取模（阶乘取模）问题。

模方程问题：

注意一下一些基本问题，对于模方程:ax=b(mod n)

a.解存在的条件:gcd(a,n)|b

b.解个数:gcd(a,n)

c.解范围:[0,n-1]

中国剩余定理

考虑合并方程组 x = ai (mod mi),mi两两互质。

记Mi = M / mi. 构造方程Mipi + miqi = 1

记ei = Mipi

新的解等于sum[eiai]

组合数取模：

组合数取模根据n,m,p规模不同，分别有不同的解决方法。

1. N,m <= 10^100，p <= 10^5且p是素数

不要被n,m的规模吓到…实际上看到p <= 10^5且P是素数的时候，就会发现算法规模只与p 有关，所以…废话不多说，这个规模直接lucas定理就好了啦

Lucas定理：

c(n,m) % p = c(n % p,m % p) * c(n / p,m / p)% p

这里会存在一个问题哦，算的过程中出现n % p < m % p怎么办，答案直接return 0

另外，边界条件:c(n,0) = 1

相关题目：

Bzoj 1951 /JudgeOnline/problem.php?id=1951

降幂大法+lucas定理

N,m <= 10^100,p <= 10^9,p是素数

这个时候……貌似跟上面差不多。但是……需注意一个问题， c(n % p,m % p)我们在做lucas 定理的时候需要预处理，此时P也很大， 预处理不出来。方法：分块打表。只保存sqrt(p)个n!的值，c(n,m) = n! / (m! * (n – m)!)，P是素数，可以直接乘法 逆元。所以时间就是

logP * sqrt(P)