初等数论知识点汇总
19初等数论
第19章 初等数论
19.1 素数 19.2 最大公约数与最小公倍数 19.3 同余 19.4 一次同余方程 19.5 欧拉定理和费马小定理 19.6 初等数论在计算机科学技术中的几个应用
54-3
19.1 素数
整除、倍数和因子 带余除法 素数与合数 算术基本定理 筛法
54-4
整除、倍数和因子
证 记a=r0, b =r1, 做辗转相除法 ri=qi+1ri+1+ri+2, i=0, 1,…,k2, rk1=qkrk, gcd(a,b)=rk.
把上式改写成 ri+2= riqi+1ri+1, i=k2,k3,…,0 从后向前逐个回代, 就可将 rk 表成 a 和 b 的线性组合.
54-22
54-20
辗转相除法—欧几里得(Euclid)算法
设整数a, b, 且b≠0, 求gcd(a,b). 做带余除法 a=qb+r, 0≤r<|b|. 若r=0, 则gcd(a,b)=b; 若r>0, 再对b和r做带余除法 b=qr+r, 0≤r< r. 若r=0, 则gcd(a,b)=gcd(b,r)= r; 否则重复上述过程,
54-6
素数与合数
定义19.1 素数(质数):大于1且只能被1和自身整除的正整数 合数: 大于1且不是素数 例如, 2,3,5,7,11是素数, 4,6,8,9是合数.
性质19.6如果d>1, p是素数且d | p, 则d=p. 性质19.7设p是素数且p | ab, 则必有p | a 或者 p | b.
2 161, 3 161, 5 161, 7|161（161=7×23） 结论：161是合数.
初等数论总复习题及知识点总结
初等数论总复习题及知识点总结最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。
数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。
初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法最大公因数和辗转相除法整除的进一步性质和最小公倍数素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求：2，3 ；：4 ；：1；：1，2，5；：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程多元一次不定方程勾股数费尔马大定理。
习题要求：1，2，4；：2，3。
第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质剩余类和完全剩余系欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用习题要求：2，6；：1；：2，3；1，2。
第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念孙子定理高次同余方程的解数和解法素数模的同余方程威尔逊定理。
习题要求：1；：1，2；：1，2。
第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余勒让德符号二次互反律雅可比符号、素数模同余方程的解法习题要求：2；：1，2，3；：1，2；：2；：1。
第一章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质原根存在的条件指标及n次乘余模2及合数模指标组、特征函数习题要求：3。
第一章整除一、主要内容整除的定义、带余除法定理、余数、最大公因数、最小公倍数、辗转相除法、互素、两两互素、素数、合数、算术基本定理、Eratosthesen筛法、[x]和{x}的性质、n！的标准分解式。
二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。
高中数学：“初等数论”
高中数学：“初等数论”一、知识点概述初等数论是研究自然数的性质及其相互关系的一门数学学科，其研究对象是自然数和它们的运算。
初等数论主要研究质数、公因数和最大公因数、同余、数的分解、勒让德符号、二次剩余等数论基础知识。
二、重点概念解释1. 质数：大于1的自然数，除1和它本身外，不能被其它自然数整除的数字称为质数。
2. 素数：素数是指只有1和它本身两个约数的数。
3. 最大公因数：指两个或两个以上整数共有约数中，最大的一个。
4. 同余：对于任意整数a、b、n（n≠0），若n|(a-b)，则称a与b在模n条件下同余，记作a≡b(mod n)。
5. 勒让德符号：勒让德符号（Legendre Symbol）是一种特殊的符号，用来判断一个整数是否是二次剩余，即其是否满足某些特殊性质。
三、典型例题分析例题1：求最大公因数gcd(100, 80)。
答案：首先列出100=2^2×5^2，80=2^4×5，公共因子为2^2×5，即gcd(100,80)=20。
例题2：判断71^25与81在模10下是否同余。
答案：将71=7×10+1，用费马小定理得7^4≡1(mod 10)，于是71^25≡(7×10+1)^25≡7^25≡7(mod 10)。
又81≡1(mod 10)，因此不同余。
例题3：判断21与31在模5下是否有逆元。
答案：首先求21与31分别除以5的余数为1和1，因为1和5互素，所以1有逆元，然后判断31在模5下是否有逆元：31除以5余1，31与5不互素，因此31在模5下没有逆元。
例题4：求解同余方程3x≡4(mod 5)。
答案：gcd(3,5)=1，因此同余方程有解。
将方程两边乘以3的逆元2（即2×3≡1(mod 5)）得到6x≡8(mod 5)，即x≡3(mod 5)。
因此，同余方程的解为x≡3(mod 5)。
例题5：对于勒让德符号(a/p)，当p为素数，a为整数时，有以下性质：i. (a/p)=0当且仅当a≡0(modp)。
初等数论知识点总结(word文档物超所值)
《初等数论》总结姓名 xxx学号 xxxxxxxx院系 xxxxxxxxxxxxxxx专业 xxxxxxxxxxxxxxx个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。
这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结第一章 整数的可除性1. 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 2性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。
更一般，若n a a a ,,,21L 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++L 。
或着i b a |，则∑=ni i i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1,L =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p L 21|，则p 能整除n a a a ,,,21L 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余数除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
初等数论-第一章
例 2 、 证 明 ： 若 n 是 正 整 数 ， 则 2 1 n 4 是 既 约 分 数 。 1 4 n 3
证 明 ： 因 为 （ 2 1 n 4 , 1 4 n 3 ) ( 7 n 1 , 1 4 n 3 )
( 7 n 1 ,7 n 2 ) ( 7 n 1 ,1 ) 1 所以，命题得证。
第一章 整数的可除性
一、整除的概念 带余数除法 二、最大公因数与辗转相除法 三、整除的进一步性质
四、质数 算术基本定理 五、取整函数及其在数论中的一个应用
第一节 整除的概念 带余数除法
定义 设a,b是任意两个整数，其中b0，如果 存在一个整数q使得等式
aqb 成立，就说b整除a或a被b整除，记作ba， 此时把b 叫作a的因数，把a叫作b的倍数. 如 果 不 存 在 整 数 q 使 得 a b q 成 立 ， 则 称 a 不 被 b 整 除 ， 记 为 b † a 。
推 论 2.2 、设 a 1,a2, ,an及 b 1,b 2,,bm 是 任 意 两 组 整 数 ， 若 前 一 组 中 任 一 整 数 与 后 一 组 中 任 一 整 数 互 质 ， 则
(a 1a2 an,b 1b 2 bm )1
定 义设 a 1,a 2, ,a n是 n (n2 )个 整 数 ， 若 整 数 d是 这 n 个 数 的 倍 数 ， 则 d 就 叫 作 a 1,a 2, ,a n 的 一 个 公 倍 数 。 所 有 公 倍 数 中 最 小 的 一 个 叫 最 小 公 倍 数 ， 记 作 [a 1,a 2, ,a n] 。
证 ： 设 这 5个 数 为 ai,i1, ,5， 记 ai 3qi ri， 0ri 3, i1, ,5。 分 别 考 虑 以 下 两 种 情 形 ：
初等数论的性质与定理总结
初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。
本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。
一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。
2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。
二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
初等数论的基本概念与计算
素数的分布
素数定理 Goldbach猜想
Euler猜想 孪生素数猜想
由Riemann猜想推出 偶数可以表示为两个素数之和
费马多边形数是素数 相差为2的素数对
素数对
01 勒让德猜想
素数对的分布规律
02 孪生素数
相差为2的一对素数
03 素数对是否有无穷多
目前尚未解决的问题
费马小定理
定理内容
若p为质数，a是整数且a与p互质，则a^(p-1) ≡ 1 (mod
02
数论推导
狄利克雷卷积在数论中具有深远的影响
03
有助于解决各种与算术函数相关的问题
莫比乌斯反演公式
01 函数关系
莫比乌斯反演公式用于描述莫比乌斯函数与其反函 数的关系
02 广泛应用
在数论中有着广泛的应用，可推导出一些重要的结 论和定理
03 数学推导
莫比乌斯反演公式对于解决一些复杂的数论问题具 有重要作用
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结束语
01 数论的多样性
初等数论研究内容丰富多样，涵盖广泛
02 数学的美感
初等数论展现了数学的美感和深度
03 感谢
感谢观看者的耐心阅读和关注
THANKS FOR WATCH 谢谢观看
数论函数综述
重要性 研究方向
初等数论知识点整理
初等数论知识点整理 1. 整数的基本性质：
- 整数的定义与整数集的基本运算
- 整数的大小与比较
- 整数的不同表示形式（十进制、二进制、八进制等） 2. 整除与约数：
- 整除的定义与性质
- 素数的定义与判定方法
- 约数的定义与性质
- 最大公约数与最小公倍数的概念与计算方法
3. 同余与模运算：
- 同余的定义与性质
- 同余的基本运算性质
- 模运算的基本性质
- 剩余类和完全剩余系的概念与性质
4. 质数与素数：
- 质数与素数的定义
- 质数与素数的性质和特性
- 素数的测试方法与算法
- 质因数分解的方法与应用
5. 数论基本定理：
- 唯一分解定理（素因数分解定理）
- 辗转相除法与欧几里得算法
- 欧拉函数与欧拉定理
- 费马小定理与扩展欧几里得算法
6. 数论问题的应用：
- 同余方程与线性同余方程
- 不定方程的整数解与应用
- 素数分布与素数定理
- 模重复性与周期性问题
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第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1 m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且01 m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。
第二节 整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设b a ,是给定的数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a 则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。
由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b 即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b 。
更一般，若n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b 。
或着i b a |，则 ni i i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1, ；(3)若a b |，则或者0 a ，或者||||b a ，因此若a b |且b a |，则b a ； (4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若na p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0 b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a ，其中b r 0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1 b 。
若0 r ，即为a 被b 整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为b a （不超过b a的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r 0。
证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若n 是正整数，则))((1221n n n n nny xy y x xy x y x ；若n 是正奇数，则))((1221n n n n nny xy y x xy x y x ；（在上式中用y代y ）(7)如果在等式mk kn i iba 11中取去某一项外，其余各项均为c 的倍数，则这一项也是c 的倍数；(8)n 个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；2．奇数、偶数有如下性质：(1)奇数 奇数=偶数，偶数 偶数＝偶数，奇数 偶数＝奇数，偶数 偶数＝偶数，奇数偶数＝偶数，奇数 奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成18 m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48 m 的形式； （3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m 2 的形式，其中m 为负整数，l 为奇数。
（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
3．完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
平方数有以下性质与结论： （1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；（3）奇数平方的十位数字是偶数；（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。
因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；（6）平方数的约数的个数为奇数；（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂（2 k ），若（b a ,）＝1，则b a ,都是整数的k 次方幂。
一般地，设正整数c b a ,,, 之积是一个正整数的k 次方幂（2 k ），若c b a ,,, 两两互素，则c b a ,,, 都是正整数的k 次方幂。
4．整数的尾数及其性质整数a 的个位数也称为整数a 的尾数，并记为)(a G 。
)(a G 也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：（1） ))((a G G )(a G ；（2）)(21n a a a G ＝)]()()([21n a G a G a G G ； （3） )(21n a a a G )]()()([21n a G a G a G G ；（4）0)10( a G ；)()10(b G b a G ；（5）若c b a 10 ，则)()(b G a G ；（6） N k a a G a G k,),()(44；（7） N r k a r k a G aG r rk ,,,40,0),()(4；（8）同为奇数时当同时为偶数时为奇数或为偶数，当是偶数为奇数，当212121421,),(,),(),()(121b b a G b b b b a G b b a G aG b b nb b5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能； （2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能； （3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能；（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。
6．质数与合数及其性质 1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。
2．有关质（素）数的一些性质 （1）若1, a Z a ，则a 的除1以外的最小正因数q 是一个质（素）数。
如果a q ，则a q ；（2）若p 是质（素）数，a 为任一整数，则必有a p |或（p a ,）＝1；（3）设n a a a ,,,21 为n 个整数，p 为质（素）数，且n a a a p 21|，则p 必整除某个i a （n i 1）； （4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数a ，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；（5）任何大于1的整数a 能唯一地写成k i p p p a k a k aa ,,,2,1,2121 ①的形式，其中i p 为质（素）数（)(j i p p j i ）。
上式叫做整数a 的标准分解式； （6）若a 的标准分解式为①，a 的正因数的个数记为)(a f ，则)1()1)(1()(21 k a a a a f 。
第三节 整数的性质及其应用（2）基础知识最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。
定义1.（最大公约数）设不全为零，同时整除的整数（如）称为它们的公约数。
因为不全为零，故只有有限多个，我们将其中最大一个称为的最大公约数，用符号（）表示。
显然，最大公约数是一个正整数。
当（）＝1（即的公约数只有）时，我们称与互素（互质）。
这是数论中的非常重要的一个概念。
同样，如果对于多个（不全为零）的整数，可类似地定义它们的最大公约数（）。
若（）＝1，则称互素。
请注意，此时不能推出两两互素；但反过来，若（）两两互素，则显然有（）＝1。
由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变的符号，不改变（）的值，即；（）可以交换，（）＝（）；（）作为的函数，以为周期，即对于任意的实数，有（）＝（）等等。
为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质： （1）设是不全为0的整数，则存在整数，使得；（2）（裴蜀定理）两个整数互素的充要条件是存在整数，使得；事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。
反过来，若有使等式成立，不妨设，则，故及，于是，即，从而。
（3）若，则，即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数； （4）若，则；（5）若，则，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的整数； （6）若，则，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。