初等数论总复习题及知识点总结
初等数论复习
§1.3 质因数分解定理
正整数分类 1 质数(素数) 合数
定理1(算术基本定理)
1 2 k
任何大于1的整
数n可以唯一地表示成 n = p1 p2 pk ， (2) 其中p1, p2, , pk是素数，p1 < p2 < < pk，1, 2, , k是正整数。
费马数
也叫费马质数.当年费马发现
F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537 F5=2^(2^5)+1=4294967297 前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认 为是质数,并提出(费马没给出证明)
如果全是形如 4n+1 积也是形如 4n+1
所以，N必有形如 4n-1的质因数 p
且 p 不同于p1, p2, , pk
设: n=2k j (k为非负整数，j为正奇数) 若 j≠1，则 n+1=(22k)j+1j 2 2k+1)((22k)j-1-(22k)j-2+…+1j-1) =(2 2k+1是2n+1的真因数 2 所以2n+1是合数
哥德巴赫猜想
任何一个大于2的偶数都是两个素
数之和。 中国的陈景润证明了"1+2“
质因数个数较少的数称为殆质数
1.1 奇数与偶数
整数中能被2整除的整数称为偶数，
一般表示为 ２k 整数中不能被2整除的整数称为奇数。 一般表示为 ２k+1
偶数集：｛0, ±2, ± 4, ± 6｝ 奇数集： ｛±1, ±3, ± 5｝
初等数论总复习题及知识点总结
初等数论总复习题及知识点总结最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。
数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。
初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法最大公因数和辗转相除法整除的进一步性质和最小公倍数素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求：2，3 ；：4 ；：1；：1，2，5；：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程多元一次不定方程勾股数费尔马大定理。
习题要求：1，2，4；：2，3。
第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质剩余类和完全剩余系欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用习题要求：2，6；：1；：2，3；1，2。
第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念孙子定理高次同余方程的解数和解法素数模的同余方程威尔逊定理。
习题要求：1；：1，2；：1，2。
第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余勒让德符号二次互反律雅可比符号、素数模同余方程的解法习题要求：2；：1，2，3；：1，2；：2；：1。
第一章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质原根存在的条件指标及n次乘余模2及合数模指标组、特征函数习题要求：3。
第一章整除一、主要内容整除的定义、带余除法定理、余数、最大公因数、最小公倍数、辗转相除法、互素、两两互素、素数、合数、算术基本定理、Eratosthesen筛法、[x]和{x}的性质、n！的标准分解式。
二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。
初等数论知识点总结(word文档物超所值)
《初等数论》总结姓名 xxx学号 xxxxxxxx院系 xxxxxxxxxxxxxxx专业 xxxxxxxxxxxxxxx个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。
这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结第一章 整数的可除性1. 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 2性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。
更一般，若n a a a ,,,21L 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++L 。
或着i b a |，则∑=ni i i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1,L =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p L 21|，则p 能整除n a a a ,,,21L 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余数除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
初等数论知识点整理
初等数论知识点整理 1. 整数的基本性质：
- 整数的定义与整数集的基本运算
- 整数的大小与比较
- 整数的不同表示形式（十进制、二进制、八进制等） 2. 整除与约数：
- 整除的定义与性质
- 素数的定义与判定方法
- 约数的定义与性质
- 最大公约数与最小公倍数的概念与计算方法
3. 同余与模运算：
- 同余的定义与性质
- 同余的基本运算性质
- 模运算的基本性质
- 剩余类和完全剩余系的概念与性质
4. 质数与素数：
- 质数与素数的定义
- 质数与素数的性质和特性
- 素数的测试方法与算法
- 质因数分解的方法与应用
5. 数论基本定理：
- 唯一分解定理（素因数分解定理）
- 辗转相除法与欧几里得算法
- 欧拉函数与欧拉定理
- 费马小定理与扩展欧几里得算法
6. 数论问题的应用：
- 同余方程与线性同余方程
- 不定方程的整数解与应用
- 素数分布与素数定理
- 模重复性与周期性问题
注意：本整理的所有内容仅供参考，请勿将其作为官方教材或其他正式场合使用。
初等数论总复习题
《初等数论》（2019级小教）总复习题1、进位制的互化：（1）(20 011)3=( )10；（2）(31 404)5=( )10；（3）(7 137)10=( )2；（4）(21 58)10=( )8；（5）(1376)8=( )5；（6）2000=（ ）3=（ ）7=（ ）9=（ ）12；（7）（12301）5=（ ）7 .2、已知(ab)9=(ba)7，求a,b.3、（1）以2为基，求13，15，19的小数展开式； （2）以12为基，求113，114的小数展开式. 4、如果(52)k 是(25)k 的两倍，那么(123)k 在十进位制中表示多少？5、某正整数除以3余2，除以4余1，则此数除以12余数为?6、计算：（1）（110）2+（1011）2；（10101）2-（111）2； （10101）2×（101）2；（1101001）2÷（1010）2.（2）（2517）8+（3124）8；（15721）8-（452）8； （301）8×（125）8；（212）÷（27）8.7、若962427ab 且1162427ab ，求a,b.8、四位数7a2b̅̅̅̅̅̅̅能同时被2，3，5整除，求a,b.̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅,求a,b.9、已知99|81ab93̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅,求a,b.10、已知24|62742ab11、三个相邻偶数之积是四位数，且其末位数为8，求这个三位数。
12、若1176a=b4（a,b为正整数），求a的最小值。
13、975*935*972*( ) ,要使这个乘积的最后四个数都是零，则（）内最小应填几？14、写出下列各数的标准分解式.193975，26840，111111，999 999 999 99915、某数除300，262，205余数相同，则此数最大值为 .16、某数除701，1059，1417，2312余数相同，则此数最大值为多少.17、720的所有正约数的倒数之和为。
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案复习题及参考答案一一、填空(40%)１ 、求所有正约数的和等于15的最小正数为 考核知识点:约数，参见P1４—1９ 2、若1211,,,b b b 是模１1的一个完全剩余系，则121181,81,,81b b b +++也是模１１的剩余系．考核知识点：完全剩余系，参见P54—573.模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系,参见P5８4.自１７６到545的整数中是1３倍数的整数个数为 考核知识点:倍数，参见Ｐ11-13 5、如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者考核知识点：整除，参见Ｐ1-４６、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 . 考核知识点：最小公倍数,参见P1１—13７、如果b a ,是两个正整数，则存在 整数rq ,,使r bq a +=,b r ≤0．考核知识点:整除，参见P1-４ 8、如果n 3，n 5,则１5( ）n ． 考核知识点：整除,参见P1-4二、（１０％)试证：6|n(ｎ+1）(2n+1），这里n 是任意整数。
考核知识点：整除的性质，参见P ９-１２ 提示：ｉ)若 则ｉi ）若 则ii ｉ）若 则又三、(１0％）假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡203考核知识点:二次同余式,参见P88提示：要证明原式成立,只须证明231a a ++,或者23a a +成立即可。
四、(1０％）设p 是不小于5的素数，试证明21(mod 24)p ≡ 考核知识点:同余的性质,参见P4８－52 提示:且是不小于５的素数．ﻫ又 且是不小于5的素数．只能是奇数且ﻫﻫ 即即五、(1５％）解同余式组51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩考核知识点:同余式，参见P74-７5 提示∵ （14，8)=2 且 ２ ｜ 2 ∴ 1４ｘ≡2（ｍod8） 有且仅有二个解解7x ≡1（mod ４) ⇒ ｘ≡３ （m ｏｄ4） ∴ ６x ≡１0(mod ８）的解为 x ≡3，3+4(mo ｄ8） 原同余式组等价于()()3mod 73mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 或()()3mod 77mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩分别解出两个解即可。
初等数论总复习题及知识点总结
初等数论学习总结本课程只介绍初等数论得得基本内容。
由于初等数论得基本知识与技巧与中学数学有着密切得关系， 因此初等数论对于中学得数学教师与数学系(特别就是师范院校)得本科生来说，就是一门有着重要意义得课程，在可能情况下学习数论得一些基础内容就是有益得．一方面通过这些内容可加深对数得性质得了解，更深入地理解某些她邻近学科，另一方面，也许更重要得就是可以加强她们得数学训练，这些训练在很多方面都就是有益得．正因为如此，许多高等院校，特别就是高等师范院校，都开设了数论课程。
最后，给大家提一点数论得学习方法，即一定不能忽略习题得作用，通过做习题来理解数论得方法与技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它得内容而忽略习题得作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。
数论有丰富得知识与悠久得历史，作为数论得学习者，应该懂得一点数论得常识，为此在辅导材料得最后给大家介绍数论中著名得“哥德巴赫猜想”与费马大定理得阅读材料。
初等数论自学安排第一章：整数得可除性（6学时）自学18学时整除得定义、带余数除法最大公因数与辗转相除法整除得进一步性质与最小公倍数素数、算术基本定理[x]与{x}得性质及其在数论中得应用习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程c by ax =+多元一次不定方程c x a x a x a n n =++Λ2211勾股数费尔马大定理。
习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。
第三章：同余（4学时）自学12学时同余得定义、性质剩余类与完全剩余系欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中得应用习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。
第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念孙子定理高次同余方程得解数与解法素数模得同余方程威尔逊定理。
初等数论完整资料整合。
第一章考点1、会求最大公因数与最小公倍数解法：最大公因数用辗转相除法最小公倍数为两个数的乘积除以两者的最大公约数，所以也是要先求出两者的最大公约数2、判别一个数是为质数还是合数判别法：用小于√x的所有质数除此数，看能否被整除3、证明整除（最好用同余证）例1证：73|8n+2+92n+1（n∈N）解：法一 8n+2+92n+1=64×8n+9×81n=64×8n+9×（73+8）n=64×8n+9×（C0n73n+C1n73n-1×8+…+C n n8n）=64×8n+9(73q+8n)( q∈Z)=73×8n+9q×73所以73|8n+2+92n+1法二 8n+2+92n+1≡64×8n+9×81n≡64×8n+9×8n≡73×8n≡0（mod73）所以73|8n+2+92n+1例2已知17|2x+3y,证明17|9x+5y解：因为9x+5y=17（x+y）- 4(2x+3y) 且17|2x+3y所以17|9x+5y例3设k为正奇数，证：1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)证：记S=1k+2k+3k+ (9)则2S=（1k+9k）+（2k+8k）+…+（9k+1k）=（1+9）q1 （q1∈Z)所以10|2S又因为2S=（0k+9k）+（1k+8k）+…+(9k+0k)=（0+9）q2（q2∈Z）所以9|2S又因为（9,10）=1所以90|2S 即45|S从而1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)4、证明某种类型的质数有无穷多个例：证明4n+1形的质数的个数为无穷。
（最后一节课讲的）第三章同余考点：1、同余的性质；（应用在同余解题中）P482、简化剩余系和欧拉函数；（求简化剩余系的个数）P583、欧拉定理和费马定理对循环小数的应用；（利用欧拉定理解题；判断是纯循环还是混循环，若是混循环，从第几位开始）P61具体分析：一、同余的性质1、a≡a (mod m)2、若a≡b (mod m),则b≡a (mod m)3、若a≡b (mod m) b≡c (mod m) 则 a≡c (mod m)4、i.若a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1+a2≡b1+b2 (mod m)ii. a+b≡c (mod m) 则 a≡c-b (mod m)5、a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1a2≡b1b2 (mod m)特别的，若a≡b (mod m) 则 ak≡bk (mod m)6、若a≡b (mod m) 且a=a1d b=b1d (d,m)=1 则 a1≡b1 (modm)7、i.若a≡b (mod m) k>0 则 ak≡bk （mod mk）ii.若a≡b (mod m) d为a,b及m的任一正公因数，则a/d≡b/d (mod m/d)8、若a≡b (mod m) i=1、2…k 则a≡b(mod m1m2…m k)例：一个小于4000的四位数，被3、4、5、7、9除皆余2，求这个数。
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初等数论学习总结本课程只介绍初等数论的的基本内容。
由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系， 因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。
最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。
数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。
初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法 整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程c by ax =+多元一次不定方程c x a x a x a n n =++ 2211 勾股数 费尔马大定理。
习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。
第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质 剩余类和完全剩余系 欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用 习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。
第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念 孙子定理高次同余方程的解数和解法 素数模的同余方程 威尔逊定理。
习题要求60p ：1；64p ：1，2；69p ：1，2。
第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余 勒让德符号 二次互反律 雅可比符号、素数模同余方程的解法习题要求78p ：2； 81p ：1，2，3；85p ：1，2；89p ：2；93p ：1。
第一章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质 原根存在的条件 指标及n 次乘余 模2 及合数模指标组、特征函数p：3。
习题要求123➢第一章整除一、主要内容筛法、[x]和{x}的性质、n！的标准分解式。
二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。
认真体会求二个数的最大公因数的求法的理论依据，掌握素数的定义以及证明素数有无穷多个的方法。
能熟练求出二个整数的最大公因数和最小公倍数，掌握高斯函数[x]的性质及其应用。
三、重点和难点（1）素数以及它有关的性质，判别正整数a为素数的方法，算术基本定理及其应用。
（2）素数有无穷多个的证明方法。
（3）整除性问题的若干解决方法。
（4）[x]的性质及其应用，n！的标准分解式。
四、自学指导整除是初等数论中最基本的概念之一，b∣a的意思是存在一个整数q，使得等式a=bq 成立。
因此这一标准作为我们讨论整除性质的基础。
也为我们提供了解决整除问题的方法。
即当我们无法用整除语言来叙述或讨论整除问题时，可以将其转化为我们很熟悉的等号问题。
读者要熟练掌握并能灵活应用。
特别要注意，数论的研究对象是整数集合，比小学数学中非负整数集合要大。
本章中最重要的定理之一为带余除法定理，即为它可以重作是整除的推广。
同时也可以用带余除法定理来定义整除性，（即当余数r=0时）种很重要的思想方法，它为我们解决整除问题提供了又一条常用的方法。
同时也为我们建立同余理论建立了基础。
读者应熟知常用的分类方法，例如把整数可分成奇数和偶数，特别对素数的分类方法。
例全体奇素数可以分成4k+1，4k+3；或6k+1，6k+5等类型。
和整除性一样，二个数的最大公约数实质上也是用等号来定义的，因此在解决此类问题题的常用方法之一。
读者应有尽有认真体会该定理的证明过程。
既有联系，又有区别。
要认真体会这些相关的性质，a1 ,b1使用相应的定理，要注意，相关定理及推论中互素的条件是经常出现的。
读者必须注意定理成立的条件，也可以例举反例来进行说明以加深影响。
顺便指出，若最小公倍数实际上与最大公因数为对偶命题。
特别要指出的是a和b的公倍数是有无穷多个。
所以一般地在无穷多个数中寻找一个最小数是很困难的，为此在定义中所有公倍数中的最小的正整数。
即自然数的任何一个子集一定有一个最小自然数有在。
最小公倍数的问题一般都可以通过以下式子转化为最大公因数的问题。
两者的关系为上述仅对二个正整数时成立。
当个数大于2时，上述式子不再成立。
证明这一式子的关键是寻找a , b的所有公倍数的形式，然后从中找一个最小的正整数。
解决了两个数的最小公倍数与最大公因数问题后，就可以求出素数是数论研究的核心，许多中外闻名的题目都与素数有关。
除1外任何正整数不是质数即为合数。
判断一个已知的正整数是否为质数可用判别定理去实现。
判别定理又是证明素数无穷的关键。
实际上，对于任何正整数n>1，由判别定理一定知存在素数p，使得p∣n 。
即任何大于1的整数一定存在一个素因数p 。
素数有几个属于内在本身的性质，这些性质是算术基本定理是整数理论中最重要的定理之一，即任何整数一定能分解成一些素数的乘积，而且分解是唯一的，不是任何数集都能满足算术基本定理的，算术基本定理为我们提供了解决其它问题的理论保障。
它有许多应用，例如可求最大公约数，正整数正约数的个数等方面问题，对具体的n，真正去分解是件不容易的事。
对于较特殊的n，例如[x]的性质又提供了解决带有乘除符号的整除问题的方法。
本章的许多问题都围绕着整除而展开，读者应对整除问题的解决方法作一简单的小结。
五、例子选讲补充知识①最小自然数原理：自然数的任意非空子集中一定存在最小自然数。
②抽屉原理：（1）设n 是一个自然数，有n 个盒子，n +1个物体，把n +1个物体放进n 个盒子，至少有一个盒子放了两个或两个以上物体；（2）km +1个元素，分成k 组，至少有一组元素其个数大于或等于m +1； （3）无限个元素分成有限组，至少有一组其元素个数为无限。
③梅森数：形如④费尔马数：n⑤设n =k k p p αα...11，设n 的正因子个数为d (n )，所有正因子之和为)(n σ，则有⑥有关技巧1. 整数表示a =a 0×10n +a 1×10n -1+…+a n ，2.整除的常用方法a. 用定义b. 对整数按被n 除的余数分类讨论c. 连续n 个整数的积一定是n 的倍数d. 因式分解e. 用数学归纳法f. 要证明a|b ，只要证明对任意素数p ，a 中p 的幂指数不超过b 中p 的幂指数即可，用p (a )表示a 中p 的幂指数，则 例题选讲例1.请写出10个连续正整数都是合数. 解: 11!+2，11!+3，……，11！+11。
例2. 证明连续三个整数中，必有一个被3整除。
证：设三个连续正数为a ，a +1，a +2，而a 只有3k ，3k +1，3k +2三种情况，令a =3k ，显然成立，a =3k +1时，a +2=3(k+1)，a =3k +2时，a +1=3(k +1)。
例3. 证明lg2是无理数。
证：假设lg2是有理数，则存在二个正整数p ，q ，使得lg2=qp，由对数定义可得10p =2q ，则有2p ·5p =2q ,则同一个数左边含因子5，右边不含因子5，与算术基本定理矛盾。
∴lg2为无理数。
例4. 求(21n+4，14n+3)解：原式=(21n+4,14n+3)=(7n+1,14n+3)=(7n+1,7n+2)=(7n+1,1)=1例5. 求2004!末尾零的个数。
解：因为10=2×5，而2比5多， 所以只要考虑2004！中5的幂指数，即5（2004！）=499520045200412520042520045200454=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛例6.证明（n !）(n-1)!|(n !)!证：对任意素数p ,设（n !）(n -1)!中素数p 的指数为α， （n !）!中p 的指数β，则∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∞=11k k p n n )!(α，∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∞=11k k p n n !)!(β,)()(x n nx ≥ α=∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∞=∞=∞=∞=1111111k k k k k k k k pn n p n n p n n pn !)!(!)!()!(! 即αβ≥，即左边整除右边。
例7. 证明2003|（20022002+20042004-2005） 证：∵ 20022002=（2003-1）2002=2003M 1+120042004=（2003+1）2002=2003M 2+1 ∴20022002+20042004-2005=2003（M 1+M 2-1） 由定义2003|（20022002+20042004-2005）例8. 设d (n )为n 的正因子的个数，σ (n )为n 的所有正因子之和，求d (1000)，σ (1000)。
解：∵ 1000=23·53∴ d (1000)=(3+1)(3+1)=16，σ (1000)=1515121244--⋅--例9. 设c 不能被素数平方整除，若a 2|b 2c ，则a |b 证：由已知p (c )≤1，且p (a 2)≤p (b 2c )∴ 2p (a )≤2p (b )+p (c ) , ∴ p (a )≤p (b )+2)(c p 即p (a ) ≤p (b ) , ∴ a|b例10. 若M n 为素数，则n 一定为素数。
证：若n 为合数，则设n =ab ，（1<a,b <n ）∴ 2ab -1=(2a )b -1=(2a -1)M 为合数，与M n 为素数矛盾， ∴ n 为素数。
例11. 证明对任意m,n ，m ≠n , (F n ,F m )=1。
证：不妨设n>m ，则F n -2=（1212--n ）（1212+-n ）=(F n -1-2) （1212+-n ）= F n -1F n -2……F m - F 0设（F n ,F m ）=d ,则d |F n , d |F m ⇒d |2 但F n 为奇数，∴d =1, 即证。