初等数论与小学数学
初等数论知识在小学数学中的渗透
初等数论知识在小学数学中的渗透
赵艳;李凤清
【期刊名称】《四川职业技术学院学报》
【年(卷),期】2022(32)3
【摘要】本文通过案例分析的形式介绍初等数论知识在小学数学中如何渗透,通过突出整数以及整除特性、明确整除特征、发掘教材内容、重视整数标准分解、拓宽素数知识面等措施,扩宽学生视野,增强其解决问题能力,同时渗透数学思想方法,让学生感受数学文化,强化学习动机与学习兴趣。
【总页数】5页(P50-54)
【作者】赵艳;李凤清
【作者单位】蓬溪县实验小学;四川职业技术学院教师教育学院
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
【相关文献】
1.小学数学教学中如何渗透数学史知识
2.用初等数论知识巧解小学数学题
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5.试析小学数学教学中如何渗透数学史知识
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论初等数论与小学数学的关系
论初等数论与小学数学的关系—-“同余"在小学数学教学中的应用姓名：胡燕尔班级：070214 学号:15 刚翻开人教版大学本科小学教育专业教材《初等数论》的目录，许多在校本科小学教育专业的学生，包括我都存在这样的感觉,那就是觉得这些是再简单不过的内容：整除、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余等等，这些内容在我们读小学的时候都已经学习过,似乎觉得没有必要再去研究，直到接触学习了这门课程，才扭转了我们的看法.初等数论是小学教育专业，尤其是理科方向学生的必修专业课程，也是从事小学数学教学的老师的进修课程。
其中包括整数的整除性、同余、同余方程、不定方程、不定方程、简单连分数几方面的知识。
这些方面的内容在符合了小学数学教师应具有的教学思维外,也有利于学习者积累从事小学数学教育工作必备的能力与知识。
有人说：“数学是思维的体操，科学的王冠，数论是王冠上的明珠。
”这颗明珠在小学数学中早已是熠熠闪光——我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：整除问题：（1）整除的性质；（2)数的整除特征（小升初常考内容）余数问题:（1)带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用奇偶问题：（1)奇偶与加减运算；（2)奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解约数倍数：(1）最大公约最小公倍两大定理（2）约数个数决定法则可见，初等数论的应用与小学数学教育事业是息息相关的。
对于初等数论，我学到的也只是九牛一毛，谈不上有什么有建设性的问题，只能粗略地谈谈初等数论中的核心内容-—同余，并通过其在初等数论在小学数学中的应用来说明两者的关系。
同余是由德国数学家高斯首先提出并系统地进行研究的，它是初等数论的核心部分.其中蕴含大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现使数论成为一个独立的数学分支的标志。
在这一内容中包括其性质，剩余类与剩余系,欧拉定理和循环小数等几个知识点。
在没接触初等数论学习之前,我们对同余这个概念很陌生，其实同余在我们小学数学学习，奥数中已经有了很深入的运用。
整除理论——小学数学教学中的初等数论问题
图5辗转相除法
而在大学的初等数论教材中，也提到了“最大公因数与辗转相除法”这一章节，其中求最大公因数的方法同样是辗转相除法．具体方法见下列例题：
(1)a=-1859，b=1573，求最大公因数
即求(-1859，1573)=(1859，1573)
(2)a=169，b=121，求最大公因数
经常使用的数的整除特征都有
①2|N?2|a_0
②5|N?5|a_0
③3|N?3|a_0+a_1+?a_n
④9|N?9|a_0+a_1+?a_n
⑤11|N?11|〖(a〗_0+a_2+?)-〖(a〗_1+a_3+?)
根据初等数论中所提到的可除性基本定理，就可以证明经常使用的数的整除性特征成立，虽然所使用的证明方法和过程在小学的数学学习阶段难以使用，但是如果教师本身能够掌握住其中所渗透的数论原理，根据知识的难易程度以及学生对知识的接受能力进行有针对性地进行渗透，便可以帮助学生更好地进行吸收知识．
②若所取的五个正整数中同类的个数有两个，必然有一类可取一个，把各类各取一个：
3n_1+3n_2+1+3n_3+2=3（n_1+n_2+n_3）+3
例2写出一个正整数能被11整除的必要条件并证明．
解一个正整数能被11整除的充要条件：
该正整数a=a_n1000^n+a_(n-1)1000^(n-1)?+a_11000+a_0(0?a_i?1000)，11能整除
截止到目前，已有众多的学者对数论的发展现状以及发展前景进行了深刻的研究，更有学者强调了数论在大学阶段小学教育专业开设课程的必要性．同时，也有部分学者对初等数论在离散数学和高中数学知识竞赛中的应用进行了分析，但是从整体方面来看，对数论在中小学数学知识学习中的研究相对而言较少．所以，本文主要研究初等数论在义务教育阶段学生学习数学知识过程中的应用．
初等数论在中小学数学教科书中的融合应用
初等数论在中小学数学教科书中的融合应用一问题提出初等数论在国内主要开设于高等院校，在中小学并未直接设立课程，但在该阶段的数学知识学习过程中，许多关键概念及原理都渗透着初等数论的理论，如：数的整除、带余数除法、因数与倍数、质数与合数、勾股定理等。
尽管初中阶段的数学以代数、几何为主，没有较多初等数论的内容，然而，在高中甚至后续的数学学习过程中，关于整数的部分，必不可少地将会涉及到初等数论的理论，故在初中数学教学中有必要补充和延伸与教学内容相关联的数论知识。
较多学者对初等数论课程的教学现状与教学改革进行了考察与研究，尤其强调在高等师范院校的小学教育专业开设这门课程的必要性；也有大量期刊论文、硕士论文对初等数论在数学竞赛试题中的应用进行分析，但从整体上看，针对初等数论具体应用于中小学数学教科书的研究相对较少。
另一方面，人教版数学教材是全国义务教育阶段数学学习的主流教材之一，具有较广的普及范围和较强的影响力。
本文将主要分析初等数论在现行一至九年级新人教版教科书中的融合应用。
二研究方法本文主要采用了文献研究法和案例研究法等。
基于数据资料库、图书馆等途径，进行大量文献检索，并搜集、梳理、分析相关资料；同时，通过研究案例，将理论与实际结合，梳理初等数论在中小学数学教科书中的具体应用，并对案例进行系统理解与深入分析，了解初等数论在中小学数学教学过程中的意义与价值。
三初等数论融合于中小学数学教科书中的案例分析（一）有余数的除法学生在小学阶段已接触初等数论中最基本的内容——整除理论，但结合儿童心理发展规律，代入具体数值，联系生活实际，能够帮助学生理解并掌握知识。
学生将在二年级学习“有余数的除法”，教材呈现出用小棒摆出正方形的活动情境，教师引导学生观察、归纳，让学生发现“余数要比除数小”的特点在本单元中，最典型的实际问题是与“日历”相联系的题型（如图2），例如：六月份有30天，有几个星期？还多几天？观察生活中的日历，便能发现其中蕴含着同余理论，假若知道某月2号是星期二，则9号、16号均是星期二，日历中位于同一列的整数被7除后的余数相同。
常见教师招聘考试笔试数学专业知识考察范围
常见教师招聘考试笔试数学专业知识考察范围（小学）教师招聘考试中小学数学部分一般是由四部分组成的：高中数学、初中数学、初等数论与小学数学教材教法研究。
高中数学这部分主要内容是：简易逻辑、数列、不等式、直线和圆的方程、圆锥曲线方程、直线、平面、简单几何体、数学归纳法、概率与统计。
初中数学部分主要包括数的分类、方程与不等式、简单函数、直线与圆、比例等等。
初等数论：数的整除性、不定方程。
而小学数学教材教法研究：小学数学知识的相关基础理论知识、小学数学教学法。
对于高等数学中的考试内容现在已经进入了现在高中数学的教材中，而且这部分的内容考试不难。
因此我将高中数学与高等数学放到一块看看考试的大纲。
首先是简易逻辑，简易逻辑主要是考的是四种命题、充分必要条件。
接下来是数列，数列是高考的必考内容，也成为了招教考试的必考的内容。
数列这部分考试内容是等差数列以及等比数列的通项公式以及前n项和的公式，一般情况下会和函数以及不等式结合起来一块来考察。
考试的方式基本上与高考的水平不相上下，但是考大题的可能性不是太大。
不等式这部分，主要的考点是不等式的性质及其证明，掌握均值不等式的运用，掌握简单不等式的一般解法，这部分的内容是解决函数、数列等知识的基础。
解析几何部分主要包括：直线和圆的方程，圆锥曲线方程。
直线的要求是理解直线的倾斜角和倾斜率，掌握直线方程的点斜式、两点式与一般式。
掌握两条直线位置关系以及点到直线之间的距离。
一般直线与圆一块来考，圆这部分的要求是掌握圆的标准方程和一般方程。
圆锥曲线主要是椭圆、双曲线与圆锥曲线的定义、圆锥曲线以及简单几何性质。
除此之外，还有时候直线与圆锥曲线一块来考，难度不是很大，但是计算量比较大，在小学教师招聘考试中出的可能性不大。
立体几何中主要的考点是直线、平面与简单几何体。
主要考察的是直线、平面的位置关系以及多面体柱、锥、球的表面积与体积公式等等。
概率与统计是现在教师招聘考试数学的必考环节，这部分主要的内容是会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率以及会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
浅谈初等数论知识在小学数学教学中的应用
浅谈初等数论知识在小学数学教学中的应用作者：黄咏华来源：《成长·读写月刊》2017年第09期【摘要】随着教育制度改革不断实施，越来越多的人开始重视学生教育，特别是小学阶段。
作为小学数学教师，其要能够在实际教学中注重对学生在解决问题的能力。
关于初等数论，其作为学校为培养学生儿开设的课程，不仅能够在一定程度上培养学生扎实的数学基础知识和给课程特有的思想方法，还进一步的提高学生学习数学的综合能力。
对此，本文就对当前初等数论知识在小学数学教学中的应用进行重点探讨和分析。
【关键词】初等数论；小学数学；应用关于初等数论，其是研究数学中整数的最基苯性质，同时也是一门非常重要的数学基础课程。
在当前小学数学教学中开展这门课程，既能够进一步的加深学生对数的性质了解和掌握，还更好的理解其他与之相关的学科。
但是，在现阶段，由于大多数教师在初等数论课程教学内容上过于陈旧，且使用的教学方法也较为单一。
对于这种情况，已经严重影响整个小学数学在内初等数论的教学质量。
一、小学初等数论知识在教学中的相关概况及其作用在当前的小学数学教学过程中，初等数论知识和思想是最为常见的，因而作为小学数学教师，要给予足够的重视[1]。
在现阶段，随着新课程改革的不断深入，初等数论知识，不仅出现在正常的数学教学中，还会以小学数学竞赛的形式出现。
在通常情况下，都是以在数学教学中出现更为突出。
在实际数学教学中，教师开展初等数论知识课程，主要是为了能够进一步的提高学生的数学素养，同时在其内容上也在一定程度上反应某些特别重要的数学思想方法，这能够更好的帮助学生提高数学基础能力和实际应用意识。
总之，在小学数学教学中开展这么课程不仅极大的扩展学生的数学视野，还提高的学生对数学科学价值和文化价值的认识。
对于在小学数学教学中应用初等数论知识，有以下几个方面的作用；一是，激发学生学习数学的兴趣。
在目前的小学数学教学中，多数教师还在使用传统的教学模式和方法，这种教学方式严重影响学习学习的兴趣，对此，教师要能在教学中合理的运用数论知识，提高学生学习兴趣；二是，有助于培养学生在学习中的创造思维能力。
初等数论与小学数学
数就是 的因b数, 反之, 的因数b也就是 与
的公因0 数.b
. (ii) ( 0 , b) = b
定理2 设 a , b是, c任意三个不全为 的整0 数, 且
其中 是a非= b零q +整c, 数, 则 q与 有相同的公因a , b
数,b因, c而
( a , b)= ( b , c) .
理论依据
(a, m，) 则1
a(m) 1(mod m)
5.不定方程（组）
问题5.1 （“百鸡问题”） ：“鸡翁一, 值 钱五, 鸡母一, 值钱三, 鸡雏三, 值钱一.百钱 买百鸡.问鸡翁母雏各几何?”
问题5.2 （“搬砖问题”） ：“三十六块 砖，三十六人搬，男人搬三块，女人搬一 块，三个小孩抬一块。问男人、女人、小 孩各多少人？”
就说a,b对模m不同余,记作
. a b(mod m)
定义2 设 m是大于1的整数，且 不m 能整除a，则
ax b(m称od m为) 模 的一m次同余方程；若整数c满足上述
方程，则称
是x一 c次(m同od m余) 方程
ax b(m的od一m)个解.
理论依据
定理1（大衍求一术） 设 m是大于1的整数，
n n n
n
p(n!)
p
p2
p3
r 1
pr
3.韩信点兵与鬼谷算
问题3.1:测算某同学的年龄?
问题3.2（“物不知数”或“韩信点兵”）： “今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数 之剩三, 七七数之剩二, 问物几何?”
设 是x 所求物数, 则依题意
x 2(mod 3)
个5，有些数含3个5，有些数含4个5，当然没有含5
个5的数，于是
初等数论1.8(小学教育专业)
[ x],( x Z ) 性质3 [-x]= [ x] 1.( x Z )
性质4 若[x]=[y],则|x-y|<1.
性质5 [x]+[y] ≤[x+y]. 性质6 若x≥0,y≥0,则[xy]≥[x][y].
例1 求证：若a bq r , 其中a, b, q, r均为正整数, a 且0 r b, 求证:[ ] q. b [ x] x 例2 若x是实数,n是正整数,则[ ] [ ]. n n
定理1 设x是正实数,n是正整数,则从1到x的整数中, x n的倍数有[ ]个。 n
定理2 在n!的标准分解式中,质因数p的指数是. n n n k k 1 h [ ] [ 2 ] [ k ]( p n p ). p p p
例3 求7在2000！中的最高幂指数.
例4 求2001！中末尾0的个数.
1.7高斯函数
学习目标： 1.能熟练掌握高斯函数的性质 2.能熟练应用高斯函数的性质 3.培养学生的归纳能力 重点：高斯函数的性质 难点：高斯函数的性质 教学方法：讲授法 练习法 课时数：2 授课日期：2014.5.6
不超过实数x的最大整数记作[x].例如,[π ]=3,[-1.3]=-2. 函数y=[x],x∈R叫做高斯(gauss)函数.也叫做取整函 数。 显然[x]是整数,且满足x-1<[x] ≤x<[x]+1. 高斯函数的性质： 性质1：函数y=[x]是不减函数,即若x1 ≤x2 ,则有[x1] ≤[x2]. 性质2：若n是整数,则[x+n]=n+[x],即整数可以从方括 号中提出.
例5 求30!的标准分解式.
小结：本节主要讲述高斯函数的性质及其应用， 重点掌握高斯函数性质并能灵活运用。
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人类从学会计数开始就一直和自然数 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了， 自然数打交道了， 由于实践需要，数的概念被扩充，自然数称做正整 数，而它们的相反数叫做负整数，介于两者间的中 性数叫做0（但现在，自然数的概念包括了0 性数叫做0（但现在，自然数的概念包括了0），它 们合起来叫做整数 们合起来叫做整数。 整数。 人们在长期对整数进行运算的应用和研究时逐 步熟悉了整数的特性. 步熟悉了整数的特性.而利用整数的一些基本性质， 可以进一步探索更多趣味复杂的数学规律。这门学 科最初是从研究整数开始的，被称为整数论。后来 整数论进一步发展，逐渐产生了新名词——数论。 整数论进一步发展，逐渐产生了新名词——数论。 确切的说，数论就是一门研究整数性质 确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 研究整数性质的学科
初等数论& 初等数论&小学数学 The Relation
小学教学与初等数论关系密切（尤其 体现在小学奥数中）最基本的问题包 含：数的整除，余数问题，奇数与偶 数，质数与合数，约数与倍数，完全 平方数的整除 接下来将挑选以上内容的一部分，给 出小学例题进行实际说明。
一、余数问题
例题1：一个三位数恰等于它各位数字乘积的5 例题1：一个三位数恰等于它各位数字乘积的5倍， 请求此三位数。 解法： ①设此三位数是“abc” ①设此三位数是“abc”=100a+10b+c ② 根据题意：100a+10b+c =5abc， 根据题意：100a+10b+c =5abc， 推理可知c整除5且不可为0 推理可知c整除5且不可为0，∴ c=5 ③将c=5带入，25ab= 100a+10b+5 c=5带入，25ab= 得5ab=20a+2b+1;可知5∣（1+2b） 5ab=20a+2b+1;可知5 1+2b） b是0~9之间一位的整数， ∴ b=2或7 0~9之间一位的整数， b=2或 ④ b=2时，a=-0.5；不合理，舍去 b=2时，a=-0.5；不合理，舍去 b=7时，a=1；合理，可取 b=7时，a=1；合理，可取 结论：推得此数为175 结论：推得此数为175
二、奇数与偶数，质数与合数
例题：已知两个质数相加等于999，请问这两个质 例题：已知两个质数相加等于999，请问这两个质 数的积是多少？ 解法： ①999是个奇数，因此它必定是一个偶数与 999是个奇数，因此它必定是一个偶数与 一个奇数的和. 一个奇数的和. ②已知两者都是质数，而偶数中属于质数的 只有 数字2 数字2 ③推得：这两个数是2和97.乘积为194 推得：这两个数是2 97.乘积为194 PS：本题看似简单，实际上非常巧妙地融合了奇 PS：本题看似简单，实际上非常巧妙地融合了奇 偶数、合质数的内容。知识点虽然基本，但若要马 上联系起来，不仅考验学生掌握的娴熟程度，还考 验他们思维的灵敏度。综上所述，本题是“ 验他们思维的灵敏度。综上所述，本题是“用青菜 萝卜制出一道精致美味” 萝卜制出一道精致美味”。
写在最后的话
数论的知识广博深奥，仅分类就有初等数论、几何数论、计 算数论、 超越数论、 组合数论、 解析数论 、代数数论几大层 面。 我们所接触初等数论，意指使用不超过高中程度的初等代数 处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同余。重 要的结论包括中国剩余定理、费马小定理、二次互逆律等等 在数论的学习过程中，导师不止一次强调它“千姿百态” 在数论的学习过程中，导师不止一次强调它“千姿百态”： 每题的解法都不同，无规律套用；每次的思维都不同，要看题 寻法等等。但个人感觉：虽是千变万化，但亦万变不离其宗— 寻法等等。但个人感觉：虽是千变万化，但亦万变不离其宗— —无论如何都要娴熟地掌握基本知识，自我融会贯通，解题时 才能反应迅捷、运用自如。 亲身体验过，明白数论的确奥妙无穷，但小学教学接触的 “部分初等数论”只是“数论” 冰山一角，更不用相比数学， 部分初等数论”只是“数论” 乃至科学世界了。而小学数论虽然浅显，但若思维不够活跃、 知识储备不足，照样会成为一大难题。THE END，谢谢观看 知识储备不足，照样会成为一大难题。THE END，谢谢观看
三、数的整除
例题：证明33不能整除形如“71x5y” 例题：证明33不能整除形如“71x5y”的数 解法： ①假设可以整除，则必有3 ①假设可以整除，则必有3与11 ∣ 71x5y 整除条件：7+1+x+5+y=3n ②被3整除条件：7+1+x+5+y=3n 被11整除条件（7+x+y）-（5+1）=11b 11整除条件（7+x+y） 5+1） 71-5xy=11a（难用，舍弃） 71-5xy=11a（难用，舍弃） ③x、y必定是0~9之间的整数 必定是0~9之间的整数 ④结合② ③ 推ห้องสมุดไป่ตู้3与11 ∣ 71x5y无法成立 推出3 71x5y无法成立 ∴ 33不能整除形如“71x5y”的数得证。 33不能整除形如“71x5y”