初等数论期末试题(B)
数论期末试题及答案
数论期末试题及答案1. 选择题（每题5分，共20题）1）1+2+3+…+99+100的和是多少？A. 4950B. 5000C. 5050D. 5100答案：C. 50502）4的7次方是多少？A. 128B. 256C. 512D. 1024答案：B. 2563）100的倍数能被1和几整除？A. 9B. 10C. 11答案：B. 104）如果a和b都是偶数，那么a-b一定是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是5）若n是整数，则(3n+1)(3n+2)一定是3的倍数吗？A. 是B. 否答案：B. 否6）小明和小红共有7枚硬币，小明有4枚硬币，小红有几枚？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B. 37）2乘以一个整数，结果是130。
这个整数是多少？A. 60C. 70D. 75答案：B. 658）如果x是奇数，那么x(x+1)一定是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是9）a和b都是正整数，且满足a/b = 4/9，那么a与b的最大公约数是多少？A. 9B. 4C. 1D. 13答案：C. 110）如果m是正整数，那么m和2m/3的最小公倍数是多少？A. mB. 2mD. 4m答案：B. 2m11）已知1+2+3+...+n=55，那么n是多少？A. 7B. 8C. 9D. 10答案：C. 912）巧克力块状的，宽度是2 cm，厚度是6 mm，长度是10 mm。
这块巧克力的体积是多少立方厘米？A. 1.2B. 1.2×10⁻³C. 1.2×10⁻⁵D. 1.2×10⁻⁹答案：A. 1.213）a和b都是正整数，且满足1/a + 1/b = 1/12，那么a和b的值分别是多少？A. a=4, b=9B. a=3, b=8C. a=5, b=10D. a=6, b=7答案：A. a=4, b=914）若m是偶数，且n是奇数，那么m²+n²是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是15）如果将一个偶数的两倍再加上6，结果一定是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是16）abcde ×4 = edcba，其中每个字母代表一个0-9的数字，找出a、b、c、d、e各代表的数字。
《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套)
《初等数论》试卷一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ．3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ．323ind =C ．350ind =D ．3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30．()48ϕ=_________________________________。
福师《初等数论》期末复习题
(单选题)1.如果b|a，a|b，则（）A: a=bB: a=-bC: a < bD: a=±b正确答案: D(单选题)2.如果b|a，a|c，则（）A: b=cB: b=-cC: b|cD: c|b正确答案: C(单选题)3.下列关于质数、合数的说法，正确的是（）A: 两个质数之和一定是质数B: 质数一定是奇数C: 两个合数之和一定是合数D: 两个质数之积一定是合数正确答案: D(单选题)4.所有不超过156的正整数中，7的倍数有（）个A: 20B: 21C: 22D: 23正确答案: C(单选题)5.1050与858的最大公因数是（）A: 2B: 3C: 6D: 12正确答案: C(单选题)6.（1/5）=（）A: -1B: 0C: 1D: 2正确答案: C(单选题)7.下列说法错误的是（）A: 101是合数B: 素数有无限多个C: 奇数一定能表示为两平方数之差D: 两个连续自然数互质正确答案: A(单选题)8.如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）A: 奇数B: 偶数C: 奇数或偶数D: 由n的奇偶性而定正确答案: B(单选题)9.适合同余式3x≡6(mod18)的x的整数值是（）A: 2+6t,t为任意整数B: 3+2t,t为任意整数C: 2+3t,t为任意整数D: 6+2t,t为任意整数正确答案: A(单选题)10.能被4,5,7整除的最小的正整数是（）. A: 120B: 130C: 140D: 150正确答案: C(单选题)11.417被-15除的带余除法表达式是（）A: 417 = (-15)(-30)-33B: 417 = (-15)(-26)+27C: 417 = (-15)(-28)+(-3)D: 417 = (-15)(-27)+12正确答案: D。
《初等数论》试题B
2005－2006学年度第一学期期末考试《初等数论》试卷（B 卷）数学 系 02 级本科 姓名 学号注：本试卷共 大题 页，草稿纸附后，连同试卷一并交。
一、判断题（每题1分，共10分）1、若是x 0、x 1、x2、…、x k 是模m 的一个简化剩余系，则ax 0、ax 1、ax 2、…、ax k 也是模m 的一个简化剩余系；( )2、若( a i , a j )=1，则 ( a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n ) = 1，( i ≠j , 1≢ i 、j ≢n )；( )3、若a ≡b ( mod m ), 则ak ≡bk ( mod m ), k ∈Z ； ( )4、M b a b a n n )(+=-, M ∈Z , n 为奇数；( )5、若a ∣a i , 则a ∣∑=ni ia1, a i ∈Z ；( )6、在n!的标准分解式中，质因数p 的最高次幂指数为h , h =∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1k k p n ； ( ) 7、 n!∣∏-=+1)(n i i a ，a ∈Z ；( )8、若x 2+y 2=z 2 , (x , y) = 1, 则x 、y 不同奇偶；( )9、[x]+[y] ≢ [x+y] ≢ [x]+[y]+1恒成立；( ) 10、在小数0.a 1a 2a 3…a n …，（0≢a i ≢9, a i ∈Z ）中，若有i s a +＝i kt s a ++ k ∈Z 成立，那么该小数为循环小数，循环节长度为t ，循环节的第一位数是1+s a ，最后一位是t s a +；( ) 二、选择题（每题2分，共20分）1、174081化为混循环小数，其不循环部分位数是（ ）位A ．10B ．12C ．14D ．16 2、24的正约数中，有（ ）A ．3个质数，5个合数B ．2个质数，4个合数C ．3个质数，4个合数D ．2个质数，5个合数 3、下列各数中，能被11整除的是（ ） A ．75523 B ．868967 C ．1095874 D ．386354、同余式8x ≡9（mod11）的解为（ ）A ．x ≡6（mod11）B ．x ≡7（mod11）C ．x ≡8（mod11）D ．x ≡9（mod11） 5、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定6、模18的最小正简化剩余系有（ ）个数。
初等数论试卷,最全面的答案,包括截图
初等数论考试试卷一、单项选择题：（1分/题X 20题=20分）1 •设x为实数，lx ]为x的整数部分，则（A ）A.[xl X ：：: lx ； E. [x I ::: x Ixl • 1 ;C. lx I x lx A：；1 ;D. lx I ::: X ：：: Ix.l • 1 .2.下列命题中不正确的是（B ）A.整数a i,a2,||（,a n的公因数中最大的称为最大公因数；C.整数a与它的绝对值有相同的倍数D.整数a与它的绝对值有相同的约数3 .设二元一次不定方程ax・by=c （其中a,b,c是整数，且a,b不全为零）有一整数解x o,y°,d二a,b，则此方程的一切解可表为（C ）a bA.x =x°t, y 二y°t,t =0, _1,_2」H;d da bB.x = X o t, y 二y o t,t = 0, —1, _2」H;d db ac. x =X o t, y =y°t,t =0, _1,_2,川；d db aD. x =x°t, y 二y o t,t =0, 一1,_2,|"；d d4. 下列各组数中不构成勾股数的是（D ）A. 5, 12, 13;B. 7, 24, 25;C.3, 4, 5;D. 8, 16, 175. 下列推导中不正确的是（D ）A.® 三b modm ,a2 三d modm = y a?三b b2modm ;B.Q= b mod m ,a2 = b2 modm = Qa? = bb 2mod m ;c. Q= b mod m = 时2 = ba 2modm ;2 2C. 一5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.a1= b1 modm = Q=b modm .6 .模10的一个简化剩余系是（D ）A. 0,1,2,川,9;B. 1,2,3川1,10;7. a三b modm的充分必要条件是(A )A. ma —b;B. a —b m;C.m a +b;D. a +b m.&设f x =x42x38x 9，同余式f x三0 mod5的所有解为(C )A. x =1 或-1;B. x =1 或4;C. x 三1 或-1 mod5 ;D.无解.9、设f(x)= a n X n JlUII a1x • a°其中a i是奇数,若x = x0mod p 为f(x) = 0 mod p 的一个解, 则:(?)A. 了.三/.: mod p 厂定为f (x)三0(mod p勺,1的一个解B. '三I mod p「，：：1,一定为f (x)三0 mod p ：的一个解D. 若x三x° mod p -为f (x)三0 mod p -的一个解，则有x ：三x° mod p10.设f (x)二a n x n|川|) ax a0,其中a i为奇数,a n丞Omodp,n p,则同余式f (x) =0 mod p 的解数：( )A.有时大于p但不大于n; B .不超过pC.等于p D .等于n11.若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的:( D )A. 3 B . 11 C . 13 D . 2312.若雅可比符号->1，则(C )Im丿2A. 同余式x三a modm 一定有解,B. 当a,m =1时,同余式x2=a mod p有解；C. 当m = p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解；D. 当a二p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解.13.若同余式x2三a mod2‘，〉-3, 2, a =1有解,则解数等于(A )C. 一5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.18. 若x 对模m 的指数是ab , a >0, ab >0,则a 对模m 的指数是（B ） A. a B . b C . ab D.无法确定19. f a , g a 均为可乘函数，则（A ）A. f a g a 为可乘函数；B .f ag （a ）C. f a g a 为可乘函数； D . f a - g a 为可乘函数 20. 设丄［a 为茂陛乌斯函数，则有（B ）不成立A 二 J 1 =1B .空-1 =1C .二■-2 = -1D .二=9 =0二. 填空题：（每小题1分，共10分） 21. 3在45!中的最高次n = ________ 21 ___ ; 22.多元一次不定方程：a 1x 1a 2x 2 •丨II a n x^ N ,其中a 1 , a 2，…，a n , N 均为整数，n _ 2 ,有整数解的充分必要条件是 _ （ a 1 , a 2 ,…，a n ,） I N_a23.有理数一，0cavb ,（a,b ）=1，能表成纯循环小数的充分必要条件是_ （10, b ） =1__；b-_24.设x 三冷 mod m 为一次同余式ax 三b modm , a = 0 mod m 的一个解，则它的所有解A . 414. A . 15. A . B . 3 C 模12的所有可能的指数为：（ 1, 2, 4 B . 1, 2, 4, 6, 若模m 的原根存在，下列数中， 2 B .3 C16. 对于模5，下列式子成立的是 .2 A )12 C . 1, 2, m 不可能等于：(D .12B )3, D 4, 6,12 D •无法确定 )A. in d 32 =2 ind 3^=3C.in d 35 =0ind 310 二 ind 32 ind 3517. A. 下列函数中不是可乘函数的是： 茂陛鸟斯（mobius ）函数w （a ）; B. 欧拉函数■- a ；C. 不超过x 的质数的个数二x ；25. ____________________________ 威尔生（wilson ）定理： _______________ （P —1）! +1 三0（modp ）, p 为素数 _____________ ；26.勒让德符号'^03 |=1;訂013丿27. 若a, p [=1，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是 a 2三1 mod p （欧拉判别条件； 28. 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是 _讥営m __；29. 设。
初等数论练习题一（含答案）
初等数论练习题⼀（含答案）《初等数论》期末练习⼆⼀、单项选择题1、=),0(b （）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）.A aB bC 1D b a +3、⼩于30的素数的个数（）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定⽅程210231525=+y x （）.A 有解B ⽆解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最⼤公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、⼤于20且⼩于40的素数有（）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最⼩⾮负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定⽅程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （）.A 有解B ⽆解C ⽆法确定D 有⽆限个解⼆、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环⼩数的条件是（）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( )n ，⽽且与n （）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、+=][x x （）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?2、求解不定⽅程2537107=+y x .（8分）3、求??563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定⽅程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平⽅剩余与平⽅⾮剩余.四、证明题1、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、⼀个能表成两个平⽅数和的数与⼀个平⽅数的乘积,仍然是两个平⽅数的和;两个能表成两个平⽅数和的数的乘积,也是⼀个两个平⽅数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习⼆答案⼀、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B⼆、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环⼩数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( 3 ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( 不⼤于 )n ，⽽且与n （互素）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（⼗进位）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871?=5073684 所以24871与3468的最⼩公倍数是5073684。
初等数论期末考试试卷张
初等数论试卷 (B)一，选择题 （满分 15 分，每题3 分）1，下列不正确的是（）A 设 m ∈ N ， a , b ∈ Z , 若 ab(mod m) ，则 b a(mod m) 。
B 设 m ∈ N ， a , b , c ∈ Z , 若 a b c(mod m) , 则 ac b(mod m) .C设 m ∈ N， a 1 ,b 1 , a 2 ,b 2∈ Z ， , 若 a 1 b 1 (mod m) ， a 2 b 2 (mod m) ， 则a 1 a 2b 1b 2 ( m o md) 。
D设 m ∈ N ， a , b ∈ Z , 若 a 2b 2 (mod m)，则 ab(mod m) 。
2，下列哪一个为模 12 互质的剩余类（）A[2] ，B [5] ，C [6]， D [3] 。
3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ）A3， B7， C1， D 19 。
2060 51004，同余方程 x 2 2 0(mod 5) 的解为（）Ax 0(mod 5) ， B x 4(mod 5) ， Cx 2(mod 5) ， D 此方程无解。
5，下列哪一个同余方程组无解（）x9(mod 25)x4(mod 9)A， Bx 7(mod 10) x 1(mod 6)x17(mod 25)x 19(mod14)C， D。
x 2(mod 45) x 26(mod 7)二，填空题（满分 10 分，每题 2 分）1，当 m =时， 3211(mod m) 和 17 11(mod m) 同时成立。
2，设 m ∈ N ，则为模 m 的非负最小完全剩余系。
3， (16)。
4，写出模 8 的一个简化剩余系：。
5，余式 x a(mod 5) 等价于等式：。
三，判断题（满分 10分，每题 2 分 ）1，( m)为欧拉函数，则1(m)m 1 。
（）2，设m ∈N，a∈Z ，（a,m =1，若整数集合a1 , a2 ,......,a( m)为模m的一个简化）剩余系，则aa1 , aa2 ,......,aa(m )也为模 m 的一个简化剩余系。
初等数论试题(练习题)
《初等数论》选修结业试题班级 姓名； 考籍号；一、单项选择题(每题5分，共30分) 1、=),0(b （ ）. A b Bb- CbD 02、如果a b ，b a ，则( ). Aba = Bba -= Cba ≤ Dba ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 Dba +4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定 二、计算题（每题10分，共30分） 1、 求24871与3468的最大公因数?2、 求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=?三、证明题（每题10分，共40分） 1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0. 2、证明对于任意整数n ,数62332nnn ++是整数.3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.答案一、单项选择题C D C A C A 二、计算题 3、求24871与3468的最大公因数?解： 24871=3468⨯7+5953468=595⨯5+493 595=493⨯1+102 493=102⨯4+85 102=85⨯1+17 85=17⨯5,所以,(24871,3468)=17. 4、求[24871,3468]=?解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]=17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
3、求[136,221,391]=?解： [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391]=173911768⨯=104⨯391=40664.三、证明题 5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即r q b a '+'=,br '≤0.所以rbq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于br ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立. 因此q q '=,r r'=.其次证明存在性.我们考虑整数的有序列……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使()bq a qb 1+≤ .我们设qb a r -=,则有r bq a +=,br ≤0.6、证明对于任意整数n ,数62332nnn ++是整数.证明： 因为62332nnn ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n ,而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,即62332nnn ++是整数.7、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.证明： 因为=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 8、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n 所以)22(2+n n =)1(4+n n 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即)1(4+n n 是8的倍数.。
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042初等数论期末试题（B）
1．选择题（每题4分，共6题）
1．把23化为二进制数，下列表示正确的是（）
A 10001
B 110001
C 10111 D11001
2．某数除以3余2，除以4余1，该数除以12余（）
A 1
B 3
C 4
D 5
3．某数除193余4，1087余7，符合要求的最大者为（）
A 21
B 27
C 9
D 18
4．方程+=的整数解的个数为（）
A 125
B 63
C 126
D 62
5．自200到500的整数中7的倍数的个数为（）
A 43
B 42
C 41
D 44
6．下列表达式正确的是（）
A B
C D
2．填空题（每题5分，共4题）
1．模9的最小简化剩余系为_______.
2．除以13的余数为_______.
3．2001！末尾0的个数为_______.
4．S(360)= _______.
3．计算题（每题8分，共5题）
1．设，，求.
2．用欧拉算法把（5767，4453）表示成5767和4453的倍数和.
3．求20！的标准分解式.
4．解同余方程 .
5．装月饼的盒子有两种，大盒子能装7块，小盒子能装4块，要把41块月饼装满盒子，问需要大小盒子各多少个？
四．证明题（每题8分，共2题）
1．证明：质数有无限多个.
2．若整系数二次三项式=++c当=0, =1时的值为奇数，求证：方程=0没有整数根。