高等数学竞赛试题含答案
数学竞赛高数试题及答案
数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。
试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。
试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。
试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。
解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。
试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。
对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。
高数竞赛试题及答案
高数竞赛试题及答案在高等数学领域中，竞赛试题的编写与解答一直是学生们提高自己数学水平的重要方式之一。
本文将提供一些高等数学竞赛试题，并附上详细的解答过程，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。
1. 竞赛试题一考虑函数f(x) = |x^2 - 4x + 3|，其中x为实数。
(1)求函数f(x)的定义域。
(2)求函数f(x)的最大值和最小值。
解答过程：(1)为了求函数f(x)的定义域，我们需要确定使函数的值有意义的x 的范围。
由于函数f(x)中包含了一个绝对值，我们可以将其拆分成两种情况讨论：当x^2 - 4x + 3 ≥ 0时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3；当x^2 - 4x + 3 < 0时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。
对于第一种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0。
通过因式分解或配方法，我们可以得到(x-1)(x-3) ≥ 0。
解这个不等式可以得到x ≤ 1或x ≥ 3。
对于第二种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 < 0。
同样通过因式分解或配方法，可以得到(x-1)(x-3) < 0。
解这个不等式可以得到1< x < 3。
综上所述，函数f(x)的定义域为x ≤ 1或x ≥ 3，且1 < x < 3。
(2)为了求函数f(x)的最大值和最小值，我们可以分别考虑函数f(x)在定义域的两个区间内的取值情况。
当x ≤ 1时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3。
通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最小值。
代入可得最小值为f(2) = 1。
当x ≥ 3时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。
同样通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最大值。
代入可得最大值为f(2) = -1。
综上所述，函数f(x)的最大值为-1，最小值为1。
2. 竞赛试题二已知函数f(x) = 2^(x+1) - 3^(x-2)，其中x为实数。
高等数学竞赛试题及参考答案
九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题院系 班级 学号 姓名一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( )。
A. 3 B. 2 C. 1 D. 312 ⎰-=+116dx x sin 1xcos x （ ）A.2π B.π C.1D.03 设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（ ）A.-1B.1C.0D.不存在 4 下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.x xx ln lim +∞→B.xxx 2cos lim∞→C.xxx -→1ln lim1D.x e x x ln lim -+∞→5 设f (x)是连续函数，且⎰=x x x dt t f 0cos )(，则f (x)=( ) A.cos x-xsin xB.cos x+xsin xC.sin x-xcos xD.sin x+xcos x6 设函数f(x)满足)x (f 0'=0, )x (f 1'不存在, 则（ ） A.x=x 0及x=x 1都是极值点 B.只有x=x 0是极值点C.只有x=x 1是极值点D.x=x 0与x=x 1都有可能不是极值点7 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰-=a adx )x (f （ ）A. 0B. 2⎰adx )x (fC.⎰-+a0dx )]x (f )x (f [D. ⎰--adx )]x (f )x (f [8 设函数y=f(x)在点x 0的邻域V(x 0)内可导，如果∀x ∈V(x 0)有f(x)≥f(x 0)， 有（ ） A ．)(')('0x f x f ≥ B ．)()('0x f x f ≥ C ．0)('0=x fD ．0)('0>x f9 设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16!B ．15!C ．14!D ．010=⎰])arctan ([673dx x x dx d （ ） A. 5 B. 3 C. 7 D. 0 二、填空题（每空4分，共32分）1 当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a=___________ .2 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+000)1ln(2x x xx ，则f '(0)=___________. 3 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 4 n31sin n 1lim22n ∞→= ___________.5 设1)1(f =' 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞→)1(f )x11(f x lim x =___________.6 曲线x 2+y 5-2xy=0在点(1、1)处的切线方程为 .7 dx xx x ⎰++221)(arctan = .8 曲线y =1222-+-x x x 的垂直渐近线的方程是 .三、计算题 （每题8分，共16分） 1. 计算⎰10dx ex2. 设f(x)的一个原函数为x e x 2，计算dx x x f)(/⎰四、解答题（第1题10分，第2题12分）1. 设曲线xy=1与直线y=2，x=3所围成的平面区域为D （如图所示）.求D 的面积.2. 计算定积分⎰-+12.)2()1ln(dx x x九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( A )。
南昌大学第十一届高等数学竞赛(理工类)试题及答案
得分
评阅人
十、 （本题满分 10 分）
设曲线 y y x 经过原点和点 M 1, 2 ,且满足二阶微分方程 y 令 p y ，则 y p
2 y2 0 ，求 y2 . 1 y
dp ，原方程化为 dy
dp 2 2 p 0 dy 1 y 由题设知 yx c （常值函数） ，于是 1 2 2 dp dy ，通解为 p c1 y 1 ， p y 1 dy 1 2 c1 y 1 ， 即 通解为 将 y0 0 ，y1 2 代入解得 c1 2, c2 1 ， c1 x c2 ， dx y 1 4 1 1 ， y 2 于是 y x 3 2x 1 p
x 0
a
0
g x f x dx 0 f x g x dx f a g 1 .
1
令 F x g t f t dt f t g t dt f x g 1 ，则
1
F x f xg x g 1 0 . 于是，对任意 a 0, 1 有
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评阅人
七、 （本题满分 10 分）
求级数 arctan
n 1
1 的和. n n 1
2
arctan
i 1 i arctani 1 arctani 1 arctan i i 1 1 ii 1 n 1 sn arctan 2 arctann 1 arctan1 i i 1 i 1 s lim sn n 2 4 4
2
得分
评阅人
八、 （本题满分 9 分）
y2 z2 1 设 为曲线 L : 绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲面 与平面 z 1 ， z 1 围成 x0 的立体. 求三重积分 x 2 y 2 dv .
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题一、选择题1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （ C ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（ A ）(A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数. 3. 设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（ B ）(A) 0=I ;(B) 0>I ;(C) 0<I ;(D) 不确定.4. 设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，k x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （ B ）(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.6. 设k j b j i a ρρρρρρ+-=+=2,，则以向量a ϖ、b ϖ为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) 11,3； (B) 3, 11； (C) 10,3； (D) 11,2.7. 设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222L xdx ydykx y +=+⎰Ñ（k 为常数），则有1222L xdx ydyx y ++⎰Ñ（ D ）(A) 等于k ； (B) 等于k -； (C) 大于k ； (D) 不一定等于k ，与L 2的形状有关. 8. 设∑∞=0n nn xa 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n nnx n a 在0=x 处（ D ）二、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞→∞==，故2()f x ax bx =+；当||1x >时，1()f x x=112111,1,lim ()1,lim (),1(),11,1,1,lim (),lim ()1,1x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -+-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。
高等数学竞赛最新试题及答案
高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）第一篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)函数、极限、连续1.f(x),g(x)∈C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：(1)∃η∈(a,b),使f(η)=g(η)(2)∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ)证明：设f(x),g(x)分别在x=c,x=d处取得最大值M，不妨设c≤d(此时a<c≤d<b)，作辅助函数F(x)=f(x)-g(x),往证∃ξ∈(a,b),使F''(ξ)=0令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)=F(b)=0，① 当c<d，由于F(c)=f(c)-g(c)=M-g(c)≥0F(d)=f(d)-g(d)=f(d)-M≤0由“闭.连.”零点定理，∃η∈[c,d]⊂(a,b),使f(η)=g(η)② 当c=d，由于F(c)=f(c)-g(c)=f(c)-g(d)=M-M=0即∃η∈(a,b),使f(η)=g(η) 对F(x)分别在[a,η],[η,b]上用罗尔定理，∃ξ1∈(a,η),ξ2∈(η,b)，使在[ξ1,ξ2]上对F(x)在用罗尔定理，F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使F''(ξ)=0，∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ).2.设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn,n=1,2,Λxn存在，并求该极限(1)证明limn→∞xn+1x1n(2)计算lim()n→∞xn分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn→∞解：易得0<xn≤1(n=2,3,Λ)，所以xn+1=sinxn<xn,n=(2,3,Λ)，即{xn}为xn存在，并记为limxn=a,则a∈[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim n→∞n→∞对等式xn+1=sinxn<xn,两边令n→∞取极限，得a=sina,a∈[0,1]，所以a=0,即limxn=0.n→∞lim((2)n→∞xn+1sinxn)=lim()n→∞xnxn2xn2xn令t=xn=lim（t→0sint)=et→0ttlimln()tt2由于limt→0tln(sin)ttsintln[1+(sin-1)]-1-1t2sint-t洛cost-11tt2=lim=lim=lim=lim=lim=- t→0t→0t→0t→0t→03t2t2t2t33t26 xn+1xn-1所以lim()=e.n→∞xn3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明：(1)∃ξ∈(0,1),使f(ξ)=1-ξ，(2)存在两个不同点η,ζ∈(0,1),使f'(η)f'(ζ)=1证：(1)令F(x)=f(x)+x-1，则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0，由“闭.连.”零点定理，∃ξ∈(0,1),使F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ(2)f(x)在[0,ξ],[ξ,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以∃η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1)，使f(ξ)-f(0)=f'(η)(ξ-0),f(1)-f(ξ)=f'(ζ)(1-ξ)，即f'(η)=f'(ζ)=f(ξ)ξ=1-ξξ1-f(ξ)1-(1-ξ)ξ==1-ξ1-ξ1-ξ∴f'(η)f'(ζ)=1-ξξ⋅ξ1-ξ=14.设方程xn+nx-1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正α实根xn，并证明当α>1时，级数∑xn收敛.n=1∞证：令f(x)=xn+nx-1,则f(x)在(0,+∞)上连续，且f(0)=-1<0,f()=()n>0nn所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f'(x)=n(xn-1+1)>0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，∞)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.α<由上述知，对n=1,2,Λ，有0<xn<,有0<xn∞1n1n1n1n1n1，nα此外，由α>1知，级数∑收敛，所以由正项级数比较审敛法，知αn=1n∑xα收敛.nn=1∞5.求lim(cosx)x→01ln(1+x)x→0ln(1+x)解：lim(cosx)x→01ln(1+x)=elimlncosx，其中limln(1+xx→0lncosx)=limx→0ln[1+(cosx-1)]ln(1+x)=limx→0-x22x=-(cosx)所以，limx→0ln(1+x)=e-6.f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0,f'(0)≠0,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)af(h)-af(0)+af(0)+bf(2h)-bf(0)+bf(0)-f(0)=limh→0h→0hhaf(h)-af(0)bf(2h)-bf(0)[(a+b)-1]f(0)[(a+b)-1]f(0)=l im+lim+lim=(a+b)f'(0)+limh→0h→0h→0h→0hhhh⎧a+b=1'由f(0)≠0,f(0)≠0,得⎨,即a=2,b=-1a+2b=0⎩解2：按解1，只要假定f(x)在x=0处可导即可，但在题中“f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim h→0h→0af(h)+bf(2h)-f(0)=0得 limaf(h)+bf(2h)-f(0)=0h→0h即0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)，由f(0)≠0,得a+b=1（1）af(h)+bf(2h)-f(0)洛=limaf'(h)+2bf'(2h)=(a+2b)f'(0)且f'(0)≠0,又由0=limh→0h→0h所以 a+2b=0（2）由（1）、（2）得a=2,b=-1.⎛2+esinx⎫⎪.7.求lim 4+x→0x⎪⎝1+e⎭解：⎛2e-+e-sinx⎫⎛2+esinx⎫⎪=1⎪=lim lim+4+4++-x→0x→0 x⎪x⎪⎝1+e⎭⎝e+1⎭⎛2+esinx⎫⎛2+esinx⎫ ⎪⎪=1 lim=lim4+4---⎪x→0x⎭x→0⎝1+ex⎪⎝1+e⎭所以原式 = 18.求limx→0143+x+-x-2.2x解1：（泰勒公式）因+x+-x-2=[1+1111x-x2+o(x2)]+[1-x-x2+o(x2)]-22828(x→0)=-x2+o(x2)~-x2所以1-x2+x+-x-2=-1lim=limx→0x→0x2x24解2：（洛必达法则）-+x+-x-2洛必达lim=limx→0x→0x22x1-x-+x1⋅lim=lim x→0+x-x4x→0x1-2x1=lim.=-4x→0x(-x++x)4第二篇：高数课件-函数极限和连续一、函数极限和连续自测题1,是非题（1）无界变量不一定是无穷大量（）（2）若limf(x)=a，则f(x)在x0处必有定义（）x→x012x（3）极限lim2sinx=limx=0（）x→+∞x→+∞33x2，选择题（1）当x→0时，无穷小量1+x-1-x是x的（）A．等价无穷小B.同阶但不等价C.高阶无穷小D.低价无穷小⎧x+1-1x≠0⎪（2）设函数f(x)=⎨，则x=0是f(x)的（）x⎪0x=0⎩A.可去间断点 B.无穷间断点C 连续点D 跳跃间断点⎧exx<0（3）设函数f(x)=⎨，要使f(x)在x0处连续，则a=（）⎩a+xx≥0A.2B 1C 0D -13n2-5n+1=（）（4）lim2n→∞6n+3n-2A 151B -C -D ∞ 2321⎧xsinx<0⎪⎪x(5)设f(x)=⎨，则在x=0处f(x) （）⎪1sinx-1x>0⎪⎩xA 有定义B 有极限C 连续D左连续3(6)x=1是函数y=x-1的（）x-1A 可去间断点B 无穷间断点C 连续D跳跃间断点3.求下列极限（1）limx→∞x+sinxsin(-2x)x+2-3（2）lim（3）limx→0x→12xln(1+2x)x-1e-2x-1（4）lim（5）limn[ln(1+n)-lnn]（6）lim(sinn+1-sinn)n→∞n→∞x→0x2x+3x+2(sinx3)tanx2lim()(7)lim (8)（9）limx(x+1-x)x→∞2x+1x→01-cosx2x→∞cosx-cosaarctanxex-ex0（10）lim(11)lim（12）limx→ax→∞x→x0x-xx-ax0x2+32x2+1sin(x-1))（13）lim（14）lim(2x→∞x→1x-1x+24，求满足下列条件的a,b的值1x2+x+a=b（2）lim(3x-ax2-x+1)=（1）limx→+∞x→26x-2⎧tanaxx<0ax+b⎪=2(4)已知f(x)=⎨x（3）lim且limf(x)存在x→0x→1x-2⎪x+2x≥0⎩x<-1⎧-2⎪2（5）已知f(x)=⎨x+ax+b-1≤x≤1在(-∞,+∞)内连续⎪2x≥1⎩⎧sin2x+e2ax-1x≠0⎪(6)函数f(x)=⎨在x=0点连续x⎪ax=0⎩5．求下列函数的间断点并判断其类型⎧x-1x≤11-cosxx2-1（1）y=2（2）y=⎨（3）f(x)=sinxx-3x+2⎩3-xx>1⎧1x>0x⎪（4）f(x)=⎨ex-1（5）y=tanx⎪⎩ln(1+x)-1<x≤026.已知x→-1时，x+ax+5x+1是同阶无穷小，求a7.证明方程x-4x+2=0在区间(1,2)内至少有一个根8.当x→0时，e+ln(1-x)-1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)=a,(a>0,a≠1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)K f(n)]n→∞n2第三篇：高数极限和连续第二章极限和连续【字体：大中小】【打印】2.1 数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽正六边形的面积A正十二边形的面积A2n-1正6×2形的面积AnA1，A2，A3，…，An，…→…S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3...编号依次排列的一列数x1，x2，...，xn， (1)称为无穷数列，简称数列。
高数竞赛试题及答案
高等数学竞赛试题一、填空题(每小题2分，共12分)1、函数2ln(1),0()(1)sin 2,0x x x f x e x x βα⎧+≥⎪=⎨⎪-<⎩若若 在点0=x 处可导，则,αβ==。
2、设x d xx f xx x f e ⎰-=12)(2ln )(，则()f x =。
3、221(1)(arctan )dxx x +∞=+⎰。
4、设二元函数(,)u x y 满足22ux y y∂=+∂，2(,)1u x x =，则(,)u x y =。
5、由x y z所确定的(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分为。
6、过1123:101x y z L ---==-且平行于221:211x y zL +-==的平面方程为。
二、选择题(每小题2分，共12分) 1、把0x →+时的无穷小量⎰=xdt t 02cos α，⎰=2tan x dt t β，⎰=xdt t 03sin γ排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )()A γβα,,； ()B βγα,,； ()C γαβ,,； ()D αγβ,,。
2、设2,()0,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩若为有理数若为无理数，则()f x 可导点的个数为( )(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 无穷。
3、设()f x 是(,)-∞+∞上可导的、周期为6π的函数，且满足0()()lim1x f f x xππ→--=-，则曲线()y f x = 在(7,(7))f ππ处的切线斜率为( )A 、2-；B 、0 ；C 、1-；D 、1。
4、设0a >，()t ϕ是正值连续函数，则曲线()()aay f x x t t dt ϕ-==-⎰( )(A) 在[],0a -上是凹的，在[]0,a 上是凸的； (B) 在[],0a -上是凸的，在[]0,a 上是凹的； (C) 在[],a a -上是凹的； (D) 在[],a a -上是凸的。
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⑵ 由⑴知，当 n 充分大时有， 1 tan 2 nk
1 nk
1 nk
n
1 k
2
，故
n
k 1
1 nk
xn
n k 1
1 nk
n k 1
1 nk
2
n
1 1，
k1 n k n
n
而
1 1 n
1 ，于是
k1 n k n k1 1 k
n
n
lim
1 lim 1 n
1 1 1 dx ln2 ，
，2
1 2
0 ，所以
x
=
2 为x的唯
一 极 小 值 点 ， 故 2 21 ln2 2k 2k ln2 1 0 为 x 的 最 小 值 (x > 0) ， 即 当 x > 0 时
f x 0 ，从而 f x 严格单调递增。
又因 f 1 0 ，所以当 0 x 1时，f x 0 ；当1 x时，f x 0 。
（D）f (a)≠0，且 f a 0 。
3． 曲线 y x x 2 x 1 （ B ）
（A）没有渐近线；
（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；
（C）有一条铅直渐近线；
（D）有两条水平渐近线。
4．设 f x,y与x,y 均为可微函数，且 y x,y 0 。已知 x0,y0 是 f x,y 在约束条件x,y 0 下的
2
x
。
9
解：由
dy dt
e1 2lnt 1 2lnt
2 t
2et 1 2lnt
，
dx dt
4t
，得到
dy dx
21
e 2lnt
，所以
d2 y dx 2
d dt
dy dx
1 dx
d dt
21
e 2lnt
1 4t
2e
21
t 2lnt
2
1 4t
4t
2
1
e 2lnt
2
。
dt
而当 x = 9 时，由 x 1 2t 2 及 t > 1，得 t = 2，故
高等数学竞赛试题
一、填空：
1．若
f
xБайду номын сангаас
1 esinx
arctan
x 2
,x
0, 是
, 上的连续函数，则
a
=
－1
。
ae2x 1, x 0,
2．函数
y
x
2sinx
在区间
2
,
上的最大值为
2 3
3。
2
3．
x x e x dx 2 6e 2 。
2
3x2 2 y 2 12
十二、设匀质半球壳的半径为 R，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为 l 的均匀细棒，其密度 为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为 a，a > R ，求此半球壳对棒的引力。
解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正 z 轴上，则由于对称性，所求引力在 x 轴
与 y 轴上的投影 Fx 及 Fy 均为零。
x 0
f
t dt
A
x
，
即
x 0
f
t dt
x 0
t
dt
A
x
，
所以 x f t dt 是连续的偶函数，但在 x = 0 点处不可导。 0
七、设 f (u, v)有一阶连续偏导数， z f x 2 y 2 ,cosxy ， x rcos , y rsin ，证明：
z r
cos
1 r
z
sin
n k 1 n k n n k 1 1 k
01 x
n
由夹逼定理知
lim
n
xn
ln2 。
十一、设常数 k ln2 1 ，证明：当 x > 0 且 x ≠ 1 时， x 1 x ln 2 x 2klnx 1 0 。
证明：设函数 f x x ln 2 x 2klnx 1
故要证 x 1 x ln 2 x 2klnx 1 0 ，
2x
z u
y
z v
sinxy 。
解： 设： u x 2 y 2 ,v cosxy，则
３
z r
z x
x r
z y
y r
x z r u
u x
z v
v x
y r
z u
u y
z v
v y
2 z xcos ysin z sinxy ycos xsin
u
v
类似可得
z
2r
z u
证明：因为 x = 0 是 f (x)的第一类跳跃间断点，所以 lim f x 存在，设为 A，则 A≠0；又因 f (x)为奇 x0
函数，所以 lim f x A 。 x0
命：
f x A,x 0;
x 0,
x 0;
f x A,x 0.
则x在 x = 0 点处连续，从而x在 ,上处处连续，且x是奇函数：
xsin
ycos
z v
rsinxy ysin
xcos ，
代入原式左边，得到
z r
cos
1 r
z
sin
2cos
z u
xcos
ysin
cos
z v
sin
xy
ycos
xsin
2
z u
sin
xsin
ycos
z sinxysinysin xcos 2x z y z sinxy
v
u v
八 、 设 函 数 f (u) 连 续 ， 在 点 u = 0 处 可 导 ， 且 f(0)= 0 ， f 0 3 求 ：
sin2n 1x sin2n 1x 2cos2nxsinx ，
于是有
２
I n I n1
π 2
sin2n
1x
sin2n
1x
dx
2
π
2 cos2nxdx
1
sin2nx
2
0，
0
sinx
0
n
0
上面的等式对于一切大于 1 的自然数均成立，故有 I n I n1 I1 。所以
In
2 sind
0
t 0
f
rr 2dr
4
t 0
f rr 2dr
t4
于是有
lim Gt lim 4
t0
t0
t 0
f rr 2dr
t4
lim
t0
4
f tt
4t 3
2
lim t0
f t
t
f 0
f 0 3 。
九、计算 I ydx xdy ，其中 L 为 x x y 1正向一周。
L x x y
Fz
2kR 2
R
2
0
a l2
2Ra lcos
1 2
R2
a2
2acos
1 2
sin
d
kM 1M
2
R2 a2 R
R2
a
l2
R
Rl
a
al
若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负 z 轴上，则
Fz
GM 1M 2 Rl
R 2 a l 2 R
a
R2
a2
R
。
a l
当 x > 0，则－x < 0， x f x A f x A f x A x ；
当 x < 0，则－x > 0， x f x A f x A f x A x,
即x是连续的奇函数，于是 xt dt 是连续的偶函数，且在 x = 0 点处可导。又 0
x 0
t
dt
x2
lim
x0
f x
2x
lim x0
f
x
2
2。
f x
故
lim
x0
1
f
x
1 x
x
lxim01
f
x
f
x
x
x
x2
lim
x0
exp
f x
x2
ln1
f
x
x
f
x
x
e
2
。
四、设函数
y
x 1 2t 2 ,
y
x
由参数方程 y
e 12lnt u 1u
t
du ,
1
所确定，求
d2 dx
y
x 0，
只需证：当 0 x 1时，f x 0 ；当1 x时，f x 0 。
５
显然： f x 1 2lnx 2k 1 x 2lnx 2k 。
x xx
命：x x 2lnx 2k ，则 x 1 2 x 2 。
xx
当
x
=
2
时，x
0 ，x =
2
为唯一驻点。又 x
2 x2
lim
t0
1 πt 4
f
x2 y2 z2 t2
x 2 y 2 z 2 dxdydz 。
解：记G t
1 f 4 πt x2 y2 z2 t 2
x 2 y 2 z 2 dxdydz ，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数
的对称性，有
Gt
8 πt 4
2 d
0
一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）
（A）若 f xx0 ,y0 0 ，则 f yx0 ,y0 0 ；
（B）若 f xx0 ,y0 0 ，则 f yx0 ,y0 0 ；
（C）若
f
x