一种考虑温度时间一空间分布的解析互连延时模型
一维热传导傅里叶方程
一维热传导傅里叶方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一维热传导是热传导理论中最基础的概念之一，它描述了在一维情况下热量是如何通过物体的能量传递的。
而傅里叶方程则是描述空间中不同温度分布如何随时间演变的数学方程。
结合一维热传导和傅里叶方程，我们可以更好地理解热传导过程，并研究如何在不同情况下控制热量的传递。
本文将介绍一维热传导以及傅里叶方程的基本概念，并探讨它们在热传导领域的应用。
让我们来看一维热传导的基本概念。
一维热传导是指热量在一个维度上传递的过程。
在这种情况下，我们假设物体在垂直于传热方向的平面内是均匀的，也就是说物体的性质在这个方向上是不变的。
然后，我们可以利用热传导方程来描述热量是如何随时间和空间的变化而变化的。
热传导方程是描述热量传递的基本方程，在一维热传导中，它可以写成如下形式：\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}u(x, t)表示温度分布，x是空间坐标，t是时间坐标，\alpha是热扩散系数。
这个方程描述了温度分布随时间变化的规律，利用这个方程，我们可以研究热量是如何在物体内部传递的。
接下来，让我们来介绍傅里叶方程。
傅里叶方程描述了不同温度分布如何随时间演变的数学方程。
在一维热传导中，傅里叶方程可以写成如下形式：这个方程的解可以用傅里叶级数表示，即：u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} [A_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + B_n \sin(\frac{n\pi x}{L})]e^{-\alpha(\frac{n\pi}{L})^2t}A_n和B_n是系数，L是物体的长度。
这个方程告诉我们，任意温度分布都可以表示为一组正弦和余弦函数的线性组合，利用傅里叶级数，我们可以将任意的温度分布表示为一组基函数的线性组合。
一维热传导傅里叶方程的应用非常广泛。
thomas模型公式拟合
thomas模型公式拟合1、Thomas理论模型及其应用Thomas理论模型Thomas理论模型是着眼于实际情况而考虑的一个理论模型，它既考虑体系内的温度分布，又考虑体系与环境的温度突跃。
该模型的特点是不仅体系内的温度分布随空间位置及时间的变化而变化，而且体系与环境的温度突跃也随时间的变化而变化。
体系和环境的温度变化可表示为空间坐标和时间坐标的函数。
在实际应用中，为了解题方便，一般认为Thomas模型的温度分布具有对称性。
Thomas模型温度分布示意图中心边界温度Thomas模型温度分布环境温度T0体系内温度分布三种理论模型的内在关系上面描述的热自燃模型称为Thomas模型，反应系统为Thomas系统。
实际上，Thomas边界条件包含了Frank-Kamenetskii边界条件和均温系2、统边界条件。
Semenov边界条件和Frank-Kamenetskii边界条件分别是Thomas条件的两个极限情况。
Thomas模型及其边界条件Thomas边界条件属于Robin类边界条件，由下式给出：无量纲化后的热平衡方程：对于Bi＝0，表示系统内部热阻很小，温差集中在系统边界上，系统内部温度均匀，对应的是均温系统情况，称为Semenov边界条件。
当Bi，则温差全部表现在系统内部，边界面上温度与环境温度相同，此即Frank-Kamenetskii边界条件。
Thomas系统爆炸判据的分析解其无量纲化形式为在系统中心处，边界条件仍为：Thomas系统爆炸判据的分析解对A类形状，热平衡方程为：在指数近似(ε=0)下，可得到方程的分析解。
A类形状Thomas系统热3、自燃临界参数（指数近似）δcr随Biot数的变化A类形状Thomas系统热自燃临界参数（指数近似）θ0,cr和θ1,cr随Biot数的变化Thomas系统爆炸判据的数值解Thomas系统中，系统的临界参数是由Biot数和值共同决定的，即:当考虑无量纲活化能时，Tomas热平衡方程方程无法得到分析结果，这时需要采用数值模拟的方法来确定系统临界参数。
一维热传导混合问题
一维热传导混合问题一维热传导混合问题是一种典型的热传导问题，它描述了一个在一维空间中的物体，其温度随时间的变化以及与周围环境的热交换。
这种问题在许多实际应用中都有出现，如材料加工、电子设备冷却、建筑物的温度控制等。
解决一维热传导混合问题需要使用偏微分方程和初始条件，下面我们将详细介绍其数学模型和求解方法。
1.数学模型一维热传导混合问题可以用以下的偏微分方程来表示：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u(x, t) 表示在位置x 和时间t 的物体温度，α 是热扩散率。
该方程基于热传导的物理定律，即傅里叶定律。
对于该方程的求解，通常需要设定初始条件和边界条件。
初始条件表示开始时刻物体的温度分布，例如：u(x, 0) = u0(x)边界条件表示物体边界的温度变化，通常为恒温边界，例如：u(0, t) = u(L, t) = constant其中，L 是物体的长度。
1.求解方法解决一维热传导混合问题的方法主要有解析法和数值法。
解析法适用于具有简单边界条件和初始条件的简单问题，可以通过分离变量等方法得到解析解。
然而，对于大多数复杂问题，解析法难以适用，因此需要使用数值法。
数值法主要包括有限差分法、有限元法和有限体积法等。
这些方法通过将连续的温度场离散化为有限个离散点，并建立这些离散点之间的相互关系，从而得到数值解。
其中，有限差分法将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解；有限元法则将物体划分为有限个小的单元，并对每个单元进行离散化处理；有限体积法则将物体划分为一系列小的体积单元，并对每个体积单元进行离散化处理。
在选择具体的求解方法时，需要考虑问题的具体性质和求解精度要求。
一般来说，解析法适用于简单问题和理论分析；有限差分法和有限元法则适用于大多数一维热传导混合问题；有限体积法则适用于具有复杂形状和边界的问题。
此外，对于高维度的问题，也可以考虑使用多维的数值方法。
1.应用举例一维热传导混合问题在许多实际应用中都有出现。
非稳态导热微分方程
非稳态导热微分方程非稳态导热问题是研究物体内部或者在不同温度环境下的温度分布变化的数学模型。
其核心是通过非稳态导热微分方程来描述温度随时间和空间的变化规律。
本文将从导热微分方程的基本概念、一维问题和二维问题等方面进行论述。
一、非稳态导热微分方程的基本概念非稳态导热问题是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
在一维情况下，我们可以将问题简化为描述物体内部温度分布随空间变化的微分方程。
非稳态导热微分方程的一般形式如下：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示温度随空间和时间的变化，α是导热系数。
二、一维非稳态导热问题在一维情况下，我们考虑物体的温度分布只与空间变量x有关。
根据非稳态导热微分方程，我们可以通过分析边界条件和初始条件来求解问题。
具体的求解方法包括分离变量法、格林函数法等。
例如，我们考虑均匀杆的一维非稳态导热问题。
初始时刻杆上各点的温度分布u(x,0)已知，杆的两端分别与两个恒温热源接触。
边界条件可以表示为u(0,t)=T1和u(L,t)=T2，其中T1、T2为两个恒温热源的温度。
通过求解非稳态导热微分方程，我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,t)。
三、二维非稳态导热问题在二维情况下，物体的温度分布与空间变量x和y都有关。
同样地，我们需要给定边界条件和初始条件来求解问题。
二维非稳态导热微分方程的一般形式如下：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)例如，我们考虑矩形板的二维非稳态导热问题。
初始时刻板上各点的温度分布u(x,y,0)已知，板的边界上的温度分布也已知。
通过求解非稳态导热微分方程，我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,y,t)。
结论非稳态导热微分方程是研究温度随时间和空间的变化规律的重要数学模型。
通过分析边界条件和初始条件，可以求解一维和二维非稳态导热问题，并得到随时间变化的温度分布。
传热学讲义第一章—导热理论基础
第一章 导热理论基础本章重点：准确理解温度场、温度梯度、导热系数等基本概念，准确掌握导热基本定律及导热问题的基本分析方法。
物质内部导热机理的物理模型：（1）分子热运动；（2）晶格（分子在无限大空间里排列成周期性点阵）振动形成的声子运动；（3）自由电子运动。
物质内部的导热过程依赖于上述三种机理中的部分项，这几种机理在不同形态的物质中所起的作用是不同的。
导热理论从宏观研究问题，采用连续介质模型。
第一节 基本概念及傅里叶定律1-1 导热基本概念一、温度场(temperature field)（一）定义：在某一时刻，物体内各点温度分布的总称，称为即为温度场（标量场）。
它是空间坐标和时间坐标的函数。
在直角坐标系下，温度场可表示为：),,,(τz y x f t = （1-1）（二）分类：1．从时间坐标分：① 稳态温度场：不随时间变化的温度场，温度分布与时间无关，0=∂∂τt ，此时，),,(z y x f t =。
（如设备正常运行工况） 稳态导热：发生于稳态温度场中的导热。
② 非稳态温度场：随时间而变化的温度场，温度分布与时间有关，),,,(τz y x f t =。
（设备启动和停车过程）非稳态导热：在非稳态温度场中发生的导热。
2．从空间坐标分： ① 三维温度场：温度与三个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态),,(),,,(z y x f t z y x f t τ ② 二维温度场：温度与二个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态),(),,(y x f t y x f t τ∆tt-∆tgrad t③ 一维温度场：温度只与一个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态，)()(x f t x f t τ 二、等温面与等温线1．等温面(isothermal surface)：在同一时刻，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。
2．等温线(isotherms)：用一个平面与等温面相截，所得的交线称为等温线。
为了直观地表示出物体内部的温度分布，可采用图示法，标绘出物体中的等温面（线）。
傅里叶变换求解热传导方程
傅里叶变换求解热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
通过求解热传导方程，我们可以了解物体内部温度的变化规律，从而应用于热传导问题的分析和设计。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
通过将信号分解为一系列频率成分，傅里叶变换可以帮助我们理解信号的频谱特性。
在求解热传导方程中，我们可以利用傅里叶变换的性质来简化问题的求解过程。
让我们回顾一下热传导方程的基本形式：∂u/∂t = α∇^2u其中，u表示物体的温度分布，t表示时间，α表示热扩散系数，∇^2表示拉普拉斯算子。
这个方程表示了温度分布随时间变化的速率与温度分布的二阶空间导数之间的关系。
为了求解这个方程，我们首先将其转化为频域表示。
通过对温度分布u进行傅里叶变换，我们可以得到其频域表示ũ(k,t)。
将傅里叶变换后的方程代入原方程，可以得到一个新的方程：∂ũ/∂t = -αk^2ũ其中，k表示频率。
这个方程表示了傅里叶变换后的温度分布随时间的变化规律。
接下来，我们可以通过求解这个频域方程来得到温度分布ũ(k,t)的解析解。
这个方程是一个一阶线性常微分方程，我们可以通过分离变量和积分的方法来求解。
最终，我们可以得到ũ(k,t)的表达式：ũ(k,t) = ũ(k,0)e^(-αk^2t)其中，ũ(k,0)表示初始时刻的频域温度分布。
通过傅里叶反变换，我们可以将ũ(k,t)转换回时域表示的温度分布u(x,t)：u(x,t) = ∫[ũ(k,0)e^(-αk^2t)e^(ikx)]dk这样，我们就得到了热传导方程的解析解。
通过傅里叶变换的方法，我们可以将原本复杂的偏微分方程转化为一个简单的常微分方程，从而简化了求解过程。
傅里叶变换求解热传导方程的方法不仅可以用于理论分析，也可以应用于实际问题的求解。
通过将物体的温度分布进行傅里叶变换，我们可以得到其频域表示，从而得到温度分布的频谱特性。
这对于热传导问题的分析和设计具有重要的意义。
大气温度的时间变化和空间分布
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辐射日总量 (J/m2·d)
地面太阳辐射日总量的时空分布
(设透明系数a=0.7，用数值积分法计算) 设透明系数a=0.7，用数值积分法计算)
纬度 0 10 20 30 40 50 60
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70 90 80
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冬至
春分
夏至
秋分
冬至
•
年较差的影响因素： 年较差的影响因素： 1、纬度： 这是对气温年较差影响最大的 因素。一般来说，气温年较差随纬度的升 高而增大。 原因：太阳辐射的年变化幅度随纬度的 增高而增大。因为一年中昼夜长短的变化 幅度随纬度增大。 2、海陆分布 3、海拔 4、气候干 湿 5、雨季
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绝对不稳定 干中性 湿不稳
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不稳定能量
• 不稳定能量就是气层中可使单位质量空气 块离开初始位置后作加速运动的能量。 • 气层能提供给气块的不稳定能可分为下述 三种情况：
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大气稳定度对大气污染的影响
• 大气稳定度对烟流扩散有很大的影响，不同稳定度导致从烟囱 排出的烟羽形状不同。下面是与稳定度有关的五种典型烟流：
F2006-9-30 = 0 → a = 0 ，中性状态。 1 −G
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∴ 判断大气是否稳定：
> 对于未饱和空气、干空气，可利用 γ − γ d = 0 来判断； < > 而对饱和空气而言，用 γ − γ m = 0 来判别， <
一般实验时用此法，但不实用，实际应用中常用另一种方法。 ②用位温梯度判别
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祝同学们假期快乐，注意安全! 祝同学们假期快乐，注意安全!
常用温度加速模型计算
温度依赖性分析
温度依赖性分析是温度加速模型应用的关键步骤之一，它可以帮助我们理解温度变化对反应速率的影响。
数据收集
1
在不同温度下进行实验，收集反应速率数据。
数据拟合
2
利用温度加速模型对数据进行拟合，获得模型参数。
模验证
3
使用独立的实验数据验证拟合模型的准确性。
参数分析
4
分析模型参数，了解温度变化对反应速率的影响。
模型适用范围
每个模型都有其适用范围， 选择合适的模型进行计算， 并考虑模型的局限性。
单位换算
在计算过程中，确保单位一 致，避免由于单位换算错误 而导致结果偏差。
结果分析
对计算结果进行合理分析， 结合实际情况判断结果的可 靠性，并进行必要的误差分 析。
温度加速模型在工程中的应用
1 优化反应条件
温度加速模型帮助确定最佳 反应温度，提高反应速率， 降低能耗。
活化能的确定
活化能是化学反应进行所需的最小能量。可以通过多种实验方法确定活化能，例如阿伦尼乌斯方程法和差示扫描量热法。
方法 阿伦尼乌斯方程法
差示扫描量热法
描述
通过测量不同温度下的反应速率常数，利用阿伦尼乌斯方程计 算活化能。
通过测量反应过程中的热量变化，根据热力学原理计算活化能 。
反应级数的确定
催化
模型可用于评估催化剂对反应速率的影响，例如，确定催化 剂活化能，从而筛选高效催化剂。
范特霍夫模型
范特霍夫模型是另一个常用温度加速模型，它描述了反应速率常数与温度 之间的关系。该模型指出，反应速率常数随温度升高而指数增长，并且温 度系数与活化能有关。
范特霍夫模型应用广泛，特别适用于描述化学反应、生物反应和酶促反应 的温度效应。
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动态 功 耗 也 会 引起 与 时 间 和 空 间 相 关 的 互连 温 度 分 布 。但 是 文 献 ［］ ６的讨 论 仅 局 限 于 半 无 限长 的互 连 ， 也 未 涉 及 信 号 频 率特 性 的 影 响 ， 实 际上 ， 当信 号 频 率 较 高 时 ，会 导 致 互连 上温 度 叠加 ，进 而 使 得 互连
的影 响 ， 电迁 移 失 效 时 间会 随着 温 度 升 高 呈 指 数 减 小 。 同 时这 种温 度 增 加会 明显 增 加 互 连 电阻 ，结 果
增 加 互连 的信 号延 时 。有 研 究 表 明 ，对 于 全 局 互 连 ，温 度 每 升 高 ２ ℃ ，Ｅｍｏｅ延 时将 增 加 ５ ６ ０ ｌ ｒ ％～ ％， 这 种 温度 增 加 会 改变 关 键 路 径 的传 输 延 时 ，在 极 端 情 况 会 产 生 时序 紊 乱Ｌ。 ５ Ｊ
Ｄｅ ｅ ｅ ， ２ １ ｃ ｍｂ ｒ ０ ０
一
种考 虑温度 时 间一 空 间分布 的解析 互连 延 时模 型
董 刚， 冷鹏 ， 柴 常春 ， 杨银 堂
（ 安 电子 科 技 大 学 微 电子 所 宽 禁 带 半 导 体 材 料 与器 件 教育 部 重 点实 验 室 ， 陕西 西 安 ７ ０７ ） 西 １０ １
应用 于深亚 微米温 度相 关 的互连 性 能分析 中 。
关键 词 ｔ互连 ；温 度 ；时空 分布 ；延 时
中图分 类号 ｔ Ｎ４ ５９ Ｔ ０ ．７
文 献标识 码 ：Ａ
１
引 言
当集 成 电路 进 入 到 深 亚 微 米 阶段 ，工 作 频 率 和 集 成 度 不 断 提 高 ，互 连 已成 为 决 定 系统 性 能 的关 键
功 率对 互 连 延 时 的影 响 。
２ 互 连 温 度 时 间一 空 间分 布 模 型
集 成 电路 中互连 通 常被 绝缘 材 料 （ 氧 化 硅 等 ）所 包 围 ，可 以合 理 二
辨
匣
假 设热 量 只 沿 互连 传 导 ， 忽 略 热 量 转 移 的 对 流 和 辐 射 。 由于 作 用 于 互 连 的功 耗 主 要 是 动 态 功 耗 ，故 本 文采 用 脉冲 功率 模 型来 描 述 动 态 功 耗 作
摘要 。 文从热 扩散 方程 出发 ， 到 了互连 温度 时 间一 空 间分布 的解 析表达 式 。 本 得 考虑 互连 温度 对互连 电阻和 Ｅ ｍｏｅ ｌ ｒ
延 时的影 响， 同时提 出 了一种用 以分 析互连 时 间一 空间温 度分 布效 应对 互连延 时影 响 的等效 内阻模 型 。基于所 提 出的 模型 ，详细 地分 析 了互连长 度 、输入信 号 频率和 功 率对互 连延 时 的影响 。所提 出的互连温 度分 布和 延 时解 析模 型可 以
２
电路 与系 统 学 报
第 ｌ 卷 ５
一
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收 稿 日期 ｔ２ １—３１ ０００ －７ 修 订 日期 ：２ １—６２ ０ ００ —４
基 金 项 目 ・国 家 自然 科 学基 金 （ ０ ０ ０ ６ ； 国家 杰 出 青 年 基 金 （０ ２ ４ ５ ：西 安 电子 科 技 大 学 基 本 科研 业 务 费 资助 项 目 ６６６０ ） ６７ ５ １ ）
针 对 出现 的 温 度 相 关 互 连 延 时 问题 ，诸 多 学 者 都 进 行 了相 关 领 域 的研 究 【 ，其 中 ，文 献 ［，］ ｏ … ７８分 别 给 出 了考 虑 互 连 温 度 分 布 效 应 的 Ｒ 和 Ｒ Ｃ 延 时 模 型 ，文献 『，０给 出 了均 匀 与 非 均 匀温 度 分布 效 Ｃ Ｌ ９１ ］ 应对 芯 片互 连 性 能 的影 响 ，并 提 出 了新 的 不 依赖 温 度 分 布 效应 的零 时钟 偏 差 算 法 ，但 以上研 究都 是 基 于互 连 温 度 分 布 与 时 间和 空 问 无 关 假 设 ， 即 假 设 芯片 处 于工 作 一 段 时 问后 的 稳 定 状 态 。考 虑 到 芯片 运 转 开始 初 期 ，互连 的温 度 分 布 与 空 间和 时 问相 关 ，文 献 ［１ 出 了这 种 假 设 的不 可 靠 性 ，另 外 ，芯 片 的 ６指
第１ ５卷 第 ６期 ２１ 年 １ ００ ２月
文 章 编 号 ： １０ —２ ９（０ ０ ０ —０ １０ ０ ７０ ４ ２ １） ６０ ０ —５
电路 与系统学报
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＣＩ ＵＩ ＲＣ ＴＳ ＡＮＤ ＹＳ ＥＭ Ｓ Ｓ Ｔ
Ｖｏ ．５ １１
Ｎｏ ６ ．
图 １ 加 载脉 冲功 率的互 连
用于互连 的部分［＇以此来研 究与空间和 时间相关 的互连线温度分布。 ６ ］
如 图 １所 示 ，对 于 半 无 限长 互 连 来 说 ，假 设 脉 冲 功 率 出现 在 ｘ 位 置 和 时 刻 ，则 其 热 扩 散 方 程 可 。
以描 述 为 ：
因素 之 一 ¨ 。 １０ｍ 特 征 尺 寸 以下 ， 峰值 芯片 温 度 可 以达 到 １ ０Ｃ，并 且 随着 工 艺进 步 还 会 不 断 增加 Ｊ ０ ｎ ６ ｏ
【】 ３
。
互 连 温 度 比衬 底 温 度 会 增 加 十 几 ℃ 甚 至 几 十 ℃【。互 连 的温 度 升 高 对 其 可 靠 性 和 信 号性 能有 很 大 ４ ］
延 时进 一 步 增 大 。 本 文 从 热 扩 散 方程 出 发 ，推 导 了互 连 的温 度 时 间一 空 间分 布 解 析 表
达 式 ， 虑 到 互 连 温 度 分 布 对 互 连 电阻 和 Ｅｍｏｅ延 时 的影 响 ， 出 了 一 考 ｌ ｒ 给 种 用 以描述 这 种 影 响 的等 效 内阻模 型 ，并 分 析 了互 连 长 度 、 信 号 频 率和