函数的单调性证明
定义法证明单调性
定义法证明单调性
定义法证明单调性：
单调性是指一个函数的值在某一区间内从一端到另一端的变化，是单方向的而不中断的。
定义法证明单调性就是通过定义函数的性质来证明其单调性，常用的定义如下：
1. 如果函数y=f(x)满足：对于所有x和x'都满足
f(x)<f(x')，则称函数y=f(x)为单调递增函数；
2. 如果函数y=f(x)满足：对于所有x和x'都满足
f(x)>f(x')，则称函数y=f(x)为单调递减函数；
3. 如果函数y=f(x)满足：对于所有x和x'都满足
f(x)=f(x')，则称函数y=f(x)为常数函数。
4. 如果函数y=f(x)既不满足上述条件1，也不满足上述条件2，则称函数y=f(x)为非单调函数。
通过定义函数的上述定义，可以根据函数特性判断函数是否单调，从而得出单调性的证明。
函数单调性的判断或证明方法
函数单调性的判断或证明方法.（1）定义法。
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得（2）运算性质法.①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）②若.③当函数.④函数二者有相反的单调性。
⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。
（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。
例3.求函数的单调区间。
解：在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为减区间为.（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
函数单调性怎么证明
函数的单调性指的是函数在定义域内的取值随着其自变量的变化而单调变化。
函数单调性的证明方法有以下几种：
1.导函数法：如果函数f(x)在定义域内可导，那么当f'(x) > 0时，函数f(x)单调递增；当f'(x)
< 0时，函数f(x)单调递减。
2.分段单调性：如果函数f(x)在定义域的不同子区间上单调，则函数f(x)在整个定义域上
单调。
3.数学归纳法：通过归纳证明函数在一定范围内单调，再扩大该范围，最终证明函数在整
个定义域内单调。
4.数学归纳法：通过归纳证明函数在一定范围内单调，再扩大该范围，最终证明函数在整
个定义域内单调。
5.极值法：如果函数在定义域内没有极值，或者极值都是局部极值，那么函数是单调的。
证明单调性需要根据具体函数的性质来判断使用哪种方法。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】1.函数单调性的说课稿2.高中数学函数的单调性的教学设计3.导数与函数的单调性的教学反思4.高中函数单调性的教学设计5.《函数的单调性》的说课稿6.函数单调性教案练习题7.函数单调性说课课件8.《函数的单调性》教学设计上文是关于证明函数单调性的方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法一、定义法设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数. 【例1】证明：当0>x 时，)1ln(x x +>。
证明：令01111)()1ln()(>+=+-='+-=xx x x f x x x f 所以，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 为严格递增的0)01ln(0)0()(=+-=>⇒f x f ，所以)1ln(x x +>。
二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C （C 为常数）具有相同的单调性；⑵ f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； ⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f (x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数.设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增. (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减. (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增. (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减.例1. 求函数222)(-+=x x x f 的单调区间.教学意图：先让学生学会找出外层函数和内层函数然后再进一步教会学生如何求此函数的单调区间.此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法. 解题过程：外层函数：ty 2=内层函数：22-+=x x t内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x 内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x 由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x 复合函数的减区间为：]21,[--∞∈x 四、求导法导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点求函数值域的常用方法 1．观察法用于简单的解析式。
(6)函数的单调性的证明以及典型题型
函数单调性的证明一、定义法证明普通函数的单调性1、求证函数y=x ³+x 在R 上是增函数。
3、求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数.4、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5、证明函数xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。
6、求证：函数x x x f --=21)(在R 上是单调减函数.7、指出f(x)=2x ²+4x 的单调区间，并对减区间的情况给予证明。
8、求12)(2--=x x x f 的单调区间一、定义法证明带字母的函数的单调性1、 用定义证明：（1）函数f(x)=kx+b(k<0,k 、b 为常数)在R 上是减函数。
（2）函数xk x g =)((k<0,k 为常数)在)0,(-∞上是增函数。
2、 求证函数x a x x f +=)(（a>0）在（0，a ）上是减函数，在（a ，+∞）上是增函数。
3、 讨论1)(2-=x ax x f （-1<x<1,a ≠0）的单调性 4、 设函数（a >b>0）,求b x a x x f ++=)(的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。
二、定义法证明抽象函数的单调性：1、已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(-x)= 0)(1>x f ,且g(x)=f(x)+c(c 为常数)，在区间[a,b]上是减函数，判断并证明g(x)在区间[-b,-a]上的单调性。
2、已知g(x)在[m,n]上的减函数，且a ≤g(x)≤b,f(x)是[a,b]上的增函数，求证f[g(x)]在[m,n]上也是减函数。
三、利用单调性求函数的值域：求下列函数的值域：1、 y=-+2x x -6 2、 y=+x 1-x3、 y=+3-x 2x +四、利用函数单调性比较大小1、 如果函数f(x)=x ²+bx+c,对于任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。
定义法证明函数的单调性课件
证明二次函数单调性
总结词
通过二次函数的对称轴和开口方向，可以判断其单调性。
详细描述
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。如果函数的 开口向上（即$a > 0$），那么函数在对称轴左侧是单调递减的，在对称轴右侧是单调 递增的；如果函数的开口向下（即$a < 0$），那么函数在对称轴左侧是单调递增的，
回顾本次课件的主要内容
介绍了定义法证明函 数单调性的基本步骤 ；
提供了练习题，帮助 学生巩固所学知识。
通过例题演示了如何 运用定义法证明函数 单调性；
提出下一次课件的预告和要求
下一次课件将介绍函数的奇偶性 和周期性；
要求学生提前预习相关基础知识 ；
准备相关问题及疑惑，便于课堂 讨论和解答。
THANK YOU
单调函数的图像特征
递增函数的图像呈上升趋势，递减函数的图像呈下降趋势。
单调函数的性质
如果$f(x)$在区间$I$上单调递增，那么对于任意的$x_{1}, x_{2}$满足$x_{1} < x_{2}$， 都有$f(x_{1}) < f(x_{2})$；同样地，如果$f(x)$在区间$I$上单调递减，那么对于任意的 $x_{1}, x_{2}$满足$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) > f(x_{2})$。
数
练习题：证明$y=2x+1$在 $\mathbf{R}$上是增函数
二次函数单调性证明练习
总结词：理解二次函数的单调性
输标02入题
二次函数的一般形式是$y=ax^{2}+bx+c$，当 $a>0$时，函数在区间$( - \infty,\frac{-b}{2a})$上是 减函数，在区间$(\frac{-b}{2a},+\infty)$上是增函数
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函数的单调性证明一．解答题（共40小题）1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）是增函数．4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性．7．证明：函数y=在（﹣1，+∞）上是单调增函数．8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+∞）上为减函数．10．已知函数f（x）=x+．（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，数a的取值围．11．证明：函数f（x）=在x∈（1，+∞）单调递减．12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．13．判断并证明f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调性．14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．15．求函数f（x）=的单调增区间．16．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．17．求函数的定义域．18．求函数的定义域．19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x．20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．21．求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式．27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．28．已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）31．求下列函数的解析式：（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式．35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式．37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．39．若函数f（）=+1，求函数f（x）的解析式．40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．函数的单调性证明参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：；∵x1＜x2＜0；∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．【解答】证明：设0＜x1＜x2＜，则f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+=（x1﹣x）（），2又由0＜x1＜x2＜，则（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，）上递减，设≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（），又由≤x3＜x4，则（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，则f（x3）﹣f（x4）＜0，则函数f（x）在[，+∞）上递增．3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）是增函数．【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则：=；∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2；∴；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数．4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．【解答】证明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣（=因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数．5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．【解答】解：设x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+=（x1﹣x2）（2+），∵x1＜x2＜0，∴x1﹣x2＜0，2+＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性．【解答】解：任取0≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2）因为0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以原函数在[0，+∞）是单调递增函数．7．证明：函数y=在（﹣1，+∞）上是单调增函数．【解答】解：∵函数f（x）==1﹣在在区间（﹣1，+∞），可以设﹣1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+=∵﹣1＜x1＜x2＜0，∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数；8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．【解答】证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣（﹣）=﹣=，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，∴若x1＜x2＜0，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增．若0＜x1＜x2，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增．即f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+∞）上为减函数．【解答】解：∵函数y=在区间（0，+∞），可以设0＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数；10．已知函数f（x）=x+．（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，数a的取值围．【解答】（Ⅰ）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）解：∵＞0对任意x∈[4，5]恒成立，∴x﹣a＞0对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4．11．证明：函数f（x）=在x∈（1，+∞）单调递减．【解答】证明：设x1＞x2＞1，则：；∵x1＞x2＞1；∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0；∴；即f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在x∈（1，+∞）单调递减．12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．【解答】证明：①在（0，1）任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是减函数．②在[1，+∞）任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函数．13．判断并证明f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调性．【解答】解：f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调递减．证明如下：在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调递减．14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣x2﹣=（x1﹣x2）+﹣=（x1﹣x2），∵0＜x1＜x2＜2∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以f（x）在（0，2）上是单调减函数．15．求函数f（x）=的单调增区间．【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f（x）==1﹣的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）故答案为：（﹣∞，0），（0，+∞）16．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：；∵x1＜x2＜0；∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0；∴；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．17．求函数的定义域．【解答】解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．18．求函数的定义域．【解答】解：由．故函数定义域为{x|x＜}19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x．【解答】解：（1）f（x+）=x2+=（x+）2﹣2，即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2）（2）∵f（x）+2f（）=3x，∴f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=﹣x．20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①，用﹣x代替x，得：3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②；①×3﹣②×2得：5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2，∴f（x）=2x+．21．求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）【解答】解：（1）∵已知f（x+1）=x2 ，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．（2）∵已知f（）=x，令=t，求得x=，∴f（t）=，∴f（x）=．（3）已知函数f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k≠0，∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求∴f（x）=3x+，或f（x）=﹣3x﹣．（4）∵已知3f（x）﹣f（）=x2①，∴用代替x，可得3f（）﹣f（x）=②，由①②求得f（x）=x2+．22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．【解答】解：∵2f（x）+f（）=2x①令x=，则2f（）+f（x）=②，①×2﹣②得：3f（x）=4x﹣，∴f（x）=x﹣．23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．【解答】解：∵3f（x）+2f（）=x，①等号两边同时以代x，得：3f（）+2f（x）=，②由①×3﹣2×②，解得5f（x）=3x﹣，∴函数f（x）的解析式：f（x）=x﹣（x≠0）．24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．【解答】解：∵x＞0时，x+≥2=2，且函数f（x+）=x2+（）2=﹣2；设t=x+，（t≥2）；∴f（t）=t2﹣2；即函数f（x）=x2﹣2（其中x≥2）．25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．【解答】解：∵2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，∴2f（x）+f（﹣x）=﹣3x﹣1，联立消去f（﹣x），可得f（x）=﹣3x﹣．26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式．【解答】解：∵2f（x）+f（﹣x）=3x+1…①，用﹣x代替x，得：2f（﹣x）+f（x）=﹣3x+1…②；①×2﹣②得：3f（x）=（6x+2）﹣（﹣3x+1）=9x+1，∴f（x）=3x+．27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．【解答】解：∵4f（x）﹣5f（）=2x…①，∴4f（）﹣5f（x）=…②，①×4+②×5，得：﹣9f（x）=8x+，∴f（x）=﹣x﹣．28．已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．【解答】解：令t=+2，（t≥2），则，x=（t﹣2）2．由f（+2）=x2+1，得f（t）=（t﹣2）4+1．∴f（x）=（x﹣2）4+1（x≥2）．29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．【解答】解：f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，…①，可得3f（﹣x）+2f（x）=﹣4x…②，①×3﹣②×2可得：5f（x）=20x．∴f（x）=4x．f（x）的解析式：f（x）=4x．30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）【解答】解：∵f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，∴a（ax+b）+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=﹣3，若a=3，则4b=8，解得b=2，此时f（x）=3x+2，若a=﹣3，则﹣2b=8，解得b=﹣4，此时f（x）=3x﹣4．31．求下列函数的解析式：（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2+1，∴f（x）=（x﹣1）2+1；（2）令m=（m≠0），则x=，∴f（m）==，∴f（x）=（x≠0）．32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=；则f（t）=4（）2﹣6•+5=t2﹣5t+9，故f（x）=x2﹣5x+9．33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．【解答】解：令t=2x，则x=t，∴f（t）=t2﹣t﹣1，∴f（x）=x2﹣x﹣1．34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式．【解答】解：设f（x）=ax+b，∴f（f（x）=a（ax+b）+b，∴f（f（f（x））））=a[a（ax+b）+b]+b=2x﹣3，∴，解得：，∴f（x）=x﹣．35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．【解答】解：f（x+2）=x2﹣3x+5，设x+2=t，则x=t﹣2，∴f（t）=（t﹣2）2﹣3（t﹣2）+5=t2﹣7t+15，∴f（x）=x2﹣7x+15．36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式．【解答】解：令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数得f（t）=2（t+2）2﹣3（t+2）+4=2t2+5t+6则函数f（x）的解析式为f（x）=2x2+5x+637．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x…①，用﹣x代替x，得：3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x…②；①×3﹣②×2得：5f（x）=6x﹣（﹣4x）=10x，∴f（x）=2x．38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．【解答】解：设+1=t，则t≥1，∴x=（t﹣1）2；∵f（+1）=x2+2，∴f（t）=（t﹣1）4+2（t﹣1），∴f（x）=（x﹣1）4+2（x﹣1），x∈[1，+∞）．39．若函数f（）=+1，求函数f（x）的解析式．【解答】解：令=t（t≠1），则=t﹣1，∴f（t）=2+（t﹣1）2=t2﹣2t+3，∴f（x）=x2﹣2x+3（x≠1）．40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．【解答】解：（1）变形可得f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3，∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣2x﹣3；（2）方程f（x+1）=0可化为（x+1）2﹣2（x+1）﹣3=0，化简可得x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2。