函数单调性的判断或证明方法
证明单调性的方法总结
证明单调性的方法总结
1. 导数法：证明函数单调递增（或递减）时，可以求出其导数，证明导数恒大于（或小于）零。
2. 差值法：如果f(x_2)> f(x_1)，则我们可以构造函数g(x) = f(x) - f(x_1)，证明g(x_2)> g(x_1)。
3. 归纳法：证明f(x) 在区间[a_n,a_{n+1}] 上单调递增（或递减）时，将整个区间分为n 个子区间，并依次证明这n 个子区间上f(x) 单调递增（或递减）。
4. 对偶法：证明f(x) 在区间[a,b] 上单调递增（或递减）时，可以证明其对偶函数1/f(x) 在区间上单调递减（或递增）。
5. 中值定理法：可以利用中值定理，证明f(x) 在区间上的导数恒大于（或小于）零，从而证明其单调性。
6. 极值法：如果f(x) 在某一点处有极大值或极小值，那么它在该点附近一定是单调的。
可以利用极值的存在，证明f(x) 在该区间上单调递增（或递减）。
总之，证明函数单调性的方法应当具体问题具体分析，选择合适的方法，能够提高证明效率。
函数单调性判断或证明方法
函数单调性判断或证明方法函数的单调性是指函数在定义域上的取值呈现递增或递减的趋势。
判断函数的单调性有两种常用的方法：1.利用导函数进行判断：对于函数f(x)，若在一个区间上导函数f'(x)始终大于等于零（或小于等于零），则f(x)在该区间上是递增（或递减）的。
具体步骤如下：a.求出f(x)的导函数f'(x)；b.列出f'(x)=0的根，即f'(x)的驻点；c.对于这些驻点，再求出它们对应的函数值，得到(f(x),f'(x))的表格；d.根据(f(x),f'(x))的表格，判断函数的递增或递减区间。
2.利用原函数进行判断：对于函数f(x)，若在一个区间上f'(x)始终大于零（或小于零），则f(x)在该区间上是递增（或递减）的。
具体步骤如下：a.求出f(x)的原函数F(x)，即有F'(x)=f(x)；b.对F(x)进行求导得到F'(x)，即二阶导函数，然后化简；c.列出F'(x)=0的根，即F'(x)的驻点；d.对于这些驻点，再求出它们对应的函数值，得到(F(x),F'(x))的表格；e.根据(F(x),F'(x))的表格，判断函数的递增或递减区间。
下面以具体的例子来说明如何利用这两种方法判断函数的单调性。
例1：对函数f(x)=x^3进行单调性判断。
a.利用导函数进行判断：f'(x)=3x^2，该函数导数恒大于零。
由此可知，f(x)=x^3在整个定义域上都是递增的。
表格示意如下：(x,f'(x))(-∞,+∞)b.利用原函数进行判断：F(x)=1/4*x^4是f(x)=x^3的一个原函数。
对F(x)进行求导得到F'(x)=x^3，该函数恒大于零。
由此可知，f(x)=x^3在整个定义域上都是递增的。
表格示意如下：(x,F'(x))(-∞,+∞)可以看出，无论是利用导函数还是原函数进行判断，都得到了相同的结论：函数f(x)=x^3在整个定义域上都是递增的。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】1.函数单调性的说课稿2.高中数学函数的单调性的教学设计3.导数与函数的单调性的教学反思4.高中函数单调性的教学设计5.《函数的单调性》的说课稿6.函数单调性教案练习题7.函数单调性说课课件8.《函数的单调性》教学设计上文是关于证明函数单调性的方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法判断函数单调性的常用方法一、定义法设$x_1.x_2$是函数$f(x)$定义域上任意的两个数，且$x_1f(x_2)$，则此函数为减函数。
例如，证明：当$x>0$时，$x>\ln(1+x)$。
f'(x)=\frac{1}{1+x}>0$，所以$f(x)$为严格递增的。
因为$f(x)>\lim\limits_{x\to 0}-\ln(1+x)=-\ln(1+0)=0$，所以$x>\ln(1+x)$。
二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题。
若函数$f(x)。
g(x)$在区间$B$上具有单调性，则在区间$B$上有：⑴$f(x)$与$f(x)+C$（$C$为常数）具有相同的单调性；⑵$f(x)$与$c\cdot f(x)$当$c>0$时具有相同的单调性，当$c<0$时具有相反的单调性；⑷当$f(x)。
g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)+g(x)$都是增（减）函数；⑸当$f(x)。
g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)\cdot g(x)$当两者都恒大于时也是增（减）函数，当两者都恒小于时也是减（增）函数。
三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法。
对于复合函数$y=f[g(x)]$满足“同增异减”法（应注意内层函数的值域），可令$t=g(x)$，则三个函数$y=f(t)。
t=g(x)。
y=f[g(x)]$中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。
注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；3）如果$f(x)$在区间$D$上是增（减）函数，那么$f(x)$在$D$的任一子区间上也是增（减）函数。
设单调函数$y=f(x)$为外层函数，$y=g(x)$为内层函数。
证明函数单调性的方法
证明函数单调性的方法在数学中，证明函数的单调性是一个非常重要的问题。
函数的单调性指的是函数在定义域内的增减性质，即函数的取值随自变量的增减而增加或减少。
证明函数的单调性有多种方法，下面我们将介绍几种常见的方法。
一、导数法。
证明函数单调性的常用方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以求出其导数，并通过导数的正负性来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上就是单调递增（或单调递减）的。
以求证函数f(x)在区间(a, b)上单调递增为例，我们可以先求出函数f(x)在该区间上的导数f'(x)，然后证明f'(x)恒大于零。
如果能够证明f'(x)>0，那么就可以得出函数f(x)在区间(a, b)上单调递增的结论。
二、一阶导数和二阶导数法。
除了利用导数的正负性来证明函数的单调性外，我们还可以利用一阶导数和二阶导数的关系来进行证明。
具体来说，如果函数在某个区间上的一阶导数恒大于零，而二阶导数恒大于或恒小于零，那么函数在该区间上就是单调递增的。
同理，如果一阶导数恒小于零，而二阶导数恒大于或恒小于零，那么函数在该区间上就是单调递减的。
三、零点法。
另一种证明函数单调性的方法是利用函数的零点。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上就是单调递增（或单调递减）的。
而函数的导数恒大于零（或恒小于零）又可以通过证明函数的导数在该区间上没有零点来得到。
因此，我们可以通过证明函数的导数在某个区间上没有零点来证明函数在该区间上的单调性。
四、其他方法。
除了上述方法外，还有一些其他方法可以用来证明函数的单调性，比如利用函数的图像、利用函数的定义等。
在具体问题中，我们可以根据函数的性质和给定条件选择合适的方法来进行证明。
总结。
综上所述，证明函数的单调性有多种方法，包括导数法、一阶导数和二阶导数法、零点法以及其他方法。
函数单调性的判断与证明
函数单调性的判断与证明【方法综述】 1．函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.要确定t ＝g (x )(常称内层函数)的值域，否则无法确定f (t )(常称外层函数)的单调性．3.用定义证明函数单调性中的变形策略由定义证明函数f (x )在区间D 上的单调性，其步骤为：取值→作差→变形→定号．其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f (x 1)－f (x 2)的符号的关键所在．常见变形方法有因式分解、配方、同分、有理化等，下面举例说明.例1.求证：函数f (x )＝x 2－4x 在(－∞，2]上是减函数．证明：设x 1，x 2是(－∞，2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1)－(x 22－4x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)．因为x 1＜x 2≤2，所以x 1－x 2＜0，x 1＋x 2－4＜0. 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． 故函数f (x )在(－∞，2]上是减函数．评注 因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f (x 1)－f (x 2)的符号．例2.求证：函数f (x )＝x 3＋1在R 上是增函数．证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 31＋1－x 32－1＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋34x 22. 因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋34x 22＞0. 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．故函数f (x )在R 上是增函数．评注 本题极易在(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)处“止步”而致误．而实际上当我们不能直接判断x 21＋x 1x 2＋x 22的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明”．例3.已知函数f (x )＝x ＋1x，求证：函数f (x )在区间(0,1]上是减函数．证明：设x 1，x 2是区间(0,1]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2. 因为x 1＜x 2，且x 1，x 2∈(0, 1]，所以x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜1.所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．故函数f (x )在(0,1]上是减函数．评注 同样，我们可以证明f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数．例4.已知函数f (x )＝x －1，求证：函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是区间[1，＋∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1－x 2－1＝x 1－x 2x 1－1＋x 2－1 .因为x 1＜x 2，且x 1，x 2∈[1，＋∞)，所以x 1－x 2＜0，x 1－1＋x 2－1＞0. 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．评注 对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f (x 1)－f (x 2)符号的目的. 例5.求函数y ＝1(x ＋1)2的单调区间．解：函数y ＝1(x ＋1)2的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，设t ＝(x ＋1)2，则y ＝1t(t >0)．当x ∈(－∞，－1)时，t 是x 的减函数，y 是t 的减函数，所以(－∞，－1)是y ＝1(x ＋1)2的递增区间；当x ∈(－1，＋∞)时，t 是x 的增函数，y 是t 的减函数，所以(－1，＋∞)是y ＝1(x ＋1)2的递减区间．综上知，函数y ＝1(x ＋1)2的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)．例6. 求y ＝1x 2－2x －3的单调区间．解：由x 2－2x －3≠0，得x ≠－1或x ≠3，令t ＝x 2－2x －3(t ≠0)，则y ＝1t ，因为y ＝1t在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，而t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y ＝1x 2－2x －3的递增区间为(－∞，－1)，(－1,1)，递减区间为(1,3)，(3，＋∞). 【针对训练】1．下列四个函数中，在上为减函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于选项A,函数的图像的对称轴为开口向上，所以函数在上为减函数.所以选项A 是正确的.对于选项B,在在上为增函数，所以选项B 是错误的. 对于选项C,在在上为增函数，所以选项C 是错误的.对于选项D,,当x=0时，没有意义，所以选项D 是错误的. 2.下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f(x)＝3－x B ．f(x)＝x 2－3xC ．f(x)＝－1x ＋1 D ．f(x)＝－|x|【答案】C【解析】当x>0时，f(x)＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f(x)＝x 2－3x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f(x)＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．3．若函数y ax =与b y x=-在()0,+∞上都是减函数，则()2f x ax bx =+在()0,+∞上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 【答案】B【解析】由函数y ax =与by x=-在()0,+∞上都是减函数,可得0,b 0a <<.则一元二次函数()2f x ax bx=+在()0,+∞上为减函数.故选B.4.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立， 则必有（ ）A.()f x 在R 上是增函数B.()f x 在R 上是减函数C.函数()f x 是先增加后减少D.函数()f x 是先减少后增加【答案】A【解析】若a b <则由题意()()0f a f b a b->-知，一定有()()f a f b <成立，由增函数的定义知，该函数()f x 在R 上是增函数；同理若a b >，则一定有()()f a f b >成立，即该函数()f x 在R 上是增函数.所以函数()f x 在R 上是增函数.故应选A.5.已知，那么( ) A. 在区间上单调递增 B. 在上单调递增 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增【答案】D 【解析】，记，则当时，单调递增，且而在不具有单调性，故A 错误；当时，不具有单调性，故B 错误；当时，单调递增，且而在不具有单调性，故C 错误；当时，单调递减，且而在单调递减，根据“同增异减”知，D 正确.故选：D 6.试讨论函数f(x)＝axx －1(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 【解析】设－1<x 1<x 2<1，f(x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f(x 1)－f(x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a>0时，f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，函数f(x)在(－1,1)上递减； 当a<0时，f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．综上，当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．7.已知a>0，函数f(x)＝x ＋ax (x>0)，证明：函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．【解析】任意取x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－ax 2＝(x 1－x 2)＋ax 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2. 当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 此时，函数f(x)＝x ＋ax(a>0)在(0，a]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0，有f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，此时，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在[a，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，a]上为减函数，在[a，＋∞)上为增函数．8.已知函数的图象经过点（1，1），．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在（0，+）上的单调性并用定义证明；【答案】（1）.（2）见解析.【解析】（1）由f(x)的图象过A、B，则，解得．∴（x≠0）．（2）证明：设任意x1，x2∈0+∞（，），且x1<x2．∴.由x1，x2∈0+∞（，），得x1x2>0，x1x2+2>0．由x1<x2，得．∴，即．∴函数在0+∞（，）上为减函数．9.已知函数在上满足，且，.（1）求，的值；（2）判断的单调性并证明；【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3).【解析】（1）令，即可得到，再令，可得，令即可求得；（2）单调递增，证明：任取且，则，，因为，所以，所以在上单调递增.10.已知定义在区间上的函数满足，且当时，. （1）求的值；（2）证明：为单调增函数；（3）若，求在上的最值.【答案】（1）f（1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．【解析】试题分析：（1）利用赋值法进行求的值；（2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．试题解析：（1）∵函数f（x）满足f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．（2）证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2⋅）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．若，则f（）+f（）=f（）=﹣2，即f（•5）=f（1）=f（）+f（5）=0，即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3．。
函数单调性的判断及证明
函数单调性的判断及证明1.引言函数是数学中重要的概念之一，是对变量与变量之间的规律进行描述的工具。
在实际应用中，我们往往需要判断一个函数的单调性，即其在定义域内是否是单调递增的或单调递减的。
因此，本文将介绍函数单调性的判断及证明方法。
2.函数单调性的定义在数轴上，如果对于任意两个实数$x_1,x_2$，若有$x_1<x_2$，则$f(x_1)\leq f(x_2)$，则称函数$f(x)$是单调递增的；若有$x_1<x_2$，则$f(x_1)\geq f(x_2)$，则称函数$f(x)$是单调递减的。
3.函数单调性的判断（1）导数法设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，则：若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递增；若$f'(x)<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递减。
（2）二阶导数法若函数$f(x)$在$(a,b)$内二次可导，则：若$f''(x)>0$，则$f(x)$在$(a,b)$内是单调递增的；若$f''(x)<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内是单调递减的。
（3）微分形式法对于一个函数$f(x)$，若能表示为$dy=f'(x)dx$的微分形式，则：若$dy>0$，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递增；若$dy<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递减。
4.函数单调性的证明（1）导数法的证明设$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，若$f'(x)>0$，则对于任意$x_1<x_2$，有$$f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx>0$$因此，$f(x)$在$(a,b)$内单调递增。
若$f'(x)<0$，则对于任意$x_1<x_2$，有$$f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx<0$$因此，$f(x)$在$(a,b)$内单调递减。
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函数单调性的判断或证明方法.
（1）定义法。
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设
，且
；②作差，求
；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断
的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
例2.证明函数在区间
和
上是增函数；在
上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则
因为，所以
,
所以，所以
所以
设
则，
因为，所以，所以
所以
同理，可得
（2）运算性质法.
①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）
②若.
③当函数.
④函数二者有相反的单调性。
⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。
（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。
例3.求函数的单
调区间。
解：
在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为
减区间为.
（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合
是内层函数
的一个单调区间，则
便是原复合函数
的一个单调区间，如例4；若
不是内层函数
的一个单调区间，则需把划分成内层函数
的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，
，
都是单调函数，则
在
上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：
例4.求函数的单调区间
解原函数是由外层函数和内层函数
复合而成的；
易知是外层函数
的单调增区间；
令，解得
的取值范围为
；
由于是内层函数
的一个单调减区间，于是
便是原函数的一个单调区间；
根据复合函数“同增异减”的复合原则知，
是原函数的单调减区间。
例5求函数的单调区间.
解原函数是由外层函数和内层函数
复合而成的；
易知和
都是外层函数
的单调减区间；
令，解得
的取值范围为
；
结合二次函数的图象可知不是内
层函数的一个单调区间，但可以把区间
划分成内层函数的两个单调子区间
和
，其中是其单调减区间，是其单调增区间；
于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，
是原函数的单调增区间，
是原函数的单调减区间。
同理，令，可求得
是原函数的单调增区间，
是原函数的单调减区间。
综上可知，原函数的单调增区间是和
，单调减区间是
和
.
（5）含参数函数的单调性问题.
例.设（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.）
解：由题意得原函数的定义域为
，
当上为减函数；
当上为增函数。
（6）抽象函数的单调性.（抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题）
常采用定义法.要充分利用已知条件，对变量进行合理赋值，并结合函数单调性的定义进行证明。
例１已知函数对任意实数
，均有．且当
＞０时，＞０，试判断的单调性，并说明理由.
解析：设，且
，则
－
＞０，故
＞０．
∴－
＝－
＝＋
－
＝＞０．
∴＜
．故
在（－
，＋）上为增函数．
例2. 设f(x)定义于实数集上，当时，
，且对于任意实数x、y，有
，求证：
在R上为增函数。
证明：
在中取
，得
若，令
，则
，与矛盾
所以，即有。