《空间图形中的轨迹问题的基本解法》

空间图形中的轨迹问题的基本解法

在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势。而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”，所以学生在解题中，往往是望题兴叹，百思而不得其解。本文试从几个例题来剖析这些问题的基本解法。

1 判断轨迹的类型问题

这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题。

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（D）。

A. 线段

B. 一段椭圆弧

C. 双曲线的一部分

D. 抛物线的一部分

简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义。因为B1C1 面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D。

引申1 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（B）。

A. 线段

B. 一段椭圆弧

C. 双曲线的一部分

D. 抛物线的一部分

引申2 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C）。

A. 线段

B. 一段椭圆弧

C. 双曲线的一部分

D. 抛物线的一部分

例2 （2006届天津市十二区县市重点中学第一次高考模拟联合测试）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）。

A. 圆或圆的一部分

B. 抛物线或其一部分

C. 双曲线或其一部分

D. 椭圆或其一部分

简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC 成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分。

的棱长为a，定点例3（2005年浙江省模拟）已知正方体ABCD A B C D

-

1111

M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P 的距

到直线A D

11

离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）。

A. 抛物线

B. 双曲线

C. 直线

D. 圆

中，过P作PF⊥AD，过F作简析在正方体ABCD A B C D

-

1111

FE⊥A1D1，垂足分别为F、E，连结PE。则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线。

点评正方体是空间图形中既简单、熟悉、又重要的几何体，具有丰富的内涵，在正方体中设计的轨迹问题，更是别具一格。

例4 在正方体ABCD A B C D

中，点P在侧面BCC1B1及其边界上

-

1111

运动，总有AP⊥BD1，则动点P的轨迹为__________。

简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面。易证BD1⊥面ACB1，所以满足BD1⊥AP的所有点P都在一个

平面ACB1上。而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C。本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹。

引申在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE⊥AC，则动点P的轨迹为_______________。

答案线段MN（M、N分别为SC、CD的中点）

练习（2004年天津高考题）若A、B为平面α的两个定点，点P在α外，PB⊥α，动点C（不同于A、B）在α内，且PC⊥AC，则动点C在平面内的轨迹是________。（除去两点的圆）

例5（2004年重庆市高考题）若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与∆ABC组成的图形可能是：（D）

A A A

B C B C B C B C

A B C D

简析动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在∠ABC的内角平分线上。现在P到平面BCD的距离等于到棱AB 的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在∠ABC的内角平分线与AB之间的区域内。只能选D。

引申（2005年温州一模）已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（B）。

A. 圆

B. 椭圆

C. 双曲线

D. 抛物线

解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利

用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等。

2 求轨迹中的长度、面积与体积问题

例6 已知正方体ABCD A B C D

-

1111

的棱长为1，在正方体的侧面

BCC B

11上到点A距离为

23

3

的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是

_________，它的长度为__________。

简析以B为圆心，半径为

3

3

且圆心角为

π

2

的圆弧，长度为

3

6

π。

例7 已知长方体ABCD A B C D

-

1111中，AB BC

==

63

,，在线段BD、

A C 11上各有一点P、Q，PQ上有一点M，且PM MQ

=2，则M点轨迹图形的面

积是8 。

提示轨迹的图形是一个平行四边形。

例8 已知棱长为3的正方体ABCD A B C D

-

1111

中，长为2的线段MN

的一个端点在DD

1

上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。

简析由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P的几何性质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P的轨迹与正方

体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的1

8

，即

1

8

4

3

1

6

3

⨯⨯=

π

π

。

以空间图形为依托的轨迹问题，要善于利用空间图形的位置关系来转化，把空间问题转化为平面问题，再利用平几或解几知识实现问题的突破，从而使问题迎刃而解。