《小学数学建模》

《小学数学建模》案例一：认识平行四边形第一环节：呈现原模，建立表象。

课始，呈现生活中的图片——校园风景图，提问：在我们的校园中，哪里有平行四边形？在寻找中，唤醒学生的记忆，建立起对于“平行四边形”的表象。

表象是人脑对客观事物感知后留下的形象。

表象接近于感知，具有一定的鲜明性和具体性，同时又接近于概念，具有一定的抽象性，它起着重要的中介作用。

建立表象，可以使学生逐步摆脱对直观教具的依赖，克服感知中的局限性。

在表象的基础上，进行抽象、概括，揭示概念的本质属性，易于被学生接受。

第二环节：凸显本质，概括定义。

1.初步感知平行四边形特征课件出示一个平行四边形图，提问：为什么我们把这样的图形叫做平行四边形呢？（板书“平行四边形”）拿出你的平行四边形纸片进行观察、思考，然后和同桌讨论、交流一下。

（1）学生观察、猜测、动手验证（用尺子测量、平移）；（2）同桌讨论、交流；（3）反馈，板书“两组对边分别平行的”；（4）课件演示平行四边形两组对边分别平行。

2.辨析图片，抽象概括，完善定义（1）出示第一个平行四边形纸片（较大、正放）：这个是不是平行四边形？（旋转，变换位置）现在它还是平行四边形吗？看它是不是平行四边形，要根据什么来判断？（手指板书）我们大家一起用手来比划一下这两组平行线吧。

（2）出示第二个平行四边形纸片（较小、斜放）：这个是不是平行四边形呢？（旋转）这样放呢？（再旋转）这样呢？（3）出示第三个平行四边形纸片（随意放）：这个是吗？现在老师给它动个小手术，“喀嚓”用剪刀剪一刀（边说边剪下一个角），看，现在它还是平行四边形吗？揭示平行四边形首先必须是四边形。

（板书“四边形”）（4）概括定义：现在你能说说到底什么叫平行四边形了吗？抽生说，师完善板书，写上“的”。

然后，看着板书全班同学大声朗读平行四边形定义，并说给同桌听听。

当学生已经充分感知并建立表象后，教师要不失时机地在此基础上，通过分析、比较、综合、抽象、概括使学生获取对事物的本质属性的认识，从而使学生的感性认识跃进到理性认识。

在这个概念形成的过程中，可运用变式与反例，凸显概念的本质属性，帮助学生建立正确的概念（即数学模型）。

第三环节：根据定义，明确外延。

1.出示一个长方形纸片，问：这个是平行四边形吗？认为不是的同学请站起来。

教师先请站着的同学说理由，然后请坐着的代表发言。

当坐着的说“因为长方形的两组对边分别平行，所以它也是平行四边形”时，再问站着的同学，是否改变主意？假如也认为“是”了，就请坐下。

等全体都认可的情况下，教师板书“长方形”，并顺势补充说明：“我们可以说长方形是特殊的平行四边形。

”2.出示一个正方形纸片，问：这个是什么图形？它是平行四边形吗？根据学生回答师板书“正方形”。

3.小结：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

长方形、正方形都是特殊的平行四边形。

当用定义把概念的本质属性揭示出来时，教师要采取一切手段帮助学生明确概念的外延，以便让学生在理解的基础上更好地掌握概念。

第四环节：运用分类，形成概念系统。

（之前，已用以上的教学方式进行了梯形的概念教学）1.练习：从下面图形中找出平行四边形和梯形，并给平行四边形打上√，给梯形画上☆。

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)2.学生做题，师巡视，然后选一张在实物投影仪下讲评。

3.分类，小结：（1）分类：假如我们要给这些图形分类，你打算把它们分成几类？哪三类？（第一类是打√的，第二类是画☆的，第三类是既不打√也不画☆的。

）打√的一类是什么？画☆的一类？既不打√也不画☆的一类？（板书“一般四边形” ）平行四边形有几组对边平行？梯形？一般四边形？我们是按什么标准把它们分成三类的？它们可以统称为什么？（板书“大括号符号、四边形” ）（2）小结：从这里我们可以看出，平行四边形和梯形是特殊的四边形，而长方形和正方形又是特殊的平行四边形。

4.用集合图表示各四边形之间的关系。

分类是根据事物的本质属性或者显著特征所进行的划分，它是揭示概念外延的一种逻辑方法。

通过分类可以准确地揭示概念的外延，起到明确概念的作用。

同时，还能使知识条理化、系统化，防止概念的混淆。

只有当学生了解了一个概念与其他概念的相互联系以及这个概念在知识体系中所处的地位，才能对这个概念有比较全面、深刻的理解。

因此，当学生学习一定数量的概念后，教师应运用分类的思想方法帮助学生形成正确的概念系统。

案例二：乘法分配律第一环节：创设情境，诱发问题。

小学数学中的法则、定律、公式等都是一个个数学模型，如何使学生通过建模形成数学模型，其中一条很重要的途径就是把生活原型上升为数学模型。

因此，教师有目的、有意识地创设能激发学生创造意识的各种情境，能促使学生产生质疑问题、探索求解的学习动机，从而使“事理”上升为“数理”，体现一个模型化的过程。

希望小学的操场是一个长方形，原来长60米，宽30米，扩建后，宽将增加10米。

扩建后的操场面积有多大？（1）独立思考，尝试解决。

（2）组织交流，分析比较。

生1：我先算扩建后操场的宽，再算扩建后操场的面积。

60×（30＋10）= 60×40 = 2400（平方米）。

生2：我先算操场原来的面积，再算增加的面积，最后算扩建后操场的面积。

60×30＋60×10 = 1800＋600 = 2400（平方米）。

30米10米根据学生回答，教师板书以上两种算法。

在这一环节中，当教师提出问题后，应让学生明确问题解决的目标，激发问题解决的动机，充分发挥教师的引导作用。

同时，问题的提出要针对学生实际，问题的引入应力求趣味、新奇、有针对性，能够诱导、启发、激活学生头脑中潜在的知识，使之服务于问题的解决，最大限度地调动学生的求知欲。

第二环节：点拨导学，构建模型。

在建模过程中，为了既合乎实际问题又能求解，就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简,然后用不完全归纳法构建数学模型。

这一过程恰好又是学生的分析、抽象、综合、表达能力的体现。

师：刚才同学们用了两种不同的方法解决了同一个问题。

现在请让我们回头来看一看，60×（30＋10）=2400，60×30＋60×10=2400，计算结果相等，我们是否可用“=”把这两个式子连接起来？生：可以！教师随即板书：60×（30＋10）= 60×30＋60×10。

师：你会读这个等式吗？生：60乘30与10的和，等于60乘30的积加60乘10的积。

师：现在你能自己决定宽增加的米数，再写一些这样的等式吗？课件呈现“形”，（如左下图），让学生看形思数，完成“自主学习单1”。

在组织交流时，教师有选择性地板书，并提问:观察一下，这些等式有什么特点？和同桌悄悄地说一说。

然后课件展示如下: ×（ + ）= × + ×师：请你根据自己的猜测将数据填入下面的面积模型中（如左下图），并对自己的猜测进行验证，即完成“自主学习单2”。

60米 30米米学生在自主完成“自主学习单2”后，交流讨论：生1：我的猜测是70×（3＋2）=70×3＋70×2，然后通过验证，得出70×（3＋2）=70×5=350，70×3＋70×2=210＋140=350，因为他们的结果相等，所以我的结论是：一个数乘两个数的和，等于用这个数分别与两个加数相乘，再把两个积加起来。

……生4：假如用字母表示，我认为可以这样表示：a ×（b ＋c ）=a ×b ＋a ×c 。

师：在数学上，我们把这个规律叫做“乘法分配律”。

（板书课题）教师导学是构建模型的前提。

从导思、导议、导练入手，结合学生心理特征和认知水平提出的启发性问题，不宜过于简单，也不能超过学生的实际水平。

同时，老师要善于聚焦集思、由此及彼、由表及里，把分散的、现象的、感性的问题上升到理性并纳入到所要达到的教学目标的轨道上来，从而形成集体求索的态势。

另外，当提出一个或几个问题之后，要给学生思考的时间。

要让学生独自在课堂教学“这棵大树下”思考一会儿，静静想一想，如何“跳”才能“摘到果子”。

这样，他们解决问题的能力才会更强些。

只有当学生经过独立思考之后，在随后的小组交流中才会有话想说、有话可说，这样小组交流的质量才能提高。

第三环节：深层探究，求解结果。

教师在点拨导学，引导学生将实际问题数学化的基础上，进一步组织深层探究，求解数学问题。

这一环节要让学生叙述解决数学问题的过程，交流解决问题的经验，从而达到解决问题、形成解决问题策略的目的，同时还可拓展模型，引领学生走向数学更深的本源。

简便计算：37×7＋37×3 48×19＋52×19 102×17（1）学生独立计算。

（2）反馈交流。

在校对完答案之后，教师引导学生展开想象。

米 米米师：联系长方形面积模型，这些算式可以想象成求什么？生1：第一个算式可以看作求两个长是37，宽分别是7和3的长方形面积之和。

因为它们的长相等，所以，可以把这两个长方形沿着长拼起来，变成一个长方形。

这时长方形的长仍是37，宽是7＋3=10。

师：大家能想象他所说的长方形是怎么样的吗？请你把它画在纸上。

学生开始动笔画，教师提示只需画草图就行。

然后选一张展示。

师：第二个算式呢？生2：第二个算式可以看作长分别是48和52，宽都是19的两个长方形面积之和。

因为它们的宽相等，所以，可以把这两个长方形沿着宽拼起来，变成一个长方形。

这时长方形的长是48＋52=100，宽是19。

师：那么第三个算式又怎么解释？生3：把一个长方形分成了两个长方形，也就是把长分成了100和2，然后剪开。

但是把这两个长方形的面积加起来，仍旧等于原先一个长方形的面积。

师：大家能想象吗？生意会地点点头。

这一环节以学生交流讨论为主，交流讨论的目的在于抓重点、明思路、排难点、解疙瘩、澄疑点、解迷惑，进而培养学生分析问题、解决问题的能力。

学生交流讨论的过程是学生之间、师生之间的多边互动的过程，应最大限度地调动学生的积极性，提高学生的参与程度，尤其是思维参与程度。

在这里，教师的作用是指导问题求解的策略，要组织好交流活动，使学生尽情地交流求解问题的经验，相互补充，完善表述，形成策略。

同时要把握好“收”与“放”的关系，放开以各抒己见，收拢以达到相对统一的认识，使学生的认识系列化、规范化。

第四环节：结合实际，检验模型。

求得数学模型的解，并非问题得到解决，要结合实际，将求得的数学结果放到实际情境中去检验，看其是否是实际结果。

通过深层探究，求得数学结果已是教师与学生的共识，但结合实际、检验结果，是教学时常忽视的地方，其原因之一，是教材中大量提供了已经过加工、合理的素材，缺乏检验的必要性。