勾股定理与逆定理的综合运用
第三节 勾股定理及逆定理的综合-学而思培优
第三节勾 股定理及逆定理的综合二、核心纲要1．勾股定理与逆定理勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其逆定理是判断直角三角形的一种方法．综合应用勾殴定理及逆定理，可以解决很多几何问题，其一般步骤是：先应用勾股定理的逆定理证明已知图形（或添加辅助线后的图形）中的某个三角形为直角三角形，然后再应用勾股定理解决问题．2.直角三角形的性质(1)角的关系 ：两锐角互余．(2)边的关系：勾股定理．(3)边角关系：30角所对的直角边等于斜边的一半．这些性质在求线段的长度，证明线段的倍分关系，证明线段的平方关系等问题时有广泛的应用．3．勾股定理及逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体，通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．掌握一些常见的基本图形：4．折叠的常见基本图形本节重点讲解：勾股定理及逆定理的应用三、全能突破基 础 演 练1．下面的判断：①在△ABC 中，,222c b a =/+则△ABC 不是直角三角形；②△ABC 是直角三角形，,90 =∠C 则 ;222c b a =+③若△ABC 中，,222c b a =-则△ABC 是直角三角形；④若△ABC 是直角三角形，则 ;))((2b c a a c =+-以上判断正确的有( )．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．图17 -3—1所示是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m ．按照输油中心0到三条支路的距离相等来连接管道，则0到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是( )．m A 2. m B 3. m c 6. m D 9.3．如图17-3-2所示，在△ABC 中，,30,90=∠=∠B C AB 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，BD= 4cm ．则CD 的长为4．如图17-3-3所示，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．5．.一张直角三角形的纸片，按图17-3-4所示折叠，使两个锐角的顶点A 、B 重合，若,3,30==∠AC B则DC 的长为6．如图17-3-5所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知,10,8cm BC cm AB == 求△EFC 的面积．7．如图17-3-6所示，在△ABC 中，,2,30,45==∠=∠AB C B 求ABC s ∆的面积．能 力 提 升8．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图17-3-7所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，其中20,150==∠AB A米，=AC 30米，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元.9．如图17-3-8所示，长方形ABCD 中，,4,8==BC AB 将长方形沿AC 折叠，点D 落在/D 处，则重叠部 分△AFC 的面积是10．如图17-3-9所示，把长方形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在/C 处，折痕EF 与BD 交于点0，已知AB=16，AD=12，则折痕EF 的长为11.如图17 -3 -10所示，在△ABC 中，P BC AC ACB ,,90==∠ 是△ABC 内的一点，且,2,1==PC PB ,3=PA 将△PBC 绕点C 旋转后，与C AP /∆重合，连接,/PP 则=/PP BPC ∠,的度数为12.等腰三角形的一边长是12，另一边长是10，则其面积为13．如图17 -3 -11所示，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且,30=∠QPN 点A 处有一所中学，AP= 160m.假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？14.如图17 -3 -12所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区A 、B ，已知AB=10千米，直线 AB 与公路MN 的夹角,30=∠AOM 新开发区B 到公路MN 的距离BC=3千米．(1)求新开发区A 到公路MN 的距离；(2)现要在MN 上某点P 处向新开发区A 、B 修两条公路PA 、PB ，使点P 到新开发区A 、B 的距离和最短．请你用尺规作图在图中找出点P 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出时PA+PB 的值.15．(1)如图17 -3 -13所示，已知，在等腰,90,4,=∠==Φ∆ACB BC AC ABC Rt 点P 在线段BC 上，且,2=PC①若点D 在线段AB 上运动，求PD 的最小值；②若点P 从初始位置先运动到AC 边上，再运动到AB 边上，求点P 运动的最短路径．(2)如图17 -3 -14所示，已知，在△ABC 中，,90,6,8=∠==ACB BC AC 点P 在线段BC 上，且PC=2，若点P 从初始位置先运动到AC 边上，再运动到AB 边上，求点P 运动的最短路径．16.在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长’分别为,13105、、求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图17-3-15(a)所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)请你将△ABC 的面积直接填写在横线上思维拓展(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法，若△ABC 三边的长分别为a a a 17132、、（a>0），请利用图17-3-15(b)的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上探索创新(3)若△ABC 中有两边的长分别为),0(102>a a a 、且△ABC 的面积为,22a 试运用构图法在图17-3-15(c)的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的△ABC （全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上(4)利用上述解题方法完成下题：如图17-3-15(d)所示，一个六边形绿化区ABCDEF 被分割成7个部分，其中正方形ABQP 、CDRQ 、EFPR 的面积分别为13、20、29，且△PQR、△BCQ、△DER、△APF 的面积相等， 求六边形绿化区ABCDEF 的面积．17.如图17 -3 -16所示，在等腰直角△ABC 中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点F 、E 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ．(1)证明：.222EF CE BF =+(2)若BF=12，CE=5，求△DEF 的面积．18.如图17 -3 -17所示，在△ABC 中，AM 是BC 边的中线，AE 为BC 边上的高．试判断2222BM AM AC AB ++与的关系．并说明理由．19.如图17 -3 -18所示，已知：AB MP CM AM C ⋅⊥==∠,,90于点P.求证：.222BC AP BP +=20．如图17 -3 -19所示，在Rt△ABC 中，AB CD ACB ⊥=∠,90于点D ，BE 平分∠CBA 交CD 于点F ，交CA 于点E ，且FG//AB 交CA 于点G ，若,5,13==BD BC(1)判断△CEF 的形状．(2)求AG 的长．21.【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知Rt△ABC 中，==∠CA ACB ,90,45, =∠MCN CB 如图17-3-20(a)所示，当点M 、N 在AB 上时，则,.,222BN AM MN +=小颖的解题思路：如图17-3-20(b)所示，将△ACM 沿直线CM 对折，得,/CM A ∆连,/N A 进而证明,/BCN CN A ∆≅∆结论得证．【解决问题】当M 在BA 的延长线上，点N 在线段AB 上，其他条件不变，如图17-3-20 (c)所示，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？根据上述材料请你帮助小颖判断结论，并给出证明． 中 考 连 接22.（2011．山东烟台）如图17 -3 - 21所示，在四边形ABCD 中，,90 =∠ABC =+⊥22,CD AD AD CD 22AB(1)求证：AB=BC ．(2)当AD BE ⊥于点E 时，试证明：.CD AE BE +=23.（2012．山东荷泽）如图17-3-22所示，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，0为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =10，OC=8，在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点0落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标，巅 峰 突 破24.如图17-3-23所示，ABCD 是一张长方形纸片，将AD 、BC 折起，使A 、B 两点重合于CD 边上的点P ，然后压平得折痕EF 与GH.若.10,6,8cm EG cm PG cm PF ===则长方形纸片ABCD 的面积为6.105.A 4.110.B 2.115.C 8.124.D25.探究：如图17-3-24所示，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作,,BD ED BD AB ⊥⊥连接AC 、 EC.已知.,8,1,5x CD BD DE AB ====设(1)用含x 的代数式表示AC+CE 的值．(2)请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值．拓展：仿照上面的方法，请用构图法求出代数式49)4(22+-+-x x (x 是任意实数)的最大值．。
勾股定理及逆定理的应用
勾股定理的逆定理及应用知识点1：互逆命题与互逆定理 知识点2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。
注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。
（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。
知识点3：勾股数（1）满足222a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数（2）对于任意两个整数,(0)m n m n >>，2222,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。
（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。
例题1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（ ）A 7,10,13B 2226,8,10111,,345例题2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+50 =6a+8b+10c ，试判断△ABC 的形状．【变式练习】1、判断：三边长分别为2222,21,221(0)n n n n n n ++++>的三角形是否是直角三角形2、在正方形ABCD 中，F 是DC 边中点，E 是BC 上的一点，且EC=14BC 。
求证∠EFA=90°。
【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。
例题3、如图在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 上的中线AD=6，求BC 边的长。
【变式练习】1、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长2、如图，在△ABC 中，D 为BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，且AB=AC 。
勾股定理及其逆定理的综合运用
试判断△ABC的形状。
例2、已知：如图，四边形ABCD， AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5， AD=3。求：四边形ABCD的面积。
例3、已知：如图，在△ABC中， CD是AB边上的高，且CD.CD=AD·BD。 求证：△ABC是直角三角形。
2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线 BD=5cm。求证：△ABC是等腰三角形。
课后练习
3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上
一点，且BD=DC，AC 2 AE 2 CE 2。 求证：AB 2 AE 2 C。E 2
4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，
课堂练习
1．若△ABC的三边a、b、c，满足
(a b)(a2 b2 c 2) 0 ，则
△ABC是（ ） A三角形。
2．若△ABC的三边a、b、c， 满足a：b：c=1：1： ，试判断 △ABC的形状。
3．已知：如图，四边形ABCD，
勾股定理及其逆定理 综合运用
学习目标：
1．进一步应用勾股定理的逆定理判 断一个三角形是否是直角三角形。 2．灵活应用勾股定理及逆定理
解综合题。 3．进一步加深性质定理与判定
定理之间关系的认识。
情境导入
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档， 经常综合应用来解决一些难度较大 的题目。
例习题分析
例1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、 ∠C的对边分别是a、b、c，且满足
ab=1，c= 14，试判定△ABC的形状。
AB=1，BC= 3，CD= 13，AD=3，
4
4
且AB⊥BC。求：四边形ABCD的面积
4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于D，且 CD 2 AD.BD 。 求证：△ABC中是直角三角形。
17.2勾股定理及其逆定理的综合应用
第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用姓名：基础题知识点1 勾股定理逆定理的应用1．在一根长为30个单位长度的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，将绳子分成长为5个单位长度，12个单位长度和13个单位长度的三条线段．自己握住绳子的两个端点(A点和D点交于一处)，两个同伴分别握住B点和C点，将绳子拉成一个几何图形，会得到( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能组成三角形2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B.若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )A．南偏东60°B．南偏西60°C．北偏西30°D．南偏西30°3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是( )A B C D4．某小区的一所健身中心的平面图如图所示，活动区是面积为200 m2的长方形，其长为20 m，餐饮区是一个半圆形，面积为 4.5π m2，休息区是一个三角形，边AE＝8 m，求休息区的面积．知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用5．如图，正方形网格中的△ABC.若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )A．直角三角形B．B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对6．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．7．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.(1)求AC，CE的长．(2)求证：∠ACE＝90°.中档题8．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是( )A.6013B．5 C.3013D．129．如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF 的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( )A．250 km B．240 kmC．200 km D．180 km10．如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB－∠DCE＝ (点A，B，C，D，E是网格线交点)．11．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M 到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m.(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长．(2)直接写出喷泉B到小路AC的最短距离．12．(教材P34习题T5变式)如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.(1)求∠BAD的度数．(2)求四边形ABCD的面积(结果保留根号)．(3)将△ABC沿AC翻折至△AB′C，如图所示，连接B′D，求四边形ACB′D的面积．综合题13．通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ (填“是”或“不是”)．(2)若某三角形的三边长分别为1，7，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．(3)在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a.若Rt△ABC是奇异三角形，求a2∶b2∶c2.1．A 2．A 3．C4．解：根据题意，得12π×(ED 2)2＝4.5π，∴ED ＝6.∵AD ·AB ＝200，AB ＝20， ∴AD ＝10. ∵AE ＝8，∴AE 2＋ED 2＝AD 2，即∠AED ＝90°.∴S △AED ＝8×62＝24(m 2)，即休息区的面积为24 m 2.5．A6．解：在△ABC 中，∵AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°， ∴根据勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝42＋32＝52. ∴AC ＝5.∵AC 2＋CD 2＝52＋122＝25＋144＝169， AD 2＝132＝169， ∴AC 2＋CD 2＝AD 2.∴△ACD 是直角三角形，且AD 为斜边， 即∠ACD ＝90°.7．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋22＝13.∵在Rt △EDC 中，∠D ＝90°，CD ＝6，DE ＝4， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝62＋42＝52＝213. (2)证明：∵AC ＝13，CE ＝52，AE ＝65， ∴AE 2＝AC 2＋CE 2.∴∠ACE ＝90°. 8． A 9． C 10．45°11．解：(1)在Rt △MNB 中，BN ＝BM 2－MN 2＝1502－1202＝90(m)，∴AN ＝AB －BN ＝250－90＝160(m)．在Rt △AMN 中，AM ＝AN 2＋MN 2＝1602＋1202＝200(m)．∴供水点M 到喷泉A ，B 需要铺设的管道总长为AM ＋BM ＝200＋150＝350(m)．(2)喷泉B 到小路AC 的最短距离是BM ＝150 m. 12．解：(1)∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 又∵CD ＝3，DA ＝1， ∴AC 2＋DA 2＝CD 2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°. (2)∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，S △ADC ＝12AD ·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.(3)过点D 作DE ⊥AB ′，垂足为E ， 由(1)知∠DAC ＝90°.根据折叠可知∠B ′AC ＝∠BAC ＝45°，AB ＝AB ′＝1，S △AB ′C ＝S △ABC ＝12.∴∠DAE ＝∠DAC －∠B ′AC ＝45°. ∴AE ＝DE.设DE ＝AE ＝x ，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2. ∴x 2＋x 2＝1.∴x ＝22. ∴S △ADB ′＝12×1×22＝24.∴S 四边形ACB ′D ＝S △AB ′C ＋S △ADB ′＝12＋24＝2＋24.13．解：(2)∵12＋(7)2＝2×22，∴该三角形是奇异三角形．(3)当c 为斜边时，b 2＝c 2－a 2＝50，Rt △ABC 不是奇异三角形；当b 为斜边时，b 2＝c 2＋a 2＝150，∵50＋150＝2×100，∴a 2＋b 2＝2c 2.∴Rt △ABC 是奇异三角形．探究：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2. ∵c ＞b ＞a ，∴2c 2＞b 2＋a 2，2a 2＜b 2＋c 2. ∵Rt △ABC 是奇异三角形， ∴2b 2＝a 2＋c 2.∴2b 2＝a 2＋a 2＋b 2. ∴b 2＝2a 2.∴c 2＝3a 2. ∴a 2∶b 2∶c 2＝1∶2∶3.。
勾股定理的证明及应用
勾股定理在特殊三角形中的应用
勾股定理
9.如图:一工厂的房顶为等腰 ABC ,AB=AC
,AD=5米,AB=13米,求跨度BC的长.
A
B
D
C
求三角形的边长
勾股定理
如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB， ∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
D
C
8
A
30°
B
勾股定理
8.如图：在Rt ABC中，AD是斜边的高，AB 24， AC 7，求AD的长。 .
ACB
第1题
90
2.已知直角三角形ABC中, 15 (1)若AC=12,BC=9,则AB=______ (2)若AB=13,BC=5,则AC=_______ 12
A B
C
常见的直角三角形
2
1
勾股定理
5 3
1
1
2
3
13 7
4
25
5 24 12 41 9
40
常见勾股数
勾股定理
3 ,4 ,5 5, 12 ,13 7, 24 ,25 9 ,40 ,41 11, 60 ,61 13, 84, 85 15, 112 ,113
C D B
A
A
平面展开问题
勾股定理
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个 台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点 出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A A
B C B
平面展开问题
勾股定理
1.在Rt△ABC中，∠C=90°， 2．下列各组数中，以a，b，c 为边的三角形 １３ ①若 a=5 ， b=12 ，则 c=___________ ； 不是Rt△的是（ ）
勾股定理及其逆定理应用
勾股定理及其逆定理应用1. 简介勾股定理是数学中的基本定理之一，描述了直角三角形中各边之间的关系。
勾股定理被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域，为解决实际问题提供了有力的工具。
除了勾股定理本身，其逆定理也有着广泛的应用价值。
本文将介绍勾股定理及其逆定理的基本原理和应用。
2. 勾股定理勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方之和。
数学表达式为：a^2 + b^2 = c^2其中，a和b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边长度。
该定理可以用来计算不知道的边长，或者验证一个三角形是否为直角三角形。
勾股定理的一个重要应用是解决实际问题中的测量和计算。
例如，在建筑工程中，可以利用勾股定理计算墙面的对角线长度，或者确定直角拐角的位置。
在导航系统中，可以利用勾股定理计算两个地点之间的直线距离。
此外，勾股定理还可以用于解决三角函数的关系，例如求解正弦、余弦和正切等。
3. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理由三个整数构成，称为勾股数。
逆定理可以表示为：给定三个正整数a、b和c，若满足以下条件，则它们是勾股数：1.a、b和c两两互质；2.a、b和c中至少有一个为偶数。
勾股数具有很多有趣的性质和应用。
例如，利用勾股数可以构造出无穷多个满足勾股定理的直角三角形。
此外，逆定理还与数论中的素数有着密切的关系。
例如，勾股数中的c值是素数的情况下，其它两个整数a和b可以构成一个素勾股数。
4. 勾股定理的应用勾股定理被广泛应用于几何学和三角学中。
在几何学中，可以利用勾股定理求解三角形边长、角度和面积等问题。
在三角学中，勾股定理的衍生形式被用于计算三角函数的值。
在物理学中，勾股定理用于计算物体的速度、加速度和力的分解。
在工程学中，勾股定理被应用于设计和计算建筑物、桥梁和机械等。
例如，计算机图形学中的三维模型投影和旋转操作都离不开勾股定理。
此外，勾股定理还在实际生活中的测量和定位中发挥着重要作用。
例如，在测量地理位置时，可以利用勾股定理计算两个地点之间的直线距离。
勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理的应用勾股定理和它的逆定理是用处极为广泛(尤其是勾股定理)的两个重要定理．因为勾股定理揭示了直角三角形三边之长的内在联系，所以使用勾股定理的唯一条件是“直角三角形”．凡是与直角三角形边长有关的计算题，以及通过计算方法来证明的证明题，都可以应用它．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，我们可以应用它来判定一个三角形是否属于直角三角形，当然也能判定两直线是否互相垂直．例1 如图1，正方形ABCD中，∠1=∠2=∠3，AE=8cm，求正方形的面积．解∵ABCD为正方形，且∠1=∠2=∠3∴∠1=30°又△ABE为直角三角形，∴正方形ABCD的面积例2 如图2，在△ABC中，∠A=90°，P为AC边的中点，PD⊥BC，D为垂足．求证：BD2－CD2=AB2分析欲证BD2－CD2=AB2，应用勾股定理必须将BD、CD、AB化为直角三角形的边．为此，连结BP便可把它们置于三个直角三角形中，由勾股定理可得三个分别含有它们平方的式子，再借助已知中的AB=PC的桥梁作用，便可将这些式子联系起来，得到欲证的结果．证明连结BP在Rt△BDP和Rt△CDP中，BD2=BP2－PD2(勾股定理)， (1)CD2=PC2－PD2(勾股定理) (2)由(1)－(2)得BD2－CD2=BP2－PC2∵AP=PC.∴BD2－CD2=BP2－AP2又在Rt△BAP中，AB2=BP2－AP2(勾股定理)∴ BD2－CD2=AB2例3 如图3，P为等腰直角三角形斜边AB上任意一点．求证PA2+PB2=2PC2分析作CD⊥AB于D，则有PA2=(PD+AD)2=PD2+AD2+2PD·AD，PB2=(BD－PD)2=BD2+PD2－2BD·PD．而CD=AD=BD，所以PA2+PB2=2(CD2+PD2).这样，若能证出CD2+PD2=PC2就可以了．显然，这个结论使用勾股定理可推出．证明作CD⊥AB于D，则有CD=AD=BD．∴PA2+PB2=(PD+AD)2+(BD－PD)2=(PD+CD)2+(CD－PD)2=2(CD2+PD2)又在Rt△CDP中，CD2+PD2=PC2(勾股定理)∴ PA2+PB2=2PC2．例4 如图4，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、AD的长分别为13、3、4、12，∠BCD=90°，求四边形ABCD的面积．解连结BD，在△BCD中，∠BCD=90°，BC=3，CD=4在△ABD中，AB=13，AD=12，BD=5∴△ABD是直角三角形(勾股定理的逆定理)例5 如图5，△ABC中，a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1(n＞0)求证：△ABC是直角三角形．分析欲证△ABC是直角三角形，需用直角三角形的判定定理──勾股定理的逆定理，由已知n＞0可知a<b<c，经过计处算，只要a2+b2=c2，即可证得．证明∵n＞0∴2n2+2n+1＞2n2＞2n+1，即c＞b＞a.∴c为△ABC中最长的边．又∵ a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n4+8n3+8n2+4n+1c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1∴a2+b2=c2故△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理)．。
勾股定理及逆定理的综合应用试题
勾股定理及逆定理的综合应用一、勾股定理的逆定理逆定理如果三角形三边长a，b，c满足222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
逆定理说明：①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
②在运用这一定理时，可用两小边的平方和22+与较长边的平方2c作比较，若它们a b相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222+<时，以a，b，c为三边a b c的三角形是钝角三角形；若222+>时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。
a b c二、实际应用定理中的注意问题1. 定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三a b c边长a，b，c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为a c b斜边；2. 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
三、勾股定理逆定理的几种典型应用总结：1. 理解勾股定理与勾股定理逆定理之间的关系；2. 掌握好数形结合的思想及方程思想的应用。
例题1 如图，△ABC中，AB=15，AC=8，AD是中线，且AD=8.5，则BC的长为（）A. 15B. 16C. 17D. 18解析：延长AD至E使ED=AD，利用好“AD是中线”这个条件，再根据题中数据的特点正好符合勾股定理逆定理，得到直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质就可以求出BD的长度了，再根据BC=2BD，所以BC的长也就求出了。
答案：解：延长AD 至E ，使DE=AD ；连接B E ， ∵AD=8.5，∴AE=2×8.5=17， 在△ADC 和△EDB 中，AD ＝DE ∵∠ADC ＝∠EDB BD ＝CD ，∴△ADC≌△EDB（S AS ），∴BE=AC=8，BE 2+AB 2=82+152=289，AE 2=172=289， ∴∠ABE=90°，∵在Rt△BED 中，BD 是中线， ∴BD=21AE=8.5，∴BC=2BD=2×8.5=17。
人教版八年级下册数学：勾股定理及其逆定理的综合应用
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
既
a2+ b2=c2
是 互
Ｒt△ 直角边a、b，斜边c
逆
a2+b2=c2
命
题
形
数
也
Ｒt△
逆定理:
a2+b2=c2
是
互
三边a、b、c 逆
定
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形 理
是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
D
B
10 x6
A
x 8-x C
E
折叠四边形
折叠四边形
例7：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求 (1) CF的长 ；(2)EC的长.
10
D
A
8-X
8 10
E
8-X X
B
6
F4 C
折叠四边形
例8：折叠矩形纸片，先折出折痕 对角线BD，再绕点D折叠，使点A 落在BD的E处，折痕DG，若AB=4， BC=3，求AG的长。
2O
蛋糕 B
C
６
B
8
８
A
A
展开思想
例12：如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别 为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
２０
Ｃ
A
20
3
23
２
3
2
B
3
∵ AB2=AC2+BC2=625,
勾股数
勾股定理及其逆定理的运用课件
通过学习勾股定理及其逆定理，学生可 以培养出严密的逻辑思维和推理能力， 为后续的数学、物理、工程等学科的学
习打下坚实的基础。
学生可以从中领悟到数学与实际生活的 紧密联系，激发对数学的兴趣和热爱，
提高自主学习和探索的能力。
对实际应用的展望和期待
随着科技的发展和实际问题的复杂化，勾股定理及其逆定理的应用前景 将更加广阔。
度。
物理学
在物理学中，勾股定理可以用来解 决与直角三角形相关的力和运动问 题，例如单摆的运动和受力分析。
航海学
在航海学中，勾股定理可以用来计 算船只的航行距离和方向，以确保 航行安全。
02
逆定理的的逆定理是指，如果一 个三角形的三边满足勾股定理的 条件，那么这个三角形一定是直 角三角形。
条件限制不同
勾股定理适用于所有直角 三角形，而逆定理只适用 于已知一边和与之相对的 角为直角的三角形。
证明方法不同
勾股定理可以通过相似三 角形或面积法证明，而逆 定理通常通过反证法证明 。
定理与逆定理的互补之处
勾股定理是逆定理的前提
01
只有当满足勾股定理的条件时，一个三角形才可能是直角三角
形。
逆定理是勾股定理的延伸
02
勾股定理的逆定理是勾股定理的 一个重要应用，它可以帮助我们 判断一个三角形是否为直角三角 形。
逆定理的证明方法
勾股定理的逆定理可以通过反证法进 行证明。
然后通过构造一个直角三角形与三角 形ABC全等，并利用勾股定理证明假 设不成立，从而得出三角形ABC是直 角三角形的结论。
首先假设一个三角形ABC的三边满足 a²+b²=c²，但角C不是直角。
勾股定理及其逆定理的运用ppt课件
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课题：勾股定理——18.3 勾股定理与逆定理的综合运用
班级：姓名：
一、【前测】（温故而知新）
已知△ABC三边a，b，c满足a:b:c=3:4:5，试判断△ABC是什么三角形，
并求△ABC的面积。
二、【示标】（明确课堂目标）
1、应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
2、灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
3、进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
学习重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。
学习难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。
三、【导标】（学生探究、自主学习）
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。
1、如何理解勾股定理与逆定理关系？
2、如何将勾股定理与逆定理混合应用
四、【释标】（探究、展示）
自主探究：
在△ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm。
求AC的长
分析
合作探究;
例1、如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：
（1）△ABC是什么类型的三角形？
（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？
（3）走私艇C最早会在什么时间进入？
五、【测标】（检测课堂学习效果）A
M
E
N
C B
已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2
=AD ·BD 。
求证：△ABC 是直角三角形。
六、 【固标】（请你小结本节课学习了哪些内容？）
1、如何将勾股定理与逆定理混合应用？
七、 课后巩固提升（天才=1%的灵感+99%的汗水）
1．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）
A ．等腰三角形；
B ．直角三角形；
C ．等腰三角形或直角三角形；
D ．等腰直角三角形。
2．在下列说法中是错误的（ ）
A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠
B ，则△AB
C 为直角三角形.
B ．在△AB
C 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形.
C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形.
D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形.
3．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，
则△ABC 的形状为 。
4、如图9-1，直角三角形三边上的半圆
面积之间关系为：_________________
6、直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm,其中斜边上的高为__________cm.
7、在△ABC 中，∠C=90°，若AB ＝5，则2AB +2AC +2
BC =__________.
8、分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)0.6、0.8、1；(2)5、12、13；(3)8、15、17；
(4)4、5、6其中是能构成直角三角形的勾股数有__________组。
9、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.
10、如图，已知等腰△ABC 的底边BC=20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD=16cm ， BD=12cm ，
求△ABC 的周长
八、反思（本节课听课效率、掌握情况如何呢？如何改进才能做到更好？） B A
C
D S2
S1 S3 10 40 20 40 出发点 70 终止点。