数值计算典型例题与习题2

证明 || x ||A 是 R n 上的一种向量范数。
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Ex 9. 统计三对角方程组法高斯消元法的工作量。
Ex10 .设 A=(aij)n×n为可逆上三角矩阵，证明
A-1 仍为上三角矩阵。
Ex11 . 求上三角矩阵的逆阵
1 A 2 5 1 3 3 2 2 5 3
|(D– L ) – U | = 0
a 12
行列式对应的矩阵为
a 11 a 21 C ( ) a n1
a 22

a n2
a 1n a 2n a nn
当| | > 1时，利用A矩阵的主对角占优性质，得
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| a ii | | | | a ii | | | | a ij |
j 1 ji
n
| | | a
j 1 ji
n
ij
|
| a
j 1
i 1
ij
|
j i1
|a
n
ij
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故C()也是严格主对角占优矩阵。由于严格主对角占 优矩阵的行列式不为零，故不是特征方程
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消元法使用的条件 定理3.1 约化主元ak+1,k+1(k) ≠ 0 (k=0,1,·,n-1)的 · · 充分必要条件是 矩阵A的各阶顺序主子式不为零.
定理4.2 :设x*为方程组 Ax=b 的解
若||B||<1,则对迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 有
|| x
(k )
x* ||
(k )
)
讨论使迭代序列收敛的 的取值范围.
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Ex14 证明 n 阶矩阵
的特征值为
k 2 cos
k n1
0 1 S
1 0 1 1 0 1
1 0
( k = 1,2,·, n ) · ·
1 2h
2
Ex15 求n阶矩阵
( I AX 0 )
2
k
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X k A [ I ( I AX 0 )
( I AX 0 ) 1
1
2
k
]
2
k

1
lim ( I AX 0 )
k
2
k
0
1
lim X k lim A [ I ( I AX 0 ) ] A
k k
Ex8 设 A∈R n×n 为对称正定矩阵,定义 || x ||A = x T Ax
( I AX 0 ) 1
k
时
1
lim X k A
证明：由Xk+1=Xk(2I – A Xk )，得 I – AXk+1 = I – A Xk(2I – A Xk )= (I – A Xk )2 于是 I – AXk =(I – A Xk -1)2 =(I – A Xk -2)2×2 = ···· ··· ···
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Ex12 :求矩阵的 2-范数,
以及2-范数意义的条件数
1 1 Q 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Ex13 .有方程组Ax = b,其中A为对称正定阵,且有
迭代公式
X
( k 1)
X
(k )
( b AX
设 || u || | u k | 考虑Au =0的第k个等式
a k 1 u1 a kk u k a kn u n 0
| a kk | | u k | | a kj u j |
j 1 jk n

kj
|a
j 1 jk
n
kj
uj |
|a
j 1 jk
n
| | uk |
两边约去 |uk|，得
| a kk |
|a
j 1 jk
n
kj
|
这与主对角占优矛盾, 故det(A) ≠0。
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Ex2.设A对称且a11≠ 0,高斯消元法一步后,A约化为
T a 11 1 A2 0 证明 A2 也是对称矩阵。
m1
1 F1 m1
特征多项式与特征方程:
|I – (D – L)-1U| = |(D – L )-1|· (D– L ) – U | | |(D– L ) – U | = 0
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Ex6. 若A是严格主对角占优矩阵，求证解方程组 AX=b的高斯-赛德尔迭代法收敛。
证：高斯-赛德尔迭代矩阵为(D – L )-1U,该矩阵的特 征方程为
的右上角元素均为零,所以A的逆矩阵仍是下三角阵
Ax = b, 将矩阵分裂: A = D – U – L
Jacobi 迭代法的迭代矩阵
特征多项式与特征方程:
BJ = D-1(U+L)
| I – D-1(U+L)| = |D-1|· D – (U+L) | | | D – (U+L) | = 0 Gauss-Seidel迭代法的矩阵: BG-S= (D – L)-1U
Ex5. 设A=(aij)n×n 为可逆下三角矩阵，证明 A-1 仍为下三角矩阵。
证明: 设
a 11 a 21 A a n1 a 22 an2 a nn
当i > j 时, aij 的代数余子式 Aij = 0,故A 的伴随矩阵
A11 A * 12 A A1 n A21 A22 A2 n An 1 An 2 Ann
《数值分析》典型例题 II 三、四章内容提要
典型例题分析
思考题与练习题
一、解线性方程组直接法
顺序消元法、列主元法、追赶法 矩阵的直接分解、对称矩阵 的LU分解 二、向量和矩阵的范数
=
向量范数、算子范数、三种 矩阵范数、矩阵的条件数
三、解线性方程组迭代法
=
Jacobi迭代、Seidel迭代、SOR迭代、迭代收敛性、 初等变分原理、最速下降法、共轭梯度法*
(3)对矩阵序列{ Xk }，有误差估计式 1 1 || X k A || || X k 1 X k || 1 q
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k [ a 1 k a 2 k a k 1 , k ]T
求
Ak 1 Ak T k
a kk
k
的 LU 分解.
Ex4. 设 n 阶矩阵 A 是严格主对角占优矩阵。高斯消
元法一步后,A约化为
T a 11 1 A2 0 证明 A2 也是严格主对角占优矩阵。
1 a 11
1
证明:设
a 11 A 1
1T
A1
a 11 I n 1 1
T
I n1
1 A F1 A m1
1T
a 11 A1 0
T A1 m 1 1
1T
A 2 A1
C() = |(D– L ) – U | = 0
的根。所以当A是严格主对角占优矩阵时,(D – L )-1U 的特征值必然满足：| | < 1，从而高斯-赛德尔迭代矩 阵谱半径小于1，迭代法收敛。
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Ex7.设A是一个可逆矩阵，矩阵序列满足
Xk+1=Xk(2I – A Xk )，（k =0，1，2，……） 证明:当
1 a 11

所以,
A2 = A2T
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Ex3.设 n 阶矩阵 A 的各阶顺序主子式不为零,记各
阶顺序主子式对应的矩阵为Ak,(k = 1,2,·,n)。设 · · Ak 1 Lk 1U k 1 (k > 1 ) L1=1,U1 = a11
T k [a k 1 a k 2 a k ,k 1 ]
的特征值
2 h2 1 A
1 1 2h 1
2
1 2 2h
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ex16:设A是n阶可逆矩阵,有A的一个近似逆B,令 R=I –AB如果 || R ||≤ q <1 ，试证明 (1) A–1 = B ( I + R + R2 + …… )； (2)任意给定n阶矩阵X0,由迭代格式 Xk+1 = Xk R + B ( k = 0，1，2，…… ) 产生的矩阵序列{ Xk }收敛到矩阵A-1；
|| B || 1 || B ||
|| x
(k )
x
( k 1 )
||
定理4.3 若 Ax = b 的系数矩阵 A 是严格对角占优矩 阵,则Jacobi迭代和Seidel迭代均收敛
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Ex1.如果A是严格主对角占优矩阵, 则 det(A) ≠0.
证: 用反证法。设det(A) = 0, 则齐次方程组Ax=0有非 零解 u =[u1, u2, ·, un ]T. · ·