参数估计和假设检验案例(精)
参数估计、假设检验例子
例2： 某公司宣称有75%以上的消费者满意其产品 某公司宣称有75%以上的消费者满意其产品 的质量，一家市场调查公司受委托调查该公司此 项声明是否属实，随机抽样调查625位消费者， 项声明是否属实，随机抽样调查625位消费者， 表示满意该公司产品质量者有500人，试问在 表示满意该公司产品质量者有500人，试问在 0.05的显著性水平下，该公司的声明是否属实。 0.05的显著性水平下，该公司的声明是否属实。
例2： 在一项新广告活动的跟踪调查中，在被调查 的400人中有240人会记起广告的标语，试求会 400人中有240人会记起广告的标语，试求会 记起广告标语占总体比率的95%置信度的估计区 记起广告标语占总体比率的95%置信度的估计区 间。
假设检验： 1：某橡胶厂生产汽车轮胎，根据历史资料统计结 果，平均里程为25000公里，标准差为1900公里。 果，平均里程为25000公里，标准差为1900公里。 现采用一种新的工艺制作流程，从新批量的轮胎 中随机抽取400个作实验，求得样本平均里程为 中随机抽取400个作实验，求得样本平均里程为 25300公里，试按5%的显著性水平判断新批量 25300公里，试按5%的显著性水平判断新批量 轮胎的平均耐用里程与以前生产的轮胎的耐用里 程有没有显著的差异，或者它们属于同一总体的 假设是否成立。
参数估计和假设检验
∵
c2
=
(n
-1)S
sபைடு நூலகம்
2 0
2
= 8 0.032 0.02 2
=18>ca2 (n-1) = c02.05(8) =15.507
故拒绝 H0，即该机床加工精度已显著下降。 应立即停工检修，否则废品率会大大增加。
在本问题的检验中，a 应取得大一些还是小一些？
两个总体方差的检验( F 检验 )
原假设为 H0：s12=s22。当 H0为真时，统计量
原假设为 H0：m1 - m 2 = 0
7
s12 = s22 = s2 ，但 s2 未知 ( t 检验 )
可以证明，当 H0 为真时，统计量
t= Sw
X1 - X2 1/ n1 +1/ n2
～ t ( n1 +n2 -2 )
其中：
S2w
= (n1
-1)S12 +(n2 -1)S22 n1 +n2 -2
两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时)
病人 安眠药
1
2
34
5678
9 10
甲
1.9 0.8 1.1 0.1 –0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4
乙
0.7 –1.6 –0.2 –1.2 –0.1 3.4 3.7 0.8 0.0 2.0
在a ＝0.20下，检验两个总体的方差是否存在显
著差异。
参数估计和假设检验
•
•
•
【 例 】新工艺是否有效？
某厂生产的一种钢丝抗拉强度服从均值为 10560(kg/cm2 ) 的正态分布，现采用新工艺生 产了一种新钢丝，随机抽取10根测得抗拉强 度为：
10512, 10623, 10668, 10554, 10776 10707, 10557, 10581, 10666, 10670
参数估计和假设检验案例
参数估计和假设检验案例假设我们是一家制造公司的数据分析师，公司最近收到用户对产品的投诉，称产品的平均使用寿命低于承诺的使用寿命。
为了验证这一断言，我们希望利用采样数据对产品的平均使用寿命进行估计，并进行假设检验来验证用户的主张。
1.参数估计：为了对产品的平均使用寿命进行估计，我们需要收集一定数量的样本数据。
假设我们从该公司生产的100个产品中随机选择了20个，然后记录了它们的使用寿命（以年为单位）。
收集到的数据如下：15,12,18,20,14,16,19,17,13,11,14,16,21,15,17,14,13,12,19,18首先，我们需要计算这些数据的样本均值来进行参数估计。
样本均值的计算公式为：样本均值=(15+12+18+20+14+16+19+17+13+11+14+16+21+15+17+14+13+12+19+18)/2 0=16.5因此，用收集到的样本数据估计该公司生产的产品的平均使用寿命为16.5年。
2.假设检验：接下来，我们需要进行假设检验来验证用户的主张。
在本案例中，我们的原假设（H0）为产品的平均使用寿命等于承诺的使用寿命，备择假设（H1）为产品的平均使用寿命小于承诺的使用寿命。
我们设定显著性水平为0.05，即我们希望在5%的置信水平下进行判断。
在通过参数估计得到产品的平均使用寿命估计值后，我们可以利用假设检验来验证该估计值是否与承诺的使用寿命相符。
假设检验的步骤如下：1）设定原假设（H0）和备择假设（H1）；2）选择一个合适的统计检验方法；3）计算检验统计量（test statistic）；4）计算p值；5）根据p值判断是否拒绝原假设。
在本案例中，由于样本数量较小（n<30），符合正态分布的假设也未被验证，我们可以选择使用t检验来进行假设检验。
根据我们的备择假设，我们希望验证产品的平均使用寿命小于承诺的使用寿命。
因此，我们将进行单样本t检验，计算检验统计量和p值。
第八讲参数估计和假设检验
证：（1）由于 的密度为 ，
故 的分布函数为 ，
对应的密度函数为 ，
从而 。
所以， 是 的无偏估计，
类似地， 的密度为 ，
故
，
（ ， ， ， ）
所以， 是 的无偏估计。
（2）为计算 ，先算 。
， ， ，
越小， 越大，故
的分布函数为
的分布函数为
的密度函数为
，故 不是 的无偏估计。取 ，因 ，故 是 的无偏估计。
例6．设总体 的概率分布为
0 1 2 3
其中 是未知参数，利用总体的如下8个样本:3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计和最大似然估计值。
解：
，令 ，即 ，
解得 得矩估计值 。
又从题目要求 ，可令 ，得 =15.68，取大于 的最小整数是16。
例8．设总体 ， 已知，问样本容量 为多大时，方能保证 的置信度为0.95下的置信区间长度不超过 ？
解：由于 ， 已知，故用 作统计量即可找到分位数 ，
使 ，即 ，
从而置信区间长为 ，再由题目要求 ，从中解出 ，故 ，其中 表示为小于 的最大整数。
故有 ,
，故 的置信区间为 。
（3）由上题结果 及 的严格递增性，可知：
，
故 的置信度为0.95置信区间为 。
3．假设检验
（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）
第八讲 极大似然估计，无偏性和有效性）
例1．设总体 的概率密度为 ， 是取自总体 的简单随机样本，(1)求 的矩估计量 ；（2）求 的方差 。
第6假设检验
第三页，共七十六页。
学习目标
了解假设检验的含义和假设的形式 。 掌握假设检验的基本思想，区分假设检验
中的两类错误 。 掌握假设检验的步骤和假设检验的方法。 重点掌握一个总体均值的检验及一个总体
成数的检验。
第四页，共七十六页。
6.1 假设检验的一般问题
第Ⅰ类错误的概率记为α。
2. 第Ⅱ类错误(取伪错误)
原假设为错误时未拒绝原假设，
而认为其正确
第Ⅱ类错误的概率记为β
第十九页，共七十六页。
假设检验中的两类错误
H0: 无罪
假设检验就好像一场审判过程
陪审团审判
实际情况
裁决
无罪
有罪
无罪
正确
错误
有罪
错误
正确
统计检验过程
H0 检验
决策 未拒绝H0
实际情况
H0为真
什么是假设检验?
1. 先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设， 然后利用样本信息判断假设是否成立的过程。
2. 有参数检验和非参数检验。 3. 逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理。
第七页，共七十六页。
u小概率事件：发生概率很小的事件。
u小概率原理：小概率事件在一次试验中是几乎不可 能发生的。
如果自1998年以后，家庭平均人口增加或减少了， 那么家庭人口规模就发生了变化。这是一个双尾检 验的例子。 则原假设和备择假设为：
H0 ： 3.18人 H1 ： 3.18人
第二十六页，共七十六页。
双侧检验
当 H0： 0 ；H1： 0 时，就称为双侧检验，其目的 是观察在规定的显著性水平下所抽取的样本统计量是否 显著地高于或低于假设的总体参数。
参数估计和假设检验案例
参数估计和假设检验案例案例一：工艺流程的检测某公司是一家为客户提供抽样和统计程序方面建议的咨询公司，这些建议可以用来监控客户的制造工艺流程。
在一个应用项目中，一名客户向该公司提供了一个样本，该样本由工艺流程正常运行时的800个观测值组成。
这些数据的样本标准差为0.21；因为有如此多的样本数据，因此，总体标准差被假设为0.21。
然后，该公司建议：持续不断地定期抽取容量为30的随机样本以对工艺流程进行检测。
通过对这些新样本的分析，客户可以迅速知道，工艺流程的运行状况是否令人满意。
当工艺流程的运行状况不能令人满意时，可以采取纠正措施来解决这个问题。
设计规格要求工艺流程的均值为12，该公司建议采用如下形式的假设检验。
μ=μ≠H0 ：12 H1 ：12只要H0被拒绝，就应采取纠正措施。
下表为第一天运行新的工艺流程的统计控制程序时，每隔一小时收集的样本数据。
问题：1、对每个样本在0.01的显著性水平下进行假设检验，并且确定，如果需要Z0.005=2.582、4、讨论将显著性水平改变为一个更大的值时的影响？如果增加显著性水平，哪种错误或误差将增加？显著性水平增加，置信区间减小，误差减小。
案例二：计算机辅助教学会使完成课程的时间差异缩小吗？某课程引导性教程采用一种个性化教学系统，每位学生观看教学录像，然后给以程式化的教材。
每位学生独立学习直至完成训练并通过考试。
人们关心的问题是学生完成训练计划的进度不同。
有些学生能够相当快地完成程式化教材，而另一些学生在教材上需要花费较长的时间，甚至需要加班加点才能完成课程。
学的较快的学生必须等待学得较慢的学生完成引导性课程才能一起进行其他方面的训练。
建议的替代系统是使用计算机辅助教学。
在这种方法中，所有的学生观看同样的讲座录像，然后每位学生被指派到一个计算机终端来接受进一步的训练。
在整个教程的自我训练过程中，由计算机指导学生独立操作。
为了比较建议的和当前的教学方法，刚入学的122名学生被随机地安排到这两种教学系统中。
概率论与数理统计实验实验3参数估计假设检验
概率论与数理统计实验实验3 参数估计假设检验实验目的实验内容直观了解统计描述的基本内容。
2、假设检验1、参数估计3、实例4、作业一、参数估计参数估计问题的一般提法X1, X2,…, Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量). 为F(x, )，其中为未知参数( 可以是参数估计点估计区间估计点估计——估计未知参数的值区间估计——根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真?（一）、点估计的求法1、矩估计法基本思想是用样本矩估计总体矩.令设总体分布含有个m未知参数??1 ，…，??m解此方程组得其根为分别估计参数??i ，i=1,...,m，并称其为??i 的矩估计。
2、最大似然估计法（二）、区间估计的求法反复抽取容量为n的样本,都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占置信区间的意义1、数学期望的置信区间设样本来自正态母体X(1) 方差?? 2已知, ?? 的置信区间(2) 方差?? 2 未知, ?? 的置信区间2、方差的区间估计未知时, 方差?? 2 的置信区间为（三）参数估计的命令1、正态总体的参数估计设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)此命令以alpha 为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。
（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计.例1、给出两列参数?? =10, ??=2正态分布随机数，并以此为样本值，给出?? 和?? 的点估计和区间估计命令:r=normrnd(10,2,100,2);[mu,sigm,muci,sigmci]=normfit(r);[mu1,sigm1,muci1,si gmci1]=normfit(r,0.01);mu=9.8437 9.9803sigm=1.91381.9955muci=9.4639 9.584310.2234 10.3762sigmci=1.68031.75202.2232 2.3181mu1=9.8437 9.9803sigm1=1.91381.9955muci1=9.3410 9.456210.3463 10.5043sigmci1=1.6152 1.68412.3349 2.4346例2、产生正态分布随机数作为样本值，计算区间估计的覆盖率。
参数估计和假设检验习题解答讲解
参数估计和假设检验习题1.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差σ已知为150，今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。
问在5％的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600?0.05,α=26,n =受0:1600Hμ=,即,以95%的把握认为这批产品的指标的期望值μ为1600.2.某纺织厂在正常的运转条件下，平均每台布机每小时经纱断头数为O.973根，各台布机断头数的标准差为O.162根，该厂进行工艺改进，减少经纱上浆率，在200台布机上进行试验，结果平均每台每小时经纱断头数为O.994根，标准差为0.16根。
问,新工艺上浆率能否推广(α=0.05)?解: 012112:, :,H H μμμμ≥<3.某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62Ω，如改变工艺前后电阻的标准差保持在O.06Ω，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α=0.05)?解: 01: 2.64, : 2.64,H H μμ=≠已知标准差σ=0.16,拒绝域为2Z z α>,取0.02520.05, 1.96z z αα===,100,n =由检验统计量 3.33 1.96Z ===>,接受1: 2.64H μ≠,即, 以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响.4.有一批产品，取50个样品，其中含有4个次品。
在这样情况下，判断假设H 0：p ≤0.05是否成立(α=0.05)?解: 01:0.05, :0.05,H p H p ≤>采用非正态大样本统计检验法,拒绝域为Z z α>,0.950.05, 1.65z α==,50,n =由检验统计量0.9733Z ===<1.65,接受H 0：p ≤0.05.即, 以95%的把握认为p ≤0.05是成立的.5.某产品的次品率为O.17，现对此产品进行新工艺试验，从中抽取4O0件检验，发现有次品56件，能否认为此项新工艺提高了产品的质量(α=0.05)?解: 01:0.17, :0.17,H p H p ≥<采用非正态大样本统计检验法,拒绝域为Z z α<-,400,n =0.950.05, 1.65z α=-=-,由检验统计量4001.5973i x npZ -===-∑>-1.65, 接受0:0.17H p ≥,即, 以95%的把握认为此项新工艺没有显著地提高产品的质量.6.从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，计算得x =11958，样本标准差s =323，问以5％的显著水平是否可认为发热量的期望值是12100(假定发热量是服从正态分布的)?解: 01:12100, :12100,H H μμ=≠总体标准差σ未知,拒绝域为2(1)t t n α>-,24,n = x =11958,s =323,0.0250.05,(23) 2.0687t α==, 由检验统计量2.1537t ===>2.0687,拒绝0:12100H μ=,接受1:12100,H μ≠ 即, 以95%的把握认为试验物的发热量的期望值不是12100.7．某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一定时间需要检查机器工作情况。
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参数估计和假设检验案例
案例一:工艺流程的检测
某公司是一家为客户提供抽样和统计程序方面建议的咨询公司,这些建议可以用来监控客户的制造工艺流程。
在一个应用项目中,一名客户向该公司提供了一个样本,该样本由工艺流程正常运行时的 800个观测值组成。
这些数据的样本标准差为 0.21;因为有如此多的样本数据,因此,总体标准差被假设为 0.21。
然后,该公司建议:持续不断地定期抽取容量为 30的随机样本以对工艺流程进行检测。
通过对这些新样本的分析,客户可以迅速知道,工艺流程的运行状况是否令人满意。
当工艺流程的运行状况不能令人满意时,可以采取纠正措施来解决这个问题。
设计规格要求工艺流程的均值为 12,该公司建议采用如下形式的假设检验。
H 0 :12 H 1 :12
只要 H 0被拒绝,就应采取纠正措施。
下表为第一天运行新的工艺流程的统计控制程序时,每隔一小时收集的样本数据。
μ=μ≠
问题:
1、对每个样本在 0.01的显著性水平下进行假设检验,并且确定,如果需要
Z0.005=2.58
2、
4、讨论将显著性水平改变为一个更大的值时的影响?如果增加显著性水平, 哪种错误或误差将增加?
显著性水平增加,置信区间减小,误差减小。
案例二:计算机辅助教学会使完成课程的时间差异缩小吗?
某课程引导性教程采用一种个性化教学系统, 每位学生观看教学录像, 然后给以程式化的教材。
每位学生独立学习直至完成训练并通过考试。
人们关心的问题是学生完成训练计划的进度不同。
有些学生能够相当快地完成程式化教材, 而另一些学生在教材上需要花费较长的时间,甚至需要加班加点才能完成课程。
学的较快的学生必须等待学得较慢的学生完成引导性课程才能一起进行其他方面的训练。
建议的替代系统是使用计算机辅助教学。
在这种方法中, 所有的学生观看同样的讲座录像,然后每位学生被指派到一个计算机终端来接受进一步的训练。
μ=
在整个教程的自我训练过程中,由计算机指导学生独立操作。
为了比较建议的和当前的教学方法, 刚入学的 122名学生被随机地安排到这两种教学系统中。
61名学生使用当前程式化教材, 而另外 61名学生使用建议的计算机辅助方法。
记录每位学生的学习时间(小时 ,如表所示。
78 75 80 79 72 69 79 72 70 70 81
76 78 72 82 72 73 71 70 77 78 73
79 82 65 77 79 73 76 81 69 75 75
77 79 76 78 76 76 73 77 84 74 74
69 79 66 70 74 72
建议的计算机辅助方法完成教程的时间(小时
74 75 77 78 74 80 73 73 78 76 76
74 77 69 76 75 72 75 72 76 72 77
73 77 69 77 75 76 74 77 75 78 72
77 78 78 76 75 76 76 75 76 80 77
1、利用适当的描述统计学方法汇总每种方法的训练时间数据。
根据样本资料,
你能观察到
2、利用所学知识评价两种方法总体均值之间的差异,讨论你的结论。
3、计算每一种训练方法的标准差与方差, 进行两种训练方法总体方差相等的假设检验, 讨论你的结论。
检验数 >1.84,所以拒绝原假设,即两个总体方差不相等
4、关于两种方法之间的差异,你能得到什么结论?有何建议?请做出解释。
计算机辅助方法的方差比当前教学方法的方差小, 学生的学习时间差异比较小, 建议使用计算机辅助方法。
5、对于将来要使用哪种训练计划,在做出最终决定之前,你是否还需要其他数据或检验。
不需要。