第14章有序多分类逻辑斯蒂回归模型
逻辑斯蒂回归在分类问题中的应用
逻辑斯蒂回归在分类问题中的应用逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）是一种常用的分类算法，尤其在二分类问题中得到广泛应用。
逻辑斯蒂回归通过将线性回归模型的输出映射到一个概率范围内，从而实现对样本进行分类。
本文将介绍逻辑斯蒂回归的原理、优缺点以及在分类问题中的具体应用。
### 一、逻辑斯蒂回归原理逻辑斯蒂回归是一种广义线性回归模型，其模型形式为：$$P(y=1|x) = \frac{1}{1+e^{-(w^Tx+b)}}$$其中，$P(y=1|x)$表示在给定输入$x$的情况下，输出为类别1的概率；$w$和$b$分别为模型的参数，$w$为权重向量，$b$为偏置项；$e$为自然对数的底。
逻辑斯蒂回归通过对线性回归模型的输出进行Sigmoid函数的映射，将输出限制在0到1之间，表示样本属于某一类别的概率。
### 二、逻辑斯蒂回归优缺点1. 优点：- 实现简单，计算代价低；- 输出结果具有概率意义，便于理解和解释；- 可以处理非线性关系。
2. 缺点：- 容易受到异常值的影响；- 对特征工程要求较高；- 无法很好地处理多分类问题。
### 三、逻辑斯蒂回归在分类问题中的应用逻辑斯蒂回归在分类问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 金融风控在金融领域，逻辑斯蒂回归常用于信用评分和风险控制。
通过构建逻辑斯蒂回归模型，可以根据客户的个人信息、财务状况等特征，预测其违约概率，从而制定相应的风险控制策略。
2. 医疗诊断在医疗领域，逻辑斯蒂回归可用于疾病诊断和预测。
通过医疗数据的特征提取和逻辑斯蒂回归模型的构建，可以帮助医生判断患者是否患有某种疾病，提前进行治疗和干预。
3. 市场营销在市场营销中，逻辑斯蒂回归可用于客户分类和营销策略制定。
通过分析客户的购买行为和偏好，构建逻辑斯蒂回归模型，可以预测客户的购买意向，从而制定个性化的营销方案。
4. 文本分类在自然语言处理领域，逻辑斯蒂回归可用于文本分类任务。
多分类有序logit模型的模型结果解释
标题：深入探讨多分类有序logit模型的模型结果解释在统计学和机器学习领域，多分类有序logit模型是一种常用的模型，用来处理有序分类变量的预测和解释。
在本文中，我们将深入探讨多分类有序logit模型的模型结果解释，帮助读者更好地理解其原理和应用。
1. 多分类有序logit模型的基本原理多分类有序logit模型是一种广义线性模型，用于对有序分类变量进行建模和预测。
它建立在logistic函数的基础上，通过最大似然估计对模型参数进行拟合，从而推断不同自变量对特定有序分类变量的影响。
其基本原理是将有序分类变量转化为一组二分类变量，然后使用logistic回归模型进行建模。
这种方法可以有效地处理有序分类变量，对于解释性强的场景非常适用。
2. 模型结果解释的重要性和方法在使用多分类有序logit模型进行建模和预测时，模型结果的解释至关重要。
在解释模型结果时，我们可以使用各种方法，比如变量的边际效应、相对风险比、转移概率等。
这些方法可以帮助我们理解不同自变量对有序分类变量的影响程度，从而更好地理解模型的预测能力和应用场景。
图表和统计检验也是解释模型结果的常用方法，可以直观地展现变量之间的关系和影响程度。
3. 在多分类有序logit模型中如何解释模型结果在多分类有序logit模型中，我们可以通过计算变量的边际效应来解释模型结果。
边际效应可以反映出自变量对因变量的影响程度，帮助我们理解模型的预测能力。
相对风险比是另一种重要的解释方法，可以告诉我们不同自变量水平之间的风险差异。
转移概率可以帮助我们理解不同分类变量之间的转移规律，从而为决策提供参考。
4. 个人观点和理解在使用多分类有序logit模型进行建模和解释时，我认为深入理解模型结果和解释方法是非常重要的。
只有通过对模型结果的全面解释，我们才能更好地理解自变量对有序分类变量的影响，从而做出合理的预测和决策。
在解释模型结果时，我倾向于使用边际效应和相对风险比这两种方法，因为它们可以直观地展现变量之间的关系和影响程度，帮助我更好地应用模型进行预测和分析。
逻辑斯蒂模型各参数的意义
逻辑斯蒂模型各参数的意义
一、逻辑斯蒂模型的概念
逻辑斯蒂回归模型是一种用于建立二元分类的统计学模型，它将预测结果视作一个随机变量（可能的值是0或1），而结果由一个条件概率分布来确定。
当对一个新样本做预测时，将计算出一个概率，如果概率超过某个已设定的阈值，则判定此样本属于1类，反之属于0类。
二、参数的概念
在逻辑斯蒂回归模型中，参数指模型中变量的权重，参数的估计即为拟合样本所需要调整的参数，以最大化模型的拟合精度。
三、参数的含义
1、w：w是权值向量，可以确定一个样本分类的阈值，模型预测的概率大于或小于这个阈值就可以得出类别的判断结果。
2、b：b是偏置，是模型决定正负样本的阈值，b的取值不用影响模型的预测结果，但是影响到分类的阈值。
3、θ：θ是参数的集合，即w和b。
4、α：α是学习率，是一种超参数，改变其值可以调整参数更新的速度，从而影响模型收敛的速度和性能。
四、参数的调整
参数的调整包括参数估计和超参数调整。
（1）参数估计
参数估计是指根据训练样本，计算出逻辑斯蒂模型的参数，从而
拟合训练样本。
在估计参数的过程中，可以使用最大似然估计、最小二乘估计等方法。
（2）超参数调整
超参数调整是指调整逻辑斯蒂回归模型中的其他参数，比如学习率、迭代次数、正则化强度等，从而使模型的拟合精度更高。
逻辑斯蒂回归（LogisticRegression）
逻辑斯蒂回归（LogisticRegression）展开全文本文是结合书来作出自己的理解和总结的，主要的参考书目是《统计学习方法》，后期的修改中，我会加入相关的其他书籍进来。
欢迎批评和指正~~本文的思路是根据《统计学习方法》第一章所提到的：统计学习方法 = 模型+策略+算法的思路来讲的，所以，如果对于这个思路有疑问，自行看第一章。
本文主要介绍的是逻辑斯蒂模型的模型、策略和算法，至于最大熵模型，这里不予介绍。
首先会介绍逻辑斯蒂模型的基本模型，然后会介绍极大似然估计的基本原理和逻辑回归的策略并求出逻辑回归的目标函数，最后介绍梯度上升算法和逻辑回归目标函数的最优化。
1、逻辑斯蒂模型1.1、逻辑斯蒂分布为什么先讲逻辑斯蒂分布呢？因为我们的逻辑斯蒂模型就是根据逻辑斯蒂分布得到的，所以说逻辑斯蒂方法是属于判别方法，即知道了P(Y|X)的形式（当然，我们是不知道P(X,Y)的，要不然机器学习也就没有意义了。
），通过参数估计方法直接估计出参数，从而得到P(Y|X)。
下面给出《统计学习方法》上逻辑斯蒂分布的定义：1.2、二项逻辑斯蒂回归模型知道分布的定义之后，就是给出我们的逻辑斯蒂模型了：这里需要注意的有两点：（1）最终的结果是通过比较P(Y=1|X)和P(Y=0|X)的大小来确定类别的；（2）b在这里其实可以看做是w0x0，其中x0 = 1；（3）其实本质上这个就是一个二项分布，所以遵循二项分布的分布律。
1.3、事件的对数几率（log odds）废话不说，还是看看统计学习方法上面的定义：1.4、第一个结论根据之前，我们就得到了两个定义：（1）逻辑回归模型；（2）事件的对数几率。
那么从这两个定义，我们可以得到什么推论呢？也就是说，如果我的模型是逻辑回归模型，那么事件{Y=1|X}发生的对数几率就是输入X的线性函数（模型）。
所以只要知道了这个推论，我们是可以反推出逻辑斯蒂模型的形式的：1.5、比较逻辑斯蒂模型和感知机首先，很显然，这里的逻辑斯蒂模型可以看成是f(wx)，也就是wx的函数：sigmoid函数，感知机则是sign函数。
逻辑斯蒂回归模型参数估计
逻辑斯蒂回归模型参数估计逻辑斯蒂回归模型是一种经典的统计学方法，被广泛应用于分类问题的参数估计。
本文将以通俗易懂的语言介绍逻辑斯蒂回归模型参数估计的原理、步骤和指导意义。
逻辑斯蒂回归模型是一种用于解决分类问题的统计模型。
它的核心思想是通过建立一个函数，将输入的特征与输出的概率联系起来。
逻辑斯蒂回归模型的输出是一个概率值，表示样本属于某个类别的可能性。
在逻辑斯蒂回归模型中，参数估计就是为了找到最佳的函数参数，使其能够最好地拟合样本数据。
参数估计的过程是通过最大似然估计方法来进行的。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它的核心思想是找到使得样本观测概率最大的参数值。
具体来说，在逻辑斯蒂回归模型中，参数估计的步骤如下：首先，我们需要准备训练数据集，包括一组已知类别的样本和其对应的特征。
然后，我们需要选择适当的损失函数，用于衡量模型的拟合程度和预测结果的准确性。
在逻辑斯蒂回归模型中，常用的损失函数是对数似然损失函数。
接下来，我们需要使用优化算法，如梯度下降法，来最小化损失函数。
优化算法的目标是搜索最佳的参数值，使损失函数达到最小值。
在每次迭代中，参数值会根据当前的负梯度方向进行更新，直到达到收敛条件为止。
最后，我们可以使用估计得到的参数值来做预测。
通过将样本特征代入逻辑斯蒂回归函数，可以得到样本属于某个类别的概率值。
根据设定的阈值，我们可以将概率值转换为二分类的预测结果。
逻辑斯蒂回归模型参数估计的意义在于，它可以帮助我们理解变量之间的关系，并且可以用于预测新样本的类别。
通过分析参数的大小和符号，我们可以判断不同特征对于样本分类的重要性。
此外，逻辑斯蒂回归模型还具有一些优点，使其在实际应用中得到广泛使用。
首先，逻辑斯蒂回归模型是一种线性模型，计算效率较高。
其次，逻辑斯蒂回归模型输出的是概率值，可以提供更为精细的预测结果。
总之，逻辑斯蒂回归模型参数估计是一项重要的统计学任务。
通过合理选择损失函数和优化算法，我们可以得到一个较好的模型，用于解决分类问题。
logistic回归模型
–累积概率满足： P(Y 1) P(Y J ) 1 –累积概率的模型并不利用最后一个概率，因为它必然
等于1
多项logit模型
【例】研究性别和两种治疗方法(传统疗法与新疗法) 对某种疾病疗效的影响，84个病人的数据见表。
ln
pˆ 1 pˆ
11.536
0.124A
0.711M1
0.423M 2
0.021M 3
含有有序数据的logit
• Logit模型的协变量也可以是有序数据 • 对有序数据的赋值可以按顺序用数0,1,2,3,4分别
表示 【例】某地某年各类文化程度的死亡人数见表，试
建立logit模型。 • 建立死亡率关于年龄和文化程度的logit模型
ln
p2 p3
0.603 0.635 x3
• 然后，将x1和x3的取值代入上式，可以进一步对三个属性之间的关系加 以分析。
– 学校2与学校3的学生在自修与上课两种学习方式上偏好相同；
– 学校1比学校2和3更偏好上课(1.727>0.593);
– 课程计划中，常规课程与附加课程相比，常规课程学生更偏好自修；
– 小组与上课相比，三个学校没有差别；常规课程学生更偏好小组学 习。
多项logit模型
• 当响应变量为定性有序变量时，多项logit模型的处理会与 名义变量有所不同。
• 有序响应变量的累积logit模型 –当变量为有序变量时，logit可以利用这一点，得到比 基线-类别有更简单解释的模型； –Y的累积概率是指Y落在一个特定点的概率，对结果为 类别j时，其累积概率为：
单位，响应变量在任意给定类别下的优势比将为e 。
Logistic回归模型基本知识
Logistic 回归模型1 Logistic 回归模型的基本知识 1.1 Logistic 模型简介主要应用在研究某些现象发生的概率p ，比如股票涨还是跌，公司成功或失败的概率，以及讨论概率p 与那些因素有关。
显然作为概率值，一定有10≤≤p ，因此很难用线性模型描述概率p 与自变量的关系，另外如果p 接近两个极端值，此时一般方法难以较好地反映p 的微小变化。
为此在构建p 与自变量关系的模型时，变换一下思路，不直接研究p ，而是研究p 的一个严格单调函数)(p G ，并要求)(p G 在p 接近两端值时对其微小变化很敏感。
于是Logit 变换被提出来：ppp Logit -=1ln)( （1）其中当p 从10→时，)(p Logit 从+∞→∞-，这个变化范围在模型数据处理上带来很大的方便，解决了上述面临的难题。
另外从函数的变形可得如下等价的公式：XT XT T ee p Xppp Logit βββ+=⇒=-=11ln )( （2）模型(2)的基本要求是，因变量（y ）是个二元变量，仅取0或1两个值，而因变量取1的概率)|1(X y P =就是模型要研究的对象。
而Tk x x x X ),,,,1(21 =，其中i x 表示影响y 的第i 个因素，它可以是定性变量也可以是定量变量，Tk ),,,(10ββββ =。
为此模型(2)可以表述成：kx k x k x k x kk eep x x pp βββββββββ+++++++=⇒+++=- 11011011011ln （3）显然p y E =)(，故上述模型表明)(1)(lny E y E -是k x x x ,,,21 的线性函数。
此时我们称满足上面条件的回归方程为Logistic 线性回归。
Logistic 线性回归的主要问题是不能用普通的回归方式来分析模型，一方面离散变量的误差形式服从伯努利分布而非正态分布，即没有正态性假设前提；二是二值变量方差不是常数，有异方差性。
逻辑斯蒂模型
在一定条件下，生物种群增长并不是按几何级数无限增长的。
即开始增长速度快，随后速度慢直至停止增长（只是就某一值产生波动），这种增长曲线大致呈“S”型，这就是统称的逻辑斯谛（Logistic）增长模型。
意义
当一个物种迁入到一个新生态系统中后,其数量会发生变化.假设该物种的起始数量小于环境的最大容纳量,则数量会增长.增长方式有以下两种：
（1）J型增长若该物种在此生态系统中无天敌,且食物空间等资源充足(理想环境),则增长函数为N(t)=n(p^t).其中,N(t)为第t年的种群数量,t为时间,p为每年的增长率(大于1).图象形似J形。
（2）S型增长若该物种在此生态系统中有天敌,食物空间等资源也不充足(非理想环境),则增长函数满足逻辑斯谛方程。
图象形似S形.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
lo i[tg p (y2 ) ]lo i(tg p 1p 2)l n 1 p (1 p 1 p 2 p 2) l np p 1 3 p p 2 4
p(1)=p1 ，y 取第二个值的概率p(2)=p2 -p1，y 取第三个值的概率 p(3)=1- p2 。它们的截距不同，斜率相同，所以是J-1条平行直线 族。多值因变量logistic回归模型要求进行数据的平行性检验。
• 平行性检验（只适用于位置模型/位置参数/斜率系数）
• 当因变量维多值变量时，模型包含多个回归方程。Logistic回 归分析要求这多个回归方程中自变量的系数是相等的。因此 需要做平行行检验，也称为比例比数假设检验（test fo the proportional odds assumption），使用的方法是计分检验法。 当P>a时，接受平行的原假设。否则，应该将因变量的某些 值进行合并，减少因变量的取值个数，使得多值变量logistic 回归模型平行性成立。还可以尝试其他链接函数。
• 与名义多分类因变量有所不同，定性有序多分类因变量采用 累积logit模型，该模型可利用有序这一特点，得到比基线类别有更简单解释的模型。
• Y的累积概率是指Y落在一个特定点的概率，对结果为类别j 时，其累积概率为：
p ( Y jx ) p 1 p 2 p j, k ) 1
• Logistic回归
因变量
二项Logistic回归
多项Logistic回归
有序回归 Probit回归
第14章 有序回归
（有序多分类因变量Logistic回归）
• 14.1 有序回归的基本思想 • 14.2 有序回归的案例分析
14.1 有序回归的基本思想
• 研究中常遇到反应变量为有序多分类（k>2）的资料，如城 市综合竞争力等级、满意度等可以划分为低、中、高。
• 根据上述公式，可以分别求出：
• 由上述建立的模型可以看出，这种模型实际上是依次
将反应变量按不同的取值水平分割成两个等级，对这
两个等级建立反应变量为二分类的Logistic 回归模型。
不管模型中反应变量的分割点在什么位置，模型中各
自变量的系数都保持不变，所改变的只是常数项。此
时求出的OR 值表示自变量每改变一个单位，反应变量
1,当 jk
J等级分为两类：{1,,j } 与 { j+1,,k}
在这两类的基础上定义的 logit 表示:属于后 k-j 个等级的累积 概率与前j个等级的累积概率的优势的对数，故该模型称为累 积优势模型 (cumulative odds model)。
第一个模型表示了y 取第一个值的概率p1与x的关系；第二个模 型表示了y 取前两个值的累积概率p2与x的关系。这两个模型的 常数项不同，回归系数完全相同的。 y 取第一个值的概率
21x 12x2 kxk
lo i[tp g (y 3 ) ]lo i(tp g 1 p 2 p 3 ) l n 1 p (1 p 1 p 2 p 2 p 3 p 3 ) l n p 1 p p 2 4 p 3
31 x 12 x 2 kx k
张文彤版本的常数项 前均为负号
• 累积概率的模型并不利用最后一个概率，因为它必然等于1
14.1 有序回归的基本思想
lo i(tp g j) l n 1 p p jj j1 x 12 x 2 n x n
pj = p(y≤j | x)，它表示 y 取前 j 个值的累积概率。
累积概pj率函p数(y：jx) 1 eexx p jp j( (x )x),当 1jk1
提高一个及一个以上等级的比数比。 ORexp(i)
• 张文彤认为，这里拟合的模型中常数项之前的符号应
当是“负号”，原因在于此处的常数项正好表示低级
别和高级别相比的情况，且必然有
， 但由
于研究者主要关心的是各参数（系数）的大小，因此
这种差异影响不大。并且由SPSS给出的系数无需再添
加符号。
• 某大学医院外科采用两种不同的绷带和两种不同的包扎 方式进行腿溃疡的治疗处理。治疗的结果分三种：不愈、 有效和痊愈。试分析治疗方法对治疗效果的影响。
• 如果各种连接函数都无法满足平行性假定，则需要考虑回归 系数是否会随着分割点而发生改变。此时最好使用无序多分 类的Logistic 回归进行模型拟合，然后再根据系数估计值考 虑如何进行处理。
• 以4 水平的反应变量为例，假设反应变量的取值为1 、2 、3 、 4 ，相应取值水平的概率为p1、p2、p3、p4，则此时进行 Logit 变换的分别为p1、p1+p2、p1+p2 +p3，对k 个自变量拟 合三个模型如下:
• 设因变量 y 表示治疗效果，0=不愈、1=有效、2=痊愈。 设自变量x1表示绷带种类，自变量 x2 表示包扎方式。
• 对于多值因变量模型，平行性假设决定了每个自变量的 OR值对于前k-1个模型是相同的。例如，变量x1的 OR=5.172，它表示使用第一种绷带治愈腿溃疡的可能性 是使用第二种绷带的5.172倍；它也表示使用第一种绷带 至少有效的可能性是使用第二种绷带的5.172倍。
多元回归中的几种重要模型
• 第一部分：多重共线情况的处理
– 第10章 岭回归分析（ Ridge Regression ）
• 第二部分：自变量中含定性变量的处理 – 第11章 自变量中含有定性变量的回归分析
• 第三部分：因变量中含有定性变量情况的处理 – 第12章 二项Logistic回归 – 第13章 多项Logistic回归 – 第14章 （等级回归分析） – 第15章 Probit回归 – 第16章 最佳尺度回归
14.1 有序回归的基本思想
• 有序回归模型的类型：
当定性因变量y取k个顺序类别时，记为1，2，…，k，这 里的数字1，2，…，k仅表示顺序的大小。