高中数学第二章变化率与导数及导数的应用实际问题中导数的意义学案北师大版选修1-1
2020高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 导数的四则运算法则教案1 北师大版选修1-1
导数的四则运算法则一、教学目标：掌握八个函数求导法则及导数的运算法则并能简单运用.二、教学重点：应用八个函数导数求复杂函数的导数..教学难点：商求导法则的理解与应用.三、教学过程：（一）新课1．基本初等函数的导数公式（见教材）2．导数运算法则：（1）．和（或差）的导数法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即(u ±v )'＝u '±v '．例1 求y ＝x 3＋sin x 的导数．解：y'＝(x 3)'＋(sin x )' ＝3x 2＋cos x ．例2 求y ＝x 4－x 2－x ＋3的导数．解：y'＝4x 3 －2x －1．（2）．积的导数法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即 (uv )'＝u 'v ＋uv '．由此可以得出 (Cu )'＝C 'u ＋Cu '＝0＋Cu '＝Cu ' ．也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即 (Cu )'＝Cu ' ． 例3 求y ＝2x 3－3x 2＋5x －4的导数．解：y'＝6x 2－6x ＋5．例4 求y ＝(2x 2＋3) (3x －2) 的导数．解：y'＝(2x 2＋3)'(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)'＝4x (3x －2)＋(2x 2＋3)·3＝18x 2－8x ＋9． 或：692623-+-=x x x y，9418'2+-=x x y练习1．填空：⑴ [(3x 2＋1)(4x 2－3)]'＝( 6x )(4x 2－3)＋ (3x 2＋1)( 8x )；⑵ (x 3sin x )'＝( 3 )x 2·sin x ＋x 3· ( cos x )．2．判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正：[(3＋x 2)(2－x 3)]'＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)．[(3＋x 2)(2－x 3)]'＝2x (2－x 3)－3x 2(3＋x 2)．3．求下列函数的导数：⑴ y ＝2x 3＋3x 2－5x ＋4； ⑵ y ＝ax 3－bx ＋c ； ⑶ y ＝sin x －x ＋1；（4） y ＝(3x 2＋1)(2－x )； （5） y ＝(1＋x 2)cos x ； （6）x x y x 2log 3cos 2-= 例5． 已知函数f (x )＝x 2(x －1)，若f ' (x 0)＝f (x 0)，求x 0的值．（3）商的导数例6．求下列函数的导数（1）x x y tan = （2）xx y cos 1sin += （3）x x y 2log sin = 练习：求下列函数的导数（1）32521xx x y +-= （2）x x x y cos tan -= 例7．求函数x x x y cos sin =的导数思考：设 f (x )＝x (x ＋1) (x ＋2) … (x ＋n )，求f '(0)．练习. 函数f (x )＝x (x －1) (x －2)(x －3) …(x －100)在x ＝0处的导数值为( )A. 0B. 1002C. 200D. 100!（三）课 堂 小 结1．和（或差）的导数 (u ±v )'＝u '±v '．2．积的导数 (uv )'＝u 'v ＋uv '．（四）课 后 作 业。
2020-2021学年北师大版数学选修1-1学案：4.2.1 实际问题中导数的意义 Word版含解析
§2导数在实际问题中的应用2．1实际问题中导数的意义授课提示：对应学生用书第1页实际问题中导数的意义自变量x 原函数f(x)导函数f′(x)时间路程速度长度质量线密度时间功功率时间降雨量降雨强度产量生产成本边际成本[疑难提示]利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．[练一练]1．若一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s＝s(t)，当s′(t)＝0时，则()A．物体做匀加速运动B．物体做匀减速运动C．物体做变速运动D．物体处于静止状态解析：∵v＝s′(t)＝0，∴物体处于静止状态．故选D.答案：D2．某收音机制造厂管理者通过对上午班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝________，它的实际意义为________________．解析：∵Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，∴Q′(2)＝36.答案：36台/小时10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时授课提示：对应学生用书第4页探究一 导数在物理学中的应用[典例1] 一个电路中，流过的电荷量Q (单位：C)关于时间t (单位：s)的函数为Q (t )＝3t 2－ln t .(1)求当t 从1变到2时，电荷量Q 关于t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求Q ′(2)，并解释它的实际意义．[解析] (1)当t 从1变到2时，电荷量从Q (1)变到Q (2)，此时电荷量关于时间t 的平均变化率为Q (2)－Q (1)2－1＝3×22－ln 2－(3×12－ln 1)1≈8.31，它表示从t ＝1 s 到t ＝2 s 这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31 C ，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A.(2)Q ′(t )＝6t －1t ，Q ′(2)＝11.5，它的实际意义是，在t ＝2 s 这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5 C ，也就是这一时刻内电路的电流为11.5 A.弄清平均变化率及导数的实际意义，记准基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解决该类问题的关键．1．某质点的运动方程为s ＝s (t )＝2t 2＋3t ，其中s 是位移(单位：m)，t 是时间(单位：s)． (1)求t 从1 s 变到3 s 时，位移s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求s ′(1)，s ′(2)，并解释它们的实际意义．解析：(1)t 从1 s 变到3 s 时，s 关于t 的平均变化率为Δs Δt ＝s (3)－s (1)3－1＝27－53－1＝11(m/s)．它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m. (2)根据导数公式表和导数的运算法则，可得s ′(t )＝4t ＋3， 则s ′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s ′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．s ′(1)和s ′(2)分别表示t ＝1 s 和t ＝2 s 时，位移s 关于时间t 的瞬时变化率，即t ＝1 s 和t ＝2 s 时的瞬时速度．探究二 工作效率问题[典例2] 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y (单位：g)是工作时间x (单位：h)的函数，设这个函数表示为y ＝f (x )＝x 220＋4x .(1)求x 从1 h 变到4 h 时，y 关于时间x 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f ′(1)，f ′(4)，解释它的意义． [解析] (1)当x 从1 h 变到4 h 时， 产量y 从f (1)＝8120g 变到f (4)＝17620g ，此时平均变化率为f (4)－f (1)4－1＝17620－81203＝1912(g/h)，它表示从x ＝1 h 到x ＝4 h 这段时间这个人平均每小时生产1912 g 产品．(2)f ′(x )＝x 10＋2x，于是f ′(1)＝2110 g/h ，f ′(4)＝75 g/h ，f ′(1)和f ′(4)分别表示在第1 h 和第4 h 时刻这个人每小时生产产品2110 g和75g.1．工作效率即产量对时间t 的导数．解决该类问题时要正确表示出工作时间与产品数量之间的函数关系式，然后利用相应的求导公式及法则解决．2．由平均变化率和瞬时变化率的计算公式可知它们有时为负值或零，这时表示函数值减小或不变，解释导数的实际意义时要注意用词的不同．2．某考生在参加2015年高考数学考试时，其解答完的题目数量y (单位：道)与所用时间x (单位：分钟)近似地满足函数关系y ＝2x .(1)求x 从0分钟变化到36分钟时，y 关于x 的平均变化率； (2)求f ′(64)，f ′(100)，并解释它的实际意义．解析：(1)x 从0分钟变化到36分钟，y 关于x 的平均变化率为： f (36)－f (0)36－0＝1236＝13. 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完13道题．(2)∵f ′(x )＝1x，∴f ′(64)＝18，f ′(100)＝110.它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答18和110道题．3．东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c 元与生产量x 台之间的关系式为c (x )＝－2x 2＋7 000x ＋600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c ′(1 000)与c ′(1 500)，并说明它们的实际意义． 解析：(1)产量为1 000台时的总利润为c (1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)， 平均利润为c (1 000)1 000＝5000.6(元)．(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为c (1 500)－c (1 000)1 500－1 000＝6 000 600 －5 000 600500＝2 000(元)．(3)∵c ′(x )＝(－2x 2＋7 000x ＋600)′＝－4x ＋7 000， ∴c ′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)， c ′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)，它指的是当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元． 而当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元．探究三 导数在经济生活中的应用[典例3] 某机械厂，生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.(1)求日产量75件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由75件提高到90件时，求总成本的平均改变量； (3)求C ′(75)，并解释它的意义． [解析] (1)日产量75件时的总成本为 C (75)＝7 956.25(元)，平均成本为C (75)/75≈106.08(元/件)．(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量ΔC Δx ＝C (90)－C (75)90－75＝101.25(元/件)．(3)C ′(x )＝12x ＋60，∴当x ＝75时，C ′(75)＝97.5(元)．实际意义为：当日产量为75件时，再多生产1件产品，成本增加97.5元，也就是日产量为75件时，成本增加的速度为97.5元/件．4．某食品厂生产某种食品的总成本C (单位：元)和总收入R (单位：元)都是日产量x (单位：kg)的函数，分别为C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2，R (x )＝7x ＋0.01x 2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg 时的边际利润，并说明其经济意义．解析：(1)根据定义知，总利润函数为 L (x )＝R (x )－C (x )＝5x －100－0.01x 2， 所以边际利润函数为L ′(x )＝5－0.02x .(2)当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg 时，边际利润分别为L ′(200)＝1， L ′(250)＝0，L ′(300)＝－1.其经济意义是：当日产量为200 kg 时，每增加1 kg ，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg 时，每增加1 kg ，则总利润无变化；当日产量为300 kg 时，每增加1 kg ，则总利润减少1元．由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．5．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x(80<x <100)．(1)求c ′(x )；(2)求c ′(90)，c ′(98)，并解释它们的实际意义． 解析：(1)c ′(x )＝⎝⎛⎭⎫5 284100－x ′＝(5 284)′×(100－x )－5 284×(100－x )′(100－x )2＝0×(100－x )－5 284×(－1)(100－x )2＝ 5 284(100－x )2.(2)c ′(90)＝ 5 284(100－90)2＝52.84(元/吨)，c ′(98)＝5 284(100－98)2＝1 321(元/吨)．因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率，所以纯净度为90 %时，纯净度每提高1个百分点，每吨水的费用就要增加52.84元．纯净度为98 %时，纯净度每提高1个百分点，每吨水的费用就要提高1 321元．因物理意义理解不清致误[典例]在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是h(t)＝－4.9 t2＋6.5 t＋10(单位：m)，求高台跳水运动中运动员在t＝1 s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．[解析]h′(t)＝－9.8 t＋6.5，所以h′(1)＝－3.3.故运动员在t＝1 s时的瞬时速度是－3.3 m/s，此时运动员向下以3.3 米/秒的速度运动．[错因与防范](1)对该问题求得当t＝1 s时的瞬时速度为－3.3 m/s，由于对其中“负”号的物理意义理解不明，易回答为正值而出错．(2)瞬时速度既有大小也有方向，如果是负值，不能回答为正值，它表明了运动速度的大小和方向．(3)利用导数解决物理问题，关键是要熟悉相关的物理概念、公式，并联系导数的物理意义进行求解．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
北师大版高中数学选修高二第二章变化率与导数变化的快慢与变化率导学案
第二章 变化率与导数第一节 变化的快慢与变化率学习目标1．理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某个区间上变化的快慢；3．会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢；4．理解瞬时速度，线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题；学法指导平均变化率、瞬时变化率是本节中的重要概念，是学习导数的前提和基础，要通过例题讲解学会求平均变化率和瞬时变化率，理解平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系，并理解平均变化率、瞬时变化率的几何意义。
知识点归纳1．平均变化率对于函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，它的平均变化率为： 。
通常我们把自变量的变化12x x -称作： ，记为： 。
函数值的变化()()21x f x f -称作： ，记为： ，这样，函数的平均变化率就可以表示为： ；平均变化率的几何意义是： 。
2．瞬时变化率对于一般的函数，在自变量x 从1x 变到2x 的过程中，若设,12x x x -=∆ ()()12x f x f y -=∆，则函数的平均变化率是 ，而当 时，平均变化率就趋于函数在 点的 ；瞬时变化率的几何意义是： 。
重难点剖析重点：理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；难点：对平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系的正确理解； 剖析：1．平均变化率在理解平均变化率时应注意以下几点：（1）1212)()(x x x f x f x f --=∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(11式子中的f x ∆∆,的值可正，可负，但x ∆的值不能为0，f ∆的值可以为0，若函数()x f 为常函数时，0=∆f 。
（2）平均变化率是指函数值的“增量”f ∆与相应自变量的“增量” x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。
北师大版高中数学选修高二第二章变化率与导数小结导学案
第二章章末小结知识框图本章知识综述1.要注意结合实例理解导数概念的实质，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程，注意当切线平行于y 轴时，这时导数不存在，此时切线方程为0x x =。
2.熟记基本初等函数的求导公式和四则运算法则，并能熟练运用。
注意，有时先化简后求导会给解题带来方便，因此观察函数的特点，对函数进行适当的变形是优化解题过程的关键。
3.对复合函数求导，关键在于选取合适的中间变量。
弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆。
最后将中间变量代入，换成关于自变量的函数。
典例分析题型一 利用导数的定义解题对于导数的概念，要明确定义的基本内容和0→∆x 的意义，函数值的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆能够趋于一个固定的值，即x y x ∆∆→∆0limxx f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim000。
在用定义求导数时，必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形。
例1 如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（ ） A ． 6m/s B ．18m/s C ．54m/s D ．81m/s例2设4)3(='f ,()()为hf h f h 233lim 0--→（ ）A ．－1B ．－2C ．－3D ．1题型二 求导数以导数的四则运算法则和复合函数的求导法则为依据，利用基本初等函数的求导公式求某些函数的导数。
求函数的导数是微积分知识的基本要求，也是高等数学知识中的重要内容。
例3 求下列函数的导数（1）x x x y +=sin ； （2）x x x y 21ln -+=;题型三 利用导数的几何意义由于函数()x f y =在),(00y x P 处的导数()0x f '表示函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率，导数()0x f '的几何意义就是曲线()x f y =在点),(00y x P 处的切线的斜率，其切线方程为：))(()(000x x x f x f y -'=-，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法求解。
北师大版数学 变化的快慢与变化率导学案 北师大版选修1-1
高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 变化的快慢与变化率导学案 北师大版选修1-1学习目标：了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度.能求出简单函数在某一点的导数(瞬时变化率)学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解一、自主学习[问题1] 一般地，函数12(),,y f x x x =是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可以用式子 表示，我们把这个式子称为函数()f x 从1x 到2x 的。
习惯用 来表示，即： 。
（注：上式中x ∆、f ∆的值可正、可负，但不能为0，()f x 为常数时，f ∆=0） [问题2] 我们把物体在某一时刻的速度称为________。
一般地，若物体的运动规律为)(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ∆+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即t s v x ∆∆=→∆0lim=___________________[问题3]函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 。
我们称它为函数()y f x =在0x x =处的___，记作'0()f x 或_____，即_________。
附注： ①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；②定义的变化形式：()x f '=x x x f x f x y x x ∆∆--=∆∆→∆→∆)()(lim )(lim0000； ()x f '=00)()(lim )(lim 00x x x f x f x y x x x x --=∆∆→→；()x f '=x x f x x f x ∆--∆-→∆-)()(lim 000；0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=- ③求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。
高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 实际问题中导数的意义学案 北师大版选修1-1
实际问题中导数的意义一、学习要求：导数在实际生活中的应用二、学习目标能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题，体会导数在解决实际生活问题中的作用。
三、重点难点用导数方法解决实际生活中的问题四、要点梳理解应用题的基本程序是：读题 建模 求解 反馈（文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答）利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:① 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =；注意x 的范围。
② 利用导数求函数()f x 的极值和函数的最值；给出数学问题的解答。
③ 把数学问题的解答转化为实际问题的答案。
五、基础训练：1． 周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________。
2 某产品的销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数：2117y x =，生产总成本2y （万元）也是产量x （千台）的函数：3222(0)y x x x =->，为使利润最大，应生产产品________台。
3 一轮船以v 千米/时的速度航行，每小时用煤30.30.001v +吨，____v =千米/时，才能使轮船航行每千米用的煤最少。
4 设正三棱柱的体积为v ，那么其表面积最小时的底面边长为________。
5 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是：21400(0400)()280000(400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，则总利润最大时，每年生产的产品是_______ 个单位。
六、典型例题例1 用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问：该长方体长，宽，高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？例2 经过点(1,1)M 作直线l 分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于,A B 两点，设直线l 的斜率为k ，OAB ∆的面积为S（1） 求S 关于k 的函数关系式()S f k =；（2） 求S 的最小值以及相应的直线l 的方程。
2014-2015学年高二数学(北师大版选修1-1)教案第二章变化率与导数及导数的应用《导数在实际问题中的应用》
导数在实际问题中的应用教学目的：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -==)600(<<x ．23()602x V x x '=-)600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、xx x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()Vs R R'=-+4πR=0解得，，从而h=2V R π即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
高二数学北师大版选修学案：第二章变化率与导数及导数的应用《计算导数》
计算导数
学习目标：能够用导数的定义求几个常用初等函数的导数。
一、自学、思考、练习
忆一忆：
1、函数在一点处导数的定义；
2、导数的几何意义；[
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的步骤。
二、参与学习
试一试：
1、你能推导下列函数的导数吗？
（1）()f x c =
（2）()f x x =
（3）2()f x x =
（4）
1()f x x =
（5
）()f x =
2、在同一坐标系中画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义求出它们的导数
（1）从图象看它们的导数分别表示什么；
（2）这三个函数中，哪个增加的最快，哪个增加的最慢；
（3）函数(0)y kx k =≠的导数是什么，它的增减快慢与什么有关。
3、已知曲线x x y 1+
=上一点)25,2(A ，用斜率定义求：
（1）点A 的切线的斜率 （2）点A 处的切线方程[
三 、达标训练：
1.如果函数()5f x =，则'(1)f =（ ）
A. 5
B. 1
C. 0
D.不存在
2.曲线
221y x =-+在点（0，1）的切线斜率是（ ） A.-4 B.0 C.2 D. 不存在
3.曲线212y x =在点1(1,)2处切线的倾斜角为（ ）
A. 4π-
B. 1
C. 4π
D. 54π 4.求函数
323)(3-+-=x x x f 的导数。
四、课后作业：
1.求双曲线
1y x =过点1(2,)2的切线方程。
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实际问题中导数的意义
一、学习要求：
导数在实际生活中的应用
二、学习目标
能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题，体会导数在解决实际生活问题中的作用。
三、重点难点
用导数方法解决实际生活中的问题
四、要点梳理
解应用题的基本程序是：
读题 建模 求解 反馈
（文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答）
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:
① 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间
的函数关系()y f x =；注意x 的范围。
② 利用导数求函数()f x 的极值和函数的最值；给出数学问题的解答。
③ 把数学问题的解答转化为实际问题的答案。
五、基础训练：
1． 周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________。
2 某产品的销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数：2117y x =，生产总成本2y （万
元）也是产量x （千台）的函数：3222(0)y x x x =->，为使利润最大，应生产产品________
台。
3 一轮船以v 千米/时的速度航行，每小时用煤3
0.30.001v +吨，____v =千米/时，才能使轮船航行每千米用的煤最少。
4 设正三棱柱的体积为v ，那么其表面积最小时的底面边长为________。
5 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知
总收益R 与年产量x 的关系是：
21400(0400)()280000(400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩
，则总利润最大时，每年生产的产品是_______ 个单位。
六、典型例题
例1 用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问：该长方体长，宽，高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
例2 经过点(1,1)M 作直线l 分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于,A B 两点，设直线l 的斜率为k ，O A B ∆的面积为S
（1） 求S 关于k 的函数关系式()S f k =；
（2） 求S 的最小值以及相应的直线l 的方程。
变式：有一隧道既是交通拥挤地段又是事故多发地段。
为了保证安全，交通部门规定：隧道内的车距()d m 正比于车速(/)v k m h 的平方与自身长()l m 的积，且车距不得小于半个车身长。
而当车速为60(/)k m h 时，车距为1.44个车身长。
在交通繁忙时，应规定车速为多少时可以使隧道的车流量最大。
例 3 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知20,10A B k m C B k m ==，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,,A O B O O P ，设排污
管道的总长为y k m 。
（1） 按下列要求写出函数关系式：
①设(),B A O ra d θ∠=将y 表示成θ的函数关系式；
②设()o p x k m =，将y 表示成x 的函数关系式。
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
七、反思感悟
八、千思百练：
1． 有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为________2m 。
2 一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀率为30.3/m s ，则其半径增至1.5m 时，半径的增长率是________。
3 容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料
4 一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，当圆半径与矩形的高的比为________时，窗户周长最小。
5 若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为________。
6 以长为10的线段A B 为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为________。
7用边长为48c m 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________。
8将水注入圆锥形容器中，其速度为34/m in m ，设圆锥形容器的高为8m ，顶口直径为6m ，求当水深为5m 时，水面上升的速度。
A B
C D P O
9 某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的关系是：
3()432x
p x N x +
=∈+ （1）求该厂的日盈利额T （元）用日产量x （件）表示的函数；
（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
10统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/时）的函数解析式可以表示为3138(0120)12800080y x x x =
-+<≤，已知甲乙两地相距
100千米。
（1） 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2） 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？。