高中数学第二章变化率与导数及导数的应用实际问题中导数的意义学案北师大版选修1-1

实际问题中导数的意义

一、学习要求：

导数在实际生活中的应用

二、学习目标

能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题，体会导数在解决实际生活问题中的作用。

三、重点难点

用导数方法解决实际生活中的问题

四、要点梳理

解应用题的基本程序是：

读题 建模 求解 反馈

（文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答）

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:

① 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间

的函数关系()y f x =；注意x 的范围。

② 利用导数求函数()f x 的极值和函数的最值；给出数学问题的解答。

③ 把数学问题的解答转化为实际问题的答案。

五、基础训练：

1． 周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________。

2 某产品的销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数：2117y x =，生产总成本2y （万

元）也是产量x （千台）的函数：3222(0)y x x x =->，为使利润最大，应生产产品________

台。

3 一轮船以v 千米/时的速度航行，每小时用煤3

0.30.001v +吨，____v =千米/时，才能使轮船航行每千米用的煤最少。

4 设正三棱柱的体积为v ，那么其表面积最小时的底面边长为________。

5 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知

总收益R 与年产量x 的关系是：

21400(0400)()280000(400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩

，则总利润最大时，每年生产的产品是_______ 个单位。

六、典型例题

例1 用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问：该长方体长，宽，高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

例2 经过点(1,1)M 作直线l 分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于,A B 两点，设直线l 的斜率为k ，O A B ∆的面积为S

（1） 求S 关于k 的函数关系式()S f k =；

（2） 求S 的最小值以及相应的直线l 的方程。

变式：有一隧道既是交通拥挤地段又是事故多发地段。为了保证安全，交通部门规定：隧道内的车距()d m 正比于车速(/)v k m h 的平方与自身长()l m 的积，且车距不得小于半个车身长。而当车速为60(/)k m h 时，车距为1.44个车身长。在交通繁忙时，应规定车速为多少时可以使隧道的车流量最大。

例 3 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知20,10A B k m C B k m ==，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,,A O B O O P ，设排污

管道的总长为y k m 。

（1） 按下列要求写出函数关系式：

①设(),B A O ra d θ∠=将y 表示成θ的函数关系式；

②设()o p x k m =，将y 表示成x 的函数关系式。

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

七、反思感悟

八、千思百练：

1． 有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为________2m 。 2 一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀率为30.3/m s ，则其半径增至1.5m 时，半径的增长率是________。

3 容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料

4 一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，当圆半径与矩形的高的比为________时，窗户周长最小。

5 若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为________。

6 以长为10的线段A B 为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为________。 7用边长为48c m 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________。

8将水注入圆锥形容器中，其速度为34/m in m ，设圆锥形容器的高为8m ，顶口直径为6m ，求当水深为5m 时，水面上升的速度。

A B

C D P O

9 某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的关系是：

3()432x

p x N x +

=∈+ （1）求该厂的日盈利额T （元）用日产量x （件）表示的函数；

（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？

10统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/时）的函数解析式可以表示为3138(0120)12800080y x x x =

-+<≤，已知甲乙两地相距

100千米。

（1） 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（2） 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？