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安全系统工程第六章灰色理论和安全系统—中国石油大学机电工程学院
h1
bi
x (1) i1
i1
记作GM(n,h) ，其中的 n 表示微分方程的阶数，h 表示变量的个数。不同的 n 、h
表示不同的系统因素关系，其描述功能是相当强的。常用的灰色模型为 GM (1,1),GM (2,1), GM(0,2),GM(1,2),GM(2,2),GM(1,h) 等，具体见 P162-163。
大气能见度和大气污染关系的分析、煤矿百万吨死亡率的影响因素分析、月均千
人负伤率的影响因素分析、影响环境躁声变化的优势分析等均属于灰色系统因素
分析模型。安全综合评价、水质评价、大气环境质量评价、矿井通风系统方案优
选、系统危险分级等则可建立灰色系统行为分析模型。
2020/8/14
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例题：表 6－1 是某机修厂部分统计数据，据关联度计算公式，可得关联序 为： r2 r4 r1 r3
第六章 灰色理论和安全系统
❖ 主要内容 §6-1 灰色理论概述 §6-2 灰色理论在安全系统领域的应用
❖ 学习方法建议 理解灰现象、灰含义，安全系统的灰色特征，
了解灰色理论在安全系统工程中的应用领域。
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§6-1 灰色理论概述
一﹑灰含义和灰现象 二、灰色系统
三、安全系统的灰色特征
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10
根据以定性分析为前提、定 量分析为后盾的思想，灰色系统 理论提出了五步建模方法：语言 模型、网络模型、量化模型、动 态模型、优化模型。
基本的灰色模型在安全系统 中可得到广泛的应用，如用灰色 模型研究通风参数在巷道空间中 的分布规律，既可节省测量工作 量，又可为通风设计提供依据。 在安全系统的预测、决策、控制 中，都要用到基本的灰色模型。
灰色理论课件
（2）应从事物的内部，从系统内部结 构和参数去研究系统，灰色系统的内涵 更为明确具体。
灰色理论
系统的主要观点
（3）社会、经济等系统，一般会存在随 机因素的干扰，这给系统分析带来了很大困 难，但灰色系统理论把随机量看作是在一定 范围内变化的灰色量，尽管存在着无规则的 干扰成分，经过一定的技术处理总能发现它 的规律性。
灰色理论
系统的军事应用
目标层
青年
军人
心理
素质
准则层
智力 素质
意志 素质
人格 素质
情绪 素质
军人 品质
指标层
观察 记忆 思维 想象 操作 自觉 果断 坚韧 自制 自尊 自信 自控 交往 承受 适应 调节 修复 生死 苦乐 名利 能力 能力 能力 能力 能力 性 性 性 性 性 心 能力 能力 能力 能力 能力 能力 观 观 观
灰色系统理论
灰色理论
系统的理论产生 系统的主要观点 系统的基本方法 系统的军事应用
灰色理论
系统的理论产生
1982年，北荷 兰出版公司出版 的《系统与控制 通讯》杂志刊载 了我国学者邓聚 龙教授的第一篇 灰色系统论文“灰 色系统的控制问 题”。
灰色理论
系统的理论产生
基本概念： 以“部分信息已知，部分信息未知”的“小
（4）灰色系统用灰色数、灰色方程、灰 色矩阵、灰色群等来描述，突破了原有方 法的局限，更深刻地反映了事物的本质。
灰色理论
系统的基本方法
（1）灰色关联分析 根据序列曲线集合形状的相似程度来判
断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列 之间关联度就越大，反之就越小。
某地区农业总产值X0、种植业总产值X1、 畜牧业总产值X2和林果业总产值X3，从 1997~2002年共6年的统计数据如下：
灰色理论
系统的主要观点
（3）社会、经济等系统，一般会存在随 机因素的干扰，这给系统分析带来了很大困 难，但灰色系统理论把随机量看作是在一定 范围内变化的灰色量，尽管存在着无规则的 干扰成分，经过一定的技术处理总能发现它 的规律性。
灰色理论
系统的军事应用
目标层
青年
军人
心理
素质
准则层
智力 素质
意志 素质
人格 素质
情绪 素质
军人 品质
指标层
观察 记忆 思维 想象 操作 自觉 果断 坚韧 自制 自尊 自信 自控 交往 承受 适应 调节 修复 生死 苦乐 名利 能力 能力 能力 能力 能力 性 性 性 性 性 心 能力 能力 能力 能力 能力 能力 观 观 观
灰色系统理论
灰色理论
系统的理论产生 系统的主要观点 系统的基本方法 系统的军事应用
灰色理论
系统的理论产生
1982年，北荷 兰出版公司出版 的《系统与控制 通讯》杂志刊载 了我国学者邓聚 龙教授的第一篇 灰色系统论文“灰 色系统的控制问 题”。
灰色理论
系统的理论产生
基本概念： 以“部分信息已知，部分信息未知”的“小
（4）灰色系统用灰色数、灰色方程、灰 色矩阵、灰色群等来描述，突破了原有方 法的局限，更深刻地反映了事物的本质。
灰色理论
系统的基本方法
（1）灰色关联分析 根据序列曲线集合形状的相似程度来判
断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列 之间关联度就越大，反之就越小。
某地区农业总产值X0、种植业总产值X1、 畜牧业总产值X2和林果业总产值X3，从 1997~2002年共6年的统计数据如下：
第一章灰色系统的概念和基本原理资料ppt课件
2
第一篇灰色系统理论论文发表
1982年邓聚龙教授的第一篇灰色系统论文在国际期刊发
表 ： “The Control problem of grey systems ”,
3
System & Control Letter 。
新兴横断学科—灰色系统理论问世
BACK
8
第一章 灰色系统的概念与基本原理
1.1灰色系统理论的产生与发展
可能用一般手段知道其质量的确切值。
22、2、、仅仅仅有有有上上上界界界的的的灰灰灰数数数
例4:
有有有上上上界界界而而而无无无下下下界界界的的的灰灰灰数数数记记记为为为(((,a, a,]a]，]，，
有上界而无下界的灰数是一类取负数但 其绝对值难以限量的灰数，是有下界而
其其其中中中aa是a是是灰灰灰数数数的的的上上上确确确界界界。。。
只知道取值范围而不知其 确切值的数 。
预计200-300亿。若年底结算存 款余额为275亿,即为真值。
例பைடு நூலகம்:
•灰数的背景信息表现不完 某成年男子的身高为一灰数；
未测量之前估计其身高约为1.8-
全。
1.9米，通过测量得到该男子身
•人们认知能力有限。
高为1.86米，即为该男子身高
的真值。
BACK
27
第一章 灰色系统的概念与基本原理
1.1 灰色系统理论的产生与发展
几种不确定性方法比较分析
项目
研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重 目标 特色
灰色系统 概率统计 模糊数学 粗糙集理论
贫信息不确定 随机不确定 认知不确定 边界不清晰
灰数集
康托集 模糊集 近似集
信息覆盖 映射
第一篇灰色系统理论论文发表
1982年邓聚龙教授的第一篇灰色系统论文在国际期刊发
表 ： “The Control problem of grey systems ”,
3
System & Control Letter 。
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8
第一章 灰色系统的概念与基本原理
1.1灰色系统理论的产生与发展
可能用一般手段知道其质量的确切值。
22、2、、仅仅仅有有有上上上界界界的的的灰灰灰数数数
例4:
有有有上上上界界界而而而无无无下下下界界界的的的灰灰灰数数数记记记为为为(((,a, a,]a]，]，，
有上界而无下界的灰数是一类取负数但 其绝对值难以限量的灰数，是有下界而
其其其中中中aa是a是是灰灰灰数数数的的的上上上确确确界界界。。。
只知道取值范围而不知其 确切值的数 。
预计200-300亿。若年底结算存 款余额为275亿,即为真值。
例பைடு நூலகம்:
•灰数的背景信息表现不完 某成年男子的身高为一灰数；
未测量之前估计其身高约为1.8-
全。
1.9米，通过测量得到该男子身
•人们认知能力有限。
高为1.86米，即为该男子身高
的真值。
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第一章 灰色系统的概念与基本原理
1.1 灰色系统理论的产生与发展
几种不确定性方法比较分析
项目
研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重 目标 特色
灰色系统 概率统计 模糊数学 粗糙集理论
贫信息不确定 随机不确定 认知不确定 边界不清晰
灰数集
康托集 模糊集 近似集
信息覆盖 映射
灰色系统分析方法.精选优秀PPT
〔1〕均值化变换：先分边求出各个序列的平均值，再 用平均值去除对应序列中的各个原始数据，所得到新 的数据列即为均质化序列。
〔2〕初值化变换：分别用同一序列的第一个数据去除 后面的各个原始数据得到新的倍数数列，即为初值化 数列。
一、灰色关联度分析
〔此处不做详细讲解：本人还没有掌握，实用性不强〕 而灰色数列GM〔2,1〕模型为单序列二阶线形动态模型，它改进了这种局限性，不仅可以预测，还可以进行动态分析。
一、灰色关联度分析
设 x1,x2, ,xN为N个因素，反响各因素变化特性
的数据列分别为 x 1 t , x 2 t , , x N t ,t 1 , 2 , ,M
因素 x j 对 x i 的关联系数定义为
i(k ) m i m x 0 k k i x n x 0 ik ik n x i k m m m iam x 0 k x a k a x x 0 x ix k a k x ix k
主要内容
一、灰色关联度分析 二、灰色GM〔1,1〕模型 三、灰色GM〔2，1〕模型 四、灰色GM〔1，N〕模型
一、灰色关联度分析
关联度是对两个系统或两个因素之间关联性大小 的度量。灰色关联度分析法是建立在灰色系统理 论根底上的一种对系统开展变化态势的定量描述。 它根据评价因素间开展态势的相似和相异程度来 确定评价因素的关联程度。 关联度分析的核心是计算关联系数和关联度。
二、灰色GM〔1,1〕模型 如上面的例子在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操作实现。 如上面的例子在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操作实现。 为两级最大差； 灰色关联度分析法是建立在灰色系统理论根底上的一种对系统开展变化态势的定量描述。 第二步：在“其他〞菜单栏中找到“灰色系统方法〞，在其箭头里找到“灰色系统分析〞 例如，时间序列〔1，3，4，7，5，9〕变化趋势不明显，对其元素进行雷杰可以生成一列趋势明显的序列〔1，2，8，15，20，29〕。 原始数据变换方法如下： 〔3〕标准化变换：先分别求出各个序列的平均值和标准差，然后将各个原始数据渐趋平均值再除以标准差，得到的数据即为标准化序列。 x(t+1)=1989033.
〔2〕初值化变换：分别用同一序列的第一个数据去除 后面的各个原始数据得到新的倍数数列，即为初值化 数列。
一、灰色关联度分析
〔此处不做详细讲解：本人还没有掌握，实用性不强〕 而灰色数列GM〔2,1〕模型为单序列二阶线形动态模型，它改进了这种局限性，不仅可以预测，还可以进行动态分析。
一、灰色关联度分析
设 x1,x2, ,xN为N个因素，反响各因素变化特性
的数据列分别为 x 1 t , x 2 t , , x N t ,t 1 , 2 , ,M
因素 x j 对 x i 的关联系数定义为
i(k ) m i m x 0 k k i x n x 0 ik ik n x i k m m m iam x 0 k x a k a x x 0 x ix k a k x ix k
主要内容
一、灰色关联度分析 二、灰色GM〔1,1〕模型 三、灰色GM〔2，1〕模型 四、灰色GM〔1，N〕模型
一、灰色关联度分析
关联度是对两个系统或两个因素之间关联性大小 的度量。灰色关联度分析法是建立在灰色系统理 论根底上的一种对系统开展变化态势的定量描述。 它根据评价因素间开展态势的相似和相异程度来 确定评价因素的关联程度。 关联度分析的核心是计算关联系数和关联度。
二、灰色GM〔1,1〕模型 如上面的例子在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操作实现。 如上面的例子在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操作实现。 为两级最大差； 灰色关联度分析法是建立在灰色系统理论根底上的一种对系统开展变化态势的定量描述。 第二步：在“其他〞菜单栏中找到“灰色系统方法〞，在其箭头里找到“灰色系统分析〞 例如，时间序列〔1，3，4，7，5，9〕变化趋势不明显，对其元素进行雷杰可以生成一列趋势明显的序列〔1，2，8，15，20，29〕。 原始数据变换方法如下： 〔3〕标准化变换：先分别求出各个序列的平均值和标准差，然后将各个原始数据渐趋平均值再除以标准差，得到的数据即为标准化序列。 x(t+1)=1989033.
灰色系统理论ok
1 3
12 (2)
12 (3)12 (4)0.551
三、广义灰色关联度 1.灰色绝对关联度 命 题 1 ： 设 系 统 行 为 序 列 Xi (xi (1), xi (2), , xi (n)) ， 记 折 线
(xi (1) xi (1), xi (2) xi (1), , xi (n) xi (1)) 为 Xi xi (1) ，令
令
si s j
n 1
(Xi0
X
j0 )dt
n
Si S j 1 ( Xi X j )dt
则
1
当
Xi0
恒在
X
0 上方，
j
si
sj
0
2
当
X
0 i
恒在
X
0 j
下方，
si
sj
0
3 当 X i0 与 X j0 相交， si s j 符号不定
对于 Si S j 不难得出类似结论。
二、灰色系统的基本原理 公理1.2.1（差异信息原理） “差异”是信息，凡信息必有差异. 公理1.2.2（解的非惟一性原理） 信息不完全、不确定的解是非惟一的. 公理1.2.3（最少信息原理） 灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有 的“最少信息”. 公理1.2.4（认知根据原理） 信息是认知的根据. 公理1.2.5（新信息优先原理） 新信息对认知的作用大于老信息. 公理1.2.6（灰性不灭原理） “信息不完全”（灰）是绝对的. 三、灰色系统理论的主要内容 主要内容包括 以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系； 以灰色序列生成为基础的方法体系； 以灰色关联空间为依托的分析体系； 以灰色模型（GM）为核心的模型体系； 以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。
灰色系统理论讲稿共67页
设原始数列为 x(0) x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n) ，令
k
x(1) (k) x(0) (i) (k 1,2, , n) i 1
（3）
则称 x(1) (k ) 为数列 x (0) 的１－次累加生成，数列
x (1) x (1) (1), x (1) (2), , x (1) (n)
• 黑色系统：一个系统的内部特性全部是未知的. • 灰色系统: 介于白色系统和黑色系统之间的.即系
统内部信息和特性是部分已知的，另一部分是未 知的.
• 客观世界中很多实际问题，其内部的结构、参 数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能 象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚， 只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。
意因子 x j X 为比较数列，则绝对差：
ij (k) xi (k) x j (k) (k 1,2, , n; j 1,2, ,l) 。
差数列为 ij ij (1), ij (2), , ij (n) ，其比较数列 x j 对参考数
列 xi 在第 k 点的灰关联为
r(xi
(k), x
• 离散、连续。
如果 是离散灰数，则有 ~ ~ A {x(k) | k K {1,2, , n}}
如果灰数 中的白化数是按区间连续分布的，则有 ~ ~ It(a,b) {[a,b], (a,b),[a,b), (a,b]}
灰色关联分析
• 分为单因子与多因子两种情况。 • 单因子
称为数列 x (0) 的１－次累加生成数列.
类似地有
k
x(r) (k) x(r1) (i) (k 1,2, , n, r 1) i 1
称为 x (0) 的 r -次累加生成.
灰色理论PPT
对误差序列。
ˆ X 0 i X 1 i X 1 i 1
ˆ 0 i X 0 i X 0 i
0 i i 0 100% X i
i 1,2,..., n
i 1,2,..., n 回总目录
0 i 0
min min X 0 k X i k 为两级最小差； i k
max max X 0 k X i k 为两级最大差；
i k
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（4）关联度
X
i
对
X
农业
商业 试求关联度。
运输业 X 3 3.4, 3.3, 3.5, 3.5 参考序列分别为 X 1 , X 2 ，被比较序列为 X 3 , X 4 ,
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解答：
以 X 1 为参考序列求关联度。 第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
X1 1, 0.9475, 0.9235, 0.9138
13 2 0.8384 13 3 0.5244 13 4 0.504
14 1 1 14 2 0.634
14 3 0.4963 14 4 0.352
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第五步：求关联度
12
1 4 12 k 0.551 4 k 1
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（2）关联度
X
0
和
ˆ 0 X
的关联度为：
1 n r k n k 1
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（3）关联系数
设 X 0 X 0 1 , X 0 2 ,..., X 0 n
灰色预测理论详解PPT学习教案
第5页/共59页
灰色系统分析法、数理统计法及模糊法对比
内涵 依据 手段 特点 要求 目标 信息准则
灰色系统 小样本不确定
信息覆盖 生成
少数据 允许任意分布
现实规律 最少信息
数理统计方法 大样本不确定
概率统计 统计 多数据
要求典型分布 历史统计规律
无限信息
模糊法 界限不确定 隶属度函数
边界取值 经验（数据）
&= BT B 1BTY
其中，
B= 则称
z(1) (2) 1
z
(1)
(3)
1
Y n=
... ...
z
(1)
(n)
1
dx(1) ax(1) b dt
x(0)(2)
x
(
0
)
(3)
...
x
(0)
(n
)
为灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方程，也叫影子方程。
第12页/共59页
GM（1.1）模型
模型符号含义 GM(1，1) →Grey Model(1阶方程，1个变量)
GM(1，1)建模过程 令X（0）为GM(1，1)为原始建模序列： X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),……,x(0)(n)) 其中x(0)(k)≥0,k=1,2,...,n X（1） 为X（0）累加生成序列 X(1)=(x(1)(1), x(1)(2),……,x(1)(n))
一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n))
其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1)
累减生成的作用 累减生成可将累第加11生页成/共还59页原为非生成数列,在建模方 程用来获得增量信息。
灰色系统分析法、数理统计法及模糊法对比
内涵 依据 手段 特点 要求 目标 信息准则
灰色系统 小样本不确定
信息覆盖 生成
少数据 允许任意分布
现实规律 最少信息
数理统计方法 大样本不确定
概率统计 统计 多数据
要求典型分布 历史统计规律
无限信息
模糊法 界限不确定 隶属度函数
边界取值 经验（数据）
&= BT B 1BTY
其中，
B= 则称
z(1) (2) 1
z
(1)
(3)
1
Y n=
... ...
z
(1)
(n)
1
dx(1) ax(1) b dt
x(0)(2)
x
(
0
)
(3)
...
x
(0)
(n
)
为灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方程，也叫影子方程。
第12页/共59页
GM（1.1）模型
模型符号含义 GM(1，1) →Grey Model(1阶方程，1个变量)
GM(1，1)建模过程 令X（0）为GM(1，1)为原始建模序列： X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),……,x(0)(n)) 其中x(0)(k)≥0,k=1,2,...,n X（1） 为X（0）累加生成序列 X(1)=(x(1)(1), x(1)(2),……,x(1)(n))
一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n))
其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1)
累减生成的作用 累减生成可将累第加11生页成/共还59页原为非生成数列,在建模方 程用来获得增量信息。
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i ( k )
min min X
i
k X k max max X k X k k i k X 0 k X i k max max X 0 k X i k i k
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
X m k X m 1 i
i 1 k
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• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化
越多，累加次数足够大后，可认为时间序
列已由随机序列变为非随机序列。
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用
指数曲线逼近。
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（1）数据处理方式
灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。 累加
累加是将原始序列通过累加得到生成列。
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成
列的第一个数据，将原始序列的第二个
数据加到原始序列的第一个数据上，其
和作为生成列的第二个数据，将原始序
列的第三个数据加到生成列的第二个数
累减 将原始序列前后两个数据相减得到累 减生成列 • 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列
还原为非生成列，在建模中获得增量信息。
一次累减的公式为：
X 1 k X 0 k X 0 k 1
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三、关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度 的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。 （1）关联系数
k
ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5； ρ越大, 分辨率 越小. ρ越小, 分辨率越大. 对单位不一致，初值不同的序列，在计算相关系数前 应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第 一个数据。
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（2）关联度
X
0
和
ˆ 0 X
的关联度为：
1 n r k n k 1
0 0 0 0 ˆ ˆ X k X k max max X k X k
k k k
(k )
0 0 0 0 ˆ ˆ min min X k X k max max X k X k
原始数据进行生成处理来寻找系统变动
的规律，生成有较强规律性的数据序列，
然后建立相应的微分方程模型，从而预
测事物未来发展趋势的状况。
回总目录 回本章目录
• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
回总目录 回本章目录
回总目录 回本章目录
（3）关联系数
设 X 0 X 0 1 , X 0 2 ,..., X 0 n
X
i
X
i
1 , X 2 ,..., X n ,
i i
i 1,, m
则比较数列 X i 对参考数列 X 0 的关联系数定义为：
（3）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测
即用观察到的反映预测对象特征的时 间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。 • 畸变预测
即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区 内。
回总目录 回本章目录
• 系统预测
通过对系统行为特征指标建立一组相互 关联的灰色预测模型，预测系统中众多变 量间的相互协调关系的变化。
确定的关系。
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（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定
信息的系统进行预则，就是对在一定范围内
变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
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• 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋
势的相异程度，即进行关联分析，并对
10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界
来说是一无所知的，只能通过它与外界的
联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不
据上，其和作为生成列的第三个数据，
按此规则进行下去，便可得到生成列。
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记原始时间序列为：
X 0 X 0 1, X 0 2, X 0 3,... X 0 n
生成列为：
X 1 X 1 1, X 1 2, X 1 3,... X 1 n
设 X 0 X 0 1 , X 0 2 ,..., X 0 n { X 0 k , k 1, n 0的关联系数定义为： 则比较数列 X
ˆ X ˆ 1 , X ˆ 2 ,..., X ˆ n { X ˆ k , k 1,, n} X
• 拓扑预测
将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻 找该定值发生的所有时点，并以该定值为 框架构成时点数列，然后建立模型预测该 定值所发生的时点。
回总目录 回本章目录
二、生成列 为了弱化原始时间序列的随机性，在 建立灰色预测模型之前，需先对原始时间
序列进行数据处理，经过数据处理后的时
间序列即称为生成列。
回总目录 回本章目录
式中：
ˆ 0 k X 0 k X
k
ˆ 0 第k个点 的绝对误差； 为X 0 和 X
ˆ 0 k X 0 k 为两级最小差； min min X
ˆ 0 k X 0 k 为两级最大差； max max X