控制系统的状态空间分析

第八章 控制系统的状态空间分析

一、状态空间的基本概念

1. 状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。

2. 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了0t t =时刻

这组变量的值())()()

(00201t x t x t x n 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ，则系

统在0t t ≥任何时刻())()()

(21t x t x t x n 的行为就可完全确定。

3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量，即[])()()()(21t x t x t x t x n =。

4. 状态空间 以状态变量())()()

(21t x t x t x n 为坐标的n 维空间。系统在某时

刻的状态，可用状态空间上的点来表示。

5. 状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。

6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。

二、状态空间描述（状态空间表达式）

1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式，线性定常系统状

态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性定常连续系统有

⎩

⎨

⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x

（8-1）

对于线性定常离散系统有

⎩⎨

⎧+=+=+)

()()()

()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x （8-2）

2. 状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，结构图（方框

图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z 传递函数）等其它形式的数学模型导出。

3. 状态空间描述的线性变换及规范化（标准型）

系统状态变量的选择不是唯一的，状态变量选择不同，状态空间描述也不一样。利用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。

三、传递函数矩阵及其实现

1. 传递矩阵)(s G ：

多输入多输出系统的输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的传递关系，称为传递矩阵)(s G ，即

)

()

()(s U s Y s G =

（8-3） 式中：)(s U ——系统的输入向量

)(s Y ——系统的输出向量

传递函数矩阵与多输入多输出系统状态空间描述的关系是：

D B A I C G +-=-1)()(s s

（8-4）

上式中的A ，B ，C ，D 即为状态空间描述{}D C,B,A,中的矩阵A,B,C,D 。

2. 传递矩阵)(s G 的实现：已知系统的传递函数矩阵)(s G ，寻找一个状态空间描述

{}D C,B,A,，并满足式（8-4），则称{}D C,B,A,为)(s G 的一个实现。当系统{}D C,B,A,的阶数等于传递函数矩阵)(s G 的阶数时，称该系统{}D C,B,A,为

)(s G 的最小实现。

传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有：可控标准形实现，可观标准形实现、对角型实现和约当型实现等。

四、线性定常连续系统状态方程的求解

1. 状态转移矩阵)(t φ（矩阵指数函数At e ）及其性质。

2. 计算状态转移矩阵)(t φ的方法 1) 级数展开法

++++

+=n n At t A k t A At I e !

1

!2122

（8-5）

2) 拉氏变换法

[]1)()(--=A sI t -1L φ

（8-6）

3) 凯莱-哈密尔顿法（又称待定系统法）

∑-===1

)()(n k k k At

A t e

t βφ

（8-7）

当矩阵A 的特征值i s 互异时，)(t k β可由下式确定：

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----t s t s t s n n n n n n n n e e e s s s s s s s s s t t t 211212

22211211110111)()()(βββ

（8-8）

当矩阵A 具有m 重特征值1s 时，待定系数)m-, ,, (i t i 13210 )( =β，由下式确定（其它相异特征值按式（8-8）处理）。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----t s n t s t s t

s n n n n e n t e

t e t e s n n s n s t t t 1111)!1(!2!

11000!2)2)(1(110!1)1(101)()()(1231211

1

110

βββ （8-9）

4) 希尔维斯特（Sylvester ）法

∏∑≠==--==n k

i i i

k i n

k t s At

s s I s A e e t k 11)(φ （8-10）

式中：矩阵的特征值-=),2,1(n k s k I —单位阵

当系统矩阵A 的n 个特征值互异时，用希尔维斯特方法求)(t φ最为简便。 1． 性定常连续系统状态方程求解

1) 齐次方程 )()(t Ax t x

= 的解 )0()()(x t t x φ=

（8-11）

2) 非齐次方程 )()()(t Bu t Ax t x

+= 的解 ⎰-+=t

d Bu t x t t x 0

)()()0()()(τττφφ

（8-12）

4．线性定常连续系统的离散化

对式（8-1）表示的系统进行离散化，可导出如式（8-2）所表示的离散化状态空