与三角形有关的定理和公式
关于三角形的公式大全
关于三角形的公式大全
三角形的公式大全包括以下内容：
1.面积公式：面积=底×高÷2，即S=ah/2。
2.周长公式：周长=三边之和，即P=a+b+c。
3.勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
4.余弦定理：任意三角形中，一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍，即a²=b²+c²-2bc cos A。
5.正弦定理：任意三角形中，一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的比，即a/sin A=b/sin B=c/sin C。
6.海伦公式：任意三角形的面积等于三边与其半长之积的和的一半，即S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p为半周长，即
p=(a+b+c)/2。
7.角度公式：内角和定理，三角形内角和为180度，即A+B+C=π。
8.三角函数公式：sin A = 对边/ 斜边，cos A = 临边/ 斜边，tan A = 对边/ 临边。
9.球面三角公式：在球面上，从一个顶点出发的三条射线所围成的角度之和等于2π。
三角形的相似公式
三角形的相似公式以三角形ABC和三角形DEF为例，如果它们的对应角度相等，则可以判断它们相似。
相似三角形的对应边长之比可以通过相似三角形的对应边的长度比来表示。
下面是三角形的相似公式及其证明：1.AA相似定理（角-角-相似定理）如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。
具体可以表示为：∠A=∠D，∠B=∠E，则△ABC~△DEF。
证明：根据角的等量可知，∠A=∠D，∠B=∠E。
由于角度之和为180°，可推导出∠C=∠F。
所以，根据角-角-角相似性质，得出△ABC~△DEF。
2.SS相似定理（边-边-边相似定理）如果两个三角形的两对边之比相等，则这两个三角形相似。
具体可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC~△DEF。
证明：根据边的比例可知，AB/DE=BC/EF=AC/DF。
由于两个角之和也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E。
所以，根据边-角-边相似性质，得出△ABC~△DEF。
3.SAS相似定理（边-角-边相似定理）如果两个三角形的一对相对应的边之比相等，并且这两个边之间的夹角也相等，则这两个三角形相似。
具体可以表示为：AB/DE=BC/EF，∠B=∠E，则△ABC~△DEF。
证明：根据边的比例可知，AB/DE=BC/EF。
由于两个夹角也相等，即∠B=∠E。
所以，根据边-角-边相似性质，得出△ABC~△DEF。
通过上述相似公式，我们可以判断两个三角形是否相似，以及计算两个相似三角形的对应边长比例。
对于给定的相似三角形，我们可以根据已知的边长比例求解未知边长，或者根据已知的边长计算出未知角度。
需要注意的是，相似三角形的边长比例只与角度有关，而与具体的边长无关。
所以，在判断两个三角形相似时，只需要比较它们的角度是否相等，而不必考虑具体的边长。
另外，相似三角形的角度相等是相似的必要条件，但不是充分条件。
也就是说，如果两个三角形的角度相等，它们不一定是相似的。
通过相似公式，我们可以更好地理解三角形的形状和性质，并在实际问题中应用。
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形，研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。
本文将介绍三角形中的三个重要定理，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。
一、正弦定理：正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，正弦定理可以表述为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示A角的正弦值，a表示边a的长度。
正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。
二、余弦定理：余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，cos(C)表示C角的余弦值，c表示边c的长度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，进而计算三角形的面积。
三、三角形的面积公式：给定一个三角形，设其底边长度为b，对应的高为h。
那么，三角形的面积可以通过以下公式来计算：S=1/2*b*h其中，S表示三角形的面积。
在计算三角形的面积时，还可以使用海伦公式。
海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积，其公式如下：S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，p表示三角形的半周长，计算公式为：p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时，需确保三条边长满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边的长度。
总结：通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，可以解决三角形相关的问题。
正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法，而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。
这些定理在三角形等应用中具有重要的价值，对于解题和扩展应用都非常有帮助。
关于三角形公式及定理
关于三角形公式及定理三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个内角组成。
在三角形的研究中，有许多重要的公式和定理，它们是解决三角形问题的关键。
本文将介绍一些常见的三角形公式和定理。
一、基本定义和公式1.定义：三角形是由三个非共线点和它们之间的线段组成的图形。
2.边界性质：三角形的任意两边之和大于第三边。
3.内角和：三角形的三个内角之和为180度。
4.外角性质：三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
5.勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
即a^2+b^2=c^2，其中c为斜边，a和b为直角边。
二、重要的三角形定理1.正弦定理：正弦定理描述了三角形的三边和其对应的角度之间的关系。
对于一个三角形ABC，边长为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC2.余弦定理：余弦定理描述了三角形的三边和一个角度之间的关系。
对于一个三角形ABC，边长为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC3.正切定理：正切定理描述了一个三角形的两边和一个角度之间的关系。
对于一个三角形ABC，边长为a、b，对应的角度为A，则正切定理可表示为：tanA = a/b4.角平分线定理：角平分线定理描述了一个角的两个相邻角平分线的性质。
对于一个三角形ABC，角B的平分线交边AC于点D，则有：AB/BC=AD/DC5.傍心定理：傍心定理描述了三角形的一个傍心与三角形的交线的性质。
傍心是指以三角形的一个顶点为圆心，与三角形的另外两条边相切的圆的圆心。
对于一个三角形ABC，傍心为I，交边BC于点D，则有：BD/DC=AB/AC6.角平分线定理：角平分线定理描述了一个角的两个相邻角平分线的性质。
对于一个三角形ABC，角B的平分线交边AC于点D，则有：AB/BC=AD/DC三、应用举例1.判断三角形类型：通过三角形的边长或者角度大小可以判断出三角形的类型，如等边三角形、等腰三角形等。
与三角形有关的定理和公式
与三角形有关的定理和公式一、三角形的基本概念和性质三角形是平面几何学中最基本的图形之一，由三条边和三个角组成。
以下是三角形的一些基本概念和性质：1.三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。
2.三边关系：-三边相等的三角形是等边三角形。
-两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3.三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于其余两个内角之和。
4.三角形的角平分线：三角形的内角的平分线相交于三角形的内心，也就是内心到三边的距离之和最短。
5.三角形的垂心和垂线：三角形的三条高线交于一点，称为垂心；垂直于三边的线称为垂线。
6.三角形的重心和重心线：三角形的三条重心线交于一点，称为重心；重心线由顶点与对边中点连接而成。
7.三角形的内切圆和外接圆：能够切于三角形三边的圆叫做内切圆；能够通过三角形三个顶点的圆叫做外接圆。
二、三角形的面积公式1.三角形的面积公式：-三角形面积=底边长×高/2-三角形面积=三边长度之积×正弦该三角形夹角的一半2.三角形的海伦公式：设三角形的三条边长度分别为a,b,c，半周长为s，三角形的面积可以用海伦公式表示：-三角形面积=√(s×(s-a)×(s-b)×(s-c))三、三角形的相似定理和比例定理1.AAA相似定理（对应角相等定理）：两个三角形的对应角全等，则这两个三角形相似。
2.AA相似定理（角相似定理）：两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
3.SSS相似定理（对应边成比例定理）：两个三角形的三对应边分别成比例，则这两个三角形相似。
4.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
5.正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的对应角，则正弦定理可以表示为：- sinA / a = sinB / b = sinC / c6.余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的对应角，则余弦定理可以表示为：- c² = a² + b² - 2ab × cosC7.正切定理：在任意三角形ABC中，设A、B、C分别为三角形的对应角，则正切定理可以表示为：- tanA = a / hA (hA为A的对边高)以上是与三角形有关的一些定理和公式，它们在几何学和三角学中有着重要的应用，可以帮助我们计算三角形的各种属性和问题。
解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==特殊角的三角函数值三角函数值0 11１不存在三角函数诱导公式：“ （2k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（2kπα+），k ∈Z 的三角函数值，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;当k 为偶数时，函数名不变。
直角三角形三条边的关系公式
直角三角形三条边的关系公式
直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。
在直角三角形中，三条边之间有着重要的关系，可以用数学公式来表示。
1. 勾股定理：勾股定理是直角三角形中最基本的关系公式，它表示直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即a²+b²=c²，其中a和b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边。
2. 正弦定理：正弦定理表示直角三角形中，任意一条边的长度与其对应的角度之间的关系。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别表示直角三角形的三条边，A、B、C分别表示对应的角度。
3. 余弦定理：余弦定理表示直角三角形中，任意一条边的长度与其对应的角度之间的关系。
即a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC，其中a、b、c分别表示直角三角形的三条边，A、B、C分别表示对应的角度。
这些公式的应用可以帮助我们解决直角三角形的各种问题，如求解三角形的边长、角度大小等等。
三角形计算公式大全
3.
外角公式：设三角形的一个内角为A，则其对应的外角为180度-A。
4.
5.
相关角公式：
6.
（1）同位角：两个三角形中，相同位置上的角度相等。
（2）内错角：两条平行线被一条横线所交，所成的内角互为补角。
（3）同旁内角：两条平行线被一条横线所交，所成的同旁内角互为补角。
四、边长公式
1.
正弦定理：设三角形的三个内角分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
2.3.Βιβλιοθήκη 余弦定理：设三角形的三个内角分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，则有a²=b²+c²-2bc·cosA。
4.
5.
正切定理：设三角形的三个内角分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，则有tanA=sinA/cosA=a/b。
6.
五、特殊三角形
1.
等腰三角形：两边相等的三角形。
2.
（3）余弦定理：设三角形的三个内角分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=1/2ab·sinC=1/2bc·sinA=1/2ac·sinB。
（4）高度公式：设三角形的底边为a，对应的高为h，则三角形的面积S=1/2ah。
三、角度公式
1.
内角公式：设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有A+B+C=180度。
（1）底角相等。
（2）中线长等于底边长的一半。
（3）高线、中线和底边构成的三角形是直角三角形。
1.
等边三角形：三边相等的三角形。
2.
（1）三个内角都是60度。
（2）高线、中线和底边构成的三角形是等边三角形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
⒊ 3π/2＋α 与 α 的三角函数值之间的关系 sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sec（3π/2＋α）＝cscα csc（3π/2＋α）＝－secα
⒋ 3π/2－α 与 α 的三角函数值之间的关系 sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sec（3π/2－α）＝－cscα csc（3π/2－α）＝－secα 温馨提示：1.最好将 α 看成是锐角。 ∈Z
公式二： 设 α 为任意角，π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sec（π＋α）＝－secα csc（π＋α）＝－cscα
公式三： 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sec（－α）＝secα csc(－α）＝－cscα
与三角形有关的定理和公式
正弦定理：设三角形的三边为 a、b、c，他们的对角分别为 A、B、C，外接圆半
径为 r，则称关系式
为正弦定理。
余弦定理：设三角形的三边为 a、b、c，他们的对角分别为 A、B、C，则称关系
式
，
，
为余弦定
理。
二倍角公式： (a) (b) (c)
以正切表示二倍角： (a) (b) (c)
诱导公式 常用的诱导公式有以下六组：（公式一～公式五函数名未改变， 公式六
函数名发生改变）
公式一： 设 α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z） tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z） cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z） sec（2kπ＋α）＝secα （k∈Z） csc（2kπ＋α）＝cscα （k∈Z）
三倍角公式： (a) (b)
积化和差公式：
注意：此时公式前有负号 或：
注意：此时差的余弦在和的余弦前面
和差化积公式：
注意右式前的负号 记忆口诀
正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 或：
帅+帅=帅哥 帅-帅=哥帅 哥+哥=哥哥 哥-哥=负嫂嫂 或： 正加正余
正减余正 余加余余 余减负正正 双曲函数
公式四： 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sec（π－α）＝－secα csc（π－α）＝cscα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sec（2π－α）＝secα csc（2π－α）＝－cscα
小结：以上五组公式可简记为：函数名不变，符号看象限。即 α+k•2π（k∈Z）， ﹣α，π±α，2π－α 的三角函数值，等于 α 的同名三角函数值，前面加上一个 把 α 看成锐角时原函数值的符号。
公式六： π/2±α 及 3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系：
⒈ π/2＋α 与 α 的三角函数值之间的关系 sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝—sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sec（π/2＋α）＝－cscα csc（π/2＋α）＝secα