高一数学集合练习题及答案

高一数学集合的练习题及答案

1、集合的概念

集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。

对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。

整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。

确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。

不同的――集合元素的互异性。

2、有限集、无限集、空集的意义

有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。

我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。

几个常用数集N 、N*、N ＋、Z 、Q 、R 要记牢。

3、集合的表示方法

（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：

①元素不太多的有限集，如{0，1，8}

②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100)

③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n ，…}

●注意a 与{a}的区别

●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。

（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y ＝x 2}， {y|y ＝x 2}， {（x ，y ）|y ＝x 2}是三个不同的集合。

4、集合之间的关系

●注意区分“从属”关系与“包含”关系

“从属”关系是元素与集合之间的关系。

“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn 图描述集合之间的关系是基本要求。

●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。

5、集合的运算

集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。

一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：

A B A B A A A A A A A

B B A =??Φ=Φ=Φ== B B A B A A A A A A A A B B A =??=Φ=Φ== U A

C B B C A B A A

A C C A C A U

A C A U U U U U U =?Φ

=??=Φ== )( 还要尝试利用Venn 图解决相关问题。

二、典型例题

例1. 已知集合}33,)1(,2{2

2++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。 解：∴∈A 1 根据集合元素的确定性，得：133,11,122

2=++=+=+a a a a 或）或（

若a ＋2＝1， 得:1-=a ， 但此时21332+==++a a a ，不符合集合元素的互异性。

若1)1(2=+a ，得：2-,0或=a 。但2-=a 时，2

2)1(133+==++a a a ，不符合集合元素的互异性。

若,1332=++a a 得：。或－2,1-=a 1)1(-2a 1;2a ,-1a 2=+==+=a 时，时但，都不符合集合元素的互异性。 综上可得，a ＝ 0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

例2. 已知集合M ＝{}

012|2=++∈x ax R x 中只含有一个元素，求a 的值。

解：集合M 中只含有一个元素，也就意味着方程0122=++x ax 只有一个解。 （1）012,0=+=x a 方程化为时，只有一个解21

-=x

（2）

只有一个解若方程时012,02=++≠x ax a 1,044==-=?a a 即需要.

综上所述，可知a 的值为a ＝0或a ＝1

【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。

例3. 已知集合

},01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。 解：由已知，得：A ＝{－3，2}， 若B A ，则B ＝Φ，或{－3}，或{2}。

若B ＝Φ，即方程ax ＋1＝0无解，得a ＝0。

若B ＝{－3}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝ 31

。

若 B ＝{2}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝ 21-。

综上所述，可知a 的值为a ＝0或a ＝31，或a ＝ 21-。

【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。

例4. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根x 1， x 2. 设C ＝{x 1， x 2}， A ＝{1，3，

5，7，9}， B ＝{1，4，7，10}，若C B C C A =Φ= ,，试求b ， c 的值。

解：由B C C B C ??= ， 那么集合C 中必定含有1，4，7，10中的2个。 又因为Φ=C A ，则A 中的1，3，5，7，9都不在C 中，从而只能是C ＝{4，10} 因此，b ＝－（x 1＋x 2 ）＝－14，c ＝x 1 x 2 ＝40

【小结】对C B C C A =Φ= ,的含义的理解是本题的关键。

例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ，

（1）若Φ=B A ， 求m 的范围；

（2）若A B A = ， 求m 的范围。

解：（1）若Φ=B A ，则B ＝Φ，或m ＋1>5，或2m －1<－2

当B ＝Φ时，m ＋1>2m －1，得：m<2

当m ＋1>5时，m ＋1≤2m －1，得：m>4

当2m －1<－2时，m ＋1≤2m －1，得：m ∈Φ

综上所述，可知m<2， 或m>4

（2）若A B A = ， 则B ?A ，

若B ＝Φ，得m<2

若B ≠ Φ，则?????-≤+≤--≥+1215

1221m m m m ，得：32≤≤m

综上，得 m ≤ 3

【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。

例6. 已知A ＝{0，1}， B ＝{x|x ?A}，用列举法表示集合B ，并指出集合A 与B 的关系。 解：因为x ?A ，所以x ＝ Φ， 或x ＝ {0}， 或x ＝ {1}， 或x ＝ A ，

于是集合B ＝ { Φ， {0}， {1}， A}， 从而 A ∈B

三、练习题

1. 设集合M ＝,24},17|{=≤a x x 则（ ）

A. M a ∈

B. M a ?

C. a ＝ M

D. a > M

2. 有下列命题：①}{Φ是空集 ② 若N b N a ∈∈,，则2≥+b a ③ 集合}012|{2=+-x x x 有两个元素 ④ 集合},100|{Z x N x x B ∈∈=为无限集，其中正确命题的个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3. 下列集合中，表示同一集合的是（ ）

A. M ＝{（3，2）} ， N ＝{（2，3）}

B. M ＝{3，2} ， N ＝{（2，3）}

C. M ＝{（x ，y ）|x ＋y ＝1}， N ＝{y|x ＋y ＝1}

D.M ＝{1，2}， N ＝{2，1}

4. 设集合

}12,4{},1,3,2{22+-+=+=a a a N a M ，若}2{=N M ， 则a 的取值集合是（ ）

A.

}21,2,3{- B. {－3} C. }21,3{- D. {－3，2} 5. 设集合A ＝ {x| 1 < x < 2}， B ＝ {x| x < a}， 且B A ?， 则实数a 的范围是（ ） A. 2≥a B. 2>a C. 1≤a D. 1>a

6. 设x ，y ∈R ，A ＝{（x ，y ）|y ＝x}， B ＝

}1|),{(=x y y x ， 则集合A ，B 的关系是（ ）

A. A B

B. B A

C. A ＝B

D. A ?B

7. 已知M ＝{x|y ＝x 2－1} ， N ＝{y|y ＝x 2－1}， 那么M ∩N ＝（ ）

A. Φ

B. M

C. N

D. R

8. 已知A ＝ {－2，－1，0，1}， B ＝ {x|x ＝|y|，y ∈A}， 则集合B ＝_________________

9. 若A B },01|{},023|{22?=-+-==+-=且a ax x x B x x x A ，则a 的值为_____

10. 若{1，2，3}?A ?{1，2，3，4，5}， 则A ＝____________

11. 已知M ＝{2，a ，b}， N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N 表示相同的集合，求a ，b 的值

12. 已知集合B,A }02|{},04|{22?>--=<++=且x x x B p x x x A 求实数p 的范

围。

13. 已知}065|{},019|{2

22=+-==-+-=x x x B a ax x x A ，且A ，B 满足下列三个条件：① B A ≠ ② B B A = ③ ΦB A ，求实数a 的值。

四、练习题答案

1. B

2. A

3. D

4. C

5. A

6. B

7. C

8. {0，1，2}

9. 2，或3

10. {1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5} 11. 解：依题意，得：???==22b b a a 或???==a b b a 22，解得：???==00b a ，或???==10b a ，或??

???==

2141b a 结合集合元素的互异性，得???==10b a 或??

???==

2141b a 。

12. 解：B ＝{x|x<－1， 或x>2}

① 若A ＝ Φ，即 0416≤-=?p ，满足A ?B ，此时4≥p ② 若Φ≠A ，要使A ?B ，须使大根142-≤-+-p 或小根242≥---p （舍），解得：43≤≤p

所以 3≥p

13. 解：由已知条件求得B ＝{2，3}，由B B A = ，知A ?B 。

而由 ①知B A ≠，所以A

B 。

又因为ΦB A ，故A≠Φ，从而A ＝{2}或{3}。 当A ＝{2}时，将x ＝2代入01922=-+-a ax x ，得019242=-+-a a 53或-=∴a

经检验，当a ＝ －3时，A ＝{2， － 5}; 当a ＝5时，A ＝{2，3}。都与A ＝{2}矛盾。

当A ＝ {3}时，将x ＝3代入01922=-+-a ax x ，得

019392=-+-a a 52或-=∴a 经检验，当a ＝ －2时，A ＝{3， － 5}; 当a ＝5时，A ＝{2，3}。都与A ＝{2}矛盾。 综上所述，不存在实数a 使集合A ， B 满足已知条件。