同步北师大高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测十六 直线方程的两点式和一般式 含解析
课时跟踪检测（十六） 直线方程的两点式和一般式
一、基本能力达标
1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y
2＝0 B.x 2＋y 3＝0 C.x 2＋y
3
＝1 D.x 2－y 3
＝1 解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y
3＝1.
2．经过点A (2,5)，B (－3,6)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．－3 C ．－27
D ．27 解析：选D 由两点式得直线方程为y －6
5－6＝x ＋3
2＋3，即x ＋5y －27＝0.令y ＝0，得x ＝27.
3．直线x a ＋y
b ＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0
D ．a ＜0，b ＜0
解析：选C 由于直线过第一、二、三象限，故其a ＜0，b ＞0.
4．直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a ，b 的值是( ) A ．a ＝－7，b ＝－7 B ．a ＝－7，b ＝－7
2
C ．a ＝－7
2
，b ＝7
D ．a ＝－7
2
，b ＝－7
解析：选D 令x ＝0得y ＝－7，∴b ＝－7，令y ＝0得x ＝－72，∴a ＝－7
2
.
5．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y ＋1＝0
C ．2x ＋y －1＝0
D ．x ＋2y ＋1＝0
解析：选A ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上．∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.
6．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是________． 解析：直线方程为y －1
9－1＝x ＋1
3＋1，即y ＝2x ＋3，
令y ＝0得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－3
2.
答案：－3
2
7．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．
解析：由题意，k ＝tan 60°＝3，点斜式方程：y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋
y －4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.
答案：y ＋4＝3(x －0)
x 433
＋
y
－4
＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0
8．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的1
2，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y
＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为____________．
解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为1
3，
在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.
答案：x －3y ＋24＝0
9．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． 解：设直线方程的截距式为x a ＋1
＋y
a ＝1. 则
6
a ＋1
＋－2a ＝1， 解得a ＝2或a ＝1，
则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y
1＝1，
即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.
10．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，
由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0
－3－0.
整理，得8x ＋3y ＋15＝0.
∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y
－5＝1，
整理得5x －2y －10＝0，
∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0. 二、综合能力提升
1．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A ．6
5
B ．－6
C ．－65
D ．6
解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝
2m m ＋2，∴2m
m ＋2
＝3，∴m ＝－6. 2．两条直线x m －y n ＝1与x n －y
m ＝1的图象可能是下图中的( )
解析：选B 两直线的方程分别化为y ＝n m x －n ，y ＝m
n x －m ，易知两直线的斜率符号相同． 3．直线x －y －1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.14 B ．2 C ．1
D.12
解析：选D 由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为1
2.
4．若直线Ax ＋By ＋C ＝0通过第二、三、四象限，则系数A ，B ，C 需满足条件( ) A ．A ，B ，C 同号 B ．AC ＜0，BC ＜0 C ．C ＝0，AB ＜0
D ．A ＝0，BC ＜0
解析：选A 将直线方程化为点斜式为y ＝－A B x －C
B
.
由题意知直线过二、三、四象限，则有⎩⎨⎧
－A
B ＜0，－
C B ＜0.由此可知A ，B ，C 同号．
5．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：(1)过原点时，设为y ＝kx ，则k ＝－3
2，
∴y ＝－3
2
x .
(2)不过原点时，设为x a ＋y
－a ＝1，
∴将点(－2,3)代入得a ＝－5，
∴所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0. 答案：3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0
6．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是________． 解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，所以B ≠0，且－A
B ＝5， 即A ＝－5B ，又A －2B ＋3
C ＝0， 所以－5B －2B ＋3C ＝0， 即C ＝73
B .
此时直线的方程化为－5Bx ＋By ＋7
3B ＝0.
即－5x ＋y ＋7
3
＝0，
故所求直线的方程为15x －3y －7＝0. 答案：15x －3y －7＝0
7．求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解：(1)当直线过原点时，设为y ＝kx ，由点A (－5,2)得k ＝－2
5，
此时，直线方程为y ＝－2
5
x ，即2x ＋5y ＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y
a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－
12
，
此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0. 探究应用题
8．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
解：如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，显然，A ′坐标为(3，－2)，连接A ′B ，则A ′B 所在直线即为反射光线．
∴由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋1
3＋1，
即2x ＋y －4＝0.
同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)， 由两点式可得直线AB ′的方程为y －2
－6－2＝x －3
－1－3，
即2x －y －4＝0，
∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0， 反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.。
(北师大版)高中数学必修2检测2.1.2 第二课时直线方程的两点式和一般式 Word版含解析
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．直线－＋＝在两坐标轴上的截距之和是( )．．．．解析：令＝得＝，即直线在轴上的截距为；令＝得＝－，即直线在轴上的截距为－.因此直线在两坐标轴上的截距之和是＋(－)＝，故选.答案：．过点()和点(，－)的直线方程是( )．－＝．＋＝．－＝．＋＝解析：∵，两点横坐标相同，∴直线方程为＝，即－＝.答案：．下列命题中正确的是( )．经过点(，)的直线都可以用方程－＝(－)表示．经过定点(，)的直线都可以用方程＝＋表示．经过任意两个不同点(，)，(，)的直线都可用方程(－)(－)＝(－)·(－)表示．不经过原点的直线都可以用方程＋＝表示解析：中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为＝；中经过定点(，)的直线＝无法用＝＋表示；中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程＋＝表示．只有符合，故选.答案：．若方程(＋－)＋(－)－＋＝表示一条直线，则实数满足( )．≠．≠－．≠．≠且≠－且≠解析：∵当＋－＝时，＝或＝－；当－＝时，＝或＝.要使方程(＋－)＋(－)－＋＝表示一条直线，则＋－，－不能同时为，∴≠，故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．直线(－＋)－(－)＋＝的倾斜角是°，则的值为．解析：由条件知＝，∴－＋＝－，解得＝或，当＝时，－＋＝－＝，应舍去，故＝.答案：．过两点(－)和()的直线在轴上的截距为．解析：∵过两点(－)和()的直线方程为＝，整理得－＋＝，令＝，得＝－，∴直线在轴上的截距为－.答案：－三、解答题(每小题分，共分)．已知(－)，()，线段的中点在轴上，的中点在轴上．()求点的坐标；()直线交轴于，交轴于，的中点为，求的方程．解析：()设的坐标为(，)，则(\\((－)＝，,(＋)＝，))得(\\(＝，＝－)).∴的坐标为(，－)．()设，的坐标分别为()，(，)．则(\\(()＝，,()＝－，))得(\\(＝，＝－.))∴的方程为＋＝，即－－＝.．△的三个顶点分别为()，(－)，(－)．求：()边所在直线方程；()边上的中线所在直线方程．解析：()∵()，(－)，∴由直线方程的截距式得＋＝，即为－＋＝.∴边所在直线的方程为－＋＝.()设中点(，)，由中点坐标公式得＝＝－，＝＝.由直线方程的两点式得所在直线的方程为＝，即为－＋＝.∴边上的中线所在直线的方程为－＋＝.☆☆☆．(分)一条直线过点(－，－)，且与坐标轴围成的面积为，求直线方程．解析：法一：设所求直线方程为＋＝，∵点(－，－)在直线上，∴＋＝.①又∵直线与坐标轴围成的面积为，∴＝＝.②由①②得＝，＝－或＝－，＝.∴所求直线方程为－＝或－＋＝，即－－＝或－＋＝.法二：由题意知直线的斜率存在，且≠.设直线方程为＋＝(＋)．。
高中数学 课时作业16 2.1 直线与直线的方程 北师大版必修2
解析：因为ab≠0，则
①当a>0，b>0时，其图像可能为：
此时没有符合的．
②当a>0，b<0时，其图像可能为：
因此B符合．
③当a<0，b>0时，其图像可能为：
没有符合的．
④当a上，选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第________象限．
答案：x＋y－3＝0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知▱ABCD的顶点A(1,2)，B(2，－1)，C(3，－3)，求直线BD的方程．
解析：因为平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点M为AC的中点，所以M ，
直线BM的方程为x＝2，
即直线BD的方程为x－2＝0.
10．若直线经过点A(1,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线的方程．
此时，方程为x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.
答案：C
12．直线y＝ x＋k与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的取值范围是________．
解析：由已知得k≠0，
令x＝0，y＝k，令y＝0，x＝－2k，
则与两坐标轴围成的面积 |k|·|－2k|≤1，
即k2≤1，
所以－1≤k≤1.
高中数学 第二章 解析几何初步 1.2.2 直线方程的两点式和一般式练习(含解析)北师大版必修2-北
第二课时 直线方程的两点式和一般式填一填1.直线方程的两点式和截距式名称 两点式 截距式已知条件 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在x ，y 轴上的截距分别为a ，b示意图方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 适用X 围y 1≠y 2且x 1≠x 2 ab ≠02.直线的一般式方程把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0叫做直线的一般式方程，简称一般式．其中系数A ，B 满足A ，B 不同时为0.判一判1.两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．(√) 2．截距式可表示除过原点外的所有直线．(×)3．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×)4．平面上任一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示．(√)5．过点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示．(×)6．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1.(×) 7．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√)8．若直线Ax ＋By ＋想一想1.过点(1,3)和，(5,3)的直线呢？ 提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．2．截距式方程能否表示过原点的直线？提示：不能，因为ab ≠0，即有两个非零截距． 3．任何直线方程都能表示为一般式吗？提示：能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． 4．当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？提示：当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图像．故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线．思考感悟：练一练1.直线x a ＋y b＝1(ab <0)的图像可能是( )答案：C2．过两点(2018,2019)，(2018,2020)的直线方程是( ) A ．x ＝2018 B ．x ＝2019 C ．y ＝2018 D ．x ＋y ＝2020 答案：A3．直线x －y ＋5＝0的倾斜角为( ) A ．45° B．60° C ．120° D．135° 答案：A4．在x 轴、y 轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为( ) A.x 5＋y 3＝1 B.x 5－y 3＝1 C.y 3－x5＝1 D.x 5＋y3＝0 答案：B5．直线2x ＋3y －6＝0与坐标轴围成的三角形面积为________． 答案：3知识点一 直线的两点式方程1.已知直线l 经过点A (1，－2)，B (－3,2)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：由两点式得直线l 的方程为y ＋22－－2＝x －1－3－1，即y ＋2＝－(x －1)．故选A.答案：A2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B ．－23C.25D ．2 解析：由直线的两点式方程可得直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0得x＝－32.故选A.答案：A知识点二 直线的截距式方程3.过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x －4y ＝0解析：当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，把(4,1)代入，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知，直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.选C. 答案：C4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一平面直角坐标系中的图像可以是( )解析：将两直线方程化成截距式为l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a＝1，则l 1与x 轴交于(a,0)，与y 轴交于(0，－b )，l 2与x 轴交于(b,0)，与y 轴交于(0，－a )．结合各选项，先假定l 1的位置，判断出a ，b 的正负，然后确定l 2的位置，知A 项符合．选A.答案：A知识点三直线的一般式方程5.已知直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．150°解析：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ＝13，则θ＝30°.答案：A6．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )，若l 不经过第二象限，则实数a 的取值X 围是________．解析：将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 答案：(知识点四 直线方程的应用7.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值X 围．解析：(1)证明：方法一 将直线l 的方程整理为 y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．方法二 直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0. 当定点为(x ，y )时，上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同方法一．(2)如图，直线OA 的斜率为 k ＝35－015－0＝3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.8．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：对于任意的实数k ，直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，某某数k 的取值X 围． 解析：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1， 得y －1＝k (x ＋2)．由直线的点斜式方程，可知直线l 恒过定点(－2,1)． (2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1.若－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3≥0，f 3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1. 综合知识 直线的方程9.(1)经过点(－1,3)，且斜率为－3； (2)经过两点A (0,4)和B (4,0)；(3)经过点(2，－4)且与直线3x －4y ＋5＝0平行； (4)经过点(3,2)，且垂直于直线6x －8y ＋3＝0.解析：(1)根据条件，写出该直线的点斜式方程为 y －3＝－3(x ＋1)，即y －3＝－3x －3， 整理得其一般式为3x ＋y ＝0.(2)根据条件，写出该直线的截距式为x 4＋y4＝1，整理得其一般式为x ＋y －4＝0.(3)设与直线3x －4y ＋5＝0平行的直线为3x －4y ＋c ＝0，将点 (2，－4)代入得6＋16＋c ＝0，所以c ＝－22.故所求直线的一般式为3x －4y －22＝0.(4)设与直线6x －8y ＋3＝0垂直的直线为8x ＋6y ＋c ＝0，代入点(3,2)得24＋12＋c ＝0，c ＝－36.从而得8x ＋6y －36＝0，即所求直线的一般式为4x ＋3y －18＝0.10．已知△ABC 的三个顶点为A (0,3)，B (1,5)，C (3，－5)． (1)求边AB 所在的直线方程； (2)求中线AD 所在直线的方程．解析：(1)设边AB 所在的直线的斜率为k ，则k ＝5－31－0＝2.它在y 轴上的截距为3.所以，由斜截式得边AB 所在的直线的方程为y ＝2x ＋3.(2)B (1,5)、C (3，－5)，1＋32＝2，5＋－52＝0，所以BC 的中点D (2,0)．由截距式得中线AD 所在的直线的方程为x 2＋y3＝1.基础达标一、选择题1．下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示解析：当直线与y 轴平行或重合时，斜率不存在，直线方程不能用点斜式、斜截式，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；选项B 正确．故选B.答案：B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②当a ≠0时，令x ＝0，得y ＝2＋a ，令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0 D ．x －3y ＋8＝0 解析：设所求的直线方程为x a ＋yb＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12|ab |＝6，解得a ＝2，b ＝6.故所求的直线方程为3x ＋y －6＝0.故选A.答案：A4．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，又AB <0，BC <0，所以－A B >0，－C B>0，所以直线过第一、二、三象限，不过第四象限．故选D. 答案：D5．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13解析：由题意，得a －3m ＋2a ＝0，所以a ＝m ，又因为m ≠0，所以直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率k ＝－a 3m ＝－13.故选D.答案：D6．已知两条直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c解析：由题图可知，直线l 1的斜率－1a >0，在y 轴上的截距－ba<0，因此a <0，b <0；直线l 2的斜率－1c >0，在y 轴上的截距－d c >0，因此c <0，d >0.且l 1的斜率大于l 2的斜率，即－1a >－1c，因此a >c ，故选C.答案：C7．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( )A ．m ≠0 B．m ≠－32C ．m ≠1 D．m ≠1且m ≠－32且m ≠0解析：∵当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1，要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1，故选C.答案：C 二、填空题 8．经过A (1,3)和B (a,4)的直线方程为________________________________________________________________________．解析：当a ＝1时，直线AB 的斜率不存在，所求直线的方程为x ＝1；当a ≠1时，由两点式，得y －34－3＝x －1a －1，即x －(a －1)y ＋3a －4＝0.这个方程中，对a ＝1时方程为x ＝1也满足． 所以，所求的直线方程为x －(a －1)y ＋3a －4＝0. 答案：x －(a －1)y ＋3a －4＝09．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是________________。
【步步高 学案导学设计】高中数学 2.1.2.2 直线的方程(二)课时作业 北师大版必修2
1．2 直线的方程(二)【课时目标】 掌握直线方程的两点式、截距式及一般式，并能应用它们解决相关问题．1．关于x ，y 的二元一次方程____________(其中A ，B ______________)叫做直线的一般式方程．2．比较直线方程的五种形式(填空)一、选择题1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0 2．下列说法正确的是( )A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点M (x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程B ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 3．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．只可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．只可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 4．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b5．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )6．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0二、填空题7．直线x＋2y＋6＝0化为斜截式为____________，化为截距式为____________．8．已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示直线，则m的取值范围是________．9．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________．三、解答题10．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．11．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．能力提升12．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应注意过P(x0，y0)且斜率不存在的情况．(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况．(3)两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况．(4)截距式要注意截距都存在的条件．2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．3．强调两个问题：(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y＝1没有横截距，x ＝2没有纵截距．(2)方程y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)(x1≠x2)与y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)以及(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．1．2 直线的方程(二) 答案知识梳理1．Ax＋By＋C＝0 不同时为01．D 2．A 3．B4．B [令x ＝0得，y ＝－b 2．]5．C [将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得C ．]6．D [当y 轴上截距b ＝0时，方程设为y ＝kx ，将(5,2)代入得，y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当b ≠0时，方程设为x 2b ＋y b ＝1，求得b ＝92，∴选D ．]7．y ＝－12x －3 x －6＋y－3＝1．8．m ∈R 且m ≠1解析 由题意知，2m 2＋m －3与m 2－m 不能同时为0，由2m 2＋m －3≠0得m ≠1且m ≠－32；由m 2－m ≠0，得m ≠0且m ≠1，故m ≠1．9．x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1 解析 设直线方程的截距式为xa ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即x 3＋y2＝1或x2＋y ＝1．10．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0．(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－2－－，即2x ＋y －3＝0．(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0．11．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0． 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x ．∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．12．解 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)．而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限．∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3．∵l 不经过第二象限，∴a ≥3．。
高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课时提能演
"【世纪金榜】高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课时提能演练北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.直线ax+by-ab=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距之和是( )（A）a+b （B）|a|+|b|（C）|a+b| （D）只能恒为正数2.直线l过点A（-1，-1）和B（2，5），且点C（1 005，b）也在直线l上，则b的值为( )（A）2 008 （B）2 009 （C）2 010 （D）2 0113.(2012·九江高一检测）已知直线l过点（2，1），且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为( )（A）x-y-1=0（B）x+y-3=0或x-2y=0（C）x-y-1=0或x-2y=0（D）x+y-3=0或x-y-1=04.过点(1,3)作直线l，若经过点(a,0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题（每小题4分，共8分）5.（易错题）如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行，则m=_________.6.（2012·合肥高一检测)已知直线l与直线3x+4y-7=0斜率相同，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为_________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时，与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时，只与x轴相交；（4）系数满足什么条件时，是x轴；（5）设P(x0，y0)为直线Ax+By+C=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.8.求过定点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【挑战能力】（10分）一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处，送电到两村的电线用料最省？答案解析 1.【解析】选A.把直线ax+by-ab=0(ab ≠0)化成截距式得x y b a +=1，在两坐标轴上的截距之和为a+b. 2.【解析】选D.方法一：由题意可知k AB =k AC .∴,----=----51b 121 1 0051（）（）（）（）∴b=2 011.方法二：由两点式得，直线l 的方程为,y 5x 21512--=----即y=2x+1. 又点C （1 005，b ）在l 上，∴b=2×1 005+1=2 011.3.【解析】选C.当直线过原点时，直线l 的方程为x-2y=0；当直线不过原点时，设其方程为x y a a-=1,即x-y=a, 又过点（2，1），可解得a=1,故方程为x-y-1=0.4.【解题指南】本题中a ∈N *,b ∈N *是解决问题的关键，利用它可缩小a,b 的范围.【解析】选B.由题意13＋a b＝1⇒(a －1)(b －3)＝3.∵a ∈N *，b ∈N *， ∴.a ＝2a ＝4，有两个解，或b ＝6b ＝4⎧⎧⎨⎨⎩⎩5.【解析】∵直线与y 轴平行，∴m 2+3m+2=0．解得m=-1或m=-2．又当m=-2时，直线方程(m+2)x+(m 2+3m+2)y=m+2为0×x+0×y=0，它不表示直线，应舍去．故当m=-1时，直线与y 轴平行．答案：-1【误区警示】此题容易忽视直线方程一般式中的条件（A ·B ≠0）而导致失误.6.【解析】设l ：3x+4y+m=0,则当y=0得x=-m 3；则当x=0得y=-m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12×|-m 3|×|-m 4|=24,∴m=±24. ∴直线l 的方程为3x+4y ±24=0.答案：3x+4y ±24=0【变式训练】斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_______. 【解析】设直线方程为y=34x+b,令y=0,得x=-43b,∴12|b ·（-4b 3)|=6, ∴b=±3,∴所求直线方程为3x-4y-12=0或3x-4y+12=0.答案：3x-4y-12=0或3x-4y+12=07.【解析】（1）把原点(0,0)代入Ax+By+C=0，得C=0.（2）此时斜率存在且不为零,即A ≠0且 B ≠0.（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即B=0且C ≠0.（4）A=C=0,且B ≠0.（5）∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，∴Ax 0+By 0+C=0,C=-Ax 0-By 0，∴A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.8.【解析】（1）当直线过原点时，所求的直线方程为y=kx ，将点P(2,3)代入得k=32，故所求直线方程为y=32x ，即3x-2y=0． （2）当直线不过原点时，设直线在两坐标轴上的截距均为a ，故所求的直线方程为x y a a +=1，即x+y=a ．将点P(2,3)代入，得a=5．故所求直线方程为x+y=5．所以，所求直线方程为3x-2y=0或x+y=5．【一题多解】（1）当直线过原点时，所求的直线方程为y=kx ，将点P(2,3)代入得k=32，故所求直线方程为y=32x ，即3x-2y=0． （2）当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等，∴直线的斜率k=-1，可得直线的点斜式方程为y-3=-(x-2)，即x+y=5.故所求直线方程为x+y=5．【挑战能力】【解析】如图，以河流所在直线为x 轴，以过A 点与河流垂直的直线为y 轴建立直角坐标系，则A （0，300），B （x ，700），设B 点在y 轴上的射影为H ，则x=|BH|=22AB AH -=300，故点B （300，700）． 点A 关于x 轴的对称点A 1(0,-300)，则直线A 1B 的斜率k=103， 直线A 1B 的方程为y=103x-300． 令y ＝0得x ＝90，得点P （90，0），故水电站建在河边P （90，0）处电线用料最省．【方法技巧】巧设直线方程(1)已知一点通常选择点斜式;(2)已知斜率通常选择斜截式或点斜式;(3)已知截距通常选择截距式;(4)已知两点通常选择两点式.。
(北师大版)数学必修二课时作业：2.1.2.2直线方程的两点式和一般式(含答案)
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课时提升作业(十七)直线方程的两点式和一般式一、选择题(每小题3分，共18分)1.过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线方程是( )A.=B.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0C.=D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0【解析】选B.选项A是直线的两点式，但是该方程不能表示与坐标轴垂直的直线，所以不能选A.而B选项的式子是两点式的变形，它可以表示所有情况下的直线，C，D显然不合题意，所以选B.2.(2014·佛山高一检测)直线+=1过一、二、三象限，则( )A.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<0【解析】选C.直线交x轴负半轴，交y轴正半轴，所以a<0，b>0.3.(2014·焦作高一检测)过P(4，-3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.设直线方程为y+3=k(x-4)(k≠0).令y=0得x=，令x=0得y=-4k-3.由题意，=-4k-3，解得k=-或k=-1.因而所求直线有两条.【一题多解】选B.当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a，0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为+=1，把点P(4，-3)的坐标代入方程得a=1.所以所求直线有两条.4.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角为45°，则a-b的值为( )A.0B.1C.-2D.2【解析】选D.由题意直线过(0，-1)，故b=-1，倾斜角为45°，斜率为1，得a=1，所以a-b=2.5.(2014·驻马店高一检测)直线l1：(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与直线l2：x-y+1=0的斜率相同，则m等于( )A.2或3B.2C.3D.-3【解析】选C.直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则=1，即2m2-5m+2=m2-4，m2-5m+6=0，解得m=2或3，当m=2时，2m2-5m+2=0，-(m2-4)=0，则m=2不合题意，仅有m=3.【误区警示】本题易忽视当m=2时，2m2-5m+2=0且-(m2-4)=0而错选A.6.直线l：Ax+By+C=0过原点和第二、四象限，则( )A.C=0，B>0B.C=0，A>0，B>0C.C=0，AB>0D.C=0，AB<0【解析】选C.由直线l过原点知C=0.又直线过第二、四象限，所以-<0，所以AB>0.二、填空题(每小题4分，共12分)7.直线2x-4y-8=0的斜率k=________，在y轴上的截距b=________.【解析】直线方程化为斜截式，得y=x-2，所以k=，b=-2.答案：-28.直线l过点P(-2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为________.【解析】设A(x，0)，B(0，y).因为点P恰为AB的中点，所以x=-4，y=6，即A，B两点的坐标分别为(-4，0)，(0，6).由截距式得直线l的方程为+=1.即为3x-2y+12=0.答案：3x-2y+12=09.(2014·南阳高一检测)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，-2)，则直线l方程为________.【解析】设在y轴上的截距为a(a≠0)，所以方程为+=1，代入点A，得-=1，即a2-3a+2=0，所以a=2或a=1，所以方程为：+y=1或+=1，即x+2y-2=0或2x+3y-6=0.答案：x+2y-2=0或2x+3y-6=0【变式训练】过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.【解析】设直线方程为+=1，则解得a=2，b=3，则直线方程为+=1，即3x+2y-6=0.答案：3x+2y-6=0三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程.【解析】设所求直线l的方程为y=kx+b.因为k=6，所以方程为y=6x+b.令x=0，所以y=b，与y轴的交点为(0，b)；令y=0，所以x=-，与x轴的交点为.根据勾股定理得+b2=37，所以b=〒6.因此直线l的方程为6x-y〒6=0.【变式训练】一条直线经过点A(-2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线的方程.【解析】设所求直线的方程为+=1，因为A(-2，2)在直线上，所以-+=1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，所以|a|〃|b|=1.②由①②可得(i)或(ii)由(i)解得或方程组(ii)无解.故所求的直线方程为+=1或+=1，所求直线的方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.11.(2014·日照高一检测)已知直线ax-y+2a+1=0.(1)x∈(-1，1)时，y>0恒成立，求a的取值范围.(2)a∈时，恒有y>0，求x的取值范围.【解题指南】第(1)问可根据数形结合求出结论，在第(2)问中注意到方程是关于x，y的一次式，也是关于a，y的一次式，于是可借助一次函数解决.【解析】(1)令y=f(x)=ax+(2a+1)，x∈(-1，1)时，y>0.只需即解得即a≥-.(2)令y=g(a)=(x+2)a+1，看作a的一次函数，a∈时，y>0，只需即解得所以-3≤x≤4.一、选择题(每小题4分，共16分)1.直线ax+by-1=0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.abB.|ab|C.D.【解析】选D.令x=0，得y=；令y=0，得x=；S==.2.(2014·合肥高一检测)直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为( ) A.， B.-，-C.-，-D.，【解析】选C.把方程化为斜截式：y=-x-，则斜率k=-，b=-.3.(2014·济源高一检测)若k∈R，直线kx-y-2k-1=0恒过一个定点，则这个定点的坐标为( )A.(1，-2)B.(-1，2)C.(-2，1)D.(2，-1)【解析】选D.y+1=k(x-2)是直线的点斜式方程，它所经过的定点为(2，-1). 4.(2014·渭南高一检测)过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为( )A.x-y-3=0B.2x-5y=0C.2x-5y=0或x-y-3=0D.2x+5y=0或x+y-3=0【解析】选C.设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为-a.若a=0，则直线过原点，其方程为2x-5y=0.若a≠0，则设其方程为+=1，又点(5，2)在直线上，所以+=1，所以a=3.所以直线方程为x-y-3=0.综上直线l的方程为2x-5y=0或x-y-3=0.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·南昌高一检测)有下列说法：①平面内的所有直线均可写成两点式；②直线方程的斜截式均可化为截距式；③点斜式直线方程可表示任一直线；④平面上的直线最多可通过三个象限.其中不正确的是________.【解析】对于①，由两点式方程的定义知，当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式方程，故①错误.由于直线的截距式方程的条件是a ≠0，b≠0，即两个非零的截距，所以说截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴垂直的直线，而直线的斜截式方程则可以表示过原点的直线，故②错误.由点斜式的定义可知，如果直线与x轴垂直，此时直线的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程就不能用点斜式表示，因此③的说法也是错误的.④显然是正确的.答案：①②③6.(2014·榆林高一检测)已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2，1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是____________________.【解析】因为点A(2，1)在直线a1x+b1y+1=0上，所以2a1+b1+1=0.由此可知点P1 (a1，b1)的坐标满足2x+y+1=0.因为点A(2，1)在直线a2x+b2y+1=0上，所以2a2+b2+1=0.由此可知点P2(a2，b2)的坐标也满足2x+y+1=0.所以过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是2x+y+1=0.答案：2x+y+1=0【变式训练】已知2x1-3y1=4，2x2-3y2=4，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l 的方程是( )A.2x-3y=4B.2x-3y=0C.3x-2y=4D.3x-2y=0【解析】选A.因为(x1，y1)满足方程2x1-3y1=4，则(x1，y1)在直线2x-3y=4上.同理(x2，y2)也在直线2x-3y=4上.由两点决定一条直线，故过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是2x-3y=4.三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014·九江高一检测)一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，通过点B(-1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程.【解析】因为点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，-2)，所以由两点式可得直线A′B的方程为=，即2x+y-4=0.同理，点B关于x轴的对称点为B′(-1，-6)，由两点式可得直线AB′的方程为=，即2x-y-4=0.所以入射光线所在直线方程为2x-y-4=0，反射光线所在直线方程为2x+y-4=0.【变式训练】(2014·宜春高一检测)已知A(-1，4)，B(2，2)，点P是x轴上的点，求当|AP|+|PB|最小时点P的坐标.【解析】如图，点B关于x轴的对称点B′(2，-2)，连接PB′，则|AP|+|PB|=|AP|+|PB′|≥|AB′|，|AB′|=3，当点A，P，B′三点共线时，|AP|+|PB|取最小值3.直线AB′的方程为=，即2x+y-2=0.令y=0，得x=1.所以点P的坐标为(1，0).【拓展延伸】求直线方程时方程形式的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距.(3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程.(4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程.(5)不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线.8.某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC=210m，CD=240m，DE=300m，EA=180m)【解题指南】本题的实质是在直线AB上找出恰当的点，因此，可以先建系，由截距式方程写出直线，再由矩形面积公式写出目标函数，求函数的最大值来确定点的位置.【解析】以BC边所在直线为x轴，AE边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.由已知可得A(0，60)，B(90，0).所以AB所在直线方程为+=1.即y=60-x，从而可设线段AB上一点P，其中0≤x≤90，所以所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y).故S=(300-x)=-x2+20x+54000=-(x-15)2+54150(0≤x≤90).所以当x=15，y=60-〓15=50时，S max=54150(m2).因此点P距直线AE15m，距直线BC50m时所开发的面积最大，最大面积为54150m2. 【拓展延伸】用代数法解决几何问题(1)建立适当坐标系将几何问题代数化是常用的解题方法.(2)建立坐标系时要尽可能地应用题目中的垂直关系，且让尽可能多的元素落在坐标轴上.关闭Word文档返回原板块。
高中数学北师大版必修二 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式 课件(26张)
=
x-y-1=0.
(2)∵ 直线与 x 轴垂直,∴ 方程为 x=-3. (3) + =1,整理得 x-y+2=0. (4) + =1,整理得 x+y-4=0.
������ 4 ������ 4 ������ -2 ������ 2
������-������1 ������2 -���意义,因此不能用两点式表示.当 x1=x2 时,直线方程为 ������2 -������1
x=x1;当 y1=y2 时,直线方程为 y=y1.
预习交流 2
在直线方程的一般式 Ax+By+C=0 中,为什么要规定 A,B 不同时为 0? 提示:若 A=B=0,则方程变为 C=0,此时该式不能表示任何直线.故直 线方程的一般式 Ax+By+C=0 必须加上 A,B 不同时为 0 这个条件,才能 表示一条直线.
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问题导学
当堂检测
1.已知两点的坐标,求此两点所在直线的方程时,可首先考虑两点 式方程;若两点所在直线的斜率存在时,也可利用点斜式表示方程;若利 用条件能求出 x 轴、y 轴上的截距时,可用截距式表示方程,但不论用何 种方法,最后结果通常化为一般式. 2.由于直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 , 所以在利用待定系数法设直线的截距式方程求解时 ,要注意这一局限 性,避免造成丢解.一般地,当直线在两坐标轴上的截距相等、在两坐标 轴上的截距互为相反数、在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 k(k≠0)倍 时,经过原点的直线均符合这些要求,求其方程时应分类讨论.
高中数学二章解析几何初步1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式课后课时精练课件北师大版必修2
解析
8．若直线 l 与两坐标轴的交点分别为(－3,0)，(0，－4)，则直线 l 的方 程是________．
答案 4x＋3y＋12＝0
解析 因为直线 l 与两坐标轴的交点分别为(－3,0)，(0，－4)，所以直线 l 在 x，y 轴上的截距分别为－3，－4，故直线 l 的方程是－x3＋－y4＝1，可化 为 4x＋3y＋12＝0.
解析
2．已知直线 l 的方程为 9x－4y＝36，则 l 在 y 轴上的截距为( ) A．9 B．－9 C．4 D．－4
答案 B 解析 由 9x－4y＝36，得 y＝94x－9，∴b＝－9.
答案
解析
3．已知直线 ax＋by－1＝0，在 y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直
线 3x－y－ 3＝0 的倾斜角的 2 倍，则( )轴正方向围成面积为 2 的三角形且截距差的绝对值为 3 的直 线方程的一般式是________．
答案 x＋4y－4＝0 或 4x＋y－4＝0
解析 设直线方程为xa＋by＝1(a>0，b>0)，
则12ab＝2，
解得 a＝4，b＝1 或 a＝1，b＝4.
|a－b|＝3，
答案
课后课时精练
时间：25 分钟 1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
答案 B
答案
解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线 上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或 点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为 0，所以直线不一定能写成截 距式．故选 B.
北师大版高中数学必修2学案第二章第一课时直线方程的两点式和一般式
1.2直线的方程第一课时直线方程的点斜式[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程． 2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义． 3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.【主干自填】1．直线方程的点斜式和斜截式2．垂直于坐标轴的直线直线过点直线的特点方程形式(x0，y0)垂直于x轴x＝x0垂直于y轴y＝y03．(1)在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的□03纵坐标．(2)在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的□04横坐标．【即时小测】1．思考下列问题(1)若直线经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则该直线上任意一点的坐标满足什么关系？提示：设P(x，y)是直线上除P0外任意一点，那么y－y0x－x0＝k，∴y－y0＝k(x－x0)，点P0也满足该式，这就是直线的方程．(2)过点(2,1)且垂直于x轴或y轴的直线方程是怎样的？提示：x＝2，y＝1.(3)经过y轴上一点(0，b)且斜率为k的直线方程是什么？提示：设直线上除(0，b)外任一点坐标为(x，y)，则y－bx＝k，即y＝kx＋b.点(0，b)也满足该式，∴直线方程为y＝kx＋b.2．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)提示：D由点斜式得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．3．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1提示：C∵直线方程y＋2＝－x－1，可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.4．直线方程y＝kx＋b(k＋b＝0，k≠0)表示的图形可能是()提示：B解法一：因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即k＝－b，所以令y＝0，得x＝－bk＝1，所以直线与x轴的交点为(1,0)．只有选项B中图形符合要求．解法二：已知k＋b＝0，所以k＝－b，代入直线方程，可得y＝－bx＋b，即y＝－b(x－1)．又k≠0，所以b≠0，所以直线必过点(1,0)．只有选项B中图形符合要求．解法三：由直线方程为y＝kx＋b，可得直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.因为k＋b＝0，所以k＝－b，即直线的斜率与直线在y轴上的截距互为相反数．选项A中，k>0，b>0，则k＋b>0，不符合要求；选项B中，k>0，b<0，图形可能符合要求；选项C中，k<0，b＝0，则k＋b<0，不符合要求；选项D中，k<0，b<0，则k＋b<0，不符合要求.例1根据条件写出下列直线方程的点斜式．(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90°；(3)经过原点，倾斜角为60°；(4)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.[解](1)直线斜率为tan45°＝1，∴直线方程为y－4＝x＋1.(2)直线斜率不存在，直线平行于y轴，∴所求直线方程为x＝4.(3)直线斜率为tan60°＝3，∴所求直线的方程为y＝3x.(4)直线斜率为0，∴直线方程为y＝1.类题通法点斜式方程使用的条件是直线的斜率必须存在，因此解答本题要先判断直线的斜率是否存在.若存在，求出斜率，利用点斜式写出方程；若不存在，直接写出方程x＝x0.[变式训练1]根据下列条件写出直线方程的点斜式．(1)经过点(3,1)，倾斜角为60°；(2)斜率为32，与x轴交点的横坐标为－7.解(1)设直线的倾斜角为α，∵α＝60°，k＝tanα＝tan60°＝3，∴所求直线的点斜式方程为y－1＝3(x－3)．(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7得直线过点(－7,0)，又斜率为3 2，由直线方程的点斜式得y－0＝32[x－(－7)]，即y＝32(x＋7).例2(1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．[解](1)∵直线的斜率为2，在y轴上截距是3，∴直线方程的斜截式为y＝2x＋3.(2)把直线l的方程2x＋y－1＝0化为斜截式为y＝－2x＋1，∴k＝－2，b＝1，点P的坐标为(0,1)．类题通法斜截式方程书写注意的问题(1)已知直线斜率或直线与y轴交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．(2)利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．[变式训练2] 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)倾斜角是30°，在y 轴上的截距是0.解 (1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y ＝3x －3.(2)由题意可知，直线的斜率k ＝tan60°＝3，所求直线的方程为y ＝3x ＋5. (3)由题意可知所求直线的斜率k ＝tan30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y ＝33x .例3 求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限． [证明] 证法一：直线l 的方程可化为 y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限． 证法二：直线l 的方程可化为(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0. 令⎩⎨⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3. ∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3)． ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．类题通法直线的斜截式方程的书写方法直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断．[变式训练3] 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围． 解 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎨⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32. 所以，k 的取值范围是{|k k ≥32.易错点⊳忽略方程的适用条件致错[典例] 已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求直线AB 的方程． [错解] 由A (－1,2)，B (m,3)，得直线AB 的斜率k ＝1m ＋1，利用点斜式，得直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． [错因分析] 没有讨论直线AB 的斜率是否存在(m 的取值)，而直接认为直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． [正解] 当m ＝－1时，由A (－1,2)，B (－1,3)，得直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，由A (－1,2)，B (m,3)，得直线AB 的斜率k ＝1m ＋1，利用点斜式，得直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．课堂小结1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y －y 1x －x 1＝k ，此式是不含点P 1(x 1，y 1)的两条反向射线的方程，必须化为y －y 1＝k (x －x 1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x ＝x 1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b )点、斜率为k 的直线y －b ＝k (x －0)，即y ＝kx ＋b ，其特征是方程等号的一端只是一个y ，其系数是1；等号的另一端是x 的一次式，而不一定是x 的一次函数．如y ＝c 是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.1．直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A．60°，2 B．120°，2－3C．60°，2－ 3 D．120°，2答案B解析该直线的斜率为－3，当x＝0时，y＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－ 3.2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案B解析∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，则由图知，k>0，b<0.3．斜率为4，经过(2，－3)的直线方程为________．答案y＋3＝4(x－2)4．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________．答案x＝3解析直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3.。
2021年高中数学第二章2.1.2第2课时直线方程的两点式和一般式学案北师大版必修2
第2课时直线方程的两点式和一般式知识点一直线方程的两点式[填一填](1)方程：过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线的两点式方程为y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.如图所示．(2)说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程．[答一答]1．直线的两点式方程的表示与点的选取有关吗？提示：(1)两点确定一条直线，直线的两点式方程的表示与P1，P2的选取无关．(2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1⇔y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2，即直线的两点式方程的表示与P1(x1，y1)和P2(x2，y2)这两点的顺序无关．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？提示：不一定．(1)若x1＝x2且y1≠y2，则直线垂直于x轴，方程为x－x1＝0或x＝x1.(2)若x1≠x2且y1＝y2，则直线垂直于y轴，方程为y－y1＝0或y＝y1.(3)若x1≠x2且y1≠y2，则直线方程可用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1表示．知识点二直线方程的截距式[填一填](1)方程：与两坐标轴的交点分别是P(a,0)，Q(0，b)(其中ab≠0)的截距式方程为xa＋yb＝1.如图所示．(2)说明：一条直线与x 轴的交点为(a,0)，其横坐标a 叫作这条直线在x 轴上的截距；与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．[答一答]3．直线方程的截距式在结构上有何特点？提示：直线方程的截距式为x a ＋yb ＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距．中间用“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两坐标轴上的截距，如：x 3－y 4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程．4．截距式方程不能表示哪些直线？提示：截距式方程的条件是a ≠0，b ≠0，即直线在x 轴、y 轴上的截距都不能为0，所以截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线及经过原点的直线．知识点三 直线方程的一般式 [填一填](1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)叫作直线方程的一般式．(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB；当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，没有斜率．(3)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．[答一答]5．如何理解A 2＋B 2≠0?提示：A 2＋B 2≠0表示A ，B 不能同时为零，包括三种情况：一是A ≠0且B ≠0；二是A ＝0，B ≠0；三是B ＝0，A ≠0.6．坐标平面内的直线，都可以用关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示吗？提示：可以，坐标平面内的任何一条直线，都可以用关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示．1．对直线的两点式方程的两点说明(1)直线的两点式方程应用的前提条件：x 1≠x 2，y 1≠y 2，即直线的斜率不存在及斜率为0时，不能应用两点式方程．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1，此时直线垂直于x 轴； 当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1，此时直线垂直于y 轴．(2)两点式方程可以变形为(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)·(y 2－y 1)，在此方程中，不再有x 1≠x 2，y 1≠y 2的限制，因而此方程可以表示过平面上任意两点的直线方程．2．对直线的截距式方程的两点说明(1)由截距式方程可以直接得到直线在x 轴与y 轴上的截距． (2)直线方程的截距式是两点式的特例，它有三类不能表达： ①垂直于x 轴的直线(倾斜角为90°的直线)； ②垂直于y 轴的直线(倾斜角为0°的直线)； ③过原点的直线．类型一 直线方程的两点式【例1】 已知△ABC 的顶点分别为A (2,8)，B (－4,0)，C (6,0)，求过点B 且将△ABC 的面积平分的直线方程．【思路探究】 三角形面积＝12底×高，将△ABC 的面积平分，可以考虑取底的一半就可以了，即中线从面积上平分三角形．【解】 求出AC 的中点D 的坐标，即D (4,4)，则直线BD 即为所求，由直线方程的两点式得y －04－0＝x －(－4)4－(－4)，即所求的直线方程为x －2y ＋4＝0.规律方法 根据中点坐标公式求线段的中点坐标，根据两点坐标写出两点的直线方程．已知三角形的顶点分别是A (－2，－1)，B (－1,5)，C (3，－3)，求BC 边上中线所在直线的方程．解：设线段BC 的中点为D (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－1＋32＝1，y ＝5－32＝1，即D (1,1)．由两点式得AD 所在直线的方程为y －1－1－1＝x －1－2－1，整理可得2x －3y ＋1＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为2x －3y ＋1＝0.类型二 直线方程的截距式【例2】 已知直线l 经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． 【思路探究】 直线l 满足的两个条件是：(1)过点(3，－2)；(2)在两坐标轴上的截距相等，若设a ，b 分别为l 在两坐标轴上的截距，则有a ＝b ，但要注意a ＝b ＝0时的情形．【解】 解法一：依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．令x ＝0，得y ＝－2－3k ；令y ＝0，得x ＝2k ＋3.由题意－2－3k ＝3＋2k ，解得k ＝－1或k ＝－23.∴l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－23(x －3)，即为x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.解法二：设直线l 在两坐标轴上的截距均为a .①若a ＝0，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若a ≠0，则l 的方程可设为x a ＋ya ＝1.∵l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a ＝1，即a ＝1，∴直线l 的方程为x ＋y ＝1，即为x ＋y －1＝0.综合①②可知直线l 的方程为2x ＋3y ＝0或x ＋y －1＝0.规律方法 若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式x a ＋yb＝1中，可得所求的直线方程．注意：a 为横截距，b 为纵截距，一定要明确截距式方程的结构形式．求经过点A (－3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．解：当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，将(－3,4)代入y ＝kx 中得4＝－3k ，∴k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.当截距不为0时，设直线方程为x a －ya ＝1，则－3a －4a ＝1，∴a ＝－7，∴直线方程为x －y ＋7＝0.∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0或4x ＋3y ＝0.类型三 直线方程的一般式【例3】 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件确定m 的值．(1)直线l 在x 轴上的截距是－3； (2)直线l 的斜率是－1.【思路探究】 要使直线在x 轴上的截距为－3，令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3＝－3，但要注意m 2－2m －3≠0.(2)当斜率为－1时，有－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，但要注意2m 2＋m －1≠0.【解】 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0 ①2m －6m 2－2m －3＝－3 ②，由①可得m ≠－1，且m ≠3，由②可得m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1且m ≠12m ＝－1或m ＝－2，∴m ＝－2. 规律方法 1.把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．2．要学会直线方程的一般式与特殊形式之间的相互转化，在求直线方程时，并不一定要设一般式，根据题目的条件选择恰当的形式，但最终结果一般要用一般式方程来表达．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)；(2)经过点B (4,2)，平行于x 轴；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32、－3；(4)经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)． 解：选择合适的直线方程形式．(1)由点斜式得y －(－2)＝－12(x －8)，即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式得y ＝2，即y －2＝0.(3)由截距式得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式得y －(－2)－4－(－2)＝x －35－3，即x ＋y －1＝0.类型四 直线过定点的问题【例4】 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．【思路探究】 解答本题可先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第(1)问，也可以变形将x ，y 看成a 的系数，a 的系数与常数项均为0，解方程组得定点坐标；第(2)问可根据直线不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零求得．【解】 (1)证明：证法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．证法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0. ∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝05y －3＝0，即⎩⎨⎧x ＝15y ＝35.即l 过定点A (15，35)．故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即当x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.规律方法 含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化为点斜式即可求得定点的坐标．在变形后特点如果还不明显，可采用证法二的解法，即将方程变形，把x ，y 作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x ，y 的值，即为直线过的定点．已知(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0为直线l 的方程，求证：不论k 取何实数，直线l 必过定点，并求出这个定点的坐标．解：将直线方程(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0化为k (x －y －2)＋x ＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝0x ＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1， ∴不论k 取任何实数，l 过定点，定点为(1，－1)．——易错警示系列—— 忽视直线的截距为0的特殊情况直线的截距是直线与坐标轴的交点的横坐标或纵坐标，在x 轴上的截距就是直线与x 轴交点的横坐标，在y 轴上的截距就是直线与y 轴交点的纵坐标．当直线过原点时，此时在x 轴、y 轴上的截距都是0，所以在两坐标轴上的截距相等时，应注意截距都为0的情形，此时直线方程的形式是y ＝kx .在非零截距的情况下，可设方程为x a ＋yb＝1.【例5】 求经过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程． 【错解】 设直线方程为x a ＋ya＝1，将x ＝2，y ＝3代入，得2a ＋3a ＝1，解得a ＝5.故所求的直线方程为x ＋y －5＝0.【错因分析】 截距相等包含两层含义，一是截距不为0时的相等，二是截距为0时的相等，而后者常常被忽视，导致漏解．【正解】 (1)当截距为0时，直线l 过点(0,0)，(2,3)， ∵直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，∴直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.(2)当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵直线l 过点P (2,3)，∴2a ＋3a ＝1，∴a ＝5，∴直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.求过点A (5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程． 解：由题意知，当直线l 在坐标轴上的截距均为零时，直线l 的方程为y ＝25x .当直线l 在坐标轴上的截距不为零时， 设l 的方程为x 2a ＋ya＝1.将点(5,2)代入方程得52a ＋2a ＝1，解得a ＝92.∴直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上所述，所求直线l 的方程为y ＝25x 或x ＋2y －9＝0.一、选择题1．方程－x 16＋y18＝1的直线在x 轴、y 轴上的截距分别为( B )A ．16,18B ．－16,18C ．16，－18D ．－16，－18解析：令y ＝0，得x ＝－16；令x ＝0，得y ＝18，∴在x 轴、y 轴上的截距分别为－16,18.2．关于x ，y 的方程(a 2－a －2)x ＋(2－a )y ＋5＝0是直线的方程，则( C ) A ．a ＝2 B ．a ＝－1 C ．a ≠2 D ．a ≠1 解析：由题意知a 2－a －2和2－a 不同时为0，∴a ≠2.3．下列命题：①y －y 0x －x 0＝k 表示过定点P (x 0，y 0)且斜率为k 的直线； ②直线y ＝kx ＋b 和y 轴交于B 点，O 是原点，那么b ＝|OB |；③一条直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，那么该直线的方程为x a ＋yb ＝1；④方程(x 1－x 2)(y －y 1)＋(y 2－y 1)(x －x 1)＝0表示过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点的直线． 其中错误命题的个数是( D ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：①不是点斜式 ，因为它不包含点(x 0，y 0)． ②b ≠|OB |，b 是点B 的纵坐标，可正可负可零． ③当a ＝b ＝0时，直线方程不能写成x a ＋yb＝1.④正确，过P 1(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线方程可以这样写． 二、填空题4．直线x －y ＋1＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为12.解析：直线x －y ＋1＝0在两坐标轴上的截距分别为－1,1， 故S ＝12×|－1|×|1|＝12.5．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是－b 2.解析：令x ＝0，得y ＝－b 2. 三、解答题6．已知两点A (1,3)，B (5,7)，直线AB 过点C (m,12)，求直线AB 的方程和m 的值． 解：由两点式y －37－3＝x －15－1得AB 的方程为x －y ＋2＝0，把C (m,12)代入得m ＝10.。