概率论与数理统计第八章汇总
概率论与数理统计(8)假设检验
概率论与数理统计(8)假设检验第八章假设检验第一节假设检验问题第二节正态总体均值的假设检验第三节正态总体方差的检验第四节大样本检验法第五节 p值检验法第六节假设检验的两类错误第七节非参数假设检验第一节假设检验问题前一章我们讨论了统计推断中的参数估计问题，本章将讨论另一类统计推断问题——假设检验.在参数估计中我们按照参数的点估计方法建立了参数的估计公式，并利用样本值确定了一个估计值，认为参数真值。
由于参数是未知的，只是一个假设（假说，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用样本进行验证（检验）.下面我们先对几个问题进行分析，给出假设检验的有关概念，然后总结给出检验假设的思想和方法.一、统计假设某大米加工厂用自动包装机将大米装袋,每袋的标准重量规定为10kg，每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常. 根据以往的经验知道,自动包装机装袋重量X服从正态分布N( )．某日开工后，抽取了8袋，如何根据这8袋的重量判断“自动包装机工作是正常的”这个命题是否成立？请看以下几个问题：问题1引号内的命题可能是真，也可能是假，只有通过验证才能确定．如果根据抽样结果判断它是真，则我们接受这个命题，否则就拒绝接受它，此时实际上我们接受了“机器工作不正常”这样一个命题．若用H0表示“”，用H1表示其对立面，即“”，则问题等价于检验H0：是否成立，若H0不成立，则H1：成立．一架天平标定的误差方差为10-4(g2)，重量为的物体用它称得的重量X服从N( )．某人怀疑天平的精度，拿一物体称n次，得n 个数据，由这些数据(样本)如何判断“这架天平的精度是10-4(g2)”这个命题是否成立？问题2记H0: =10-4，H1: ，则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种电子元件的使用寿命X服从参数为的指数分布，现从一批元件中任取n个，测得其寿命值（样本），如何判定“元件的平均寿命不小于5000小时”这个命题是否成立？记问题3则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种疾病，不用药时其康复率为，现发明一种新药（无不良反应），为此抽查n位病人用新药的治疗效果，设其中有s人康复，根据这些信息，能否断定“该新药有效”？记问题4则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到震级4级及以上的地震共计162次，问相继两次地震间隔的天数X是否服从指数分布？问题5记服从指数分布，不服从指数分布．则问题也等价于检验H0成立，还是H1成立．在很多实际问题中，我们常常需要对关于总体的分布形式或分布中的未知参数的某个陈述或命题进行判断，数理统计学中将这些有待验证的陈述或命题称为统计假设，简称假设．如上述各问题中的H0和H1都是假设.利用样本对假设的真假进行判断称为假设检验。
概率论与数理统计第8章(公共数学版)
P (弃真)
P(拒 绝H0
|
H
为
0
真)
P(
A
|
H
为
0
真)
小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率
越大,犯第一类错误的概率越大, 即越显著. 故在检验中,也称为显著性水平
20
2.第二类错误:纳伪错误
如
果
原
假
设H
是
0
不
正
确
的, 但
却
错
误
地
接
受
了Hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
此时我们便犯了“纳伪”错误,也称为第二类错误
统计量观测值 u 57.9 53.6 2.27 6 10
该批产品次品率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
11
若从一万件产品中任意抽查12件发现1件次品
p 0.04 代入
取 0.01，则 P12(1) C112 p1(1 p)11 0.306 0.01
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受 原假设, 即该批产品可以出厂.
13
例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际
称其中的一个为原假设,也称零假设或基本假设 记 为H0 称另一个为备择假设,也称备选假设或对立假设 记为H1 一般将含有等号的假设称为原假设
7
二、假设检验的基本原理
假设检验的理论依据是“小概率原理” 小概率原理:如果一个事件发生的概率很小,那么在一 次实验中,这个事件几乎不会发生. 如: 事件“掷100枚均匀硬币全出现正面”
（三）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计
量的分布查表确定出临界值，进而得到H0的拒绝域 和接受域.
概率论与数理统计8-2
X 0
/
X 0 z / 2 ，即 ~ N (0, 1) . 所以， P n / n
即
P X 0 z / 2 . n
n
( x)
1 (| z |) ( | z |) 2[1 (| z |)] ；
2
( x)
2
Z /2
如果是右侧检验，则
p ＝ P { X | Z |} 1 (| z |) ；
O
Z /2
x
如果是左侧检验，则
p ＝ P { X | Z |} ( | z |) 1 (| z |) ．
临界值法的基本步骤 例 8.4 单边检验 例 8.5 例 8.6
8.2.2 单个正态总体方差的 2 检验 检验几种类型 同步练习 1,2,3 例 8.8 小结 例 8.9
8.2.1. 单正态总体 N ( , ) 均值 的假设检验
2
1.双侧检验 H 0 : 0 ； H 1 : 0
t / 2 ( n 1) 0 .1 6
可作出判断，接受原假设 H0，认为该厂生产的电阻均值确 实等于 10 欧姆．
8.2.1. 单正态总体 N ( , ) 均值 的假设检验
2
临界值法进行假设检验的基本步骤如下： 步骤一：针对具体问题，做出一个合理的原假设和备 择假设，选择原假设的原则是：事先有一定的信任度或出 于某种考虑要加以保护； 步骤二：构造一个统计量； 步骤三：根据统计随机变量的分布类型、原假设与备 择假设、显著性水平确定拒绝域； 步骤四：将样本值带入统计随机变量得到统计值，若 统计值在拒绝域内，拒绝原假设，否则，接受原假设．
概率论与数理统计第8章
实验目的
通过实际数据验证概率论与数理统计中的理论 和方法，提高对理论知识的理解和应用能力。
01
1. 数据收集
从相关领域获取实际数据，确保数据 质量和代表性。
03
3. 理论应用
根据实验目的选择合适的理论和方法，进行 数据分析和解读。
05
02
实验方法
收集相关领域的实际数据，运用概率论与数 理统计中的理论和方法进行分析，如概率分 布、参数估计、假设检验等。
无偏性、有效性和一致性。
有效性
在所有无偏估计量中，有效性 是指方差最小的估计量。
点估计
用样本统计量来估计未知参数 的过程。
无偏性
估计量的期望值等于被估计的 参数值。
一致性
随着样本容量的增加，估计量 的值应趋近于被估计的参数值。
区间估计
区间估计
根据样本数据推断未知参数的可能取值范围。
置信区间和置信水平
本章内容主要包括贝叶斯推断的基本概念、贝叶斯推断的数学基础、贝叶斯推断 在参数估计和假设检验中的应用，以及贝叶斯推断的优缺点和与其他统计方法的 比较。
学习目标
01
掌握贝叶斯推断的基本原理和方法，理解贝叶斯推 断的数学基础。
02
学会使用贝叶斯方法进行参数估计和假设检验，了 解贝叶斯推断在实践中的应用。
案例总结
总结案例分析的成果，提炼出具有指导意义的结论和建议，为实际工 作提供参考和借鉴。
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感谢您的观看
置信区间是参数可能取值的范围，置信水平是该区间包含参数真 值的概率。
区间估计的步骤
确定置信水平、构造合适的统计量、计算置信区间。
假设检验的基本概念与步骤
假设检验
概率论和数理统计(第三学期)第8章参数估计
由契比雪夫不等式，有
P( S 2 ES2
n
n
)
DS
2
n
＝
2 4
2 n 1 2
即 lim P( S 2 ES2 ) 0
n
n
n
(n 1)S 2
E
2
n n 1
ES2 2 n
故 lim P( S 2 2 ) 0
n
n
§8.3 参数的区间估计
定义
设是总体的未知参数，若 （1 1
6
S~2 1 1.20 0.162 0.85 0.162 0.30 0.162 6 0.45 0.162 0.82 0.162 0.12 0.162 1 1.042 0.692 0.142 0.612 0.982 0.282 6 1 2.99 6 0.498 2
n
p xi
1
p
1 xi
xi p i1
1
p
n
n xi
i1
i 1
n
令y xi，得： i 1 ln Lxi , p y ln p n yln1 p
由对数似然方程
d ln L y n y 0 dp p 1 p
解得
p
y n
1 n
n i 1
xi
x
因为这是惟一的解，所 以p的极大似然估计值为
二、顺序统计量法
定义
1
, 2
,
,
为总体
n
的一个样本，将它
们按大小次序排列，取 居中的一个数 (若n为偶
数时，则取居中两数的 平均值)记为~，称~为
样本中位数。
即
~
k
1
,
1 2
k
8概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第八章
∑ ⎪⎪⎧Yrij
⎨
= µ + ai ai = 0;
+ ε ij ,
i = 1, 2, L, r,
⎪ i=1
⎪⎩ε ij 相互独立，且都服从N (0, σ 2 ).
j = 1, 2, L, m;
检验的原假设与备择假设为 H0：a 1 = a 2 = … = a r = 0 vs H1：a 1 , a 2 , …, a r 不全等于 0．
i=1 j =1
∑ ∑ 1
σ2
r i =1
m
(Yij
j =1
− Yi⋅ ) 2
~ χ 2 (rm − r) ，
∑∑ 故 Se
σ2
=1 σ2
r i =1
m
(Yij
j =1
− Yi⋅ )2
~
χ 2 (n − r) ，即得 E(S e) = (n − r)σ 2；
4
r
r
r
r
r
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ （2） S A = m (Yi⋅ − Y )2 = m (ai + εi⋅ − ε )2 = m ai2 + m (ε i⋅ − ε )2 + 2m ai (εi⋅ − ε ) ，
是第 i 个总体内样本均值与总样本均值的偏差，称为组间偏差，反映第 i 个总体的主效应． 三．偏差平方和及其自由度
∑ 在统计学中，对于
k
个独立数据
Y1 ,
Y2 ,
…,
Yk
，平均值 Y
=
1 k
k
Yi
i =1
，称
Yi 与 Y
之差为偏差，所有偏差
的平方和
k
∑ Q = (Yi − Y )2 i =1
《概率论与数理统计》习题及答案第八章
《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章1. 设x.,x2,,%…是从总体X中抽岀的样本，假设X服从参数为兄的指数分布，⼏未知，给泄⼊〉0和显著性⽔平a(Ovavl),试求假设H o的⼒$检验统计量及否建域.解选统汁量*=2⼈⼯⼄=2如庆则Z2 -Z2(2n) ?对于给宦的显著性⽔平a,査z'分布表求出临界值加⑵"，使加⑵2))=Q因z2 > z2 > 所以(F"： (2/1)) => (/2 > /； (2n)),从⽽a = P{X2 > 加⑵“} n P{r > Za(2/0)可见仏:2>^的否定域为Z2>Z；(2?).2. 某种零件的尺⼨⽅差为O-2=1.21,对⼀批这类零件检查6件得尺⼨数据(毫⽶)：，，，，，。
设零件尺⼨服从正态分布，问这批零件的平均尺⼨能否认为是毫⽶(a = O.O5).解问题是在/已知的条件下检验假设：“ = 32.50Ho的否定域为1“ l> u af2u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 >1.96,所以否泄弘，即不能认为平均尺⼨是亳⽶。
3. 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为b = 100,今抽了⼀个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性⽔平a = 0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。
解问题是在b?已知的条件下检验假设://>1600的否定域为u < -u a/2,其中X-1600 r-r 1580-1600 c , “11 = ------------ V26 = ------------------- x 5.1 = —1.02.100 100⼀叫05 =—1.64.因为// =-1.02>-1.64 =-M005,所以接受H(>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.4. ⼀种元件，要求其使⽤寿命不低于1000⼩时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950⼩时，已知该元件寿命服从标准差为o-=100 ⼩时的正态分布，问这批元件是否合格(<7=0.05)解设元件寿命为X,则X~N(“，IO。
概率论与数理统计第八章
问题1、2是参数检验
问题3 某电话交换台在一小时内接到电话用户的呼唤 次数按分钟统计得到记录 呼唤次数 0 1 2 3 4 5 6 ≥7 频 数 8 16 17 10 6 2 1 0 问电话呼唤次数X是否服从泊松分布？ 总体的分布是否为泊松分布？ 已知总体的样本资料，要求推断 该总体的均值（或方差）是否等于某值？ 两总体的均值（或方差）是否相等？ 该总体的分布是否为某种分布？
非参数检验
问题1 某车间用一台包装机自动包装葡萄糖,额定 标准为每袋净重0.5公斤.设每袋重量服从正态分布, 且=0.015.某天开工后,随机抽取9袋,称得净重为 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512.问包装机的工作是否正常? 总体的均值是否等于额定值0.5？
第八章 假设检验
假设检验
所谓假设检验就是对总体X作某种假设，然后 利用概率论的知识和从总体中抽取样本而获得 的信息，判定假设是否成立的推断方法.
参数估计 统计推断 假设检验 具体方法 统计分析方差分析 回归分析
所谓假设检验就是对总体X作某种假设，然后 利用概率论的知识和从总体中抽取样本而获得 的信息，判定假设是否成立的推断方法. 两类假设检验问题 1. 总体分布类型已知,但含有未知 参数，对未知参数作某种假设， 参数检验 然后判断假设的正确性. 2. 总体分布类型未知，对总体的 分布类型等作某种假设，然后 判断假设的正确性.
0
引例: 某车间用一台包装机自动包装葡萄糖,额定标 准为每袋净重0.5公斤.设包装机包装的实际袋重服从 正态分布,且标准差 =0.015(公斤).某天开工后,为检验 包装机的工作是否正常,随机抽取9袋,称得净重为: 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 问这天包装机的工作是否正常?
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H
真时
0
:
T
X S
0
n
~
t(n 1)
由p{|T|t0.025(n 1)} =0.05,
得水平为=0.05的拒绝域为 |T|t0.025(6)=2.4469
这里
| t || 112 .8 112 .6 | 0.466 1.135
2.4469
7
接受H0
·右边HT问题 H0： =0 ；H1： >0, 或 H0： 0 ；H1： >0,
解:H0：=10620；H1：>10620
H
真时
0
:
T
X S
0
n
~
t(n 1)
由p{Tt0.05(9)} =0.05, 得拒绝域为 Tt0.05(9)=1.8331
这里 t 10631 .4 10620 0.45 1.8331 81 10
接受H0
·左边HT问题 H0： =0 ；H1： <0, 或 H0： 0 ；H1： <0,
第二节 正态总体均值的假设检验
(Hypothesis Testing of a Mean of a Normal Population )
一、单个总体参数的检验
二、两个总体参数的检验 三、小结
一、单个正态总体均值的检验
1. 2为已知, 关于的检验(UZ 检验 )
在上节中讨论过正态总体 N (, 2 )
0时 :T
X S
0
n
~
t(n 1)
由p{Tt(n 1)} =,
得水平为的拒绝域为
Tt(n1),
EX 某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620 (kg/mm2)
今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度 (kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05 ,问 新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉 强度要高?
H0: 0 , H1: 0
的拒绝域为W {Z z }.
说明：(1) H0：=0；H1：0称为双边HT问题；而 H0：=0；H1： >0(或< 0), 则称为单边问题；
(2) H0：0；H1：>0 或H0：0；H1： <0 也称为单边HT问题, 不过这是一个完备的HT问题。 (3)可证:完备的HT问题与不完备的HT问题有相同的拒 绝 域, 从而检验法一致。
检验假设H0 : 0, H1 : 0 .
设 X1, X2 ,, Xn 为来自总体 X 的样本,
因为 2 未知, 不能利用 X 0 来确定拒绝域. / n
因 S2 是 2 的 无偏估计，故用 S 取代 ,
即采用 T X 0 来作为检验统计量.
S/ n
根据抽样分布知
当H0为真时，
X S
接受H0
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:
0时 :T
X S
0
n
~
t(n 1)
由p{T - t(n 1)} =,
得水平为的拒绝域为
T - t(n 1)
EX 设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10620
(kg/mm2)的正态分布, 今从某厂生产的镍合金线中抽取10根,测 得平均抗拉强度10600 (kg/mm2) ,样本标准差为80.,问该厂的镍
来检验的方法称为Z检验法。
当 2为已知时, 关于 0的检验问题:
假设检验： H0: 0 , H1: 0
选择统计量
Z
X
/
0
n
，当H0成立时，Z
~
N (0, 1)
对于给定的检验水平 0 1,
由标准正态分布分位数定义知，PZ z ,
因此，检验的拒绝域为 W {Z z }. 类似地,可得左边假设检验问题：
当 2为已知时, 关于 0的检验问题:
假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 ;
选择统计量UZ X 0 ， / n
当H
成
0
立
时
，UZ
~
N (0,1)
对于给定的检验水平 0 1
由标准正态分布分位数定义知，
P Z z / 2
因此，检验的拒绝域为 W1 { z z }， 2 或者记为 W1 { x1, x2 , , xn : z z } 2 其中 z为统计量Z的观测值。这种利用Z统计量
合金线的抗拉强度是否不合格? (=0.1)
解:H0：10620；H1：<10620
10620时:T X 10620 ~ t(9)
S 10
由p{T - t0.1(9)} =0.1, 得拒绝域为 T - t0.1(9) =-1.383
这里
t
10600 80
10620
0.79 1.8331
10
·先考虑不完备的右边HT问题的解
H0：=0；H1：>0,
H
下
0
Z X μ0 ~N( 0,1) σn
可得拒绝域：W {Z Z }
现考虑完备的右边HT问题 H0：0；H1：>0,
H
下
0
X μ ~N( 0,1) σn
若取拒绝域为 W { X k}
0
则犯第一类错误的概率为
P{ X
k
|
0}
X
/
0
n
~
t(n 1),
当H0为真时，
X 0 ~ t(n 1),
S/ n
由t分布分位数的定义知
P
X 0
S/ n
t / 2 (n 1)
拒绝域为
W1 { t
x 0
s/ n
t / 2 (n 1)}
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法.
在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题.
P0 {
0
k
0 }
n
n
X
P0 {
k
0 }
n
n
于是: k 0
z
得k 0
பைடு நூலகம்
n z
n
即 得 检 验 的 拒 绝 域 为x 0
n z
即 ：z
x 0
z
故
n
W {Z Z } 是H0：0；H1：>0,
的水平为的拒绝域。
2. 2为未知, 关于 的检验( t 检验)
设总体 X ~ N(, 2 ), 其中, 2 未知, 显著性水平为 .
EX 用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度,重 复测量7次，测得温度(℃): 112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6 而用某种精确办法测得温度为 112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有 无系统偏差(设温度测量值X服从正态分布,取 =0.05 )?