两个正态分布的混合分布参数的估计_吴为人
《应用统计方法》多元正态分布参数估计 (2)
它度量了在值 xk 1 ,, xp给定的条件下，xi 与 x j （ i, j k ）相关性的强弱。
2019/4/23 应用统计方法
十三.全相关系数 X XX X 设Z ~ N p 1 ( , y Y 1 yX
cov(y, z ) E (y Ey )(z Ez )
E ( Ax EAx)(Bx EBx) AE (x Ex)(x Ex)B AVar (x)B
AIB AB
2019/4/23 应用统计方法
九、设x ~ Nn (0, ) ， y Ax ， z Bx ，其中 A 是 p n 阶矩阵， B 是 q n 阶矩阵， rank( A) p ， rank( B) q， 则 Z 与 Y 相互独立，当且仅当 AB 0。
1 μ12 μ1 Σ12Σ 22 (x 2 μ 2 ).
为 x 2 给定的条件下 x1 数学期望。
并称1.2为X 对X 的回归，称 B 12 为回归系数
(1) ( 2) 1 22
2019/4/23
1 Σ11.2 Σ11 Σ12 Σ x1的条件协方差矩阵 22 Σ21是x2的条件下
11 22
2019/4/23
应用统计方法
f (x) f1 (x1 ) f 2 (x2 )
故x1和x2相互独立。
2019/4/23
应用统计方法
八、设 x ~ Nn (0, I) ， y Ax ， z Bx ，其中 A 是 p n 阶矩阵， B 是 q n 阶矩阵， rank ( A) p ， rank( B) q ， 则 Z 与 Y 相互独立，当且仅当 AB 0 。
7.8 两个正态总体参数的区间估计
2 1
2 2
)
1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2
2 1
n
2 2
m
,(X
Y
)
z
2
2 1
2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n
m
2)}
1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)
2 0.95
(18)
9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,
2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
多元正态分布参数的估计与假设检验
n
其观察值
s = ∑ ( xk − x )( xk − x )
k =1
n
T
它反映了总体协方差 矩阵的信息
S 1 n = ∑ ( X k − X )( X k − X )T n n k =1
3、样本矩的性质 定理8.1 定理8.1 设 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n )是 来 自 总 体 X 的 样 本 S X ~ N p ( µ , Σ ), Σ > 0 , 则 X , 分 别 是 µ 和 Σ 的 最 大 似 然 n ˆ = S. ˆ 估计量，即µ = X , Σ n 定理8.2 定理8.2 设 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n )是 来 自 总 体 X 的 样 本 S X ~ N p ( µ , Σ ), Σ > 0 , 则 X , 分 别 是 µ 和 Σ的 最 小 方 差 n −1 ˆ = S . ˆ 无偏估计量，即µ = X , Σ n −1 证明略
则 X 1 , X 2 , ⋯ , X n 为 相 互 独 立 的 p维 正 态 变 量 ， 同 时 ，
1 n X = ∑ X i , 因 而 X 服 从 p维 正 态 分 布 ， 其 期 望 向 量 与 n i =1 1 n EX = ∑ EX i = µ 协方差阵为 n i =1 1 n 1 n DX = E {( ∑ X i − µ )( ∑ X i − µ ) T } n i =1 n i =1 1 n 1 T = 2 ∑ E {( X i − µ )( X j − µ ) } = Σ n i , j =1 n
i =1 n
cov(Y j , Yk ) = cov( ∑ uij ( X i − µ ), ∑ ulk ( X l − µ ))
6.3两个正态总体参数的假设检验
代入样本值，并计算t检验统计量的观测值t；
医用数理统计
(3)对于给定的显著性水平，由t分布表(见附表６) 查得临界值t (n 1), 使得
2
P{ t t } , 参见第五章图5 2
2
(4)当 t t 时，拒绝H0，接受H1，即认为
计算统计量过程不变,算得t 7.925
对给定 =0. 05和自由度n-1=9，查t分布表(附表6)， 得到临界值:
医用数理统计
左侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
医用数理统计
医用数理统计
(4)统计推断：当u u时，拒绝H0，接受H1，即认为
显著大于0；
当u u时，接受H0，不能认为显著大于0；
(或当u u时，拒绝H0，接受H1，即认为显著小于0; 当u u时，接受H0，不能认为显著小于0 )
2 d
n
T
D0 Sd / n
~ t ( n 1)
统计量的观察值
t
d sd / n
d sd / n
t / 2 ( n 1)}
C {t
医用数理统计
例6-6 为比较两种方法对乳酸饮料中脂 肪含量测定结果是否不同，随机抽取了10份
乳酸饮料制品，分别用甲、乙两种方法测定
其结果如表6-4第(1)~(3)栏，问两法测定结果
求解σ2的置信度为（1-）的置信区间为
(n 1) S 2
2 2
2
(n 1) S 2
2 1
2
医用数理统计
二、假设检验的一般步骤
综上所述，可得到进行假设检验的一般步骤： (1)建立检验假设：包括原假设 H 0和备择假设H1； (2)确定检验统计量及其分布，并根据样本值计算检 验统计量的值
正态分布的参数估计及假设检验教学指导书
正态分布的参数估计及假设检验一、实验目的掌握参数估计和假设检验的 MATLAB 的有关命令。
二、实验内容及要求1、掌握参数估计和假设检验的 MATLAB 的有关命令；2、熟练掌握单个正态总体期望和方差的区间估计；3、熟练掌握两个正态总体期望差和方差比的区间估计的命令；4、熟练掌握对单个正态总体均值、方差的假设检验；5、掌握对两个正态总体均值、方差有关的假设检验；6、对统计结果能进行正确的分析。
三、实验的重点和难点实验的重点和难点是要求学生掌握基本的MATLAB 软件的编程语言，掌握基本的调用命令。
四、实验准备掌握假设检验的相关步骤；(1) 根据问题提出合理的原假设0H 和备择假设；(2) 给定显著性水平α, 一般取较小的正数, 如0.05,0.01等； (3) 选取合适的检验统计量及确定拒绝域的形式； (4) 令P{当0H 为真拒绝0H }α≤, 求拒绝域；(5) 由样本观察值计算检验统计量的值, 并做出决策: 拒绝0H 或接受0H . 五、实验步骤下面是MATLAB 软件提供的一些常用的参数估计函数命令. 一、矩估计命令：mu_ju=mean(X) % 返回样本X 的均值sigma2_ju =moment(X,2) % 返回样本X 的2阶中心矩 例1. 来自某总体X 的样本值如下：232.50, 232.48, 232.15, 232.52, 232.53, 232.30, 232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30，求X 的均值与方差的矩估计。
解：x=[232.50, 232.48, 232.15, 232.52, 232.53, 232.30, 232.48,232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30];mu_ju=mean(X)sigma2_ju= moment(X,2)输出：mu_ju =232.4025sigma2_ju =0.0255二、单个总体极大似然估计与区间估计（参数均未知）命令1: [a,b]=namefit (X, ALPHA) % 返回总体参数的极大似然估计a与置信度为100(1- ALPHA)%.的置信区间，若参数为多个，ab也是多个，若省略ALPHA，置信度为0.95常用分布的参数估计函数表3-1 参数估计函数表函数名调用形式函数说明binofit PHAT= binofit(X, N)[PHA T, PCI] = binofit(X,N)[PHA T, PCI]= binofit (X, N, ALPHA)二项分布的概率的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的参数估计和置信区间poissfit Lambdahat=poissfit(X)[Lambdahat, Lambdaci] = poissfit(X)[Lambdahat,Lambdaci]=poissfit(X, ALPHA)泊松分布的参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的λ参数和置信区间normfit [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,ALPHA)正态分布的最大似然估计，置信度为95%返回水平α的期望、方差值和置信区间betafit PHAT =betafit (X)[PHA T, PCI]= betafit (X, ALPHA)返回β分布参数a和b的最大似然估计返回最大似然估计值和水平α的置信区间unifit [ahat,bhat] = unifit(X)[ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, ALPHA)均匀分布参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的参数估计和置信区间expfit muhat =expfit(X)[muhat,muci] = expfit(X)[muhat,muci] = expfit(X,alpha)指数分布参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的参数估计和置信区间gamfit phat =gamfit(X)[phat,pci] = gamfit(X)[phat,pci] = gamfit(X,alpha)γ分布参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回最大似然估计值和水平α的置信区间weibfit phat = weibfit(X)[phat,pci] = weibfit(X)[phat,pci] = weibfit(X,alpha)韦伯分布参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的参数估计及其区间估计Mlephat = mle('dist',data)[phat,pci] = mle('dist',data)[phat,pci] = mle('dist',data,alpha)[phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1)分布函数名为dist的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的最大似然估计值和置信区间仅用于二项分布，pl为试验总次数说明：各函数返回已给数据向量X的参数最大似然估计值和置信度为（1-α）×100%的置信区间。
第十二讲多元正态分布的参数估计与检验
已知和未知分两种情形： 根据协方差阵 V 已知和未知分两种情形：
（1） V 已知 ） 检验统计量
可以证明当 H 0成立时， 即 µ1 = µ2时， 成立时，
∗
n1n2 T −1 D= ( X −Y ) V ( X −Y ) n1 + n2
∗
不成立时， 有偏大的趋势。因此， 而当 H 0不成立时， D∗有偏大的趋势。因此，对 给定的显著性水平 α ，当
∗ ∗ 2 1−α
（2） V 未知 ） 检验统计量
n1n2 (n1 + n2 − p − 1) T ˆ −1 F = ( X −Y ) V ( X −Y ) p(n1 + n2 )(n1 + n2 − 2)
∗
ˆ 其中V =
1 ( S1 + S 2 ) 是协方差阵 V 的估 n1 + n2 − 2
计量。 计量。 成立时， 可以证明当 H 0成立时， 即 µ1 = µ2时，
I 0 = m 0 I p− m
0 ∆ D. 0
令
0 U T ( X − µ ) I p− m
则由性质3知 则由性质 知 Z ～ N p ( 0, D )，且Y ～ N m (0, I m ), 由上式可得
Λ X −µ =U 0
1 2 1 2 0 Z = U Λ Y . 0 I p− m
λ1 0 令 Λ= ⋮ 0
0
λ2
⋮ 0
⋯ 0 ⋯ 0 , 则有 ⋯ ⋮ ⋯ λm
− 1 2
Λ 0
−
1 2
0 U TVU Λ 0 I p− m Y Λ Z = = W 0
混合偏正态数据下中位数回归模型的参数估计
168
昆明理工大学学报(自然科学版)
第46卷
分布，吴刘仓等⑷研究了联合位置与尺度混合专家回归模型的参数估计，马婷等⑼基于Gauss - Newton迭 代法研究了联合位置、尺度与偏度模型的极大似然估计，李世凯等少］研究了偏正态数据下混合非线性回 归模型的参数估计.
以上文献仅局限于均值模型的参数估计，目前还没有文献研究混合偏正态数据下中位数回归模型的 参数估计,为了提高偏正态数据下参数估计的灵活性，本文研究了混合偏正态数据下中位数回归模型的参 数估计.模拟和实例研究结果显示该模型的方法是有效的.
Z；2,…,Z"），其中 Jl ,i在j分量中 lO,i不在_/分量中
通过使用偏正态分布的分层表达（3）,我们得到下列混合偏正态分布的分层表达形式:
即(",Zij =1)：N仏 + oy0(入J
即（勺=l）：77V（0,l；（0,8））
其中,Z服从多点分布.因此，当Z,=l时（y,R）的联合密度为:
170
昆明理工大学学报（自然科学版）
第46卷
测值禺=（0：,巧入,巧『为参数向量,则基于观测值的对数似然函数为：
nm
z （o I % = X X 勺log { FjSN（ yt
}
i=1 J=1
构造完全数据Ymm = Yobs U %，记为{yi,Zi ,rj角，由混合偏正态分布的分层表达（刀，可得完全数据下
收稿日期：2020-09-03 基金项目：国家自然科学研究基金项目(11861041)；昆明理工大学学生课外学术科技创新基金项目(2020YB208) 作者简介:曾鑫(1996 -)，男，硕士研究生•主要研究方向:应用统计.E -mail:zengxin9058@ 163. com 通信作者:吴刘仓(1976 -)，男，博士,教授.主要研究方向:应用统计.E -mail:wuliucang@ 163. com
混合分布的最大似然概率
混合分布的最大似然概率引言在统计学中，最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过寻找使得观测数据出现的概率最大的参数值来估计未知参数。
最大似然估计在各个领域中有着广泛的应用，其中一个重要的应用领域就是混合分布模型。
什么是混合分布？混合分布是由多个分布组合而成的分布模型。
每个组成部分都是一个分布，而混合分布则是这些分布的线性组合。
混合分布在实际应用中非常常见，特别是当我们的数据集包含多个不同的子群体时。
假设我们的数据集包含两个子群体，一个子群体的数据符合正态分布，另一个子群体的数据符合指数分布。
我们可以通过混合分布来描述这个数据集，其中正态分布和指数分布分别是组成混合分布的两个组成部分。
混合分布的参数估计方法混合分布的参数估计是指通过观测数据来估计混合分布的组成部分以及每个组成部分出现的概率。
最大似然估计是一种常用的混合分布参数估计方法。
E步骤：计算每个观测数据属于每个组成部分的概率在最大似然估计中，首先需要计算每个观测数据属于每个组成部分的概率。
这可以通过使用贝叶斯定理来计算得到。
对于每个观测数据，我们计算其属于每个组成部分的概率，并保存起来以便在后续步骤使用。
M步骤：更新组成部分的参数在M步骤中，我们固定每个观测数据属于每个组成部分的概率，然后更新每个组成部分的参数。
具体而言，我们通过对每个组成部分的概率进行加权平均来更新每个组成部分的参数。
这个加权平均的权重就是每个观测数据属于该组成部分的概率。
重复进行E步骤和M步骤直到收敛在最大似然估计中，需要多次迭代进行E步骤和M步骤，直到参数的估计值收敛。
收敛的标准可以是参数的变化不大或者似然函数的变化不大。
一般情况下，我们可以选择一个合适的迭代次数来进行参数估计。
实例演示下面通过一个实例来演示混合分布的最大似然估计方法。
假设我们有一个数据集，该数据集包含两个子群体，其中一个子群体的数据符合正态分布，另一个子群体的数据符合指数分布。
我们的目标是通过最大似然估计来估计这两个子群体的参数。