正态分布及其性质
正态分布及其性质(经典实用)
正态分布及其性质（经典实用）正态分布又被称为高斯分布，是概率论中常用的分布，它是分布函数和密度函数均有解析解的概率分布，是连续型随机变量的概率分布。
正态分布函数是概率论中用以描述随机变量、以及所有随机变量之统计量取值状况的圆形曲线，也是描述数理统计实验结果的重要函数，它能够直接给出不同观测值的概率分布。
正态分布的参数是平均值μ和标准差σ。
正态分布最重要的性质是“中位数与均值相等”。
也就是说，正态分布的中位数与均值是相等的，因此，它的分布图是对称的。
同时，由于正态分布的概率密度函数（PDF）是可以分解的，这意味着它的偏度（极度偏离均值）总是为零。
因此，正态分布也被称为“均匀分布”。
正态分布还有一个重要性质就是“尾部性质”，即曲线的两端与几何中的直线弧形拟合的很好，而不是凸起的。
这个性质的结果就是，正态分布的更高百分位数的变化要比其他变化慢，而更低百分位数的变化则要快得多。
由此可见，正态分布可以用来说明各分量成分上的不均衡程度，也可以帮助对比不同尺度下的模式记录。
此外，正态分布具有“参数持久性”。
也就是说，一旦观测变量以高斯分布进行分布，则当被研究变量发生改变时，正态分布的形状几乎不变，只是其平均值和标准差可能会发生改变。
这就使得正态分布很容易用来描述大多数的随机变量的取值，因为变量的变化与其分布的形状几乎没有关系，也使得它有用的性质得以迅速推广到更高的维度，以实现更高的精度。
此外，正态分布的性质可以被应用到推断实验当中，也就是提出一个正态分布的概念，用“事实是正态分布的”来做背景下的推断。
例如，假定一组未知变量X，其结果分布是正态分布，那么可以根据正态分布的性质，推测X在取值范围内的某个值的概率。
正态分布是一种概率分布，具有尾部性质，参数持久性以及它的中位数与均值相等的性质，它能够帮助我们研究随机变量的分布状况以及它们的变化趋势，并且也可以提供一种可靠的推断方法。
正态分布的基本特性和参数估计
正态分布的基本特性和参数估计正态分布，也称为高斯分布，是统计学中最为重要的分布之一。
它具有许多独特的特性和应用，被广泛应用于各个领域的数据分析和建模中。
本文将介绍正态分布的基本特性，并探讨参数估计的方法。
一、正态分布的基本特性1. 对称性：正态分布是一种对称分布，其概率密度函数在均值处取得峰值，并向两侧逐渐减小。
这种对称性使得正态分布在实际应用中具有很大的优势，能够较好地描述许多自然现象和随机变量的分布。
2. 峰度和偏度：正态分布的峰度和偏度分别为3和0。
峰度反映了分布的尖锐程度，而偏度则反映了分布的对称性。
正态分布的峰度为3，表示其相对于均匀分布而言具有更为尖锐的峰值。
而偏度为0，表示其对称性较好，左右两侧的分布相似。
3. 68-95-99.7法则：正态分布具有一个重要的特性，即约68%的数据落在均值的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
这个法则在实际应用中非常有用，可以帮助我们对数据进行初步的分析和判断。
二、参数估计的方法在实际应用中，我们常常需要根据给定的样本数据来估计正态分布的参数，包括均值和标准差。
以下介绍两种常用的参数估计方法。
1. 极大似然估计：极大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是找到最有可能使得观测到的样本数据出现的参数值。
对于正态分布，我们可以通过最大化似然函数来估计均值和标准差。
具体的计算方法可以使用数值优化算法，如梯度下降法等。
2. 方法 of moments：方法 of moments（矩估计）是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是通过样本矩与理论矩的对应关系来估计参数。
对于正态分布，我们可以通过样本均值和样本方差来估计均值和标准差。
具体的计算方法比较简单，只需要求解一组方程即可。
三、正态分布的应用正态分布在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下列举几个常见的应用场景。
1. 统计推断：正态分布是统计推断中的重要工具，它可以用来进行假设检验、置信区间估计等。
正态分布的性质与应用
正态分布的性质与应用正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
它具有许多独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍正态分布的性质以及在实际问题中的应用。
正态分布的定义正态分布是一种连续型概率分布，其图像呈钟形曲线。
它由两个参数完全确定：均值μ和标准差σ。
正态分布的概率密度函数可以表示为：其中，是自然对数的底数，是随机变量，是均值，是标准差。
正态分布的性质正态分布具有以下几个重要的性质：对称性正态分布是关于均值对称的，即其概率密度函数在均值处取得最大值，并且两侧的曲线形状相同。
峰度正态分布的峰度为3，表示其曲线相对于标准正态分布更加平缓。
尾部衰减正态分布的尾部衰减非常缓慢，远离均值的极端值出现的概率非常小。
累积分布函数正态分布的累积分布函数可以用标准正态分布表来查找，从而计算出给定值的概率。
独立性若多个随机变量服从正态分布，并且它们之间相互独立，则它们的线性组合也服从正态分布。
正态分布的应用正态分布在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用。
统计推断正态分布在统计推断中起着重要的作用。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，许多随机变量的和或平均值近似服从正态分布。
这使得我们可以利用正态分布进行参数估计、假设检验等统计推断。
财务分析在财务领域，许多经济指标如股票收益率、利润增长率等都服从正态分布。
通过对这些指标进行建模和分析，可以帮助投资者制定合理的投资策略和风险管理。
生物学在生物学研究中，许多生物特征如身高、体重等都服从正态分布。
通过对这些特征的测量和分析，可以帮助科学家了解人群的生理特征，并进行相关研究。
质量控制正态分布在质量控制中起着重要的作用。
通过对产品质量指标的测量和分析，可以判断产品是否符合质量标准，并采取相应的措施进行改进。
风险管理正态分布在风险管理中也有广泛的应用。
通过对风险因素的建模和分析，可以评估风险的概率分布，并制定相应的风险管理策略。
结论正态分布是一种重要的概率分布，具有许多独特的性质和广泛的应用。
正态分布的性质及其在实际中的应用
正态分布的性质及其在实际中的应用正态分布是数学中的一个重要概念，这种分布在生活中的应用非常广泛。
在现代统计学中，正态分布是基本分布之一，具有许多独特的性质。
在本文中，我们将探讨正态分布的性质及其在实际中的应用。
什么是正态分布？
正态分布是一种连续的概率分布，也被称为高斯分布或钟形曲线。
它具有以下特点：
1. 对称性: 正态分布是一个对称分布，以均值为中心对称。
2. 集中性: 大多数数据集中在均值附近。
3. 概率密度函数: 正态曲线的概率密度函数具有以下形式：
其中，μ是均值，σ是标准差，π是圆周率，e是自然对数的底数。
实际应用
正态分布的应用非常广泛，特别是在统计学中。
如下是几个例子:
1. 财务分析
正态分布可用于分析公司收益的变化情况。
在财务分析中，正态分布可作为比较不同公司的基准。
如果一个公司的收益呈正态分布，那么可以比较其收益的均值和标准差来判断其在业内的优劣。
2. 计算机科学
正态分布可用于计算机网络的性能分析。
在计算机科学中，正态分布可以用于模拟和预测网络中的数据传输和带宽利用率等方面的情况。
3. 生物学
在生物学中，正态分布可以用于分析群体的数量和分布。
例如，可以使用正态分布来分析某个药物的效果、细胞数量等。
结论
正态分布是统计学中一个基本且有用的概念。
它在实际中的应
用非常广泛，可以用于越来越多的领域，包括财务、计算机科学
和生物学等。
在熟悉它的模式和特点的基础上，我们可以更好地
分析它的数据，并从中获得更多、更精准的信息。
第四章 第一讲 正态分布及其性质
u
查标准正态分布函数值表便可得 u
x
图2 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标 准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数.
0 .0 5
u 1 .6 4 5
0 .0 1
所以有 P 0 . 84 X 0 . 64 ( 0 . 64 ) ( 0 . 84 )
0 . 7389 0 . 2005 0 . 5384
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
例 设X～N(0, 1)，求P(－1＜X≤2)，P(X＞2.5). 解 P( －1＜X≤2 ) = Φ( 2 )－Φ( －1 ) = Φ( 2 )－[1－Φ( 1 )] = 0.9772－(1－0.8413) = 0.8185. P{ X ＞ 2.5 }= 1－Φ( 2.5 )
第四章 正态分布
第一讲
正态分布及其性质
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
第一讲 正态分布及其性质
• • • • 一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
一、正态分布
1、定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) 1 2 πσ
解 ： （ 2） P { X 5 0 0 2 0 0} 1 P { X 500 200 }
1 P{ 200 60 X 500 60 200 60 }
200 200 1 60 60
正态分布
2. 一般正态分布的概率计算
对于一般正态分布的概率计算，可以应用定积分的
换元法将其转化为标准正态分布的概率计算.
定理 设X~ N(, ) ，则 X ~ N(0,1).
这样，若X~ N(, )，并记其分布函数为 F(x)，则
从而
F ( x)
P{X
x}
P
X
x
P
X
1 2
5
1
2
2
0.9772
P{0
X
1.6}
P
0
1 2
X 1 2
1.6 1
2
0.3 0.5
0.3 0.5 1
0.6179 0.6915 1 0.3094
P{
解：由题意知 X ~ N (10.05,0.062 )，于是
P{
X
10.05
0.12}
P
0.12 0.06
X
10.05 0.06
0.12
0.06
2 2
22 1
2 0.9772 1 0.9544
例4 设 X ~ N(, )，求 P{ X }, P{ X 2 },
越小，图形越陡峭.
o
1 x
0.5 1 1.5
x
特别地，当 0， 1时，称 X 服从标准正态分布，
记为 X ~ N(0,1)，其概率密度函数为
(x)
1
x2
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
它在自然界和人类社会中广泛存在，被用于描述各种现象的分布规律，从而对数据进行分析和预测。
本文将详细介绍正态分布的定义、性质以及应用。
一、正态分布的定义和性质正态分布是一种连续型的概率分布，可以通过其概率密度函数来描述。
这个函数的图像呈现出钟形曲线，其形状对称轴对称，且在均值处达到最大值。
正态分布的概率密度函数可由以下公式表示：f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。
正态分布具有以下重要的性质：1. 对称性：正态分布的概率密度函数相对于均值呈现对称性，即左右两侧的曲线形状相同。
2. 峰度：正态分布的峰度为3，表示其曲线相较于正态分布的峰度更加平坦。
3. 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，所得的正态分布称为标准正态分布。
标准正态分布在统计学中具有重要的作用，经过适当的转换，可以将任何正态分布转化为标准正态分布。
二、正态分布的应用正态分布在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
下面将介绍其中几个典型的应用。
1. 统计推断：由于正态分布具有丰富的性质和可靠的统计特征，在统计学中得到了广泛应用。
通过对观测数据的分析，可以利用正态分布进行参数估计和假设检验，从而得到关于总体的推断结果。
2. 质量控制：正态分布在质量控制中有着重要的应用。
例如，在生产过程中，通过对产品质量数据的测量和分析，可以使用正态分布来确定产品是否合格以及如何调整生产过程，以确保产品符合规定的质量标准。
3. 金融市场：正态分布在金融领域中的应用广泛而重要。
许多金融市场价格变动的模型都基于正态分布。
例如，根据正态分布模型，可以计算股票价格的变动概率，评估投资风险，并进行资产配置和风险管理。
4. 人口统计学：正态分布在人口统计学中的应用主要用于研究人口特征和人口变化规律。
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它描述了大量随机变量的分布规律，被广泛应用于各个领域的数据分析和预测中。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质、应用以及如何利用正态分布进行统计推断。
一、正态分布的基本概念1.1 正态分布的定义：正态分布又称高斯分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中间最高。
1.2 正态分布的特点：正态分布具有唯一的均值和标准差，均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
1.3 正态分布的标准化：通过标准化可以将正态分布转化为标准正态分布，即均值为0，标准差为1的正态分布。
二、正态分布的性质2.1 正态分布的均值和中位数相等：正态分布的均值和中位数相等，即曲线对称中心位置处的值。
2.2 正态分布的68-95-99.7法则：约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
2.3 正态分布的线性组合仍然是正态分布：对于正态分布的线性组合，如两个正态分布的和或差，仍然是正态分布。
三、正态分布的应用3.1 在自然科学中的应用：正态分布常用于测量误差、实验数据分析等领域，如物理学、化学等。
3.2 在社会科学中的应用：正态分布被广泛应用于人口统计、心理学研究、经济学分析等领域。
3.3 在工程技术中的应用：正态分布在质量控制、可靠性分析、风险评估等方面有重要应用。
四、利用正态分布进行统计推断4.1 正态分布的参数估计：通过样本数据估计总体的均值和标准差，得到对总体的估计。
4.2 正态分布的假设检验：利用正态分布进行假设检验，判断总体参数是否符合某种假设。
4.3 正态分布的置信区间估计：通过正态分布的性质，构建总体参数的置信区间，对总体参数进行估计。
五、结语正态分布作为统计学中重要的概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过深入理解正态分布的基本概念和性质，我们可以更好地应用正态分布进行数据分析和推断，为各个领域的研究和实践提供有力支持。
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然 后 ， 通 过 查分 标布 准表 正中 态
xa,xb的(x)值.(课
本 P58页)
从而，可计(算 ,2服 )的从 正态分布
的随机变 取量 值a在 与b之间的.概率
例 题7.生 产 工 艺 工 程 中 产尺品寸的的 偏 差 （mm）~ N（0，2.5） ， 如 果 产 品 的 尺 寸 与 规 定 的 偏 差 的 绝 对超值过不3mm为 合 格 品 ， 求： （1）的 概 率 密 度 函 数 ； （2） 生 产 5的件 产 品 的 合 格 率 不8小 0%于 的 概 率.
(2).走第一条路线及时的赶概到率为： P（0 6 5） （6 55 0）
10 （1.5）0.9332
走 第 二 条 路 线 及 时的赶概到率 为 ： P（0 65） （6560）
4 （1.25） 0.8944.
因此，在这种情况走 下第 应一条路.线
小概率事件的含义
区间 （μ－σ，μ＋σ） （μ－2σ，μ＋2σ） （μ－3σ，μ＋3σ）
表示总体的分布越集. 中
x
X
例题1.设随机变量 ~ N（2，2），
则D（ 1 ）的值为（ C ）
2 A.1; B.2; C. 1 ; D.4.
2
正态曲线下的面积规律
（1）正态曲线下面积的意义：正态曲线下一定 区间内的面积代表变量值落在该区间的概率。 整个曲线下的面积为1，代表总概率为1。 曲线下面积的求法：定积分法和标准正态分布法
总体分布的概率问题。
标准正态总体N(0,1)的概率问题:
由于标准正态总体 N0,1在正态总体的研究
中有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态
分布表” 。
表 中 相 对 于 x 0 的 值 是 指 P （ X x 0 ） 的 大 小 。 就是图中阴影 区域A的面积
该区域的面积表示？
A
又该如何计算呢
x
72(kg)
x(,)
例6.(2).设 ~ N(0,1), 借助于标准
正态分布的函数表计:算
(1) p( > 1.24);
(2) p( < -1.24);(3)p( < 1).
ex: 一批灯泡的使用 (单 时位 间: 小时)服从 正态分N布 ，(1000,40002)则这批灯泡中使用
时间超1过 080小 0 时的灯泡的概率为
( 2 ) 若 ~ N ( u , 2 )， 则 的分布函数 用 F ( x ) 表示 ， 且有 P ( ≤ x ) = F ( x )
=
(
x-
u
)
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
(1 )若 . ~ N ( , 2 )则 , ~ N (0 ,1 ).
(2). ~N(,2),
P(ab)(b)(a),
3.正态曲线
f(x)
1
(x)2
e 22 ,xR
2
N(,)或 N(,2)
L总 体 平 均 数 Y
D 标准差
x
X
4.正态曲线的性质
(1)曲 . 线x轴 在上方x轴 ，不 与相 ;(3).交 当x 时,曲线处于最高点，
(2)曲 . 线关 x于 线 直对 ; 称 当x向左、向右远离时，
(4).当x 时，曲线上升；曲线不断地降低，呈现 出“中
当x 时，曲线下. 降
间 高 、 两 边 低 ” 的 钟形 曲 线.
并 且 当 曲 线 向 左 、两向边右无 限 延 伸 时 ，
以x轴为渐进线，x轴向无限的靠. 近
(5).当一定时，曲线的形状由确定 Y ，f(x)
越大，曲线越“矮胖，”
(x)2
1 e 22 2
表示总体的分布越分；散
越小，曲线越“瘦高，”
0.0228
5.标准正态分布 (1 ) ~ N ( 0 ,1 )， 则 的分布函数通常 用 ( x ) 表示 ， 且 ( x ) = P ( ≤ x ) 对于 x ≥ 0 ， ( x )的值可在标准正态
分布表中查到
, 而 x < 0 的 ( x )的值
可用 : ( x ) = 1 - ( x )
取值概率 68.3% 95.4% 99.7%
小概率事件的含义: 发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次
试验中几乎不可能发生
8.假设检验的基本思想与生产过程 中质量控制图
(1).假设检验是就正态而总言体的， 进行假设检验可归如结下为三步：
1).提出统计. 假设 统计假设里的变 正量 态服 分N（ 从 布，） .
解(： 1). ~ N(0,2.5),0,2 2.5
又f(x)
1
(x)2
e 22
2
的概率密度函f数(x)为 1
x2
e 5 (xR)
5
解(： 2).设表 示5件 产 品 中 的 合 格. 品 数 ~ B ( 5 ,P ) p ( p ( | |3 )),
P ( ||3) ( 3) (3) 2.5 2.5
解：设为行车时间
（1）走第一条路线，及赶 时到的概率为：
P（0 70） （70 50） （0 50）
10
10
（70 50） （2） 0.9722 10
走第二条路线，及到时的赶概率为：
P（070）（7060）（050）
4
4
（7060）（2.5）0.9938 4
在这种情况下应走条 第路 二线.
期望是 1
。
例2、已知 ~ n(0,2)，且 P (20)0.4，
则 P( 2) 等于( A )
A.0.1 B. 0.2
C. 0.3
D.0.4
例3、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
y
例4、如图，为某地成年男
1
性体重的正态曲线图，请写 1 0 2
出其正态分布密度函数，并
求P（|X-72|<20）.
2).确定一次试a验 的中 取值是否 落入 (3,3)内.
3).作 出 判. 断 如 果a(3,3)， 接 受 统 计;假 设 如 果a(3,3)， 就 拒 绝 统 计. 假 设
例 题10.一 建 桥 工 地 所 需 要筋的的钢长 度 服 从 正 态 分 布 N（8，4） ， 质 量 员 在 检 查批一钢大 筋 的 质 量 时 ， 发 现钢有筋的长 度 少2， 于他 是 让 钢 筋 工 继 续 用 钢割筋机切截 割 钢 筋 呢 ？ 还 是 让 钢 筋 工 停 止，生检产修 钢 筋 切 割 机 ？
P（X5）1P（X5）1（56） 3
1（0.5）（0.5）0.6915
例题 9.某人从城市南郊某地乘 公共汽车前往 北郊火车站有两条路线 可走，第一条路线 穿过市区，路线较短， 但交通拥挤，所需时 间（单位：分）服从正 态分布 N（50，10 2）； 第二条路线沿环城公路 走，但交通阻塞少， 所需时间服从正态分布 N（60，4 2） （1）若只有 70 分钟可用，问应走哪条 路？ （2）若只有 65 分钟可用，又应走哪条 路？
服 从 正 态 分N布（8，32） 和N（6，22） 投 资 者 要 求 “ 利 润 超5万过元 ” 的 概 率 尽 量 地 大 ， 那 么 他 应 该 选一择个哪方 案 ？
解：对第一种X方~N 案（8有 ， 32），于是
P（X5）1P（X5）1（58） 3
1（1）（1）0.8413 对第二种方X案 ~N有 （6， 22），于是
(1.90) (1.90) (1.90) [1(1.90)] 2(1.90)10.9426 P(50.8)P(4) C45(0.942)460.057(40.942)56 0.9707
例 题8.一 投 资 者 在 两 个 投案资中方选 择 一 个 ， 这 两 个 投 资 方 案 的X利（润万 元 ） 分 布
解：设检验出的钢筋长度为a，则a 2. 8, 2,| a | 3 这 说 明 这 一 钢 筋 的 长 度出 现 在 区 间 （ 3， 3）之外，理应拒绝假设. 所 以 质 检 员 应 马 上 让 钢筋 工 停 止 生 产 ， 立 即 检 修 钢 筋 切 割 机.
5.标准正态分布 (1 ) ~ N ( 0 ,1 )， 则 的分布函数通常 用 ( x ) 表示 ， 且 ( x ) = P ( ≤ x ) 对于 x ≥ 0 ， ( x )的值可在标准正态
分布表中查到
, 而 x < 0 的 ( x )的值
可用 : ( x ) = 1 - ( x )
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
P(2X2)= 0.9544 .
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则
相应的正态曲线在x= 0.3
时达到最高点。
5、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落
在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学
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从而，可计(算 ,2服 )的从 正态分布
的随机变 取量 值a在 与b之间的.概率
c 例题 4.正态总 N（ 体 0， 1）在区间 2， （ 1）和
（ 1， 2）上取值的概P率 1、P分 2，布 则为 （） A.P1 P2;B.P1 P2;C.P1 P2;D.不确.定
（2）对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
知识点：标准正态曲线
当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总 体，其相应的函数表达式是
f (x)
1
x2
e 2 ,xR
2
其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态总 体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要 地位。任何正态分布的问题均可转化成标准