常用连续型分布性质汇总及其关系

常用连续型分布性质汇总及其关系1. 常用分布 1．1 正态分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为()()()22222(),.,.x t xp x x F x edt x μσμσ-----∞=-∞<<+∞=-∞<<+∞则称X 服从正态分布，记作()2~,,X N μσ，其中参数,0.μσ-∞<<+∞> （2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量。

测量误差就是由量具零点偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等等随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。

（3）关于参数,μσ：μ是正态分布的的数学期望，即()E X μ=，称μ为正态分布的位置参数。

μ为正态分布的对称中心，在μ的左侧和()p x 下的面积为0.5；在μ的右侧和()p x 下的面积也是0.5，所以μ也是正态分布的中位数。

2σ是正态分布的方差，即2().Var X σ=σ是正态分布的标准差，σ愈小，正态分布愈集中，σ愈大，正态分布愈分散。

σ又称为是正态分布的的尺度参数。

（4）称0,1μσ==时的正态分布(0,1)N 为标准正态分布。

记U 为标准正态分布变量，()u ϕ和()u Φ为标准正态分布的密度函数和分布函数。

()u ϕ和()u φ满足：()()()();1.u u u u ϕϕ-=Φ-=-Φ（5）标准化变换： 若()2~,,X N μσ则()~0,1.X U N μσ-=（6）若()2~,,X N μσ则对任意实数a 与b ，有()(),()1(),()()(),b P X b a P a X b a P a X b μσμσμμσσ-≤=Φ-<=-Φ--<≤=Φ-Φ0.6826,1,()()()0.9545,2,.0.9973, 3.k P X k k k k k μσ=⎧⎪-<=Φ-Φ-==⎨⎪=⎩（7）特征函数 22()exp{}.2t t i t σϕμ=-（标准正态分布2()exp{}2t t ϕ=-）1.2.均匀分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为1().0a xb P x b aelse⎧<<⎪=-⎨⎪⎩ 0,,(),.1,.x a x a F x a x b b a x b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩ 则称X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，记作()~,.X U a b（2）背景：向区间(,)a b 随机投点，落点坐标X 一定服从均匀分布(),.U a b（3）()2(),().212b a a bE X Var X -+==（4）特征函数().()itb itae e t b a itϕ-=-1.3. 指数分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为,0,()0,.x e x P x else λλ-⎧≥=⎨⎩ 1,0,().0,.x e x F x else λ-⎧-≥=⎨⎩ 则称X 服从指数分布，记作()~,X Exp λ其中参数0.λ>（2）背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失败，则首次冲击到来的时间X （寿命）服从指数分布，很多产品的寿命可认为服从或者近似服从指数分布。

（3）211(),().E X Var X λλ==（4）指数分布的无记忆性：若()~,X Exp λ则对任意0,0,s t >>有(|)().P X s t X s P X t >+>=>（5）特征函数1()1.it t ϕλ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭1.4 伽玛分布（1）伽玛函数 称10()x x e dx αα+∞--Γ=⎰为伽玛函数，其中参数0.α>伽玛分布具有如下性质：（a ）(1)1;Γ= (b) 1()2Γ= (c) (1)();αααΓ+=Γ(d) (1)()!n n n n Γ+=Γ=(n 为自然数)。

（2）伽玛分布 若X 的密度函数为1,0,().()0xx e x p x else ααλλα--⎧≥⎪=Γ⎨⎪⎩则称X 服从伽玛分布，记作~(,),X Ga αλ其中0.α>为形状参数，0λ>为尺度参数。

（3）背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇到第k 次冲击时即告失败，则第k 次冲击来到的时间X （寿命）服从形状参数为k 的伽玛分布~(,).X Ga k λ（4）2(),().E X Var X ααλλ==（5）特征函数()1.it t αϕλ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭1.5 贝塔分布（1）贝塔函数 称1110(,)(1)b a B a b x x dx --=-⎰为贝塔函数，其中参数0,a >0.b >贝塔函数具有如下性质： （a ）(),(,);B a b B b a = (b) ()()(),.()a b B a b a b ΓΓ=Γ+(2) 贝塔分布 若X 的密度函数为11()(1),01,()()().0a b a b x x x b p x else α--Γ+⎧-<<⎪ΓΓ=⎨⎪⎩则称X 服从贝塔分布，记作~(,),X Be a b 其中0,a >0.b >都是形状参数。

（3）背景 很多比率，如产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率等都是在区间(0,1)上取值的随机变量，贝塔分布(,)Be a b 可供描述这些随机变量之用。

（4）()2(),.()(1)a ab E X D X a b a b a b ==++++ （5）特征函数0()()()().()()()(1)jj a b a j it t a b a b j j ϕ+∞=Γ+Γ+=ΓΓΓ++Γ+∑ 1.6 Z 分布（1）若X 的密度函数为()1()()0.()()1a a ba b x P x x a b x -+Γ+=≥ΓΓ+则称X 服从Z 分布，记作~(,),Z Z a b 其中0,a >0.b >都是形状参数。

（2）2(1)(),1,(), 2.1(1)(2)aa ab E X b Var X b b b b +-=>=>--- （3）若~(,),X Z a b 则1~(,).X Z b a2. 分布之间的关系2.1 由标准正态分布构造2χ-分布设1,...n x x 和1,...n y y 是来自标准正态分布的两个相互独立的样本， (1)221ni i x χ==∑ 服从自由度为n 的卡方分布，记为22~()n χχ。

其分布密度为12221()(0).()22n y n p y y e y n --=>Γ(2 ) 期望方差分别为()()222.E n Var n χχ==（3）特征函数为2()(12).n t it ϕ-=-2.2 由标准正态分布和卡方分布构造t 分布 (1)t =服从自由度为n 的t 分布,记为~().t t n 其分布密度为12212()(1)().()2n n y p y y n n +-+⎛⎫Γ ⎪⎝⎭=+-∞<<+∞ （2）期望方差分别()()0(1)(2).2nE t n Var t n n =>=>- （3）特征函数2.3 由两个卡方分布构造F 分布（1）()221221/()m n y y m F x x n+=++ 服从第一自由度为m ，第二自由度n 为的F分布,记为~(,).F F m n 其分布密度为21222()(1)().()()22m m m nm n m m n p y yy y m n n+--+⎛⎫⎛⎫Γ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-+-∞<<+∞ΓΓ（2）期望方差分别()()222(2)(2)(4).2(2)(4)nn mn E F n V a rF nn m n n+-=>=>---（3）特征函数为（4）若~(,),F F m n 则1~(,).F F n m （5）若~(),t t n 则2~(1,).t F n 2.4 伽玛分布，贝塔分布及其特例（1）1α=时的伽玛分布就是指数分布，即(1,)().Ga Exp λλ=（2）2,12n αλ==时的伽玛分布为自由度为n 的2χ分布，即21(,)().22n Ga n χ= （3）1a b ==时的贝塔分布就是区间(0,1)上的均匀分布，即(1,1)(0,1).Be U = （4）12,,n x x x 独立同分布于()0,1U ，(1)(2)(),,n x x x 为其顺序统计量，则有()~(,1),1,2,.k x Be k n k k n -+=特别地，(1)~(1,),~(,1).n x B e n x B en()()~(,1),1,2,.k s x x Be k s n k s k s n ---++>= 特别地()(1)~(1,2).n x x Be n --（5）若随机变量~(,),X Ga αλ则当0k >时，有~(,).Y kX Ga k αλ=特别地，()22~(,12)2.X Ga λαχα=即任一伽玛分布可转化为2χ分布。

（6）若~(,)X Be a b ，则1~(,).X Be b a -（7）若1122~(,),~(,)X Ga X Ga αλαλ且12,X X 与相互独立，则1212~(,);X X Ga ααλ++11212~(,).X Be X X αα+ （8）Z 分布与贝塔分布，F 分布的关系 若~(,),X Be a b 则(1)~(,);Y X X Z a b =- 若~(,),X Z a b 则(1)~(,).Y X X Be a b =+ 若12~(2,2),X Z n n 则2121~(,).n Y X F n n n =。