连续型随机变量的分布与例题讲解
连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
连续型随机变量的分布与例题讲解
(3) f(x) = F ¢ x) = (
1 (- ? p (1 + x 2 )
x< +
ì
- 3x
)
, x > 0, x £ 0,
例2
ï ke 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) = ï í ï 0, ï î
试确定常数
k，并求其分布函数 F(x)和 P{X>0.1}. 解：由
+?
ò
+
f (x)dx = 1 得
X ~ W (m, , ).
Weibull 分布的分布函数为
F ( x)
x
m
(t )
m 1
( t )m
e
dt 1 e
( x )m
(x )
——位置参数
——尺度参数
m ——形状参数
Weibull 分布概括了许多典型的分布。
本次课小结：
即是说该大学的实录线约为 512 分。 （三） 对数正态分布 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
1 (ln x )2 2 f ( x) 2 x e 2 0
4
基
本 内
容
备 注
其中， ， 0 为常数，则称 X 服从参数为 和 的对数正态分布，记作
（四）Weibull 分布 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
( x ) m ( x )m1 e x f ( x) x 0
m
其中， m, , 0 为常数，则称 X 服从参数为 m, , 的 Weibull 分布，记作
故知，X~N( 450 ,1002 ) 又设该大学实录线为 a，由题设知：
概率论与数理统计22连续型随机变量及其分布
0
0dt
1
2 2tdt
x (6 6t)dt 6x 3x2 2
2
0
1 2
当x 1时, F(x)
0
0dt
1
2 2tdt
1
(6 6t)dt
x
0dt 1
0
1 2
1
0 ， x 0
F
(
x)
x2， 6x 3x2
2
0 ， 1
x x
1 2 1
2
1， x 1
P(X=a) = 0
5. F(x)有可列个间断点, 且右连续 5. F(x)连续, 且 F(x) f (x)
19
几种常见的连续型随机变量的分布 均匀分布 指数分布 正态分布
20
2. 均匀分布
定义：若连续型随机变量X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,
a xb
0 , 其它
则称X在区间 [a，b]上服从均匀分布．记为X~U[a,b]
λ
28
注: 在应用中，寿命问题常看作近似服从指数分布. 如灯泡的寿命、动物的寿命、电话的通话时间等 等都近似服从指数分布. 其中λ表示平均寿命的倒 数.
29
指数分布的无记忆性 设随机变量X服从参数为λ指数分布，设s >0 , t >0，则
P( X s t X s) P({X s t}{X s}) P(X s)
3
由定义可知，连续型随机变量X的分布函数F(x) 在x 点的函数值等于其概率密度函数f (x) 在区间(-∞, x]
上的积分，故 F '(x) f (x)
同时，密度函数f (x)反映了概率在 x点附近的“密 集程度”，所以用密度函数描述连续型随机变量的 概率分布与离散型随机变量用分布列描述，在某种 意义上有相似之处。
常用的连续型分布
P{X196}0(196) 0975
根据0(x)的对称性 有
P{X196}0(196)10(196)109750025
P{|X|196}P{196X196} 0(196)0(196)
20(196)1 209751095
P{1X2}0(2)0(1)0(2)[10(1)]
0(2)0(1)1
097725084131081855
则
X
~
N(0.1)
推论2
X~N( 2)的充要条件是存在一个随机变量~N(0 1) 使
得X
提示
通常称为X的标准化
18
推论3
设X~N( 2) (x) (x)分别为其分布函数与密度函数
0(x) 0(x)是标准正态分布的分布函数和密度函数 则有
(x)
0(
x
)
(287)
(x)
1
0(
x
)
(288)
4 一般正态分布的概率计算
0.9621
查表即得 b178
由于P{Xc}0298105 所以c0 根据对称性 有
0(c)10(c)07019
查表得c053 c053
17
3 一般正态分布与标准正态分布的关系
定理26(正态分布的线性变换)
设X~N( 2) YaXb a b为常数 且a0 则
Y~N(ab a2 2)
推论1
如果 X~N( 2)
X
|
x
}
20(x
)1
0.9
即0(x
)
1.9 2
0.95
查表得x 1.645
于是 x1645355758
23
16
例223 设X~N(0 1) (1)求P{X196} P{X196} P{|X|196} P{1X2} (2)已知P{Xa}07019 P{|X|b}09242 P{Xc}02981 求a b c
连续随机变量及分布 PPT
{Y 2 4 0} {Y 2}{Y 2}
而Y ~ U (1,6) ，因此所求概率为
P(Y 2) P(Y 2) 0 6 1dx 0.8 25
2．指数分布
定义 3 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
1
ex
/
,
x
0,
0,
x 0.
概率与小区间得位置无关, 只与其长度成正
比、 这正就是几何概型得情形、
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
服从
U
110k 2
,
110k 2
的
r.v.
随机变量
例 3 设随机变量 Y 服从(1, 6)上的均匀分 布，求方程 x2 Yx 1 0 有实根的概率。
则称随机变量 X 服从指数分布，记作
X ~ e ( )，其中 0 是分布参数。
X 得分布函数为:
0, F(x) 1 ex/ ,
x0 x0
f ( x)
0
x
F( x) 1
0
x
应用场合：用指数分布描述的实例有：
（1）随机服务系统中的服务时间； （2）电话问题中的通话时间； （3）无线电元件的寿命及动物的寿命 ------------指数分布常作为各种“寿命”分 布的近似。
例 4 已知某电子元件生产的电子元件的 寿命 X(h)服从指数分布 e (3000)，该厂规 定寿命低于 300h 的元件可以退换，问改 厂被退换元件的数量大约占总产量的百 分之几？
解 因为 X 的概率密度为
f (x) 1 ex /3000, x 0 3000我们有Fra bibliotek300
§2.4连续型随机变量及其分布
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
指数分布也可定义为
f ( x)
e x , x 0 若 X ~ f ( x )= x0 0,
0
x
则称 X 服从参数为 > 0的指数分布， 其分布函数为
1 e x , x 0 F ( x )＝ x0 0,
f ( t )d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x ) 称为 X 的 概率密度函数, 简称概率密度.
f ( x)
F ( x)
o
x
x
性质
(1) f ( x ) 0 ;
( 2)
非负性
归一性
f ( x ) d x 1;
f ( x)
1
o
证明
x
f ( x )d x F ( ) 1.
0 x 3, 3 x 4, 其它.
( 2) 求 X 的分布函数;
7 ( 3) 求 P {1 X }. 2 解 (1) 由 f ( x ) d x 1,
得
x 1 0 kx d x 3 (2 2 ) d x 1, 解之得 k 6 .
3 4
1 (2) k , 由 F ( x ) 6
3
2 20 1 3 . 27
0
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 1 x θ e , x 0, f ( x) θ x 0. 0, 其中θ 0为常数, 则称X 服从参数为 的指数分布.
分布函数
1 e x θ , x 0, F ( x) x 0. 0,
2.8 - 二维连续型随机变量 - 例题详解
§2.8 二维连续型随机变量例一参见课本第107页例1！ 补充：求)(X Y P ≤.解：联合密度函数：⎩⎨⎧>>=+−other y x e y x f y x ,00,0,2),()2(，()3122),()(03202=−===≤∫∫∫∫∫∞+−−≤∞+−−dx e edy e dx e dxdy y x f X Y P x xxy x y x .例二设二维随机变量),(Y X 的分布函数为：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=y x y x F arctan 22arctan 21),(2πππ，试求：（1）),(Y X 的概率密度),(y x f ；（2）),(Y X 的两个边缘概率密度； （3）)10,20(<<<<Y X P .解：（1）222211421),(),(yx y x y x F y x f +⋅+⋅=∂∂∂=π； （2）222242111421),()(x dy y x dy y x f x f X +⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅+⋅==∫∫∞+∞−∞+∞−ππ， 222211111421),()(y dx y x dx y x f y f Y +⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅+⋅==∫∫∞+∞−∞+∞−ππ； （3）16111421)10,20(102222=++=<<<<∫∫dy y dx x Y X P π，或者：)10,20(<<<<Y X P161164166166169)0,0()1,0()0,2()1,2(=+−−=+−−=F F F F . 例三平面上的区域A 如图所示（图参见课件），),(Y X 服从区域A 上的均匀分布，试求),(Y X 的 联合概率密度及两个边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y . 解：（1）区域A 的面积为：61)(102=−∫dx x x ， 由均匀分布的定义知联合概率密度为：⎩⎨⎧∉∈=Ay x A y x y x f ),(,0),(,6),(；（2）当10<<x 时，)(66),()(22x x dy dy y x f x f x xX −===∫∫∞+∞−，即⎩⎨⎧<<−=otherx x x x f X ,010,)(6)(2；（3）当10<<y 时，)(66),()(y y dx dx y x f y f y yY −===∫∫∞+∞−，即⎪⎩⎪⎨⎧<<−=othery y y y f Y ,010,)(6)(.例四设),(Y X 的概率密度是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<=−−other y x ye e y xf yy x,0,0,),( 试求：)|1(y Y X P =>. 解：当0>y 时，y yyxY e dx ye e dx y xf y f −∞+−−∞+∞−===∫∫),()(， 从而当0,0>>y x 时，y e e ye e yf y x f y x f y xyy yx Y −−−−===)(),()|(， 所求概率：yyxedx yedx y x f y Y X P 111)|()|1(−∞+−∞+====>∫∫.例五设),(Y X 的概率密度是⎩⎨⎧>>=+−other y x xe y x f y x ,00,0,),()( 试问：X 与Y 是否独立？ 解：当0>x 时，x y x X xe dy xe dy y x f x f −∞++−∞+∞−===∫∫)(),()(，即⎩⎨⎧≤>=−0,00,)(x x xe x f x X ，当0>y 时，yy x Y edx xe y f −∞++−==∫)()(，即⎩⎨⎧≤>=−0,00,)(y y e y f y Y ，从而)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=，故X 与Y 独立。
常见连续型随机变量的分布ppt课件
最新课件
26
正态变量的标准化
定理 若 X~N(,2)，则 UX~N(0,1).
F(x)P{Xx} P {X x } (x )
已 X ~ N ( μ , 知 σ 2 ) 求 P ,{ c X d }.
P {cXd}F(d)F(c) d σμc σμ.
即 P { c X d } d μ c μ .
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12
三、正态分布
定义设连续型随机X变 的量 概率密度为 f(x) 1 e(x2σμ2)2 , x,
2πσ 其中μ, σ(σ0)为常数 ,则称X服从参数μ,为 σ 的正态分布或高,记 斯为 分X布~ N(μ,σ2).
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13
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线x关 μ对 于 ;称 (2)当 xμ时 ,f(x)取得最1大 ; 值
σ
E(X) 1
t2
(μσt)e 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
t2
te2dt
μ.
2
2
D(X) 2
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18
正态分布下的概率计算
P{Xx}F(x) 1 e dt x (t2 σμ2)2
2πσ
原函数不是
?
初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
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21
例1 证明 ( x ) 1 (x ).
证明
x
(x)
1
x2
e 2dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
2π
x
1
x2
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连续型随机变量的分布（一）连续型随机变量及其概率密度函数1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于任意的实数 x，有F ( x)xf(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量，的概率密度函数，简称概率密度。
注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。
2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。
1) f( x)≥ 0+f ( x) dx = 12) ò-x23)P{x1 < X ? x2}òx1f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 )特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0.（但 { X=x} 并不一定是不可能事件）因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X<b)= P( a≤ X<b) = P( a< X ≤b)=F(b)-F( a)4）若 f(x)在点 x 处连续，则 F (x) f (x).分布函数性质i) 0≤x)F(≤1；ii)F(- ∞ )=0,F(+∞ )=1；ⅲ) 当 x1≤x2时， F(x1) ≤ F(x2)；（单调性）iv)F(x)是连续函数注： iv) 与离散型随机变量不同，离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。
例1 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=A+B arctanx,求（ 1）系数 A， B（2）P(-1<X<1)；（3）密度函数f( x)分析：主要是应用分布函数的性质。
解（ 1）由 F(- ∞)=0,F(+ ∞)=1得A B0A122解之，得1A B1B211（ 2）由 (1)知 F(x)=arctan x,2基本内容备注故得 P （ -1<X<1 ）=F(1)-F(-1) = 1 +1arctan1- (1 + 1arctan(- 1))2p 2 p=1 p - 1(- p) = 1p 4 p 4 2￠1 (- ?x < +)(3) f(x) = F ( x) =p(1+ x 2 )ì - 3x? , x > 0, 例 2设随机变量 X 的概率密度为?ke试确定常数 f (x) = í?x ￡0,?0,k ，并求其分布函数F(x)和 P{X>0.1}.+f (x) dx = 1得解： 由ò-+ ? f (x) dx =f ( x)dx +f (x)dx =+ke - 3x dx = k / 3 = 1,蝌-?òk = 3.ì- 3x>?, x 0,f (x) =?3eí?x ￡ 0.?0,当 x ￡ 0 时， F (x )x0dtx当 x > 0 时， F (x) =蝌-0dt +3e - 3t dt = 1- e - 3 xì- 3x>? -e, x 0,于是，?1F(x) = í?x ￡0.?0,P{X > 0.1} = 1- P{X ? 1}1- F (1)= 1-(1- e - 0.3 ) = e - 0.3 = 0.7408.（二）正态分布（ 1）设随机变量 X 的概率密度函数为1(x) 2f(x)e2 2,x ,2其中 , ( 0) 为常数，则称X 为服从参数为, 的正 态分布，记作X ~N(,2). 其图象为（右图） 。
其中： 称为位置参数，f (x) 的图形关于 x对称， 影响 f (x)的最大值及曲线的形状。
分布函数为基 本 内 容备 注x1 (t)2F (x)e 2 2dt 。
2性质：1.曲线关于 x对称，这表明对于任意h 0 有 P{ -hX } P{Xh}.2.当 x时， f ( x)取到最大值： f(1 .)2（ 2）标准正态分布特别地，当0, 1 时，称 X 服从标准正态分布，记为 X ~ N (0,1). 相应的概率密度函数和分布函数分别记为1 x 21 t 2(x)2 ，xe (x)e 2dt.22π易知( x) 1 (x) 。
(x) 即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。
例 3 设随机变量 X~N(0,1) ，查表计算：(1) P(X ≤ 2.5)； (2) P(X>2.5) ； (3) P(|X|<2.5).解 (1) P(X ≤ 2.5) = Φ(2.5) =0.993790(2) P(X>2.5) =1- P(X ≤ 2.5) =1- Φ(2.5) =0.006210 (3)P(|X|<2.5) =P(-2.5<X<2.5) = Φ (2.5)- Φ (-2.5) =2 Φ (2.5)-1=2×0.993790-1 =0.987580引理若 X~N( , 2),则 ZX ~ N (0,1).X -证Z 的分布函数为X1(t ) 2P{ Z x}P{ x}P{ Xx}x 22e 2dt ，令t1 xu 2Xu ，得e 2du( x)，可知 Z~ N (0,1).2基 本 内 容备 注于是，若 X ~ N(, 2 )，则它的分布函数 F (x) 可写成：F (x) P{ X x}P{Xx}(x).对于任意区间(x 1 ,x 2 ]，，有P{x 1 X x 2}P{x1X x 2}(x2)(x1).注： 可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。
例如，设 X~N(1,4) ，则P{0 X 1.6}P{1 X 1 1.6 1}2 2 21.6 10 1(0.3)(0.5) 0.6179 [1(0.5)]220.6179 1 0.6915 0.3094.例 4 设某商店出售的白糖每包的标准全是500 克 ,设每包重量X( 以克计 )是随机变量 ,X~N(500,25), 求 :(1) 随机抽查一包 , 其重量大于 510 克的概率 ; (2) 随机抽查一包 , 其重量与标准重量之差的绝对值在8 克之内的概率 ;(3) 求常数 C,使每包的重量小于 C 的概率为 0.05。
解 : (1)P{ X510} 1 P{ X510} 1(510500)51(2) 1 0.9772 0.0228 (2) P{| X500 | 8}P{492 X508}508500 492 500()(5)5(1.6) ( 1.6) 2 (1.6) 1 2 0.9452-1 0.8904(3) 求常数 C ，使之满足 P{X<C}=0.05, 即C-500() 0.055由于 ( 1.645)0.05, 即C-5001.645, 得 C491.775.5例 5 某重点大学招收研究生 800 人，按考试成绩从高分至低分依次录取。
设报考该大学的考生共 3000 人，且考试成绩服从正态分布， 已知这些考生中成绩在 600 分以上的有 200 人，重点线（ 500 分）以下的 2075 人 , 问该大学的实录线（即录取最低分）是多少？分析设学生考试成绩 X~N(,2) ，首先应求出及2之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。
解设学生成绩 X~N(,2)，由题设知应有P( X600) 200 0.06673000P( X500)2075 0.69173000从而得 1 ( 600) 0.0667,( 500 ) 0.6917即 (600) 0.9333 以及( 500)0.69176001.5450查表得解之得5001000.5故知， X~N( 450,1002 )又设该大学实录线为a ，由题设知：P( Xa)800 0.2667 即 1( a 450) 0.26673000100于是可得(a450 ) 0.7333100查表得a 450 0.623, 解之得 a512.3.100即是说该大学的实录线约为512 分。
（三） 对数正态分布定义： 若随机变量 X 的概率密度函数为1 (ln x )2f ( x)2 x e22其中，，0 为常数，则称X 服从参数为和的对数正态分布，记作X ~LN( ,2).对数正态分布的分布函数为x F ( x)1(ln t)2e 22dt x 0 2t若X ~LN( , 2),则P{ x1 X x2}(ln x2ln x1))(（四） Weibull 分布定义：若随机变量X 的概率密度函数为m (x ( x)mf ( x))m 1 e x0x其中， m,,0 为常数，则称X 服从参数为m, ,的 Weibull 分布，记作X ~ W (m, ,).Weibull 分布的分布函数为x m(t )m( x )mF (x))m 1e dt 1 e( x)(tm ——形状参数——位置参数——尺度参数Weibull 分布概括了许多典型的分布。
本次课小结：介绍了连续型随机变量的概念 , 连续型随机变量概率密度函数的概念及其性质 . 介绍了几种常见的连续型随机变量的分布，其中最主要的是正态分布。