2.3分布函数的定义及性质

(
x)

1 13
, ,
0 x1 1 x 2
2 1, x 2
下面我们从图形上来看一下. 1y
12
16
13
O
O
0
1
注意右连续
归纳题型方法， 及要注意的地 方，图形特征。
1 2
O
x
2
一般地
设离散型 r .v X 的分布律是
P{ X=xk } = pk ,
则其分布函数
k =1,2,3,…
pk
得 P{X 1} F(1) 1 ,
2
24
F
1
1 (x4)
0134,,,212
x 31,
1 1x 2, 4
2 x 3,
4
1, x 3.
P{3 X 5} F(5) F(3) 3 1 1 ,
2
2 2 2 44 2
例2 设r.v X的分布函数为
F(x ) A B arctan x,x R
求A=?, B=?
解 F(-∞) = A + B(- π) = 0,
2 F(+∞) = A + B(+ π) = 1,
2
A=1/2, B=1/π.
例3 已知随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F(x)
对任意实数 x， P( X x) ?
一、分布函数的定义
设 X 是一个随机变量(离散型或非离散型)，称
P( X x) ( x ) 为 X 的分布函数 , 记作 F (x)= P( X x)
注:
o X Xx
x
(1)如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 (, x] 内的
只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性 就可以得到全面的描述.
F(x) P( X x), x
o X Xx x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量.
二、分布函数的性质
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 , 即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
二. 一袋中有 6 只乒乓球，编号为 1、2、 3、4、5、6，在其中同时取三只，以 X 表 示取出的三只球中的最小号码，写出随机 变量 X 的分布律及分布函数。
一. 设在 15 只同类型零件中有 2 只是次 品，在其中取三次，每次任取一只，作不放 回抽样，以 X 表示取出次品的只数，（1） 求 X 的分布函数，（2）画出分布函数的图 形。
X 1 2 3
pk
111
424
求 X 的分布函数,并求 P{ X 1}, P{3 X 5},
22
2
P{2 X 3}.
解 由于 X 仅在 x 1,2,3 处概率不为0, 且 F ( x) P{X x},
0,
x 1,
得
F(x)

P{ X P{ X
引进微积分来研究随机试验
连续型随机变量能否如同离散型随机变量用分 布律一样来处理呢？
在处理实际问题中, 常常关心的是一个随机变 量 X 落入某个区间(a,b]内的概率.
参军青年关心的是他的身高是否达到标准 误差、元件的寿命等
注意到概率关系
·
a
·
b
x
P(a X b) P( X b) P(X a)
概率.
F(x) P(X x)
(2) 在分布函数的定义中, X是随机变量, x是参变量. (3) F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率. (4) 对任意实数 x1<x2，随机点落在区间( x1 , x2 ]内 的概率为：
P{ x1<X x2} =P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1)

xX 0 xX1
2x
X 012
pk 1 3 1 6 1 2
当 1 x < 2 时，
11 1
F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= 3+ 6= 2
当 x 2 时，
F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1
0

1

xX2 Xx
x
故
0, x 0
F
P{ X
1}
C52 C63

1 2
P{ X

2}
C42 C63
3 10
P{ X

3}
C32 C63

3 20
P{ X

4}
C
2 2
C
3 6

1 20
P{X 1} 1 2
P{X 2} 3 10
P{X 3} 3 20
P{X 4} 1 20
F(x) P{X x}
三. 离散型随机变量的分布函数
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X 012
pk 1 3 1 6 1 2 求 X 的分布函数 F (x) .
解
F(x) = P(X x)
当 x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0
当 0 x < 1 时，
1
F(x) = P{X x} = P(X=0) = 3
)
注：如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函 数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件, 也可以 用来定分布函数中的待定参数.
(4)分布函数求各种事件的概率
1) P( X a) F (a) 2) P( X a) 1 P( X a) 1 F(a) 3) P( X a) F(a 0) lim P( X x)

1}, 1}
P{ X

2},
1 2 x
x
2, 3,
1,
x 3.
0, x 1,
1 ,
X 1 x 2,
即
F
(
x
)


4 3
,
pk 2 x 3,
1
1 4
2
1 2
3
1 4
4
1, x 3. F(x) P{X x},
P{2 X 3} F(3) F(2) P{X 2} 1 3 1 3. 42 4
也可以用分布律来求概率（常用）
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
分布函数 F ( x) P{X x} pk
xk x
四、小结
1.分布函数定义和性质 2.离散型随机变量的分布函数与分布律的互化
故
0, x 0
F
(
x
)

22 3345
, ,
0 x1 1 x2
35
1, x 2
二. 一袋中有 6 只乒乓球，编号为 1、2、 3、4、5、6，在其中同时取三只，以 X 表 示取出的三只球中的最小号码，写出随机 变量 X 的分布律及分布函数。
解：X的所有可能取值为：X 1,2,3,4

1 13
, ,
2
1,
0 x1
1 x 2 x2
求 P( X 1), P(1 X 2).
解 P( X 1) P( X 1) P( X 1)
1

F
(1)

F
(1

0)

2

lim
x1
F
(
x)
11 1
23 6
例3 已知离散型随机变量的分布函数为
0, x 0
F(x)

1 13
, ,
2
1,
0 x1
1 x 2 x2
求 P( X 1), P(1 X 2).
P(1 X 2) P( X 2) P( X 1)
F (2) F (1 0)

1
1 3

2 3
离散或连续型随机变量分布函数的求法……
解： X的所有可能取值为：X 0,1,2
P{ X
0}

C133 C135
22 35
P{ X

2}
C113C
2 2
C135

1 35
P{ X

1}

C123C21 C135
12 35
P{X 0} 22 P{X 1} 12
35
35
F(x) = P(X x)
P{X 2} 1 35
题型 1. 利用分布函数的性质来判断一个函数
是否是分布函数或定参数
2. 离散型随机变量的分布函数及分布律 的相互转换，并用于求相应的概率(常 用分布律来就概率)
Ex 作业： 教材习题
练习题
一. 设在 15 只同类型零件中有 3 只是次 品，在其中取三次，每次任取一只，作不放 回抽样，以 X 表示取出次品的只数，（1） 求 X 的分布函数，（2）画出分布函数的图 形。
当 x 1时, F( x) P{X x} 0
当 1 x 2 时, F ( x) P{ X x} P{X 1} 1
当 2 x 3 时, F ( x) P{X x}
2
P{X 1} P{X 2} 4
5
F(x) = P(X x) = pk