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2018学年越秀区高三摸底调研测试

数学（文科）-参考答案

一、选择题 A D B A C A D D A C 二、填空题 11. 14π. 12.7

25

-. 13. (1) 3 ； (2) 19.2200x <≤ .14. cos 3ρθ=. 15. 3. 三、解答题

16.(1) x f ⋅=)( =x x x x x x cos 2sin )sin (cos )sin (cos ⋅+-⋅+

=x x x x cos sin 2sin cos 2

2

+-

=x x 2sin 2cos +=)2sin 2

22cos 22(2x x +

=cos2cos

sin 2)4

4

x x π

π

+=)4

2sin(2π

+

x .

∴)(x f 的最小正周期π=T ． (2) ∵0x ≤≤

2

π

, ∴52444x πππ≤+≤.

∴当242ππ=+x ,即x =8π

时,)(x f 有最大值2;

当5244x ππ+=,即x =2

π时,)(x f 有最小值-1．

17.(1)每辆客车营运的总利润为y=-x 2

+18x-36=-(x-9)2

+45, 故x=9时,y 取最大值45.

即营运9年可使其营运总利润最大. (2)每辆客车营运年平均利润为

y x =

2183636

18()x x x x x

-+-=-+

181812 6.≤-=-= 当且仅当36

x x

=

时等号成立.解得x=6. 即每辆客车营运6年,可使其营运年平均利润最大.

18.(1)133n n n a a +=+， ∴

11133n n

n n

a a ++=+，于是11n n

b b +=+， ∴{}n b 为首相和公差均为1的等差数列. 由 11b =,n b n = 得, 3n

n

a n = ∴3n n a n =⨯． (2)1

2

11323(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+

+-⨯+⨯, 23131323(1)33n n n S n n +=⨯+⨯+

+-⨯+⨯,

两式相减，得11223(333)n n n S n +=⨯-+++,

解出113()3.244

n n n S +=-+

19.(1)因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱， 在俯视图△A 1B 1C 1中，A 1C 1=3，A 1B 1=5，5

3

cos 1=∠A ， 由余弦定理可得114B C =, ∴11190AC B ACB ∠=∠=︒， ∴BC AC ⊥

又∵BC ⊥CC 1，CC 1∩A 1C 1=C 1，∴BC ⊥平面ACC 1A 1. ∵AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥AC 1.

(2) 连BC 1交B 1C 于M ，则M 为BC 1的中点，连DM ，则DM ∥AC 1. ∵DM ⊂平面DCB 1，AC 1⊄平面DCB 1, ∴AC 1∥平面CDB 1.

(3) 左视图中BC 的长等于底面△ABC 中顶点C 到边AB 的距离d,

5

12

543=⨯=

d , ∴左视图的面积1255

12

=⨯=S .

20. 解：（1）∵点A 在圆为一直角三角形上21222,F AF c y x ∆∴=+， c AF F F A F c

F F c A F 3||||||2||,||212212211=-=∴== …………3分

由椭圆的定义知：|AF 1|+|AF 2|=2a ，

133

12

23-=+==

∴=+∴a c e a c c ………………………………5分 （2

）∵函数log (1m y x =的图象恒过点

∴1,1,a b c === ……6分 点F 1（－1，0），F 2（1，0）， ……………………………………………7分

①若)2

2

,1(),22,

1(,---⊥B A x AB 则轴， ∴22222217

(2,

),(2,),42222

F A F B F A F B =-=--⋅=-=………………8分 ②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y=k （x +1）

由0)1(24)21(0

22)

1(22222

2

=-+++⎩⎨⎧=-++=k x k x k y y x x k y 得消去…………（*） ∴>+=∆,0882k 方程（*）有两个不同的实根.

设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1，x 2是方程（*）的两个根

2

221222121)1(2,214k

k x x k k x x +-=+-=+…………………………………………10分 ),,1(),,1(222112y x B F y x A F -=-=

22122122121221))(1()1()1)(1(k x x k x x k y y x x F F +++-++=+--=⋅

)

21(292721171)214)(1(21)1(2)1(2222

222222

k k k k k k k k k k +-

=+-=+++--++-+=…12分

,2

7

)21(292712

9

)21(290,12110,1212

22222<+-=⋅≤-≤

+<≤+<

∴≥+k B F A F k k k

由①②知2

7

122<

⋅≤-F F ………………………………………………14分