双曲线教学课件
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双曲线的简单性质课件
焦点与准线的关系
焦点到准线的距离相等
双曲线的焦点到任意一条准线的距离相等，这是双曲线的基本性质之一。
焦点和准线共同确定双曲线的形状和大小
通过焦点和准线可以确定双曲线的形状和大小，因为它们决定了双曲线的离心率 和实轴、虚轴的长度。
03
双曲线的离心率
离心率的定义
• 离心率：双曲线的一个重要参数，定义为双曲线的焦点到其顶点的距离与双曲线的实轴长度的比值。
05
双曲线的对称性
双曲线的对称轴
总结词
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线。
详细描述
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线，也称为主轴。它与双曲 线的渐近线垂直，并且将双曲线划分 为两个对称的部分。
双曲线的对称中心
总结词
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点。
详细描述
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点，也称为顶点。它位于双曲线的渐近线上， 并且是双曲线与x轴的交点。
详细描述
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线 的实半轴和虚半轴长度。当a=b时， 双曲线为等轴双曲线；当a≠b时，双 曲线为非等轴双曲线。
双曲线的几何性质
总结词
双曲线具有离心率、渐近线、焦点等几何性质。
详细描述
离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与坐标轴之间的相对位置关系。渐近线是双曲线上的直线， 它们与坐标轴平行。焦点是双曲线上的点，它们到原点的距离相等。这些性质在解决与双曲线相关的问题中具有 重要的作用。
感谢聆听
离心率决定双曲线的形状
离心率的变化会导致双曲线形状的变化，从而影响双曲线的形状和开口方向。
04
双曲线及其标准方程ppt课件
x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2
结论：已知F1，F2分别是双曲线C：
2.3.1双曲线及其标准方程公开课教学课件共15张PPT
2.3.1双曲线及其标准方程
温故知新
回顾: 椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于
常数2a ( 2a>|F1F2|)的点的轨迹.
y
M
类比思考
F1 o
F2 x
平面内与两定点F1、F2的距离的差等于 常数的点的轨迹是什么呢？
实验操作
画双曲线
1.取一条拉链，拉开它的一部分； 2.在拉开的两边各选择一点，分别 固定在点F1，F2上； 3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢， 画出一条曲线.
F2
x
O
F1
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
( y c)2 x2 （y c）2 x2 2a
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上的
求双曲线的标准方程.
分类讨论
解：由题意知，若双曲线的焦点在x轴上，
设它的标准方程为：x2
a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
∵2c=20, ∴c=10，又∵a=8, ∴b2=102－82=36
∴所求的标准方程为 x2 y2 1
同理，焦点在y轴上的双6曲4 线3标6准方程为：y2 x2 1
平面内到两定点距离等于常数
（大于两定点距离）的点的轨迹 建系、设点
……
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的
中点为原点建系，设M(x,y)
找等量关系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的
中点为原点建系，设M(x,y)
温故知新
回顾: 椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于
常数2a ( 2a>|F1F2|)的点的轨迹.
y
M
类比思考
F1 o
F2 x
平面内与两定点F1、F2的距离的差等于 常数的点的轨迹是什么呢？
实验操作
画双曲线
1.取一条拉链，拉开它的一部分； 2.在拉开的两边各选择一点，分别 固定在点F1，F2上； 3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢， 画出一条曲线.
F2
x
O
F1
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
( y c)2 x2 （y c）2 x2 2a
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上的
求双曲线的标准方程.
分类讨论
解：由题意知，若双曲线的焦点在x轴上，
设它的标准方程为：x2
a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
∵2c=20, ∴c=10，又∵a=8, ∴b2=102－82=36
∴所求的标准方程为 x2 y2 1
同理，焦点在y轴上的双6曲4 线3标6准方程为：y2 x2 1
平面内到两定点距离等于常数
（大于两定点距离）的点的轨迹 建系、设点
……
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的
中点为原点建系，设M(x,y)
找等量关系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的
中点为原点建系，设M(x,y)
《双曲线的简单几何性质》ppt课件
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
e c (0 e 1) a
无
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
用“类比学习法”和“数形结合法”
导出双曲线 y2 a2
焦点坐标,离心率.渐近线方程。并画出它的草图。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
y
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
4
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
-3 o 3 x
离心率: e c 5
-4
渐近线方程:
y
a
4
4
x
(或
y
x
0)
3
43
小结： 一、双曲线的简单几何性质
x2 b2
1(a 0,b 0)
y
的简单几何性质
a
（1）范围: y a, y a
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称 -b （3）顶点: (0,-a)、(0,a)
o bx -a
（4）渐近线:
yax b
或y x 0 ab
（5）离心率:
e
c a
练一练： 求双曲线 9y2 16x2 144的实半轴长,虚半轴长,
2 2
y2 b2
1
k
b a
B2
k
y
(a,b)
b a
b
yb x a
b
A1
a
o
A2
x
xy
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
双曲线的简单性质课件ppt课件
04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
《双曲线几何性质》课件
生活中的双曲线应用
总结词
双曲线在日常生活中也有很多应用，如建筑设计、工程制造和艺术创作等。
详细描述
在建筑设计中，双曲线用于构建优美的曲线形状，如桥梁、建筑物的外观和内部结构。在工程制造中 ，双曲线用于制造各种零部件和工具，如机械零件、光学仪器等。在艺术创作中，双曲线用于创作优 美的图案和造型，如绘画、雕塑和音乐作品等。
双曲线的轴对称性
总结词
双曲线的轴对称性是指以通过双曲线中心的直线为对称轴，双曲线上的任意一 点关于该对称轴的对称点也在双曲线上。
详细描述
对于双曲线上的任意一点P，关于通过双曲线中心的直线（称为对称轴）的对称 点P'也在双曲线上。这种对称性使得双曲线在对称轴两侧保持一致的形状和方 向。
04
双曲线的面积与周长
这两个定点称为双曲线的焦点，焦点之间的距离称为焦距。
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
VS
焦点在y轴上
$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线的面积
总结词
详细描述
总结词
详细描述
双曲线的面积可以通过特定 的公式进行计算，该公式基 于双曲线的参数方程和定义 域。
双曲线的面积计算公式为 (A = piab)，其中 (a) 和 (b) 分 别是双曲线的实半轴和虚半 轴长度。这个公式基于双曲 线的参数方程和定义域，通 过积分运算得出。
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的双曲线方程可写成
x2 a2
y2 b2
λ
例3.求渐近线方程为y
3 2
x,
且过(4,3)的双曲线方程.
结论
:渐近线方程为y
b a
x的
双曲线方程可写成
x2 a2
y2 b2
【例4】双曲线与椭圆4x2+y2=64有相同的焦 点,它的一条渐进线为y=x,求双曲线的方程.
y2-x2=24 【课堂练习三】已知双曲线中心在原点,对 称轴在 坐标轴上,且与圆x2+y2=10相交于P(3,-1), 若此圆过P点的切线与双曲线的一条渐进线
上的弦长AB为m,另一焦点为F2, 则ΔABF2的周长为_____C_______
A. 4a C. 4a+2m
B. 4a-m D. 4a-2m
【题型2 】双曲线的标准方程
例2、求与双曲线
x2 9
y2 16
1有共同
渐近线且过(3,4 2)的双曲线方程
结论
:与
x2 a2
y2 b2
1有共同渐近线
【题型4 】焦半径公式的应用
例7.在双曲线
y2 12
x2 13
1上有三点A(x1,y1
),
B(x2,6),C(x3,y3 ),它们与点F（0，5）,的
距离成等差数列.
（1）求y1 y2的值 （2）证明:线段AC的垂直平分线经过一定点，
并求此点的坐标.
小结:
师生共同小结本节课,教师写出要点.
【课堂练习二】
(1)已知双曲线 x2 y2 1 上一点P到一个焦
点的距离是10,9则P到16相应的准线的距离是_6___.
(2)已知双曲线 x2 y2 1左支上点P到右焦点 的距离是11,则9P到1左6 准线的距离是___3_.
(3)已知M到P(5,0)的距离与它到直线 x 9 的距
9x2-y2=80 平行,求此双曲线的方程.
【题型3 】双曲线的几何性质
例5.求双曲线4y2-9x2=121的实半轴长和 虚半轴长,焦点和顶点坐标,渐近线 方程和离心率
练 :已知双曲线
x2 a2
y2
1(a
0)的一条准线
与抛物线y2 6x的准线重合,则该双曲线的
离心率为____ 2 3
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.一条射线
D.两条射线
(2)已知两圆C1:(x+4)2+y2=2 ,
C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,
则动圆圆心M的轨迹是____x2
2
y2 14
1或x
0
(3)双曲线 x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0),
过焦点F1的直线交在双曲线的一支
离之比为 5 ,求M的轨迹方程. 3
5
x2 y2 1
9 16
(4)如果方程
x2 2m
y2 m
1
1表示双曲线，
求m的取值范围.
方程mx2+ny2=1表示双曲线 mn<0
【题型1 】双曲线的定义及应用
例1.(1)动点P到定点F1(1,0)的距离比它到
F2(3,0)的距离小2,则点P的轨迹是( C )
a2
y2 b2
(
0)
的渐近线为:
yx a
22by22bax0
双曲线系 x2
a2
y2 a2 c2
1的焦点为:(c,0)
【课堂练习一】求满足条件的双曲线的标准方程:
((((4321))))以过焦顶椭(点点求 ⑴y9-2圆6在在双定,01xyx曲位x4)6轴轴22,线上上e1y的92,,⑵35焦两标定1;距顶准的型为点方焦1的程点63x,距基⑶为62e离本定顶 为6步量y34点426;骤,,顶:1ey53x点26235为;x2y4焦282 点11; (5)过(2,3), e 2 ; y2 x2 5
重要结论
双曲线
x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa2
y2 b2
1 的焦点到相应的顶点
之间的距离为: c a
双曲线 x2 y2 1 的焦准距(焦点到相应
a2 b2
准线的距离)长为: c a2 b2 cc
重要结论
双曲线系 x
a
2 2
y2 b2
(
0) 的离心率为:e
c ab
双曲线系 x2
x2 a2
y2 b2
1
焦点是 (-c,0)和(c,0)
y2 x2 a2 b2 1
y
焦点是 (0,-c)和(0,c)
y
M
M
F2
F1 O F2 x
O
x
F1
其中c2=a2+b2
标准方程
图 形
x2 a2
y2 b2
1
y
F1 O F2 x
y2 a2
x2 b2
1
y
F1
O
x
F2
焦点坐标
(-c,0)和(c,0)
e= ac（e>1,a且e决定双曲线的开口程度,越a大开口越阔）
三、双曲线的第二定义:
到定点的距离和到定直线的距离之比是常数 e(e>1)的点的轨迹.
定点是焦点,定直线叫准线,且常数是离心率.
标准方程
准线方程
焦半径
x2 a2
y2 b2
1
x a2 c
| ex0 a |
y2 x2 a2 b2
3
(05天津)双曲线以椭圆
x2
25
y2 9
1的长轴的两
个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲
线的渐近线的斜率为________ 1 2
【题型4 】焦半径公式的应用
例6.设F1,F2是双曲线
x2 4
y2
1的两个焦点,
点P在双曲线上,当ΔF1PF2的面积为1时,
PF1 PF2的值为____
(0,-c)和(0,c)
范围
x≥a或x≤-a
y≥a或y≤-a
对称性 坐标轴是对称轴; 原点是对称中心,叫双曲线的中心.
顶
点
A1(-a,0)和A2(a,0)
A1(0,-a)和A2(0,a)
A1A2叫实轴, B1B2叫虚轴, 且|A1A2|=2a, |B1B2|=2b
渐近线 离心率
ybx
xb y
双 曲 线的定义与 标准方程及其应用
梅关中学 张红生
2008.12.
一、双曲线的第一定义:
到两个定点的F1,F2的距离之差的绝对值是 常数(小于|F1F2|)的点的轨迹. 定点叫焦 点,两焦点之间的距离叫焦距.
注意
（1）2a<2c ； （2）2a>0 ；
M
F1
F2
（3）双曲线是两支曲线
二、双曲线的标准方程:
1 y a2 c
| ey0 a |
四、等轴双曲线:
1.定义:实轴长与虚轴长相等的双曲线. 2.标准方程: (1) x2-y2=a2(焦点在x轴上)
(2) y2-x2=a2(焦点在y轴上)
结论:等轴双曲线的方程可写成: x2-y2=m
3.离心率: e 2
4.渐进线方程: y x