第二章 z变换-作业

d
DTFT xn X e

j
n
xne jn

j j 11．已知 x(n ) 有傅里叶变换 X (e )，用 X (e ) 表示信号 x1 (n) x(1 n) x(1 n) 的傅里叶变换。
解： DTFTx(n) X (e j )
(1
解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得
1 1 1 Z )(1 Z 1 ) 1 2 2 X (Z ) 1 2 1 1 3 1 1 (1 Z )(1 Z )(1 Z ) (1 jZ 1 )(1 4 2 4 2
1 1 Z 2 1 3 jZ 1 )(1 Z 1 ) 2 4
n
xne
jn
e an e jn
n 0
解：
10. 设 X (e j ) 是如下图所示的信号 x(n ) 的傅里叶变换， 不必求出 X (e j ) ，试完成下列计算： j (1) X (e j 0 ) (2) (3) X (e j ) 2 d X (e )d
n
n
an j 7. 求序列 e u(n) 的频谱 X (e ) 。
解：（2） X ( z) ZT e anu(n)


1 1 e a z 1
X (e ) X ( z) |ze j
j
j

1 1 e a e j

X (e ) DTFT xn
3.用长除法,留数定理, 部分分式法求以下 ( z )的z反变换 X 1 1 z 1 2 (1) X ( z ) , z 1 2 1 z 2 4 1 (3) X ( z ) za , 1 az z 1 a
解：（3） (iii)部分分式法：
X ( z) za a 1 a2 z z(1 az) z 1 az

12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳 定的（非因果）系统的单位抽样响应。


(2)


X (e j )d


X (e j )e j 0d 2 x(0) 4
2
x(n) 7 n 8
-3 -1
1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
DTFT
1

X e

j
x n 1 2
X e

j
e
j n
n n
1



n 0
n1
n 0
az 1 1 a2 (a 2 1) z a (1 az)(1 az1 ) 1 1 az 1 a( z )(z a) z a
a 收敛域： az 1, 且 1 z 极点为：z a, z 1 a 1 即：a z a
X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4， 所以 X(Z)的收敛域为 : (1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列; (2) | Z | < 1/2 , 为左边序列; (3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列.
3.用长除法,留数定理, 部分分式法求以下 ( z )的z反变换 X 1 1 z 1 2 (1) X ( z ) , z 1 2 1 z 2 4 1 (3) X ( z ) za , 1 az z 1 a
解：（3）(ii)留数定理法：
x ( n) 1 1 内的逆时针方向闭合曲线。 X ( z ) z n1dz ，设 c 为 z 2j c a

当 n 0 时：X ( z ) z n 1在 c 内有 z x(n) Re s X ( z ) z n1


z
1 a
1 一个单极点 a n 1 z a n 1 1 1 z ( a ) , ( n 0) a z1 a a a z 1
当 n 0 时，
n n z 1 1 , n 0 在c内有 z 一个单极点, 则 x(n) Re s 1 2 2 z 2 z 1
2
1 1 n z n1 z 1 1 z2 1 z 1 2
由于 x(n) 是因果序列， 故 n 0 时，x(n) 0
1 收敛域： z 1 即：z 2 2 1 极点为：z 零点为： 0 z 2
2 . 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。
1 2 z 4 X ( z) 1 5 3 (1 z 2 )(1 z 1 z 2 ) 4 4 8 1
分析：
(1) 有限长序列的收敛域为 ： z , n1 n n2 0
解：（1） (iii)部分分式法： 1 1 z 1 1 z 2 X ( z) 1 1 1 1 z 2 1 z 1 z 4 2 2
因为 z
1 所以 2
n
1 x ( n ) u( n ) 2
3.用长除法,留数定理, 部分分式法求以下 ( z )的z反变换 X 1 1 z 1 2 (1) X ( z ) , z 1 2 1 z 2 4 1 (3) X ( z ) za , 1 az z 1 a
1. 求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域。
(1)
x(n) a ( | a | 1)
n
(3)
1 x(n) u( n 1) 2
n
解：(1) 由Z变换的定义可知：
X ( z)
n
a z
n

n

n
a n z n a n z n a z a n z n
1 所以 x(n) u (n) 2
n
3.用长除法,留数定理, 部分分式法求以下 ( z )的z反变换 X 1 1 z 1 2 (1) X ( z ) , z 1 2 1 z 2 4 1 (3) X ( z ) za , 1 az z 1 a
（b） 因为 H ( z )
z 1 z z ( z a1 )( z a 2 ) a1 a 2 z a1 z a 2
1 a1 a2
所以 h(n)
1 a1n a2 n u (n) 式中 a1 1.62 , a2 0.62 a1 a2
DTFTx(n) X (e j )
DTFTx(1 n) e j X (e j ) DTFTx(1 n) e j X (e j )
DTFT[ x1 (n)] X (e j ) (e j e j ) 2 X (e j ) cos

1 1 1 1 a1z 1 1 a2 z 1 a1 a2

n n n n a1 z a2 z n 0 n 0
X (e ) DTFT xn
j
n
xn e jn

X (e ) DTFT x n
j
n
x ne

jn

m
xme

jm

m
xm e j m X (e j )
特殊情况有 ：z Rx , n n2 0
(4) 双边序列的收敛域为 ： x z Rx R
有三种收敛域 ： 圆内、 圆外 、 （ 0 ，z 要单独讨论） 环状
2 . 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。
1 2 z 4 X ( z) 1 5 3 (1 z 2 )(1 z 1 z 2 ) 4 4 8 1
1 2 1 解：(a) 对差分方程的两边作Z变换，得： Y ( z) z Y ( z) z Y ( z) z X ( z)
所以
零点为z=0， z
Y ( z) z 1 z H ( z) X ( z ) 1 z 1 z 2 ( z a1 )(z a2 )
a
当 n 0 时：X ( z ) z n 1 在c 内有z 0, z x(0) Re s X ( z ) z n 1


z
1 a
Re s X ( z ) z n 1


1 两个单极点 a 1 1 a a z 0 a a
n
当n 0 时：由于x(n)是因果序列， 1 1 1 此时 x(n) 0 。所以x(n) (n) (a ) u (n 1) a a a
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳 定的（非因果）系统的单位抽样响应。
特殊情况有： z , n1 0 0 0 z , n2 0
(2) 右边序列的收敛域为 ： z , n n Rx 1
因果序列的收敛域为 ： x z , n n1 0 R
(3) 左边序列的收敛域为 ： z Rx , n n2 0
源自文库
零点为：z 0, z
1. 求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域。
(1)
x(n) a ( | a | 1)
n
(3)
1 x(n) u( n 1) 2
n
解:（3） 1 1 n 1 n X ( z ) ( ) u( n 1) z ( ) n z n 2 2 n n 1 2z n n 2 z 1 1 2z n 1 1 z 1 2
极点为 z a1 0.5 1 5 1.62


z a2 0.5 1 5 0.62


因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳 定的（非因果）系统的单位抽样响应。
则
1 1 X ( z ) a ( a ) a 1 1 z 1 a
所以
1 1 x ( n ) ( a ) ( n ) ( a ) u( n ) a a
1 1 1 (n) (a ) u(n 1) a a a
3.用长除法,留数定理, 部分分式法求以下 ( z )的z反变换 X 1 1 z 1 2 (1) X ( z ) , z 1 2 1 z 2 4 1 (3) X ( z ) za , 1 az z 1 a
解：（1）(ii)留数定理法：
x( n)
1 1 1 z n1dz ,设 c为 z 内的逆时针方向闭合曲线： 2 2j c1 1 z 1 2