高中数学第一章导数及其应用1.7.2定积分在物理中的应用教案新人教A版选修2_2
高中数学选修2-2人教版课件第一章1.7-1.7.2定积分在物理中的应用
(2)对，作出曲线 y＝2－x2 与直线 y＝－2，可知，所 求面积为∫10(4－x2)dx.
(3)对，由定积分的物理意义知结论正确． (4)对，由定积分的物理意义知结论正确． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
x 轴所围成的平面图形的面积． (1)解析：S＝∫1－2(4－2x2－2x)dx＝
4x－23x3－x2|1－2＝9. 答案：D
(2)解：由图可知，当 x∈[0，π]时，曲线 y＝sin x 与 x 轴围成的平面图形位于 x 轴的上方，而当 x∈ π，3π2 时，曲线 y＝sin x 和直线 x＝32π及 x 轴所围成 的平面图形位于 x 轴的下方，因此所求的面积应为两部分 面积的和．
2．如图所示，阴影部分的面积为( )
A.∫baf(x)dx C.∫ba[f(x)－g(x)]dx
B.∫bag(x)dx D.∫ba[g(x)－f(x)]dx
解析：由题图易知，当 x∈[a，b]时，g(x)>f(x)，所 以阴影部分的面积为∫ba[g(x)－f(x)]dx.
答案：D
3．如果 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm，在弹性限度内，
(2)求由两条曲线 f(x)和 g(x)，直线 x＝a、x＝b(a<b) 所围成平面图形的面积 S.
图④
图⑤
图④中，f(x)＞g(x)＞0，图⑤中，f(x)＞0，f(x)＜0， 这两种情况下，都有面积 S＝_∫__ba[_f_(x_)_－__g_(_x_)]_d_x_．
温馨提示 在求由两ຫໍສະໝຸດ 曲线和两条直线所围成的曲 边梯形的面积时，要注意两个函数的相减关系的确定．
[变式训练] 若某物体以速度 v(t)＝4－t2 做直线运 动，它在 t＝1 到 t＝4 这段时间内所走过的路程为 ________．
人教版高中数学选修2-21.7.2定积分在物理中的应用教案
1.7.2 定积分在物理中的应用教课建议1.教材剖析,指引学生解决变力所做的功等一些简单的物本小节主假如经过举例复习变速直线运动的行程理问题 .要点是应用定积分解决变速直线运动的行程和变力做功等问题,使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值 .难点是将物理问题化归为定积分的问题.2.主要问题及教课建议(1)变速直线运动的行程问题.建议教师用发问的方式让学生思虑、议论 ,使学生进一步从“数形联合”的角度理解定积分的观点并解决问题 .(2)变力做功的问题 .,自己推导出变力做功的公式,进一步体验用建议教师指引学生类比求变速直线运动行程的过程定积分解决问题的思想方法 .备选习题1.已知物体从水平川面做竖直上抛运动的速度—时间曲线如图 ,求物体 :(1)距离水平川面的最大值 ;(2)从 t= 0(s)到 t= 6(s)的位移 ;(3)从 t= 0(s)到 t= 6(s)的行程 .解:(1) 设速度—时间函数式为v(t)=v 0+at ,将点 (0 ,40),(6,-20)的坐标分别代入,得 v0= 40,a=- 10,因此 v(t)= 40-10t.令 v(t) =0? 40-10t= 0? t= 4,物体从 0 s 运动到距离水平川面的最大值为2(2)由上述可知 ,物体在 0~6 s 内的位移为s= (40-10t)dt= (40t-5t2)= 60(m) .(3)由上述可知,物体在 0~6 s 内的行程为s=|40-10t|dt=(40-10t)dt-(40-10t)dt=(40 t-5t 2)-(40t- 5t2)=80+ 20= 100(m) .2.如下图,一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B,C 运动到 D,此中 AB= 5 m,BC= 4 m,CD= 3 m,变力 F= 在 AB 段运动时动方向同样 ,求物体由F 与运动方向成30°角 ,在A 运动到 D 所做的功 .BC 段运动时 F 与运动方向成45°角 ,在CD段F与运解: 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F 1=F cos 30 .°在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F 2=F cos 45 .°由变力做功公式得W= cos 30 dx+° cos 45 dx+° 20dx= (x+ 20 )dx+ (x+20)dx+ 20dx=+ 20x=×108+ 20×3= (N ·m).。
高中数学第一章导数及其应用1_7定积分的简单应用教学案新人教A版选修2-2
1.7 定积分的简单应用预习课本P56～59，思考并完成下列问题(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？[新知初探]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f (x )在[a ，b ]上是连续函数，由直线y ＝0，x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积为S .f (x )的符号 平面图形的面积与定积分的关系f (x )≥0 S ＝⎠⎛a bf (x )d x f (x )<0S ＝－⎠⎛a bf (x )d x(2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a ，b ]上有f (x )>g (x )，那么直线x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积为S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x .[点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛a bv (t )d t .3．力做功(1)恒力做功：一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s ，则力F 所做的功为W ＝Fs .(2)变力做功：如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛a bF (x )d x .[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v ＝v (t )，则物体在区间[a ，b ]上的位移为定积分⎠⎛a b v (t )d t ；物体在区间[a ，b ]上的路程为⎠⎛a b|v (t )|d t .[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( )(2)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为⎠⎛－2 2(4－x 2)d x .( )(3)速度是路程与时间的函数关系的导数．( )(4)一个物体在2≤t ≤4时，运动速度为v (t )＝t 2－4t ，则它在这段时间内行驶的路程为⎠⎛24(t 2－4t )d t .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．曲线y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是( )A ．2B ．3 C.52 D ．4答案：B3．已知做自由落体运动的物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )A.13gt 20 B. gt 20 C. 12gt 20 D.14gt 20 答案：C4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车所前进的路程为________．答案：405利用定积分求平面图形的面积[典例] 求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．[解] 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28()2x －x ＋4d x＝423x 3220＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x 32－12x 2＋4x 82＝18. 法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为S ＝⎠⎛2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4－y －y 22d y＝⎝⎛⎭⎪⎫4y －y 22－y 362－4＝18.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． [活学活用]求曲线y ＝e x，y ＝e －x及直线x ＝1所围成的图形的面积．解： 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e －x，解得交点为(0,1)，所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )10＝e ＋1e －2.求变速直线运动的路程、位移[典例] 有一动点P 从原点出发沿x 轴运动，在时刻为t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程和点P 的位移； (2)经过时间t 后又返回原点时的t 值． [解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点沿x 轴正方向运动， 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0.(2)依题意，⎠⎛0t(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，因为t ＝0对应于点P 刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6为所求，(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．[活学活用]一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求点在t ＝4 s 时的位置及经过的路程．解：在t ＝4 s 时该点的位移为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t ⎪⎪⎪4＝43(m)． 即在t ＝4 s 时该点距出发点43 m.又因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0.所以在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪1－⎝ ⎛⎭⎪⎫t33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪43＝4(m).求变力做功[典例] 一物体在变力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，0≤x ≤2，x 2＋2x ，2≤x ≤5，(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向从x ＝0运动到x ＝5处，求变力所做的功．[解] 变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛02(2x ＋4)d x ＋⎠⎛25(x 2＋2x )d x ＝(x 2＋4x ) ⎪⎪⎪2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪52＝12＋60＝72(J)．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [活学活用]在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ，求变力F 做的功． 解：设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )＝kx (k >0)，当x ＝10 cm ＝0.1 m 时，F (x )＝200 N ，即0.1k ＝200，得k ＝2 000，故F (x )＝2 000x ， 所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W ＝⎠⎛00.12 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪1＝10(J)．层级一 学业水平达标1．在下面所给图形的面积S 及相应的表达式中，正确的有( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④解析：选D ①应是S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )A ．31 mB ．36 mC ．38 mD ．40 m解析：选B S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B.3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：选C S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.4．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝( )A.14B.12 C.13D ．1解：选A 图形如图所示，S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x＝⎠⎛0134x 2d x＝14x 310＝14. 5．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10D ．9解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪20＝8，故选B.6．若某质点的初速度v (0)＝1，其加速度a (t )＝6t ，做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．解析：v (2)－v (0)＝⎠⎛02a (t )d t ＝⎠⎛026t d t ＝3t 2⎪⎪⎪2＝12，所以v (2)＝v (0)＋3×22＝1＋12＝13. 答案：137．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是______．解析：S ＝⎠⎛0101＋t d t ＝23(1＋t )32 ⎪⎪⎪10＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1132－1. 答案：23⎝ ⎛⎭⎪⎫1132－18．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为________．解析：画出曲线y ＝1x(x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示的阴影部分面积．∴S ＝⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2－ln 1＝ln 2.答案：ln 29．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92. 10. 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解：(1)∵y ＝f (x )是二次函数且f ′(x )＝2x ＋2， ∴设f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又f (x )＝0有两个等根，∴4－4c ＝0，∴c ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)y ＝f (x )的图象与两坐标所围成的图形的面积S ＝⎠⎛-10(x 2＋2x ＋1)d x ＝13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪-1＝13. 层级二 应试能力达标1．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8 JB ．10 JC ．12 JD ．14 J解析：选 D 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x ) ⎪⎪⎪31＝14(J)，故应选D.2．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2解析：选D ⎠⎛3636td t ＝6t ⎪⎪⎪63＝6－32，故应选D.3．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t 2＝4，t ＝2.∴h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪2＝80－803＝1603(m)．故选A.4．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛024x －x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪2＝4.5．椭圆x 216＋y29＝1所围区域的面积为________．解析：由x 216＋y 29＝1，得y ＝±3416－x 2. 又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S ＝4⎠⎛043416－x 2d x ＝3⎠⎛0416－x 2d x.由y ＝ 16－x 2，得x 2＋y 2＝16(y≥0)．由定积分的几何意义知⎠⎛0416－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝4和曲线x 2＋y 2＝16(y≥0)及x 轴所围成图形的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×16＝4π，∴S＝3×4π＝12π.答案：12π6.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为____________．解析：∵S 阴＝2⎠⎛01(e －e x)d x ＝2(e x －e x) ⎪⎪⎪1＝2，S 正方形＝e 2，∴P＝2e2.答案：2e27．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C(3,3)，8．函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x ，若f(x)为实数集R 上的单调函数，且a ≥－1，设点P 的坐标为(b ，a )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .解：当a ＝0时，由f (x )在R 上单调，知b ＝0.当a ≠0时，f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立．∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2＋36a ≤0，a ≥－1.∴a ≤－19b 2且a ≥－1.因此满足条件的点P (b ，a )在直角坐标平面xOy 的轨迹所围成的图形是由曲线y ＝－19x 2与直线y ＝－1所围成的封闭图形．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－19x 2，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，如图，其面积S ＝⎠⎛3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 327⎪⎪⎪3-3＝(3－1)－(－3＋1)＝4.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．sin x B ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析：选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0， 22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎥⎤0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0D ．－1解析：选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－12＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，67B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－316C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，－116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－310∪⎝ ⎛⎭⎪⎫67，＋∞ 解析：选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫103a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67.故选D.8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．11．已知定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋x ·f ′(x )＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af (a )＜bf (b ) B ．af (b )＜bf (a ) C ．af (a )＞bf (b )D ．af (b )＞bf (a )解析：选C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )＜0， ∴函数x ·f (x )是R 上的减函数， ∵a ＜b ，∴af (a )＞bf (b )．12．若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定解析：选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x＋cos x －cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，得a >b ，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.答案：2314．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝__________.解析：S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49. 答案：4915．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)， 因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 答案：c <a <b 16．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x2x 2＋12，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝2e ＋2，f ′2＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋e x －1)及e2－x>0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋ex －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)， 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A ，B 两种商品，据调查统计，当投资额为x (x ≥0)万元时，在经销A ，B 商品中所获得的收益分别为f (x )万元与g (x )万元，其中f (x )＝a (x －1)＋2，g (x )＝6ln(x ＋b )(a ＞0，b ＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a ，b 的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解：(1)由投资额为零时收益为零， 可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)． 设投入经销B 商品的资金为x 万元(0＜x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元， 设所获得的收益为S (x )万元， 则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1) ＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0＜x ≤5)．S ′(x )＝6x ＋1－2，令S ′(x )＝0，得x ＝2.当0＜x ＜2时，S ′(x )＞0，函数S (x )单调递增； 当2＜x ≤5时，S ′(x )＜0，函数S (x )单调递减． 所以当x ＝2时，函数S (x )取得最大值，S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时， 他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(1－x )(a 为常数)．(1)若f (x )在x ＝－1处有极值，求a 的值并判断x ＝－1是极大值点还是极小值点； (2)若f (x )在[－3，－2]上是增函数，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝2ax －21－x，x ∈(－∞，1)，f ′(－1)＝－2a －1＝0，所以a ＝－12.f ′(x )＝－x －21－x ＝x ＋1x －21－x. ∵x <1，∴1－x >0，x －2<0， 因此，当x <－1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时f ′(x )<0， ∴x ＝－1是f (x )的极大值点．(2)由题意f ′(x )≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立，即2ax －21－x ≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立∴a ≤1－x 2＋x在x ∈[－3，－2]上恒成立，∵－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14∈[－12，－6]，∴1－x 2＋x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，－112， ∴⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋ x min＝－16，a ≤－16.即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－16.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f (x )≥h (x )， 得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1ln x2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减， 当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，f (x )只有一个零点． ②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，故f (x )存在两个零点．③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． 若a ≥－e2，则l n(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))内单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)内单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)内单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0. 由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2， 而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0， 所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x)．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.。
(全国通用版)2018-2019版高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用学案 新人教A版选修2-2
§1.7定积分的简单应用学习目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．知识点一定积分在几何中的应用思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．梳理(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃb a f(x)d x.(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－ʃb a f(x)d x.(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝ʃb a[f(x)－g(x)]d x.(如图)知识点二变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？答案不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．梳理(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21()t t t⎰v d t求解．(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用21()t t t⎰v d t求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21()t t t⎰v d t.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝ʃb a v(t)d t.知识点三变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？答案与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a 到x＝b(a<b)，可以利用定积分得到W＝ʃb a F(x)d x.梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为ʃba F (x )d x .1．曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为ʃ10x 3d x ＋ʃ21(2－x )d x .( √ ) 2．在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．( × ) 3．在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．( × )类型一 利用定积分求面积命题角度1 求不分割型图形的面积例1 由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S ＝________. 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2，得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x ＝⎪⎪⎪2332x 10－⎪⎪⎪13x 310＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形．(2)找出范围，确定积分上、下限． (3)确定被积函数． (4)将面积用定积分表示．(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得，S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 22－3－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x 2－3＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝1256. 命题角度2 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋ʃ31⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x＝ʃ10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23x d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2332x ＋16x 210＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较烦琐，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S ＝ʃ10(2x －x )d x ＋ʃ21(2x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪x 221＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 3321＝12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝76. 类型二 定积分在物理中的应用例3 一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(v 的单位：m/s)运动，求： (1)该点在t ＝4 s 时的位置； (2)该点前4 s 走过的路程． 考点 利用定积分求路程问题 题点 利用定积分求路程问题解 (1)在t ＝4 s 时，该点的位移为ʃ40(t 2－4t ＋3)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43，即在t ＝4 s 时，该点与出发点的距离为43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以走过的路程s ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋||ʃ31(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t －ʃ31(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)，即前4 s 走过的路程为4 m.反思与感悟 (1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝ʃba |v (t )|d t＝－ʃba v (t )d t ；②注意路程与位移的区别． (2)求变力做功的方法步骤①首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移； ②利用变力做功的公式W ＝ʃba F (x )d x 计算；③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．跟踪训练3 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若20 N 的力能使弹簧伸长3 cm ，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W 为( ) A.16930 J B ．5 J C.15930J D ．6 J考点 利用定积分求变力做功问题 题点 定积分在弹力做功中的应用 答案 A解析 设拉伸弹簧所用的力为F N ，弹簧伸长的长度为x m ，则F ＝kx . 由题意知20＝0.03k ，得k ＝2 0003， 所以F ＝2 0003x .由变力做功公式，得W ＝ʃ0.1302 0003x d x ＝⎪⎪⎪1 000x 230.130＝16930(J)， 故把弹簧从平衡位置拉长13 cm 时所做的功为16930J.1．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( ) A.43 B.83 C.163D.23考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解 答案 A解析 如图，画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x 的图象，则所求面积S 为图中阴影部分的面积． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.所以A (2,4)，O (0,0)． 所以S ＝ʃ202x d x －ʃ20x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪20－13x 320＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－0＝43.2．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( ) A ．925 J B ．850 J C ．825 JD ．800 J考点 利用定积分求变力做功问题 题点 定积分在弹力做功中的应用 答案 C解析 依题意F (x )做的功是W ＝ʃ105F (x )d x ＝ʃ105(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )|105＝825(J)．3．由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝2，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 1－ln 2解析 因为函数y ＝1x 在[1,2]上的积分为S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2，所以围成的封闭图形的面积S 1等于四边形ABCD 的面积减去S 2的面积，即S 1＝1－ln 2. 4．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________ m.考点 利用定积分求路程问题 题点 利用定积分求路程问题 答案 900解析 由速度—时间曲线得 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，－35t ＋36，10<t ≤60，所以汽车在1分钟内行驶的路程为 ʃ1003t d t ＋ʃ6010⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－35t ＋36d t ＝32t 2100＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－310t 2＋36t 6010＝150＋750＝900 m.5．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积．由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)， 因此所求图形的面积为S ＝ʃ1－1|x 2－1|d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 331－1＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1 ＝83.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标； (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．一、选择题1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )A．ʃc a f(x)d xB．|ʃc a f(x)d x|C．ʃb a f(x)d x＋ʃc b f(x)d xD．ʃc b f(x)d x－ʃb a f(x)d x考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案 D解析∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0，∴阴影部分的面积S＝ʃc b f(x)d x－ʃb a f(x)d x.2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是( )A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m考点利用定积分求路程问题题点利用定积分求路程问题答案 B解析S＝ʃ30(3t2＋2t)d t＝(t3＋t2)|30＝33＋32＝36(m)，故选B.3．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为( )A．8 J B．10 J C．12 J D．14 J考点利用定积分求变力做功问题题点定积分在弹力做功中的应用答案 D解析由变力做功公式有W＝ʃ31(4x－1)d x＝(2x2－x)|31＝14(J)，故选D.4．由直线x ＝0，x ＝2π3，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形的面积等于( )A ．3 B.32 C ．1 D.12考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 A解析 直线x ＝0，x ＝2π3，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形如图所示，其面积为S ＝2π32sin d x x ⎰＝－2cos x 2π30＝－2cos 2π3－(－2cos 0)＝1＋2＝3，故选A.5．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S 等于( )A.12B.13C.14D ．1考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 C解析 y ＝x 2，y ＝14x 2，x ＝1所围成的图形如图所示，S ＝ʃ10x 2d x －ʃ1014x 2d x＝ʃ1034x 2d x ＝⎪⎪⎪14x 310＝14. 6．由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.14B.34C.12D.43考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解答案 C解析 由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形如图，所以由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形的面积为2ʃ10(x －x 3)d x ＝12，故选C.7．由曲线y ＝x 与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.12B.1112C.16D.512考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解答案 D解析 联立曲线y ＝x 与直线y ＝2x －1，构成方程组⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.联立直线y ＝2x －1，y ＝0构成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝0.∴曲线y ＝x 与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为S ＝ʃ10x d x －112(21)d x x -⎰312120122|()|3x x x=--＝23＋14－12＝512.二、填空题8．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是________． 考点 利用定积分求路程问题题点 利用定积分求路程问题答案 4＋25ln 5解析 由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为ʃ40v (t )d t ＝ʃ40⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝ ⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )40＝4＋25ln 5. 9．由曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及x ＝1所围成的图形的面积为____________．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 e ＋1e－2 解析 如图，所围成的图形的面积为ʃ10(e x －e－x)d x ＝(e x ＋e －x )|10＝e ＋e －1－2＝e ＋1e －2. 10.如图，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等，则x 0＝________.考点 导数与积分几何意义的应用题点 导数与积分几何定义的应用答案 64解析 由题意知12×x 0×14＝020d ,x x x ⎰ 即18x 0＝13x 30，解得x 0＝64或x 0＝－64或x 0＝0. ∵x 0>0，∴x 0＝64. 11．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c ＝________. 考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数答案 12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c. ∵当0<x <1c时，x 2>cx 3， ∴S ＝1230(-)d c x cx x ⎰＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 410c ＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18，∴c ＝12. 三、解答题12．求由抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积题点 需分割的图形的面积求解解 如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x (y >0)，x ＋y －6＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)．方法一 (选y 为积分变量)S ＝ʃ40⎝ ⎛⎭⎪⎫6－y －18y 2d y ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫6y －12y 2－124y 340＝24－8－124×64＝403. 方法二 (选x 为积分变量)S ＝ʃ20(8x )d x ＋ʃ62(6－x )d x＝ ⎪⎪⎪8×2332x 20＋ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －12x 262 ＝163＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6－12×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－12×22 ＝403. 13.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数解 由题图知方程f (x )＝0有两个实根，其中有一个实根为0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )．有274＝ʃ－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44＋ax 33－a 0＝a 412， 所以a ＝±3.又－a >0，即a <0，所以a ＝－3.四、探究与拓展14.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解 答案 2e2 解析 ∵S 阴＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2， S 正方形＝e 2，∴P ＝2e 2.15.已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积，S 2为直线x ＝2，y ＝4－t 2及曲线y ＝4－x 2所围成图形的面积(t 为常数)．(1)若t ＝2，求S 2；(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解解 (1)当t ＝2时，S 2＝22(4)]d x x --＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x＝43(2－1)． (2)当t ∈(0,2)时，S 1＝ʃt 0[(4－x 2)－(4－t 2)]d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3t 0＝23t 3. S 2＝ʃ2t [(4－t 2)－(4－x 2)]d x＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x 2t ＝83－2t 2＋23t 3. 所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－2t 2＋83. S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)，令S ′＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝1，当0<t <1时，S ′<0，S 单调递减，当1<t <2时，S ′>0，S 单调递增，所以当t ＝1时，S min ＝2.。
2021年高中数学第一章导数及其应用1.7.2定积分在物理中的应用学案含解析人教A版选修2_2
1.7.2 定积分在物理中的应用[目标] 1.能够利用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程.2.学会利用定积分求变力做功问题.3.感受定积分在物理中的应用，加深对定积分的认识．[重点] 用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程． [难点] 用定积分求变力做功问题．知识点一 变速直线运动的路程[填一填]作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .[答一答]1．一辆汽车在1 min 内的速度—时间曲线如图所示，那么汽车的速度v 与时间t 的函数关系式是什么？提示：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，30，10<t <40，－32t ＋90，40≤t ≤60.2．上述问题中汽车在[0,10]，[10,40]，[40,60](单位：s)三个时段内行驶的路程，用定积分分别如何表示？提示：⎠⎛ 0103t d t ；⎠⎛ 104030d t ；⎠⎛ 4060(－32t ＋90)d t .3．如果v (t )的方向有正有负，怎样表示t ∈[a ，b ]时物体经过的路程和位移？ 提示：路程可表示为s ＝⎠⎛a b |v (t )|d t ，位移可表示为s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .知识点二 变力做功[填一填]1．恒力F 的做功公式一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所做的功为W ＝Fs .2．变力F (x )的做功公式如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[答一答]4．根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x ，回答下列问题．(1)物理上进行功的计算时，力、位移的单位是什么？相应功的单位是什么？ (2)计算变力做功时，力与位移的方向有什么关系？提示：(1)在一般情形下，力、位移的单位依次为N ，m ，功的相应单位为J.在解题时单位一定要统一．(2)力与位移的方向必须一致．1．路程计算公式路程是位移的绝对值和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程： (1)若v (t )≥0，s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；(2)若v (t )≤0，s ＝－⎠⎛ab v (t )d t ；(3)若在区间[a ，c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0，则s ＝⎠⎛a c v (t )d t －⎠⎛cb v (t )d t .2．求变力做功的方法(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F 的表达式，这是求功的关键． (2)由功的物理意义知，物体在变力F (x )的作用下，沿力F (x )的方向做直线运动，使物体从x ＝a 移到x ＝b (a <b )．因此，求功之前还应求出位移起始位置与终止位置．(3)根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab f (x )d x 即可求出变力F (x )所做的功．类型一 变速直线运动的路程【例1】 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，速度为(24－1.2t ) m/s ，经t s 后，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离．【解】 (1)设A 到C 的时间为t 1，则1.2t 1＝24，t 1＝20(s)， 则AC ＝⎠⎛ 0201.2t d t ＝0.6t|2200＝240(m)．(2)设D 到B 的时间为t 2，则24－1.2t 2＝0，t 2＝20(s)， 则DB ＝⎠⎛ 020(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．求变速直线运动的路程、位移应关注三点 1分清运动过程中的变化情况；2如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；3明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消.汽车以每小时36 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度－2 m/s 2匀减速刹车，问开始刹车到停车，汽车行驶了多少千米？解：由题意，知v 0＝36 km/h ＝10 m/s.所以v (t )＝v 0＋at ＝10－2t ，令v (t )＝0，则t ＝5，则t ＝5 s 时，汽车将停止，所以汽车由刹车到停车行驶的路程s ＝⎠⎛ 05v (t )d t ＝⎠⎛ 05 (10－2t )d t ＝(10t －t 2)|50＝25(m)＝0.025(km)． 类型二 变力做功【例2】 设有一根长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．【思路分析】 先求出拉力F (x )，然后再求功．【解】 设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，即0.05 k ＝100， ∴k ＝2 000，∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝⎠⎛ 00.152 000x d x ＝1 000x 20.150＝22.5(J)．(1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步． (2)根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题．一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)外力F (x )做的功．解：由力—位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x ≤23x ＋4，2<x ≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为W ＝⎠⎛ 0210d x ＋⎠⎛ 24 (3x ＋4)d x ＝10x|20＋(32x 2＋4x )|42＝46(J)．正确区分变速直线运动的位移与路程【例3】 有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝3时，求离开原点的路程； (2)当t ＝5时，P 点的位置；(3)从t ＝0到t ＝5时，点P 经过的路程；(4)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．【思路分析】 首先要确定的是所要求的是路程还是位移，然后用相应的方法求解． 【解】 (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝3时，点P 离开原点的路程s 1＝∫30(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|30＝18.(2)s 2＝∫50(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|50＝503.∴点P 在x 轴正方向上距原点503处．(3)s 3＝∫40(8t －2t 2)d t －∫54(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|40－(4t 2－23t 3)|54＝26.(4)依题意∫t 0(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， t ＝6是所求的值．【解后反思】 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求： (1)在t ＝4 s 时的位置； (2)在t ＝4 s 时运动的路程．解：(1)在时刻t ＝4 s 时该点的位置为：⎠⎛ 04 (t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t |40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时该点距离出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]和[3,4]上v (t )≥0，在区间[1,3]上v (t )≤0， 所以在t ＝4 s 时运动的路程为：1．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( B )A ．1＋eB ．e C.1eD ．e －1解析：所做的功W ＝⎠⎛ 01F (x )d x ＝⎠⎛ 01 (1＋e x)d x ＝(x ＋e x)|10＝e.2．物体以速度v (t )＝2－t 做直线运动，则它在t ＝1到t ＝3这段时间的路程为( B ) A ．0 B ．1 C.12 D.32解析：当t ∈[1,2]时，v (t )≥0，t ∈[2,3]时，v (t )≤0，故路程为.3．如果1 N 力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为0.18_J. 解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，∴k ＝10.01＝100，即F (x )＝100x ，于是拉长6 cm 所耗费的功为W ＝⎠⎛ 00.06F (x )d x ＝⎠⎛ 00.06100x d x ＝50x 20.060＝0.18(J)．4．质点做直线运动，其速度v (t )＝t 2－2t ＋1(单位：m/s)，则它在第2秒内所走的路程为13m.解析：由于v (t )＝t 2－2t ＋1≥0，因此它在第2秒内所走的路程为s ＝＝13(m)．5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，求此物体达到最高时的高度．解：由v ＝40－10t 2＝0，得物体达到最高时t ＝2(s)．所以物体达到最高时的高度为h ＝⎠⎛ 02 (40－10t 2)d t ＝(40t －103t 3)|20＝1603(m)．。
高中数学第一章导数及其应用1.7.2定积分在物理中的应用教案新人教A版选修2
§1.7.1定积分在几何中的简单应用教学目标：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
教学重点： 曲边梯形面积的求法；教学难点：定积分在物理中应用．教学过程设计（一）、复习引入，激发兴趣。
【教师引入】1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？(二)、探究新知，揭示概念变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .探究(1)求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()ba s v t dt =⎰ （2）．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .探究如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到 ()ba W F x dx =⎰（三）、分析归纳，抽象概括作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()ba s v t dt =⎰与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到 ()ba W F x dx =⎰（四）、知识应用，深化理解例 1.一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知：3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：104060010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰ 210402600104033|30|(90)|1350()24t t t t m =++-+= 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .例2．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx ,其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到220011|()22ll W kxdx x kl J ===⎰ 答：克服弹力所作的功为212kl J . 课堂练习如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功（ A ）A 0.18JB 0.26JC 0.12JD 0.28J略解：设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分18001060..=⎰xdx （五）、归纳小结、布置作业本节课主要学习了定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用
§1.7定积分的简单应用学习目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．知识点一定积分在几何中的应用思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．梳理(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃb a f(x)d x.(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－ʃb a f(x)d x.(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝ʃb a[f(x)－g(x)]d x.(如图)知识点二变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？答案不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．梳理(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21()t t t⎰v d t求解．(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用21()t t t⎰v d t求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21()t t t⎰v d t.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝ʃb a v(t)d t.知识点三变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？答案与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a 到x＝b(a<b)，可以利用定积分得到W＝ʃb a F(x)d x.梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为ʃba F (x )d x .1．曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为ʃ10x 3d x ＋ʃ21(2－x )d x .( √ ) 2．在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．( × ) 3．在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．( × )类型一 利用定积分求面积命题角度1 求不分割型图形的面积例1 由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S ＝________. 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2，得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x ＝⎪⎪⎪2332x 10－⎪⎪⎪13x 310＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形．(2)找出范围，确定积分上、下限． (3)确定被积函数． (4)将面积用定积分表示．(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得，S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 22－3－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x 2－3＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝1256. 命题角度2 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋ʃ31⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x＝ʃ10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23x d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2332x ＋16x 210＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较烦琐，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S ＝ʃ10(2x －x )d x ＋ʃ21(2x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪x 221＋⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x 3321＝12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝76. 类型二 定积分在物理中的应用例3 一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(v 的单位：m/s)运动，求： (1)该点在t ＝4 s 时的位置； (2)该点前4 s 走过的路程． 考点 利用定积分求路程问题 题点 利用定积分求路程问题解 (1)在t ＝4 s 时，该点的位移为ʃ4(t 2－4t ＋3)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43，即在t ＝4 s 时，该点与出发点的距离为43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以走过的路程s ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋||ʃ31(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t －ʃ31(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)，即前4 s 走过的路程为4 m.反思与感悟 (1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝ʃba |v (t )|d t＝－ʃba v (t )d t ；②注意路程与位移的区别． (2)求变力做功的方法步骤①首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移； ②利用变力做功的公式W ＝ʃba F (x )d x 计算；③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．跟踪训练3 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若20 N 的力能使弹簧伸长3 cm ，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W 为( ) A.16930 J B ．5 J C.15930J D ．6 J考点 利用定积分求变力做功问题 题点 定积分在弹力做功中的应用 答案 A解析 设拉伸弹簧所用的力为F N ，弹簧伸长的长度为x m ，则F ＝kx . 由题意知20＝0.03k ，得k ＝2 0003， 所以F ＝2 0003x .由变力做功公式，得W ＝ʃ0.1302 0003x d x ＝⎪⎪⎪1 000x 230.130＝16930(J)， 故把弹簧从平衡位置拉长13 cm 时所做的功为16930J.1．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( ) A.43 B.83 C.163D.23考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解 答案 A解析 如图，画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x 的图象， 则所求面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.所以A (2,4)，O (0,0)． 所以S ＝ʃ202x d x －ʃ20x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪20－13x 320＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－0＝43.2．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( ) A ．925 J B ．850 J C ．825 JD ．800 J考点 利用定积分求变力做功问题 题点 定积分在弹力做功中的应用 答案 C解析 依题意F (x )做的功是W ＝ʃ105F (x )d x ＝ʃ105(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )|105＝825(J)．3．由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝2，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 1－ln 2解析 因为函数y ＝1x 在[1,2]上的积分为S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2，所以围成的封闭图形的面积S 1等于四边形ABCD 的面积减去S 2的面积，即S 1＝1－ln 2. 4．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________ m.考点 利用定积分求路程问题 题点 利用定积分求路程问题 答案 900解析 由速度—时间曲线得 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，－35t ＋36，10<t ≤60，所以汽车在1分钟内行驶的路程为 ʃ1003t d t ＋ʃ6010⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－35t ＋36d t ＝32t 2100＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－310t 2＋36t 6010＝150＋750＝900 m.5．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积． 由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)， 因此所求图形的面积为S ＝ʃ1－1|x 2－1|d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 331－1＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1 ＝83.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标； (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．一、选择题1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )A．ʃc a f(x)d xB．|ʃc a f(x)d x|C．ʃb a f(x)d x＋ʃc b f(x)d xD．ʃc b f(x)d x－ʃb a f(x)d x考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案 D解析∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0，∴阴影部分的面积S＝ʃc b f(x)d x－ʃb a f(x)d x.2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是( )A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m考点利用定积分求路程问题题点利用定积分求路程问题答案 B解析S＝ʃ30(3t2＋2t)d t＝(t3＋t2)|30＝33＋32＝36(m)，故选B.3．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为( )A．8 J B．10 J C．12 J D．14 J考点利用定积分求变力做功问题题点定积分在弹力做功中的应用答案 D解析由变力做功公式有W＝ʃ31(4x－1)d x＝(2x2－x)|31＝14(J)，故选D.4．由直线x ＝0，x ＝2π3，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形的面积等于( )A ．3 B.32 C ．1 D.12考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 A解析 直线x ＝0，x ＝2π3，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形如图所示，其面积为S ＝2π32sin d x x ⎰＝－2cos x 2π30|＝－2cos 2π3－(－2cos 0)＝1＋2＝3，故选A.5．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S 等于( )A.12B.13C.14D ．1考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 C解析 y ＝x 2，y ＝14x 2，x ＝1所围成的图形如图所示，S ＝ʃ10x 2d x －ʃ1014x 2d x＝ʃ1034x 2d x ＝⎪⎪⎪14x 310＝14. 6．由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.14B.34C.12D.43考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案 C解析由直线y＝x，曲线y＝x3围成的封闭图形如图，所以由直线y＝x，曲线y＝x3围成的封闭图形的面积为2ʃ10(x－x3)d x＝12，故选C.7．由曲线y＝x与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为( )A.12B.1112C.16D.512考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案 D解析联立曲线y＝x与直线y＝2x－1，构成方程组⎩⎨⎧y＝x，y＝2x－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝1.联立直线y＝2x－1，y＝0构成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝12，y＝0.∴曲线y＝x与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为S＝ʃ10x d x－112(21)dx x-⎰312120122|()|3x x x=--＝23＋14－12＝512.二、填空题8．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是________． 考点 利用定积分求路程问题题点 利用定积分求路程问题答案 4＋25ln 5解析 由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为ʃ40v (t )d t ＝ʃ40⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝ ⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )40＝4＋25ln 5. 9．由曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及x ＝1所围成的图形的面积为____________．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 e ＋1e－2 解析 如图，所围成的图形的面积为ʃ10(e x －e－x)d x ＝(e x ＋e －x )|10＝e ＋e －1－2＝e ＋1e －2. 10.如图，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等，则x 0＝________.考点 导数与积分几何意义的应用题点 导数与积分几何定义的应用答案 64解析 由题意知12×x 0×14＝020d ,x x x ⎰ 即18x 0＝13x 30，解得x 0＝64或x 0＝－64或x 0＝0. ∵x 0>0，∴x 0＝64. 11．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c ＝________. 考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数答案 12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c. ∵当0<x <1c时，x 2>cx 3， ∴S ＝1230(-)d c x cx x ⎰＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 410c ＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18，∴c ＝12. 三、解答题12．求由抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积题点 需分割的图形的面积求解解 如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x (y >0)，x ＋y －6＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)．方法一 (选y 为积分变量)S ＝ʃ40⎝ ⎛⎭⎪⎫6－y －18y 2d y ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫6y －12y 2－124y 340＝24－8－124×64＝403. 方法二 (选x 为积分变量) S ＝ʃ20(8x )d x ＋ʃ62(6－x )d x＝ ⎪⎪⎪8×2332x 20＋ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －12x 262 ＝163＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6－12×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－12×22 ＝403. 13.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数解 由题图知方程f (x )＝0有两个实根，其中有一个实根为0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )．有274＝ʃ－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44＋ax 33－a 0＝a 412， 所以a ＝±3.又－a >0，即a <0，所以a ＝－3.四、探究与拓展14.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 2e2 解析 ∵S 阴＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2， S 正方形＝e 2，∴P ＝2e2.15.已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积，S 2为直线x ＝2，y ＝4－t 2及曲线y ＝4－x 2所围成图形的面积(t 为常数)．(1)若t ＝2，求S 2；(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解解 (1)当t ＝2时，S 2＝22(4)]d x x --＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x＝43(2－1)． (2)当t ∈(0,2)时，S 1＝ʃt 0[(4－x 2)－(4－t 2)]d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3t 0＝23t 3. S 2＝ʃ2t [(4－t 2)－(4－x 2)]d x＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x 2t ＝83－2t 2＋23t 3. 所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－2t 2＋83. S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)，令S ′＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝1，当0<t <1时，S ′<0，S 单调递减，当1<t <2时，S ′>0，S 单调递增，所以当t ＝1时，S min ＝2.。
高中数学第一章导数及其应用定积分在物理中的应用学案新人教A版选修
1.7.2 定积分在物理中的应用【学习目标】1.理解定积分的概念与性质，掌握定积分的计算方法.2.掌握定积分的物理意义并能计算变速直线运动的路程与变力作功这两类问题. 【重点难点】重点：用定积分计算变速直线运动的路程与变力作功. 难点：对积分物理意义的理解. 【学法指导】复习物理中的变速直线运动的路程与变力作功等相关内容 【学习过程】 一．课前预习阅读课本1.7.2节，记下疑惑之处，并回答下列问题：1．已知路程函数t t t s 32)(2+=，则物体在第3秒末时的速度是.2．反过来，若已知速度函数34)(+=t t v ，如何求物体在前3秒内的路程呢？结论：（1）作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间上的定积分，即 ()bas v t dt =⎰。
（2）物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x ) 相同的方向从x =a 移动到x =b (a<b) ，那么变力F(x ）所作的功()baW F x dx =⎰。
二．课堂学习与研讨例1．一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程． 分析：要求路程，根据定积分的物理意义，只需求出速度函数即可。
注意分段函数的表示方法.动动手：1.一物体沿着直线以32+=t v 的速度运动，求该物体在5~3s 间行进的路程。
2．以初速度s m /40垂直上抛一物体，t 时刻的速度为t v 1040-=，求物体运动到最高点所经过的路程。
例2．在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所作的功．动动手：一物体在力43)(+=x x F ，（x 的单位：m ，F 的单位：N ）的作用下，沿着与力F相同的方向，从0=x 处运动到4=x 处，求力)(x F 所作的功。
例3．一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度tt t v ++-=1555)(紧急刹车至停止.求：（1）从开始紧急刹车到火车停止所经过的时间； （2）紧急刹车后至停止火车运行的路程.【当堂检测】1．物体作变速直线运动的速度为v(t)，当t=0时，物体所在的位置为0s ，则在1t 秒末时它所在的位置为（） A ．⎰1)(t dtt v B ．⎰+10)(t dtt v s C ．1)(s dt t v t -⎰D ．⎰-10)(t dtt v s2.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面 B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在0t 时刻，两车的位置相同 D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面3.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车的速度v (t )=27-0.9t ,则列车刹车后至停车时的位移为( ) A.405 B.540C.810D.9454..由胡克定律知,弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比,现已知1 N 的力能使一个弹簧伸长0.01 m,则把弹簧拉长0.1 m 所做的功等于( ) A.200 J B.100 JC.50 JD.0.5 J【课堂小结】（1）作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间上的定积分，即 ()bas v t dt =⎰.（2）物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么变力F(x ）所作的功()baW F x dx =⎰.（3）要求路程，先找到速度函数，时间作为积分区间；要求作功，先找到变力关于位移的函数关系，位移作为积分区间. 【作业】 课本P60页4,5,6。
版高中数学第一章导数及其应用171 2定积分在几何中的应用课件新人教A版选修2 20622377
＝(x＋ex)| 1 0＝(1＋e)－1＝e. 答案：B
π π 5．由直线x＝－3，x＝3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭 图形的面积为________．
解析：所求图形的面积是
答案： 3
课堂探究 互动讲练 类型一 利用定积分求平面图形的面积 [例1] (1)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为 ________． (2)求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成 图形的面积．
1
13 答案：(1)C (2) 6
类型二 求变速直线运动的路程、位移 [例 2] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 的速度为 v(t)＝8t －2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝3 时，离开原点的路程； (2)当 t＝5 时，P 点的位置； (3)从 t＝0 到 t＝5 时，点 P 经过的路程； (4)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
解得交点坐标为(2,4)，如图，所以所求面积为 1 2 1 2 1 3 4 4 dy＝6y－ y － y | 0 6 － y － y A＝ 8 2 24 1 40 3 ＝24－8－24×4 ＝ 3 .
0
方法归纳 求不分割型图形面积的一般步骤
同时，要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形 的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是 非负的.
-3
y＝ x， y＝2－x， 得交点坐标分 1 1 y＝－3x， y＝－3x， 别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 1 1 1 3 1 1 2－x－－ x dx＝ x＋ x 所以S＝ x－－3x dx＋ 3 3
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.2 定积分在物理中的应用学案(含解析)新人教A版选修2-2(
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1。
7。
2 定积分在物理中的应用［学习目标]1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．[知识链接]下列判断正确的是________．（1）路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；(2）利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子错误!v（t）d t；(3）利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子错误!v（t）d t。
答案（1）（3）解析(1）显然正确．对于(2)，(3）两个判断,由于当v（t）≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用错误!v(t）d t求解;当v(t)〈0时，求某一时间段内的位移用错误!v（t）d t求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－错误!v(t)d t.所以(2）错(3）正确．［预习导引］1．在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和,从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′分别为：(1）若v(t)≥0，则s＝错误!v(t）d t，s′＝错误!v(t)d t.（2)若v(t)≤0，则s＝－错误!v(t)d t,s′＝错误!v（t)d t.（3）若在区间［a，c]上,v（t）≥0，在区间［c,b］上v(t）〈0，则s＝错误!v(t）d t－错误!v（t）d t；s′＝错误!v（t)d t。
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§1.7.1定积分在几何中的简单应用
教学目标：
进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
教学重点： 曲边梯形面积的求法；
教学难点：定积分在物理中应用．
教学过程设计
（一）、复习引入，激发兴趣。
【教师引入】1、求曲边梯形的思想方法是什么？
2、定积分的几何意义是什么？
3、微积分基本定理是什么？
(二)、探究新知，揭示概念
变力作功
一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .
探究
(1)求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即
()b
a s v t dt =⎰ （2）．变力作功
一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .
探究
如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？
与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到 ()b
a W F x dx =⎰
（三）、分析归纳，抽象概括
作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即
()b
a s v t dt =⎰
与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到 ()b
a W F x dx =⎰
（四）、知识应用，深化理解
例 1.一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．
解：由速度一时间曲线可知：
3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩
因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：
104060
010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰ 21040260
0104033|30|(90)|1350()24
t t t t m =++-+= 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .
例2．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）
= kx ,
其中常数 k 是比例系数．
由变力作功公式，得到
220011|()22
l
l W kxdx x kl J ===⎰ 答：克服弹力所作的功为212kl J . 课堂练习
如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功（ A ）
A 0.18J
B 0.26J
C 0.12J
D 0.28J
略解：设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分1800106
0..=⎰xdx （五）、归纳小结、布置作业
本节课主要学习了定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。
布置作业：。