发现凹边形内角和与外角和定理

發現凹邊形內角和與外角和定理摘要：會想要開始研究這個問題，是因為考卷中有一個有趣的題目。

在這個研究中，一開始我們先從最簡單的凹四邊形開始，再來慢慢延伸，思考其它凹多邊形，最後，我們找出了凹多邊形的外角和與內角和的算法。

發現了數學中隱藏著許多有趣的東西。

壹、研究動機有一次我們上數學課時，寫了一張考卷，裡面有一個問題，題目如下：解法不難，我們的解法如下：由課本的箭頭定理得知，∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D＝112°，小娟共轉了∠B的外角＋∠BCD的外角＋∠D的外角＝150°＋68°＋145°＝363°因為這個凹四邊形的題目，讓我們引起了對凹多邊形外角的注意。

這個題目只轉了其中的三個角，如果連∠A的外角也轉的話，會是多少度呢？課本上只談到击多邊形的外角和的算法，那凹四邊形的外角和又是多少度呢？如何算呢？推廣到凹多邊形的時候，外角和又是多少呢？有辦法找到一般的式子嗎？為了探討這個問題，於是我們一起開始研究，希望能得到答案。

貳、研究問題一、如何計算凹四邊形之外角和呢？其結果為何？二、推廣到更多邊的凹多邊形時，外角和又如何求呢？三、是否可以找到一般化的式子呢？參、研究設備及器材紙、筆及數學思考肆、研究過程一、凹多邊形的定義與凹角數的探討：(一)凹多邊形凹多邊形是指一多邊形有一個或以上之凹角(＞180°的角)的多邊形，例如右邊是凹六邊形ABCDEF，有一個凹角：∠F。

(二)凹多邊形之凹角數(條件)圖為凹多邊形凹角數之兩種極端狀況(圓弧代表無限條邊)，而n條邊最多形成(n－1)個角。

也就是說有一個凹角的凹多邊形最多可有無限條邊，要形成n個凹角至少要有(n＋3)條邊。

二、界定凹多邊形內角與外角：在討論凹多邊形的外角和之前，先大概說明凹多邊形的結構，另外也確定凹多邊形外角與內角的定義，以方便我們下面進行的一連串討論。

定義：凹多邊形的『外角』：凹多邊形的『外角』為凹多邊形的內角，其任一邊延伸後與另一邊的夾角。

例如，下圖中凹四邊形ABCD中∠C的外角為68°。

定義：凹多邊形的『內角』：凹多邊形的『內角』為凹多邊形內部的角。

例如，右圖中凹四邊形ABCD中內角∠C為360°－112°＝248°。

也就是說凹多邊形的『內角』界定在凹多邊形的內部，而且其度數有可能超過一個平角，尤其當它發生在凹角的時候！在討論凹多邊形的外角和之前，我們先討論凹多邊形的內角和，以便之後的計算。

三、凹多邊形內角和求法：我們發現，凹多邊形的內角和求法，有一個可以一以貫之的方法，我們說明如下：(一)凹四邊形計算其的內角和，我們連AC將凹四邊形切割成兩個三角形，內角和＝(∠2＋∠4＋∠B)＋(∠1＋∠3＋∠C)也就是180←(三角形內角和)＋180＝360°(二)凹五邊形將凹五邊形切割成三個三角形，得其內角和為180×(5－2)＝180×3＝540°(三)凹六邊形凹六邊形可切割成四個三角形，得其內角和為180×(6－2)＝180×4＝720°可知凹多邊形之內角和與击多邊形之內角和算法相同，它們有共同的一般式，也就是[180(n－2)]°四、引理：击多邊形外角定理：在這裡先提到多邊形之內外角關係，我們發現任意击多邊形的任二個內角之和會等於其於所有內角的外角之和。

求證：任意击多邊形其中二內角之和＝其餘內角的外角和證明：我們以击五邊形為例子，來解釋我們的想法：如右圖，五邊形五內角為∠A、∠B、∠C、∠D、∠E；而其外角分別為∠1、∠2、∠3、∠4、∠5。

以∠A＋∠C＝∠2＋∠4＋∠5為例：∠A＋∠C＝∠2＋∠4＋∠5＝(180－∠B)＋(180－∠D)＋(180－∠E) 移項後，得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°現在，我們可以來討論凹多邊形的外角和了。

五、凹多邊形之外角和為多少：請注意：此處所說之凹角為凹多邊形內部之角(凹角算內部的角度，會＞180°)我們從最少邊的凹四邊形開始討論，然後漸進增加邊數，最後，希望能找到凹多邊形外角和的一般式：(一)凹四邊形的外角和：１、360＋(凹角－180)的2倍：如右圖，以綠筆畫出凹四邊形的外角；並以紅筆畫出三角形以及其外角。

(三角形外角和為360°)發現凹四邊形外角多了三個角：∠QBP、∠DCB、∠RDB。

其中∠QBP＝∠DBC(對頂角相等)，而：∠DBC＋∠DCB＝∠RDB(三角形外角定理)，得凹四邊形外角和為360＋∠QBP＋∠DCB＋∠RDB＝360＋∠DBC＋∠DCB＋∠RDB＝360°＋2∠RDB，也就是說，任意凹四邊形的外角和＝360°＋(凹角－180°)×2２、當外角定義為180度減去它的內角：在課本中討論過击多邊形的外角，發現外角＝180°－內角(內外角互補)。

但討論到凹多邊形時，因為凹角＞180°，若內外角互補則凹角之外角度數會為負數。

依照這樣的想法，則：凹四邊形外角和會為：(180－∠A)＋(180－∠B)＋(180－∠C)＋(180－∠D)＝180×4－(∠A＋∠B＋∠C＋∠D)←凹四邊形內角和＝180×4－360＝360°太棒了，居然跟击四邊形的外角和的結果相同！３、有向角：老師告訴我們，高中的數學教材會引進「有向角」之概念，就是角有正負度數，也就是說，我們定義：順時針方向轉為正的角度、逆時針方向轉為負的角度。

如右圖，其中∠QBP＝∠DBC，而∠DBC＋∠DCB＝∠RDB。

加入有向角這個概念後，凹四邊形外角度數和的結果，變為：360＋∠QBP(∠DBC)＋∠DCB－∠RDB(度數為負)＝360＋∠RDB－∠RDB＝360°此結論與設內外角互補時所得結論相同！我們發現有向角與內外角互補其實是一樣的。

(二)凹五邊形１、360＋(凹角－180)的2倍：凹五邊形的外角比四邊形的外角多了∠1、∠2、∠3、∠4，且∠1＋∠2＝∠3＋∠4。

所以凹五邊形之外角和為360＋2(∠3＋∠4)，也就是360＋(凹角－180)×2２、有向角：若以有向角來看，外角和為360＋∠1＋∠2－∠3－∠4←(逆時針轉，為負角)，也就是360＋∠3＋∠4－∠3－∠4＝360°接下來的討論，我們將全部以內外角互補，或者是說，以有向角的角度來看凹多邊形的外角。

(三)凹六邊形與凹七邊形的外角和度數：１、凹六邊形的外角和度數：凹六邊形之外角和為(180－∠A)＋(180－∠B)＋(180－∠C)＋(180－∠D)＋(180－∠E)＋(180－∠F)＝180×6－(∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F)＝180×6－180×4＝360°２、凹七邊形的外角和度數：凹七邊形之外角和為(180－∠A)＋(180－∠B)＋(180－∠C)＋(180－∠D)＋(180－∠E)＋(180－∠F)＋(180－∠G)＝180×7－(∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G)＝180×7－180×5＝360°(四)任意凹多邊形的外角和度數：以上的方法，可以推廣到凹八邊形、凹九邊形等等，也就是說，任意凹多邊形的外角和的度數，在考慮外角為有向的時候，其度數皆為360°，這個答案竟然是與任意击多邊形的外角和，有一致的答案，這個發現，真是令我們感到喜悅與驚奇！伍、討論一、不定義正負角：若不定義正負角時，非凹角多轉的部分＝凹角多轉的部分(凹角－180)。

但因角不分正負，所以外角和為[360＋(凹角－180)之2倍]°。

二、定義角之正負：我們發現，在求凹多邊形外角和的時候，在定義正負角時，凹多邊形與击多邊形外角比較，非凹角部分會多轉，凹角部分也會多轉(击多邊形無外角)，但多轉的方向會相反，是負角。

且非凹角多轉的部分＝凹角多轉的部分(凹角－180)，一正一負恰巧抵消。

所以外角和會是360°。

陸、研究結果一、凹多邊形之內角和：我們發現，任意凹n多邊形，其所有的內部的角相加，都會是180°×（n－2），這點與击多邊形的內角和公式是一致的！二、凹四邊形之外角和：（一）在角度為有向的時候，凹四邊形其外角和會是360°（二）若不定義正負角時，凹四邊形其外角和會是360°＋凹角之外角度數×2三、凹五邊與凹六邊形之外角和：（一）在角度為有向的時候，她們的外角和會是360°（二）若不定義正負角時，她們的外角和會是360°＋凹角之外角度數×2四、推廣到更多邊的凹多邊形時，我們找到外角和的一般結果：（一）若不定義正負角時，外角和會是360°＋凹角之外角度數×2（二）當我們引進有向角概念後，我們發現：任意凹多邊形的外角和，都是360°，這個結果，與击多邊形的外角和度數，竟然有一致的結果！柒、研究心得及感想我們經過這番的研究之後才發現，數學是如此的有趣。

在研究時雖然不免碰到一些小的挫折，但我們還是完成了這個研究!這個研究也讓我們了解到數學與我們的生活息息相關。

捌、參考資料康軒版數學第四冊、數學考卷、同學的意見、老師的意見、我們的頭腦。