换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

1.1不定积分中第一换元法的定理形式

定理1若，且的原函数容易求出，记

，

则

.

证明若，令，于是有

因而

得证。

1.2定积分中第一换元法的定理形式

定理2若连续，在上一阶连续可导，且，在构成的区间上连续，其中，则

.

证明令，由于在构成的区间上连续，记，则

得证。

1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

区别：第一换元法在定积分中对未知量给出了定义范围，要求换元函数在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。

联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数的任意一个原函数，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。

例1求.

解因为

即有一个原函数，所以

例2 计算积分.

解由于

于是

2.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

2.1不定积分中第二换元法的定理形式

定理3设连续，及都连续，的反函数存在且连续，并且

，（1）则

（2）

证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得

，

这便证明了（2）式。

2.2定积分中第二换元法的定理形式

定理 4 设在连续，作代换，其中在构成的区间上有连续导数，且，则

证明设是的一个原函数，则是的一个原函数。于是

，

定理得证。

2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换的反函数存在且连续，并且。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。

例3用第二换元法求解

解令，则