(完整版)新人教版第16章二次根式全章教案
人教版八年级数学下册第16章二次根式全章教案
人教版八年级数学第16章单元计划一、课前导学：学生自学课本2-3页内容，并完成下列问题 1. 温故而知新：（1）如果一个数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么x 叫做a 的 ，记为x = ， （2）如果一个非负数x 的平方等于a ，即2x =a （0≥x ），那么非负数x 叫做a 的 ，记为x = ， （3）计算下列各式的值：= ，= ，= ，= ，= ，2)9(= ，2．一般地我们把形如 （ ）叫做二次根式，a 叫做_____________， 3. 试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3， 16-， 34，5-， )0(3≥a a ， 12+x4．根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ）， 5.计算：(1)2)23( (2)2)52(- 二、合作、交流、展示： 1.理解二次根式概念（1）二次根式a 中，字母a 必须满足 ； （2）二次根式与算术平方根有何关系呢？年级 八年级 课题 16.1二次根式（1） 课型 新授教 学 目 标知识技能1．理解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式；2. 掌握二次根式有意义的条件；3. 掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 过程方法培养观察、归纳能力，理解分类讨论思想，培养思维的严密性.情感态度激发学生学习数学的兴趣，培养合作意识.教学重点 二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 教学难点 灵活运用性质)0(0≥≥a a 解题． 教法学案导学学法探究、合作教学媒体多 媒 体教 学 过 程 设 计2)3(________)(2=a（3）当0≥a 时，a 是什么数？【归纳】二次根式的双重非负性： 2．当x 取何值时，下列各二次根式有意义（1）43-x ； （2）x 322- （3）2)2(-x（4）x --213. 若20a -=，则 2a b -= ，4．已知，求xy的值．【收获感悟】： ， 三、巩固与应用1. 若x -在实数范围内有意义，则x 为（ ），A.正数B.负数C.非负数D.非正数 2．当x 时，二次根式x 35-有意义，3. 在式子xx+-121中，x 的取值范围是____________.4．在实数范围内因式分解：①72-x ② 4a 2-115有意义，则a 的值为___________．6．已知42-x +y x +2＝0，则=-y x _____________.7．已知+3，求y x 的值．8.拓展提高：已知a 、b =b +4，求a 、b 的值． 四、小结：1．二次根式的概念： ；2.二次根式的性质：（1） ，（2） ； 3．巧用非负数解题． 五、作业：《作业本》第1页. 六、课后反思：一、课前导学：学生自学课本第4页内容，并完成下列问题 1. 计算：24= =20观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=≥2,0a a 时 2．计算：-2)4(==观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 3.【归纳】二次根式的性质：=2a =4．化简下列各式：（1）=22.0 （2）=-2)3.0( （3）=-2)4( （4）()22a = （0<a ）5．代数式：用基本运算符号把 连接起来的式子叫做代数式. 二、合作、交流、展示：1.理解二次根式三条基本性质：（1（ ） （2）()=2a （ ） （3） =2a教 学 过 程 设 计2．【讨论】二次根式的性质：)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系？3．化简下列各式（1）)0(42≥x x (2)4x （3）)3()3(2≥-a a4．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x5．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简b b c c a a ---++-22)(.三、巩固与应用 1. 课本第4页练习2； 2．2)4(-π= ；3．a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(________；4.你能运用公式a a =2比较53与34的大小吗?5．当x = 时，代数式43x +有最小值，其最小值是 ； 6．拓展提高：（1）已知0＜x ＜1，化简：4)1(2+-xx －4)1(2-+xx（2）已知实数a 满足a a a =-+-2014)2013(2，求22013-a 的值. 四、小结：1.二次根式的性质： ， ， ； 2．灵活运用二次根式的性质解题. 五、作业：《作业本》第2页. 六、课后反思：一、课前导学：学生自学课本6-7页内容，并完成下列问题1、探究 ⑴ 计算下列各式，观察计算结果：①4×9=______ ，94⨯=_______②16 ×25 =_______ ，2516⨯=_______ ③100 ×36 =_______ ， 36100⨯=_______⑵ 仔细观察上题中的规律，猜想b a •＝ ()0,0≥≥b a (二次根式乘法法则)再例举两个例子验证你的猜想： ； 2、计算2×3 ＝ ；5×6＝ ；274•＝ ；123•＝ 3、乘法公式反过来得到：=ab ()0,0≥≥b a ， 4、填空：⑴=•=⨯=24248 ； =•=⨯=292918 ；⑵请你用上述方法化简下列二次根式： 12＝ ；27＝ ；48＝ ； 72＝ ； 98＝ ； 250x ＝ ；二、合作、交流、展示：1.二次根式的乘法法则：b a •＝ ， 注意：乘法法则成立的条件是： （为什么？） 2、积的算术平方根的性质（乘法法则的逆向运用）=ab教 学 过 程 设 计注意：⑴性质成立的条件是： （为什么？）⑵如何化简：()()94-⨯-？ 3、例题1 计算：⑴3127⨯ ⑵4510152⨯ ⑶1531372⨯-例题2 化简：⑴()()8116-⨯- ⑵3225b a ⑶4499ab ⑷2212b a【收获感悟】：如何进行二次根式的化简 ，例题3 计算：⑴714⨯ ⑵10253⨯ ⑶ xy x 31122⨯-三、巩固与应用1、等式1112-=-•+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1 2、下列各等式成立的是（ ）． A ．45×25=85B ．53×42=205 C.53×22=106 D ． yx y x +=+22 4、不改变式子的值，把根号外的数移到根号里面： ⑴=32 ； ⑵313＝ ；⑶ －=625、比较下列两数的大小：⑴ ⑵⑶-32-6、已知一个三角形的一条边长为502，这条边上的高为83，求这个三角形的面积.7、计算：（1）68×（-26）； （2 8、（拓展）化简⑴a a1 ⑵aa 1-四、小结：1．二次根式的乘法法则： ；2.积的算术平方根的性质： ， 五、作业：《作业本》第3页. 六、课后反思：一、课前导学：学生自学课本第8-9页内容，并完成下列问题 1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质b a •＝ ，=ab2、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯3、填空： （1； （2；（3； （4． 你能发现什么规律呢？一般地，对二次根式的除法规定：二次根式的除法法则 商的算术平方根的性质 4、计算：（1）312 （2）16141÷5、化简：（1）257 （2）932 （3）)0,0(42522≥>b a ab 二、合作、交流、展示：仿照课本例题利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质完成以下题目教 学 过 程 设 计1、计算： （1 （2 （3）52154【温馨提示】：当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
八年级数学下册第十六章二次根式二次根式教案新人教版
16．1.1 二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：二、探索新知很明显3、10、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0，a有意义吗？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、、x（x>0）、0、42、+（x≥0，y•≥0）．-2、、x y分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．+（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x y33、、42、．x-在实数范围内有意义？例2．当x是多少时，31x-才能有意义．分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31解：由3x-1≥0，得：x≥当x ≥时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材P5练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x 是多少时，23x ++在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1当x ≥-且x ≠-1时，23x ++在实数范围内有意义．例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求的值．(答案:2)(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P5 1，2，3，42．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．-7B ．37C ．xD ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A ．4B ．16C ．8D ．3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5B ．5C ．D ．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a 的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x 是多少时，+x 2在实数范围内有意义？3．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．4.使式子有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数5.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B二、1．a （a ≥0） 2．a 3．没有三、1．设底面边长为x ，则0.2x 2=1，解答：x=5．2．依题意得：，∴当x>-且x ≠0时，＋x 2在实数范围内没有意义．3.4．B5．a=5，b=-4八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】C 【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【详解】如图，∵∠BEF 是△AEF 的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，∵AB ∥CD ，∴∠2=∠BEF=50︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．2．某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带③去，依据是( )A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA 【答案】D【分析】根据全等三角形的判定方法即可进行判断.【详解】解：③保留了原三角形的两角和它们的夹边，根据三角形全等的判定方法ASA 可配一块完全一样的玻璃，而①仅保留了一个角和部分边，②仅保留了部分边，均不能配一块与原来完全一样的玻璃. 故选D.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，难度不大，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.3．下列命题是假命题的是（ ）．A 是最简二次根式B ．若点A （-2，a ），B （3，b ）在直线y=-2x+1，则a>bC ．数轴上的点与有理数一一对应D ．点A （2，5）关于y 轴的对称点的坐标是（-2，5） 【答案】C【分析】根据最简二次根式、一次函数及不等式、数轴及实数、轴对称和坐标的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．是最简二次根式，故A 正确；∵若点A （-2，a ），B （3，b ）在直线y=-2x+1，∴()221231ab ⎧-⨯-+=⎨-⨯+=⎩∴55a b =⎧⎨=-⎩∴a b >，即B 正确；∵数轴上的点与实数一一对应∴C 不正确；∵点A （2，5）关于y 轴的对称点的坐标是（-2，5）∴D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查了最简二次根式、一次函数、不等式、数轴、实数、轴对称、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、一次函数、数轴、实数、轴对称的性质，从而完成求解．4．如图所示，在第1个1A BC ∆中，130,B A B CB ∠==；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D ∆；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E ∆…按此做法继续下去，则第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是（ ）A．1752n⎛⎫⋅⎪⎝⎭B．11652n-⎛⎫⋅⎪⎝⎭C．11752n-⎛⎫⋅⎪⎝⎭D．1852n⎛⎫⋅⎪⎝⎭【答案】C【解析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．【详解】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝180B2∠︒-＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝12∠BA1C＝12×75°；同理可得∠EA3A2＝（12）2×75°…∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（12）n−1×75°．故选C.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2的度数，找出规律是解答此题的关键．5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，则下列结论中错误的是（）A．∠BAD=∠CAD B．∠BAC=∠B C．∠B=∠C D．AD⊥BC【答案】B【分析】由在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．【详解】∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC ，∠B=∠C ．故A 、C 、D 正确，B 错误．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，则可列方程组为（ ）A ．100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩B ．100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】B 【分析】设大马有x 匹，小马有y 匹，根据题意可得等量关系：大马数+小马数=100，大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设大马有x 匹，小马有y 匹，由题意得：100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 故选：B ．【点睛】本题主要考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．7．如果实数a=11，且a 在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C11的大小，进而在数轴上找到相应的位置，即可得到答案.详解：49 911,4 <<由被开方数越大算术平方根越大，<<即7 3,2 <<故选C.的大小. 8．某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是（）A．2003503x x=-B．2003503x x=+C．2003503x x=+D．2003503x x=-【答案】B【解析】试题分析：设每个笔记本的价格为x元，根据“用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同”这一等量关系列出方程即可．考点：由实际问题抽象出分式方程9．下列数据的方差最大的是（）A．3，3，6，9，9 B．4，5，6，7，8 C．5，6，6，6，7 D．6，6，6，6，6【答案】A【分析】先计算出各组数据的平均数，再根据方差公式计算出各方差即可得出答案．【详解】解：A、这组数据的平均数为15×（3+3+6+9+9）=6，方差为15×[（3-6）2×2+（6-6）2+（9-6）2×2]=7.2；B、这组数据的平均数为15×（4+5+6+7+8）=6，方差为15×[（4-6）2+（5-6）2+（6-6）2+（7-6）2+（8-6）2]=2；C、这组数据的平均数为15×（5+6+6+6+7）=6，方差为15×[（5-6）2+（6-6）2×3+（7-6）2]=0.4；D、这组数据的平均数为15×（6+6+6+6+6）=6，方差为15×（6-6）2×5=0；故选A.【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差的计算方法是解题的关键．10．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE ，DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高，连接EF 交AD 于G ．下列结论：①AD 垂直平分EF ；②EF 垂直平分AD ；③AD 平分EDF ∠；④当BAC ∠为60︒时，3AG DG =，其中不正确的结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】根据角平分线性质求出DE=DF,根据HL 可证△AED ≌△AFD,即可推出AE=AF,再逐个判断即可.【详解】解:∵AD 是△ABC 的角平分线，DE,DF 分别是△ABD 和△ACD 的高,∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90° ,在Rt △AED 和Rt △AFD 中,AD AD DE DF =⎧⎨=⎩∴Rt △AED ≌Rt △AFD(HL)，∴AE=AF,∠ADE=∠ADF,∴AD 平分∠EDF;③正确;∵AE=AF ，DE=DF,∴AD 垂直平分EF,①正确;②错误，∵∠BAC=60°,∴∠DAE=30°, ∴323,,AG AE AD AE == ∴233313133DG AD AG AE AE AE AE AG =-=-===, ∴AG=3DG ，④正确.故选:A【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，垂直平分线的判定，解直角三角形，能求出Rt △AED ≌Rt △AFD 是解此题的关键.二、填空题11．如图，()()()()1230,1,2,0,3,2,5,1A A A A ，……，按照这样的规律下去，点2019A 的坐标为__________．【答案】 (3029，1009)【分析】从表中可知，各点坐标规律是：往右横坐标依次是+2，+1，+2，+1⋯⋯下标从奇数到奇数，加了3个单位；往右纵坐标是-1，+2，-1，+2⋯⋯下标从奇数到奇数，加了1个单位， 由此即可推出2019A 坐标．【详解】从表中可知，各点坐标规律是：往右横坐标依次是+2，+1，+2，+1⋯⋯ ∴下标从奇数到奇数，加了3个单位往右纵坐标是-1，+2，-1，+2⋯⋯ ∴下标从奇数到奇数，加了1个单位， 2019100912=∴2019A 的横坐标为210093+⨯=30292019A 纵坐标为010*******+⨯=∴2019A (3029,1009)故答案为：(3029,1009)【点睛】本题是有关坐标的规律题，根据题中已知找到点坐标规律是解题的关键．12．如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD CD =，25BAD ∠=︒，则C ∠的度数为______°.【答案】65【分析】根据等腰三角形的三线合一求出∠ADB=90°，进而求出∠B 的度数，根据等边对等角求出∠C 的度数.【详解】∵AB=AC ，BD=CD∴AD ⊥BC∴∠ADB=90°∵∠BAD=25°∴∠B=90°-∠BAD=65°∴∠C=∠B=65°故答案为：65【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及直角三角形的两个锐角互余，掌握等腰三角形的性质及直角三角形的性质是关键.13．如图， ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，D 为线段BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．以下四个结论：①CDE BAD ∠=∠；②当D 为BC 中点时DE AC ⊥；③当30BAD ∠=︒时BD CE =；④当ADE 为等腰三角形时30BAD ∠=︒．其中正确的结论是_________（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①②③【分析】利用三角形外角的性质可判断①；利用等腰三角形三线合一的性质得到∠ADC=90︒，求得∠EDC=50︒，可判断②；利用三角形内角和定理求得∠DAC=70︒=∠DEA ，证得DA=DE ，可证得ABD DCE ≅，可判断③；当ADE ∆为等腰三角形可分类讨论，可判断④．【详解】①∠ADC 是ADB 的一个外角，∴∠ADC =∠B+∠BAD=40︒+∠BAD ，又∠ADC =40︒+∠CDE ，∴∠CDE=∠BAD ，故①正确；②∵AB AC =，D 为BC 中点，∴40B C ∠=∠=︒，AD ⊥BC ，∴∠ADC=90︒，∴∠EDC=90904050ADE ︒-∠=︒-︒=︒，∴180180504090DEC EDC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴DE ⊥AC ，故②正确；③当30BAD ∠=︒时由①得∠CDE=∠BAD 30=︒，在ABC 中，∠DAC=180********︒-︒-︒-︒=︒，在ADE 中，∠AED=180704070︒-︒-︒=︒，∴DA=ED ，在ABD 和DCE 中，B CBAD CDE DA ED∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD DCE ≅，∴BD CE =，故③正确；④当AD=AE 时，∠AED=∠ADE=40°，∴∠AED=∠C=40°，则DE ∥BC ，不符合题意舍去；当AD=ED 时，∠DAE=∠DEA ，同③，30BAD ∠=︒；当AE=DE 时，∠DAE=∠ADE=40°，=︒-︒=︒，∴∠BAD1004060∴当△ADE是等腰三角形时，∴∠BAD的度数为30°或60°，故④错误；综上，①②③正确，故答案为：①②③【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形的内角和公式，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分类讨论思想是解题的关键．14．已知，如图，在直线l的两侧有两点A、B在直线上画出点P，使PA+PB最短，画法：______．【答案】连接AB交直线l于P【分析】连接AB交直线l于P，根据两点之间线段最短可得AB为PA+PB的最小值，即可得答案．【详解】如图，连接AB，交直线l于P，∵两点之间线段最短，∴AB为PA+PB的最小值，故答案为：连接AB交直线l于P【点睛】本题考查作图，熟练掌握两点之间线段最短是解题关键．15．如果一个三角形的两边长分别是2cm和7cm，且第三边为奇数，则三角形的周长是___cm.【答案】16【分析】根据三角形的三边关系定理求出第三边的长，即可得出结论．【详解】∵7﹣2＜第三边＜7+2，∴5＜第三边＜1．∵第三边为奇数，∴第三边=7，所以三角形的周长是2+7+7=16（cm）．故答案为16cm．【点睛】首先根据题意求出第三边，然后再求出周长．16．如图在3×3的正方形网格中有四个格点A．B．C．D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是____点.【答案】B 点【解析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．【详解】解：当以点B 为原点时，如图，A （-1，-1），C （1，-1），则点A 和点C 关于y 轴对称，符合条件．故答案为：B 点．【点睛】本题考查关于x 轴、y 轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．17．如图，BD 是ABC ∆的中线，6BA cm =，4BC cm =，则ABD ∆和CBD ∆的周长之差是 cm ．【答案】1【分析】根据中线可得AD=CD,周长之差就是AB 与BC 的差,计算即可．【详解】∵BD 是△ABC 的中线,∴AD=CD,∴△ABD 和△CBD 的周长之差就是AB 与BC 的差,即AB －BC=1cm,故答案为:1．【点睛】本题考查三角形中线相关的计算,关键在于熟悉中线的性质．三、解答题18．如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的一个动点(P 与B 、C 不重合)连接AP ，过点B 作BE AP ⊥交CD 于E ，将BEC ∆沿BE 所在直线翻折得到BEC '∆，延长EC '交BA 的延长长线于点F ．（1）探究AP 与BE 的数量关系，并证明你的结论；（2）当AB=3，BP=2PC 时，求EF 的长．【答案】（1）AP=BE ，证明见解析；（1）134． 【分析】（1）AP=BE ，要证AP=BE ，只需证△PBA ≌△ECB 即可；（1）过点E 作EH ⊥AB 于H ，如图．易得EH=BC=AB=2，BP=1，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP （即BE ）13BH=1．易得DC ∥AB ，从而有∠CEB=∠EBA ．由折叠可得∠C′EB=∠CEB ，即可得到∠EBA=∠C′EB ，即可得到FE=FB ．设EF=x ，则有FB=x ，FH=x-1．在Rt △FHE 中运用勾股定理就可解决问题；【详解】（1）解：（1）AP=BE ．理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=∠C=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°．∵BE ⊥AP ，∴∠PAB+∠EBA=90°，∴∠PAB=∠CBE ．在△PBA 和△ECB 中，PAB CBE AB BCABP BCE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△PBA ≌△ECB ，∴AP=BE ； （1）过点E 作EH ⊥AB 于H ，如图．∵四边形ABCD 是正方形，∴EH=BC=AB=2．∵BP=1PC ，∴BP=1，PC=1∴BE=AP=22223213AB PB+=+=∴BH=222BE EH-=∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，∴∠CEB=∠EBA．由折叠可得∠C′EB=∠CEB，∴∠EBA=∠C′EB，∴EF=FB．设EF=x，则有FB=x，FH=x-1．在Rt△FHE中，根据勾股定理可得x1=（x-1）1+21，解得x=134，∴EF=13 4【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．19．“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书节活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：时间/小时678910人数58121510（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；（2）根据上述表格补全下面的条形统计图，【答案】（1）众数是9，中位数是8.5，平均数是8.34；（2）见解析【分析】（1）根据众数的定义、中位数的定义和平均数公式即可求出结论；（2）根据表格补全条形统计图即可．【详解】解:()1这50名学生读书时间的众数是9，中位数是（8＋9）÷2=8.5，平均数是（6×5＋7×8＋8×12＋9×15＋10×10）÷50=8.34．()2补全的条形统计图如下:【点睛】此题考查的是求一组数据的中位数、众数、平均数和补全条形统计图，掌握众数的定义、中位数的定义和平均数公式是解决此题的关键．20．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y(米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图中折线OA-AB-BC-CD所示．(1)求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)求乙的步行速度；(3)求乙比甲早几分钟到达终点？【答案】（1）()20320416y x x =-+≤≤；（2）80米/分；（3）6分钟【分析】（1）根据图示，设线段AB 的表达式为：y=kx+b ，把把（4，240），（16，0）代入得到关于k ，b 的二元一次方程组，解之，即可得到答案，（2）根据线段OA ，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点B 处追上甲，根据速度=路程÷时间，计算求值即可，（3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合（2）的结果，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案．【详解】（1）根据题意得：设线段AB 的表达式为：y=kx+b （4≤x≤16），把（4，240），（16，0）代入得：4240160k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：20320k b =-⎧⎨=⎩， 即线段AB 的表达式为：y= -20x+320 （4≤x≤16），（2）又线段OA 可知：甲的速度为：2404=60（米/分）， 乙的步行速度为：()24016460164+-⨯-=80（米/分）， 答：乙的步行速度为80米/分，（3）在B 处甲乙相遇时，与出发点的距离为：240+（16-4）×60=960（米），与终点的距离为：2400-960=1440（米）， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：144060=24（分）， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：144080=18（分）， 24-18=6（分），答：乙比甲早6分钟到达终点．【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键．21．如图，已知AB∥CD，AC平分∠DAB．求证：△ADC是等腰三角形．【答案】证明见解析．【分析】由平行线的性质和角平分线定义求出∠DAC=∠DCA，即可得出结论．【详解】∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∴△ADC是等腰三角形．【点睛】此题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和平行线的性质是解题的关键．22．（1）计算：（﹣1）202038-|2|+（π﹣2019）0（2）解方程组：2238 x yx y+=⎧⎨-=⎩【答案】（12；（2）22 xy=⎧⎨=-⎩【分析】（1）利用乘方的意义，立方根定义，求绝对值的法则，以及零指数幂法则，进行计算即可求出值；（2）利用加减消元法，求出解即可．【详解】（1）原式＝1﹣2﹣2+12；（2）2238x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①×3+②得：7x＝14，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝﹣2，∴方程组的解为22x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】 本题主要考查实数的混合运算以及解二元一次方程组，掌握乘乘方的意义，立方根定义，求绝对值的法则，以及零指数幂法则，加减消元法，是解题的关键．23．在平面直角坐标系中，已知点Q （4-2n ，n-1）．（1）当点Q 在y 轴的左侧时，求n 的取值范围；（2）若点Q 到两坐标轴的距离相等，求点Q 的坐标．【答案】（1）n ＞2；（2）点Q(22,33)或 (-2，2)． 【分析】（1）根据y 轴左侧的点的坐标特征：横坐标＜0，即可求出结论；（2）根据题意可得，点Q 的横纵坐标相等或互为相反数，然后分类讨论，分别求出n 的值即可求出结论．【详解】解：（1）由题意得：4-2n ＜0，解得： n ＞2.（2）由题意得：①4-2n =n-1，解得：n=53， ∴点Q(22,33). ②4-2n =-n+1，解得：n=3.∴点Q(-2,2)∴点Q(22,33)或 (-2,2)． 【点睛】此题考查的是点的坐标，掌握y 轴左侧的点的坐标特征和点到坐标轴的距离与点的坐标关系是解题关键． 24．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O 点E ，F 分别在AB ，BC 上（AE BE <）且90EOF ∠=︒，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN .（1）求证：OM ON =.（2）若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长.【答案】（1）见解析（2）210 【解析】（1）证△OAM ≌△OBN 即可得；（2）作OH ⊥AD ，由正方形的边长为4且E 为OM 的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=25，由直角三角形性质知MN=2OM ．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA=OB ，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON ，∴△OAM ≌△OBN （ASA ），∴OM=ON ；（2）如图，过点O 作OH ⊥AD 于点H ，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E 为OM 的中点，∴HM=4，则22254=2∴210．【点睛】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ．求证：BE=CD ．【答案】详见解析【分析】只要用全等判定“AAS”证明△ABE≌△ACD，则CD=BE易求．【详解】∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC，∴∠AEB=∠ADC=90°，又∠A=∠A，AB=AC，∴△ABE≌△ACD（AAS）．∴CD=BE．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm （1μm=0.000001m ）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm 用科学记数法可表示为（ ）A ．52.510m -⨯B ．70.2510m -⨯C ．62.510m -⨯D ．52510m -⨯ 【答案】C【解析】试题分析：大于0而小于1的数用科学计数法表示，10的指数是负整数，其绝对值等于第一个不是0的数字前所有0的个数．考点：用科学计数法计数2．在平面直角坐标系中，点(5，6)关于x 轴的对称点是（ ）A ．(6，5)B ．(－5，6)C ．(5，－6)D ．(－5，－6) 【答案】C【分析】根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得答案．【详解】点（5，6）关于x 轴的对称点（5，-6），故选：C.【点睛】本题主要考查了关于x 轴对称点的坐标特点，熟练掌握关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键.3．下列计算不正确的是( )A ．2B ．2(13=+C 3=D =【答案】A【分析】根据无理数的混合运算法则，逐一计算，即可判定.【详解】A 选项，=B 选项，2(1123+=+=+C 3==，正确；D ==故答案为A.【点睛】此题主要考查无理数的混合运算，熟练掌握运算法则，即可解题.4．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEFA ．AB=DEB ．AC=DFC ．∠A=∠D D ．BF=EC【答案】C【解析】试题分析：解：选项A 、添加AB=DE 可用AAS 进行判定，故本选项错误；选项B 、添加AC=DF 可用AAS 进行判定，故本选项错误；选项C 、添加∠A=∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项正确；选项D 、添加BF=EC 可得出BC=EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项错误．故选C ．考点：全等三角形的判定．5．若分式221x x x --的值为1．则x 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．1【答案】B【分析】根据分式的值为2的条件列出关于x 的不等式组，求出x 的值即可． 【详解】解：∵分式221x x x --的值为2，∴22100x x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得x ＝﹣2．故选：B ．【点睛】本题考查解分式求值,需要注意分母不为零的情况.6．下列方程：①213yx -=；②332xy +=；③224x y -=；④5()7()x y x y +=-；⑤223x =；⑥14x y +=，其中是二元一次方程的是（ ）A ．①B ．①④C ．①③D ．①②④⑥【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程来进行解答即可；【详解】解：①该方程中含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的整式方程，所以它是二元一次方程；②该方程是分式方程，所以它不是二元一次方程；③该方程中的未知数的次数是2，所以它不是二元一次方程；④由原方程得到2x+2y=0，该方程中含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的整式方程，所以它是二元一次方程；⑤该方程中含有一个未知数，所以它不是二元一次方程；⑥该方程是分式方程，所以它不是二元一次方程；综上所述，属于二元一次方程的是：①，④；故答案是：B.【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键.7．若分式26x x -+的值是0，则x 的值是（ ）A ．6B ．6-C ．2D ．2-【答案】C【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【详解】分式26x x -+的值为0，∴20x -=且60x +≠．解得：2x =．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．8．如果2a b +=，那么代数式2b aa a ab ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值是（ ）.A ．2B ．2-C ．12 D ．12-【答案】A【解析】（a －2b a ）·aa b -=22a ba-·aa b-=a b a ba+-（）（）·a ab -=a+b=2.故选A.9．甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s，10次测试成绩的方差如下表则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】解:∵s2丁＞s2丙＞s2甲＞s2乙，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．∴乙最稳定．故选：B．【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．10．关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，那么m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜0【答案】A【解析】本题是关于x的不等式，不等式两边同时除以（m+1）即可求出不等式的解集，不等号发生改变，说明m+1<0，即可求出m的取值范围．【详解】∵不等式(m+1)x>m+1的解集为x<1，∴m+1<0，∴m<−1，故选：A.【点睛】考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的3个基本性质是解题的关键.二、填空题11．在平面直角坐标系中点P （－2，3）关于x 轴的对称点在第_______象限【答案】三【分析】先根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对称点的坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可．【详解】解：点P （-2，3）关于x 轴的对称点为（-2，-3），（-2，-3）在第三象限．故答案为：三【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，以及关于x 轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数．12．点1(41,5)P a +和2(2,23)P b +关于x 轴对称，则2019()ab =_____． 【答案】1-【分析】根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”计算即可．【详解】∵点1(41,5)P a +和2(2,23)P b +关于x 轴对称，∴412a +=，235b +=-， 解得：14a =，4b =-， 则()()201920191414ab ⎡⎤=⨯-=-⎢⎥⎣⎦．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了关于x 轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：①关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数13．请用“如果…，那么…”的形式写一个命题______________【答案】答案不唯一【解析】本题主要考查了命题的定义任何一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．答案不唯一，例如：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．14．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝_____度.【答案】65【解析】因为∠BAC ＝∠DAE ，所以1=CAE ∠∠ ，又因为AB ＝AC ，AD ＝AE ，所以ABD ACE ∆≅∆ ，所以2ABD ∠=∠ ，所以3=1+12353065ABD ∠∠∠=∠+∠=︒+︒=︒ . 15．如图，AD 平分BAC ∠，其中35,82B ADC ︒︒∠=∠=，则C ∠=______度．【答案】51°【分析】先根据三角形外角的性质求得∠BAD ，再根据角平分线求得∠BAC ，最后根据三角形的内角和定理即可求得∠C ．【详解】解：∵∠ADC=82°，∠B=35°，∴∠BAD=∠ADB -∠B=47°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAC=2∠BAD=2×46°=94°，∴∠C=180°-35°-94°=51°．故答案为：51°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．能正确识图完成角度之间的计算是解题关键． 16．若分式211y y -+的值为0，则y 的值等于_______． 【答案】1【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零，进而得出答案．【详解】根据题意，得10y -=且210y +≠．所以1y =．故答案是：1．【点睛】。
新人教版八年级数学下册《十六章 二次根式 16.1 二次根式 章前引言及二次根式》教案_27
16.1.1二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能目标：a ≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点1．重点：理解二次根式的概念；2．难点：确定二次根式中字母的取值范围教法：讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法 通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。
2、练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT 课件，展台。
学习过程一、展示学习目标：1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性二．设置问题情境，引入新课：1求下列各数的平方根和算术平方根（1）9（2）0.64（3）0总结：a （a ≥0）的平方根是a （a ≥02．解决问题（1） 面积为 S 的正方形边长为________。
（2）．面积为 b －5 的正方形边长为________。
（3）． 圆桌的面积为 S ，则半径为________（4）．若圆桌的面积为 S ＋3，则半径为________（5）关系式 h = 5t 2 （t > 0）中，用含有 h 的式子表示 t ，则 t = ________。
总结以上式子有何特征二次根式的概念：a像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。
因此，一般地，我们把形如（a≥0三．探究新课1．指出二次根式有意义的条件被开方数大于等于零。
提问：二次根式在什么情况下无意义学生讨论后得出：被开方数小于零2．指出下列哪些是二次根式？学生自主完成小练习：辨别下列式子，哪些是二次根式？三．练习四．小结1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性五．作业课本第5页第一题。
第16章《二次根式》整章(教案)
1.加强对二次根式乘除法运算的讲解，通过对比练习，使学生更好地掌握运算规则。
2.增加与实际生活相关的案例，培养学生的数学建模能力。
3.提高小组讨论的参与度，鼓励学生发表自己的观点，提高课堂互动性。
4.设计更多针对难点的练习题，帮助学生突破学习难点。
5.在课堂总结环节，加入互动性游戏或竞赛，提高学生的记忆效果。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的性质和运算规则这两个重点。对于难点部分，如二次根式的乘除法和加减法，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式相关的实际问题，如计算特定图形的面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用几何图形拼凑出$\sqrt{9}$和$\sqrt{16}$，演示二次根式的基本原理。
第16章《二次根式》整章（教案）
一、教学内容
第16章《二次根式》整章，教学内容如下：
1.二次根式的概念及性质；
2.二次根式的乘除法运算；
3.二次根式的加减法运算；
4.最简二次根式；
5.二次根式的化简与证明；
6.二次根式的实际应用。
本章将通过具体实例，引导学生掌握二次根式的性质与运算方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。同时，注重提高学生的逻辑思维和运算能力，为后续学习打下坚实基础。
其次，在实践活动和小组讨论中，我发现部分学生在解决实际问题时，将问题抽象为二次根式的数学模型的能力较弱。针对这一问题，我计划在今后的教学中，加入更多与实际生活相关的案例，引导学生学会将实际问题转化为数学模型。
此外，学生在小组讨论中的参与度还有待提高。在今后的教学中，我会更加注重激发学生的讨论兴趣，鼓励他们积极发表自己的观点，提高课堂互动性。
人教版初中数学八年级下册第十六章：二次根式(全章教案)
第十六章二次根式教材简析本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值．教学指导【本章重点】二次根式的性质和运算．【本章难点】灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算．【本章思想方法】1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则．2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论．3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值．课时计划16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除2课时16.3二次根式的加减2课时16.1二次根式第1课时二次根式的概念教学目标一、基本目标【知识与技能】理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围．【过程与方法】经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力．【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识．二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念，二次根式有意义的条件．【教学难点】求二次根式中字母的取值范围．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.2．一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．3．下列式子中，不是二次根式的是(B)A．45B．－3C．a2＋3D．2 3环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？11，－5，(－7)2，313，15－16，3－x(x≤3)，－x(x≥0)，(a－1)2，－x2－5，(a－b)2(ab≥0)．【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．【解答】因为11，(－7)2，15－16＝130，3－x(x≤3)，(a－1)2，(a－b)2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数都小于0，所以不是二次根式．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数．【例2】当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【分析】要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.【答案】≥－3且x≠－1【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零．活动2巩固练习(学生独学)1．下列式子中，是二次根式的是(A)A．－7B．3 7C．x D．x 2．使式子－(x－5)2有意义的未知数x有(B) A．0 个B．1 个C．2 个D．无数个3．当x是多少时，2x＋3x＋x2在实数范围内有意义？解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，x ≠0.∴当x ≥－32且x ≠0时，2x ＋33＋x 2在实数范围内没有意义．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若实数x 、y 满足y ＞x －2＋6－3x ＋3，求|y －3|－(x －y )2的值．【互动探索】要求|y －3|－(x －y )2的值，需确定出x 、y 的取值范围．根据式子y ＞x －2＋6－3x ＋3，可以确定出x 、y 的取值范围．【解答】由题意，得x －2≥0且6－3x ≥0， 解得x ＝2，则y ＞3.故|y －3|－(x －y )2＝y －3－y ＋2＝2－3＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x 的值，从而确定y 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件——被开方数是非负数练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解a (a ≥0)是一个非负数、(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)，并利用它们进行计算和化简；了解代数式的概念．【过程与方法】在明确(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组合作交流，培养学生的合作意识．【情感态度与价值观】通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的性质． 【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P3～P4的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．(1)当a >0时，a 表示a ；(2)当a ＝0时，a 表示0概括：一般地，a (a ≥0)是一个非负数．2．教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空： (1)(4)2＝4； (2)2＝2；⎝⎛⎭⎫132＝13； (0)2＝0. (2)一般地，(a )2＝a (a ≥0)． 3．教材P4“探究”，填空： (1)22＝2；0.012＝0.01； ⎝⎛⎭⎫232＝23； 02＝0.(2)一般地，a 2＝a (a ≥0)．教师点拨：二次根式的三个性质：(1)a (a ≥0)是一个非负数；(2)(a )2＝a (a ≥0)；(3)a 2＝a (a ≥0)．4．用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式． 5．计算：0.019 6×22 500＝21；549＝73. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)( 1.5)2； (2)(25)2； (3)16； (4)(－5)2.【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？【解答】(1)()1.52 ＝1.5. (2)(25)2＝22×(5)2＝4×5＝20. (3)16＝(42)＝4. (4)()－52＝52＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数．当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，a 2＝||a ＝⎩⎨⎧a ()a ≥0；－a()a <0.【例2】化简下列二次根式． (1)8a 3b (a ≥0，b ≥0)； (2)(－36)×169×(－9).【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简．注意：二次根式的结果是最简二次根式．【解答】(1)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝(2a )2·2ab ＝2a 2ab . (2)(－36)×169×(－9)＝36×169×9＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式正确的是( D ) A ．(－4)×(－9)＝－4×－9 B ．16＋94＝16×94C ．449＝4×49D ．4×9＝4×92．计算：(1)(9)2； (2)－(3)2； (3)64； (4)a 2＋2a ＋1. 解：(1)9. (2)－3. (3)8. (4)a 2＋2a ＋1＝()a ＋12＝||a ＋1.当a ≥－1时，原式＝a ＋1；当a <－1时，原式＝－a－1.3．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：(a ＋1)2＋2(b －1)2－|a －b |.解：从数轴上a 、b 的位置关系，可知－2＜a ＜－1,1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0，原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－|a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简(a ＋b ＋c )2－(b ＋c －a )2＋(c －b －a )2. 【互动探索】根据三角形的三边关系，得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可．【解答】∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的性质⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0(a ≥0)(a )2＝a (a ≥0)a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)a (a <0)练习设计请完成本课时对应训练！16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标一、基本目标【知识与技能】理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．【过程与方法】经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．二、重难点目标【教学重点】二次根式的乘法运算法则．【教学难点】运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)4×9＝6，4×9＝6；(2)16×25＝20，16×25＝20；(3)25×36＝30，25×36＝30.a≥0，b≥0.规律：一般地，二次根式的乘法法则是a·b＝ab()2．把a·b＝ab反过来，就得到ab＝a·b，利用它可以进行二次根式的化简．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)3×5； (2)13×27； (3)9×27； (4)12× 6. 【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【解答】(1)3×5＝15. (2)13×27＝13×27＝9＝3. (3)9×27＝9×27＝92×3＝9 3. (4)12×6＝12×6＝ 3. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．【例2】化简：(1)9×16； (2)16×81； (3)81×100； (4)4a 2b 3； (5)54.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？【解答】(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90. (4)4a 2b 3＝4·a 2·b 3＝2·a ·b 2·b ＝2ab b . (5)54＝9×6＝32×6＝3 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1 C ．－1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤－12．计算： (1)12×3； (2)23×315； (3)23×3512×5936. 解：(1)6. (2)310. (3)18.3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)(－4)×(－9)＝－4×－9； (2)41225×25＝4×1225×25＝4×1225×25＝412＝8 3. 解：(1)不正确．改正：(－4)×(－9)＝4×9＝36＝6. (2)不正确． 改正：41225×25＝11225×25＝11225×25＝112＝47. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】比较大小：(1)35与53； (2)－413与－511.【互动探索】由于根号外的因数不为1，可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．【解答】(1)35＝9×5＝45， 53＝25×3＝75. 因为45<75，所以35<5 3. (2)－413＝－16×13＝－208， －511＝－25×11＝－275.因为208<275，所以－208>－275，所以－413>－511.【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的除法教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解ab＝ab(a≥0，b>0)和ab＝ab(a≥0，b>0)及利用它们进行运算；2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．【过程与方法】通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【情感态度与价值观】在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣．二、重难点目标【教学重点】最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则．【教学难点】二次根式商的算术平方根的运用．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P8～P10的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)二次根式的除法1．教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)49＝23，49＝23；(2)1625＝45，1625＝45；(3)3649＝67，3649＝67.规律：一般地，二次根式的除法法则是ab＝ab()a≥0，b>0.2．把ab＝ab反过来，就得到ab＝ab()a≥0，b>0，利用它可以进行二次根式的化简．(二)最简二次根式1．观察教材P8～P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如22，310，2aa等，可以发现这些式子有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116；(4)648.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算．【解答】(1)原式＝123＝4＝2 .(2)原式＝32÷18＝32×8＝3×4＝2 3.(3)原式＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)原式＝648＝8＝2 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式．【例2】化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)35；(4)22－1.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简．【解答】(1)原式＝364＝38.(2)原式＝64b29a2＝8b3a.(3)原式＝35＝3×55×5＝155.(4)原式＝2×()2＋1()2－1()2＋1＝2＋22－1＝2＋ 2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算113÷213÷125的结果是( A ) A ．27 5B ．27C ． 2D ．272．如果xy(y >0)是二次根式，那么化为最简二次根式是( C ) A ．xy(y >0) B ．xy (y >0) C ．xyy(y >0) D ．以上都不对3．化简： (1)483； (2)0.7； (3)23－1； (4)6－56＋5. 解：(1)4. (2)7010. (3)3＋1. (4)11－230. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x 的取值范围→化简所求式子【解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6，∴6<x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8， ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4(x ＋1)＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式＝4×9＝6.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方数是非负数，分母中被开方数是正数．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减教学目标一、基本目标【知识与技能】通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算．【过程与方法】在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根式的计算和化简．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性．二、重难点目标【教学重点】会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算．【教学难点】运用二次根式的加减运算解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．计算下列各式．(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.解：(1)原式＝(2＋3)2＝5 2.(2)原式＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.(3)原式＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4) 原式＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算： (1)27＋13＋12； (2)32＋48－8＋3； (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223；(4)()6－222＋()23－1()23＋1.【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算时要注意哪些问题？【解答】(1)27＋13＋12＝33＋33＋23＝1633. (2)32＋48－8＋3＝32＋43－22＋3＝2＋5 3. (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223＝26－2＋62－223＝326－53 2.(4)()6－222＋()23－1()23＋1＝6－412＋8＋()12－1＝25－8 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序．【例2】已知a －5－2＋b －5＋2＝0，求a 2＋b 2＋7的值．【互动探索】(引发学生思考)根据算术平方根的非负性，可得a ＝5＋2，b ＝ 5－2，然后再代入求值即可．【解答】由题意，得a －5－2＝0，b －5＋2＝0，解得a ＝5＋2，b ＝5－2，a 2＋b 2＋7＝5＋4＋45＋5＋4－45＋7＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算32－2的值是( D ) A ．2 B ．3 C ． 2D ．2 22．若最简二次根式3a －8与17－2a 可以合并，则a ＝5. 3．计算： (1)348－913＋312； (2)(48＋20)＋(12－5)． 解：(1)＝15 3. (2)63＋ 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0，求23x 9x ＋y 2x y 3－x 21x －5x yx的值． 【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x －1)2＋(y －3)2＝0，即可求出x 、y 的值．再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．【解答】∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝4x 2－4x ＋1＋y 2－6y ＋9＝(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3. 原式＝23x 9x ＋y 2x y3－x 21x＋5x y x＝2x x ＋xy －x x ＋5xy ＝x x ＋6xy . 当x ＝12，y ＝3时，原式＝12×12＋632＝24＋3 6. 【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的混合运算教学目标一、基本目标 【知识与技能】掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用． 【过程与方法】复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算． 【情感态度与价值观】理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性． 二、重难点目标 【教学重点】熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力． 【教学难点】正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P14的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．2．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用． 3．计算： (1)13×27； (2)35； (3)80－45； (4)(25－2)2. 解：(1)3. (2)155. (3) 5. (4)22－410. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3.【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算？ 【解答】(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝ 2. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5. (3)原式＝2－3＋23＝2－1－233.【互动总结】(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．【例2】计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．【互动探索】(引发学生思考)(1)利用平方差公式进行计算即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．【解答】(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋6 2.(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3. (3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列计算：①(2)2＝2；② (－2)2＝2；③(－23)2＝12；④(2＋3)( 2－3)＝－1.其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＝ 6，b ＝ 4. 3．计算： (1)(6＋8)×3； (2)(46－32)÷22； (3)(5＋6)(3－5)； (4)(10＋7)(10－7)．解：(1)32＋2 6.(2)23－32.(3)13－3 5.(4)3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】先化简，再求值：1x＋y＋1y＋yx x＋y，其中x＝5＋12，y＝5－12.【互动探索】化简式子→代入x、y的值进行计算【解答】1x＋y＋1y＋yx(x＋y)＝xyxy(x＋y)＋x(x＋y)xy(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝xy＋x(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝(x＋y)2xy(x＋y)＝x＋y xy.当x＝5＋12，y＝5－12时，x＋y＝5，xy＝1，所以原式＝ 5.【互动总结】(学生总结，老师点评)求代数式的值，如果直接代入计算比较繁琐，可以根据式子特点，整体代入进行计算．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同，乘法公式和乘法法则同样适用．练习设计请完成本课时对应训练！。
人教版八年级数学下册第十六章二次根式教案1全
人教版八年级数学下册教案16.1二次根式【教学目标】1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由；2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．【教学重点】从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．【教学过程】一.创设情境提出问题1.电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r=，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，你能化简这个式子吗？式子公式中r=中的表示什么意义？2.问题：（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m 2，则它的宽为______m ．（2）中得到的式子有什么意义？（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s ）与开始落下的高度h （单位：m ）满足关系 h =5t 2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 _____ （3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？表示的数怎样变化？二.合作探究 形成知识上面问题中，得到的结果分别是： （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？分别表示3，S ，65，5h的算术平方根这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． （3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．把形如 用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式．我们把形如a≥0）•的式子叫做二次根式，称为二次根号．三.初步应用巩固知识练习2二次根式和算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．例2当x 是怎样的实数时，2x在实数范围内有意义？3x呢？答案：（1）a为任何实数；（2） a =1．总结：被开方数不小于零．四.比较辨别探索性质五.综合应用深化提高六.课堂小结七.回顾总结反思提升我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？四.作业：教科书第5页第1，3，5，6，7，10题．五．教后反思16.2 第一课时二次根式乘法教学内容二次根式的乘法课时数 1学科数学年级八年级班级教学目标理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简教学重点掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
八年级数学下册 第十六章 二次根式教案 (新版)新人教版
第十六章二次根式16．1二次根式第1课时二次根式的概念和性质1．二次根式的概念和应用．2．二次根式的非负性．重点二次根式的概念．难点二次根式的非负性．一、情景导入师：(多媒体展示)请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔．电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r＝2Rh(R为地球半径)．如果两个电视塔的高分别为h1km，h2km，那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？由学生计算、讨论后得出结果，并提问．生：半径之比为2Rh12Rh2，暂时我们还不会对它进行化简．师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容．二、新课教授活动1：知识迁移，归纳概念(多媒体演示)用含根号的式子填空．(1)17的算术平方根是________；(2)如图，要做一个两条直角边长分别为7 cm和4 cm的三角形，斜边长应为________cm；(3)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m；(4)面积为3的正方形的边长为________，面积为a的正方形的边长为____________；(5)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，则t＝________．【答案】(1)17 (2)65 (3)65 (4) 3 a(5)h 5活动2：二次根式的非负性(多媒体展示)(1)式子a表示的实际意义是什么？被开方数a满足什么条件时，式子a才有意义？(2)当a＞0时，a________0；当a＝0时，a________0；二次根式是一个________．【答案】(1)a的算术平方根，被开方数a必须是非负数(2)＞＝非负数老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性．当a＞0时，a表示a的算术平方根，因此a＞0；当a＝0时，a表示0的算术平方根，因此a＝0.也就是说，当a≥0时，a≥0.三、例题讲解【例】当x 是怎样的实数时，x －2在实数范围内有意义？ 解：由x －2≥0，得x≥2.所以当x≥2时，x －2在实数范围内有意义． 四、巩固练习1．已知a －2＋b ＋12＝0，求－a 2b 的值．【答案】a －2≥0，b ＋12≥0，又∵它们的和为0，∴a －2＝0且b ＋12＝0，解得a ＝2，b ＝－12.∴－a 2b ＝－22×(－12)＝2.2．若x ，y 使x －1＋1－x －y ＝3有意义，求2x ＋y 的值． 【答案】－1 五、课堂小结1．本节课主要学习了二次根式的概念．形如a (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．2．二次根式的被开方数必须是什么数才有意义？a (a≥0)又是什么数？1．本节课的教学过程中，通过创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者地位．2．注重知识之间的衔接，在温故知新的过程中引出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解．第2课时 二次根式的化简1．理解(a)2＝a(a≥0)，并能利用它进行计算和化简．2．通过具体数据的解答，探究a 2＝a(a≥0)，并利用这个结论解决具体问题．重点理解并掌握(a)2＝a(a≥0)，a 2＝a(a≥0)以及它们的运用． 难点探究结论．一、复习导入教师复习口述上节课的重要内容，并板书： 1．形如a (a≥0)的式子叫做二次根式． 2.a (a≥0)是一个非负数．那么，当a≥0时，(a)2等于什么呢？下面我们一起来探究这个问题． 二、新课教授 活动1：(多媒体演示)根据算术平方根的意义填空：(4)2＝________；(2)2＝________；(13)2＝________；(52)2＝________；(0.01)2＝________；(0)2＝________．由学生计算、讨论得出结果，并提问部分过程，教师进行点评． 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此(4)2＝4.同理：(2)2＝2；(13)2＝13；(52)2＝52；(0.01)2＝0.01；(0)2＝0.所以归纳出：(a)2＝a(a≥0)．【例1】教材第3页例2 活动2：(多媒体展示)填空： 22＝________；0.12＝________；（13）2＝________；（37）2＝________； （212）2＝________；02＝________． 教师点评：根据算术平方根的意义，我们可以得到：22＝2；0.12＝0.1；（13）2＝13；（37）2＝37；（212）2＝212；02＝0. 所以归纳出：a 2＝a(a≥0)．【例2】教材第4页例3 教师点评：当a≥0时，a 2＝a ；当a≤0时，a 2＝－a. 三、课堂小结本节课应理解并掌握(a)2＝a(a≥0)和a 2＝a (a≥0)及其运用，同时应理解a 2＝－a(a≤0)．1．注意前后知识之间的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的教学内容．按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．2．在总结二次根式性质的过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流活动中体会成功．16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法理解并掌握a ·b ＝ab (a≥0，b ≥0)，a·b＝a ·b (a≥0，b ≥0)，会利用它们进行计算和化简．重点a ·b ＝ab (a≥0，b ≥0)，a·b＝a ·b (a≥0，b ≥0)及它们的运用． 难点利用逆向思维，导出a·b＝a ·b (a≥0，b ≥0)．一、创设情境，导入新课活动1：发现探究(多媒体展示)填空：(1)4×9＝________________________________________________________________________，4×9＝________________________________________________________________________；(2)25×16＝________________________________________________________________________，25×16＝________________________________________________________________________；(3)19×36＝________________________________________________________________________，19×36＝________________________________________________________________________；(4)100×0＝________________________________________________________________________，100×0＝________________________________________________________________________.生：(1)4×9＝6，4×9＝6；(2)25×16＝20，25×16＝20；(3)19×36＝2，19×36＝2；(4)100×0＝0，100×0＝0.试一试，参考上面的结果，比较四组等式的大小关系．生：上面各组中两个算式的结果相等．二、新课教授活动2：总结规律结合刚才的计算，学生分组讨论，教师提问部分学生，最后教师综合学生的答案，加以点评，归纳出二次根式的乘法法则．教师点评：1．被开方数都是非负数．2．两个非负数算术平方根的积等于它们积的算术平方根．一般地，二次根式的乘法法则为：a·b＝ab(a≥0，b≥0)由等式的对称性，反过来：ab＝a·b(a≥0，b≥0)活动3：讲练结合教材第6～7页例题三、巩固练习完成课本第7页的练习．【答案】课本练习第1题：(1)10；(2)6；(3)23；(4)2.第2题：(1)77；(2)15；(3)2y；(4)4bc ac.第3题：4 5.四、课堂小结本节课应掌握：a ·b ＝ab (a≥0，b ≥0)，ab ＝a ·b (a≥0，b ≥0)及其应用．1．创设情境，给出实例．学生积极主动探索，教师引导启发，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．2．在二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，让学生在交流中体会成功． 第2课时 二次根式的除法理解a b ＝ab(a≥0，b ＞0)和a b ＝ab(a≥0，b ＞0)，会利用它们进行计算和化简．重点 理解并掌握a b＝ab(a≥0，b ＞0)，a b ＝ab(a≥0，b ＞0)，利用它们进行计算和化简．难点归纳二次根式的除法法则．一、复习导入 活动1：1．由学生回答二次根式的乘法法则及逆向等式． 2．填空(多媒体展示)．(1)925＝________，925＝________；(2)164＝________，164＝________； (3)8149＝________，8149＝________； (4)3664＝________，3664＝________． 二、新课教授 活动2：先由学生对上面的结果进行比较，观察每组两个算式结果的大小关系，并总结规律． 教师点评：一个非负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根，等于它们商的算术平方根． 一般地，二次根式的除法法则是： a b＝a b (a≥0，b ＞0)由等式的对称性，反过来： a b ＝ab (a≥0，b ＞0) 【例】教材第8～9页例题 三、巩固练习课本第10页练习第1题． 【答案】(1)3 (2)2 3 (3)33(4)2a 四、课堂小结本节课应掌握a b ＝a b (a≥0，b ＞0)和a b＝a b(a≥0，b ＞0)及其应用．1．创设情境，复习二次根式的乘法，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣．2．二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功．第3课时 最简二次根式最简二次根式的概念、利用最简二次根式的概念和性质进行二次根式的化简和运算．重点最简二次根式的运用． 难点会判断这个二次根式是否是最简二次根式．一、复习导入(学习活动)请同学们完成下列各题．(请四位同学上台板书)计算：(1)23；(2)2618；(3)82a ；(4)x3x 2y.教师点评：(1)23＝63；(2)2618＝233；(3)82a ＝2a a ；(4)x 3x 2y＝xy y .二、新课教授教师点评：上面这些式子的结果具有如下两个特点： 1．被开方数不含分母．2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．师：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(教师板书) 教师强调：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式． 【例1】判断下列式子是不是最简二次根式，为什么？(1)3xy 12x ；(2)25a 3a 3；(3)1x；(4)0.2a.解：(1)被开方数中有因数12，因此它不是最简二次根式；(2)被开方数中有开得尽方的因式a 2，因此它不是最简二次根式；(3)被开方数中有分母，因此它不是最简二次根式；(4)被开方数中有因数0.2，它不是整数，所以它不是最简二次根式．【例2】化简：(1)278；(2)12x 2y 3(x ≥0)；(3)a 2b 4＋a 4b 2(ab≥0)．解：(1)278＝27×28×2＝916×6＝346； (2)12x 2y 3＝4x 2y 2·3y ＝2xy 3y ；(3)a 2b 4＋a 4b 2＝a 2b 2（b 2＋a 2）＝ab a 2＋b 2. 【例3】教材第9页例7 三、课堂小结1．本节课应掌握最简二次根式的特点及其运用．2．二次根式的运算结果要化为最简二次根式．1．注重知识的前后联系，温故而知新．让学生积极主动地探索，教师引导和启发，使学生在经过思考、讨论和分析的过程后，获得新知，体会学习的乐趣．2．前两个例题旨在加强对最简二次根式的理解，第三个例题让学生灵活运用二次根式解决实际问题．16.3 二次根式的加减第1课时 二次根式的加减理解并掌握二次根式加减的方法，并能用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算．重点理解并掌握二次根式加减计算的方法． 难点二次根式的化简、合并被开方数相同的最简二次根式．一、复习导入 (学生活动) 1．计算：(1)x ＋2x ；(2)3a －2a ＋4a ；(3)2x 2－3x 2＋5x 2；(4)2a 2－4a 2＋3a.2．教师点评：上面的运算实际上就是以前所学习的合并同类项，合并同类项就是字母连同指数不变，系数相加减．二、新课教授 (学生活动)1．类比计算，说明理由．(1)2＋22；(2)38－28＋48； (3)32＋8；(4)23－33＋12. 2．教师点评：(1)2＋22＝(1＋2)2＝32；(2)38－28＋48＝(3－2＋4)8＝58＝102；(3)虽然表面上2与8的被开方数不同，不能当作被开方数相同，但8可化为22，32＋8＝32＋22＝(3＋2)2＝52；(4)同样12可化为23，23－33＋12＝23－33＋23＝(2－3＋2)3＝ 3. 所以在用二次根式进行加减运算时，如果被开方数相同则可以进行合并，因此可将二次根式先化为最简二次根式，比较被开方数是否相同．因此可得：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【例1】教材第13页例1 【例2】教材第13页例2 三、巩固练习教材第13页练习第1，2题．【答案】第1题：(1)不正确，两边不相等；(2)不正确，两边不相等；(3)正确．第2题：(1)－47；(2)35；(3)102－33；(4)36＋142.四、课堂小结本节课应掌握进行二次根式加减运算时，先把不是最简二次根式的化成最简二次根式，再把相同被开方数的最简二次根式进行合并．1．创设情境，给出实例．由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则．2．两个例题，旨在帮助学生理解并掌握二次根式的加减运算法则．尤其是例2，要按照两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神．第2课时 二次根式的加减乘除混合运算含有二次根式的式子进行加减乘除混合运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．重点二次根式的加减乘除混合运算． 难点由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．一、复习导入(学生活动)：请同学们完成下列各题． 计算：(1)(3x 2＋2x ＋2)·4x；(2)(4x 2－2xy)÷(－2xy)； (3)(3a ＋2b)(3a －2b)；(4)(2x ＋1)2＋(2x －1)2. 二、新课教授由于整式运算中的x ，y ，a ，b 是字母，它的意义十分广泛，可以代表一切，当然也可以代表二次根式，因此整式中的运算规律也适用于二次根式，下面我们就使用这些规律来进行计算．【例1】计算：(1)(8＋3)×6； (2)(42－36)÷2 2.分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以可直接用整式的运算规律． 解：(1)(8＋3)×6＝8×6＋3× 6 ＝48＋18＝43＋32； (2)(42－36)÷2 2＝42÷22－36÷22＝2－323.【例2】计算：(1)(2＋3)(2－5)； (2)(5＋3)(5－3)；(3)(3－2)2.分析：第(1)题可类比多项式乘以多项式法则来计算，第(2)题把5当作a ，3当作b ，就可以类比(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2，第(3)题可类比(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2来计算．解：(1)(2＋3)(2－5)＝(2)2＋32－52－15 ＝2＋32－52－15 ＝－13－22；(2)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；(3)(3－2)2＝(3)2－2×3×2＋(2)2＝5－2 6. 三、巩固练习教材第14页练习第1，2题．【答案】第1题：(1)6＋10；(2)4＋22；(3)11＋55；(4)4.第2题：(1)9；(2)a －b；(3)7＋43；(4)22－410.四、课堂小结本节课应掌握利用整式运算的规律进行二次根式的乘除、乘方等运算．1．情境引入，复习整式运算的知识，旨在迁移到利用乘法公式进行含二次根式算式的运算，培养学生继续探究的兴趣．2．例题的设计，旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用．。
人教版八年级数学下册第16章二次根式(教案)一
-教学难点2举例：对比\(\sqrt{8}\)和\(\sqrt{6}\)，解释为什么\(\sqrt{8}\)可以化简为\(2\sqrt{2}\)，因为8是2的平方的倍数，而6则不是任何整数的平方的倍数，因此不能化简。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的概念。二次根式是形如√a（a≥0）的表达式，它是表示非负数平方根的一种数学表达方式，对于解决实际问题和某些数学问题具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次根式在几何中的应用，例如计算非整数边长的正方形面积。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的概念：强调根号下的数必须是非负数，以及二次根式的书写规范。
-二次根式的性质：掌握二次根式的非负性、乘除法运算法则，如\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)。
-二次根式的化简：学会将二次根式化简至最简形式，如\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)。
3.增强学生数学建模素养，培养学生运用二次根式解决实际问题的能力，如对二次根式的估算，使学生能够将数学知识应用于生活实际。
4.培养学生直观想象能力，通过二次根式的图形表示，使学生能够形象地理解二次根式的概念及其运算规律，提高数学思维品质。
5.培养学生数学抽象素养，使学生能够从具体的二次根式实例中抽象出一般性规律，形成数学的一般概念。
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第十六章 二次根式第1课时 16．1 二次根式(1)教学内容二次根式的概念及其运用 教学目标1、知识与技能：理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目．2、过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力。
3、情感态度与价值观：经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
教学重难点1．重点：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点：利用“a （a ≥0）”解决具体问题 教学准备：彩色粉笔、小黑板 教学过程 一、复习引入（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的______, 记为____, a 一定是_____数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______， 0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
思考：教材P2思考 二、探索新知 很明显5,65,,3hs ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．4思考:(1)-1有算术平方根吗？ (2)0的算术平方根是多少？(3)当a<0，a 有意义吗？ 三、例题讲解例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、x 1、x （x>0）、0、42、2-、yx +1、y x +（x ≥0，y•≥0）．；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x （x>0）、0、、2-、、y x +（x ≥0，y•≥0）． 不是二次根式的有：33、x1、42、yx +1．例2 （教材P2例1）当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由2-x ≥0，得：x ≥2。
当x ≥2时，2-x 在实数范围内有意义． 四、巩固练习：教材P3练习1、2． 补充练习：1、当x 是多少时，32+x +11+x 在实数范围内有意义？2x+3≥0 ①解：依题意，得 x+1≠0 ② 由①得：x ≥23- , 由②得：x ≠-1 当x ≥23-且x ≠-1时，32+x +11+x 在实数范围内有意义． 2、(1)已知y=x -2+2-x +5，求yx 的值．(答案:2)(2)若1+a +1-b =0，求a+b 的值．(答案:0) 五、归纳小结本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业：教材P5习题16.1第1、7题 七、板书设计八、课后反思：第2课时16.1 二次根式(2)教学内容1a≥0）是一个非负数 2．）2=a（a≥0）．教学目标1（a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．2、过程与方法：通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a≥0）是）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．3、情感态度与价值观：通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力。
教学重难点1a≥0）是一个非负数；）2=a（a≥0）及其运用．2a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出2=a（a≥0）．教学准备彩色粉笔教学过程一、复习引入1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0有意义吗？3.二、探究新知议一议：提问解答a≥0）是一个什么数呢？得出:做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；）2=_______；）2=______；）2=_______；）2=_______．是4是一个平方等于4的非负数，因）2=4．同理可得：）2=2，2=9，2=3，）2=13，）2=72，）2=0，所以三、例题讲解例1计算（1）（5.1）2（2）（2（3）2（4））2解：（1）（5.1）2 =1.5，（2）（2 =22·2=22·5=20，（3）2=56，（4））274．四、巩固练习：教材P4练习第1题五、归纳小结：本节课应掌握：1（a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）;反之:a=）2（a≥0）．六、布置作业：教材P5 习题16.1第2题（1）（2）（3）（4）七、板书设计：八、课后反思：第3课时 16.1 二次根式(3)教学内容a （a ≥0） 教学目标1.（a ≥0）并利用它进行计算和化简．2. 过程与方法:（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．3. 情感、态度与价值观:通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力。
教学重难点1a （a ≥0）．2．难点：探究结论．讲清a ≥0a 才成立． 教学准备： 彩色粉笔 教学过程一、复习引入1a ≥0）的式子叫做二次根式； 2（a ≥0）是一个非负数；3．)2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知；；=___= _．根据算术平方根的意义，我们可以得到：；；11023；；37．三、例题讲解例1 化简（1（2（3（4解：（1（2（3（4例2 化简（教材P4例3）：（1）16（2）25解：（1）16=24=4 （2）2)5(-=25=5 四、巩固练习教材P4练习第2题．补充练习：1、填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？2、当x>2五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业：教材P5习题16．1 第2题（4）（5）（6）（7）七、板书设计：八、课后反思第4课时16．2 二次根式的乘除(1)教学内容（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用教学目标1、知识与技能：a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简2、过程与方法：经历“探索——发现——猜想——验证”的过程引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖，相互补充的辩证关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力。
3、情感、态度与价值观：鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性。
教学重难点a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．教学准备彩色粉笔教学过程一、复习引入1．填空（1；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．二、探索新知总结规律:（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为:三、例题讲解例1．（教材P6例1）计算：（1）3（2×27解：（1（2例2（教材P7例2）化简：（1（2）324ba解：（1×9=36(2)324ba=324ba⨯⨯=bba⨯⨯⨯22=2ab b例3 （教材P7例3）计算：（1）714⨯（2）10253⨯解：（1）714⨯=714⨯=277⨯⨯=272⨯=272⨯=27（2）10253⨯=2302562562561052322=⨯=⨯=⨯=⨯⨯四、巩固练习: 教材P8练习1、2、3题五、归纳小结：本节课应掌握：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业：教材P10习题16.2第1、3题七、板书设计：八、课后反思：第5课时16．2 二次根式的乘除（2）教学内容a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标1（a≥0，b>0（a≥0，b>0）及其应用。
2、过程与方法：利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法法则，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．3、情感、态度与价值观：在经历二次根式乘除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣。
教学重难点1（a≥0，b>0）（a≥0，b>0）及它们的应用教学准备彩色粉笔教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空：（1；（2=_____；；（4=_____．（3二、探索新知刚才同学们都练习都很好，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：b a b a =(a ≥0，b ≥0），反过来，b ab a =(a ≥0，b ≥0） 三、例题讲解例1．计算（教材P8例4）：（1）324（2）18123÷解：（1）324=324=8=24⨯=24⨯=22（2）18123÷=18123÷=1823⨯=93⨯=33 例2．化简（教材P8例5）：（1）1003 （2）2775 解：（1）1003=1003=103 （2）2775=2775=39325⨯⨯=3335=35四、巩固练习：教材P10练习1． 五、归纳小结（a ≥0，b>0（a ≥0，b>0）及其运用． 六、布置作业 ：教材P11 习题16．2 第 2题 七、板书设计：八、课后反思第6课时16.2 二次根式的乘除(3)教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标1、知识与技能：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2、过程与方法：通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．3. 情感、态度与价值观：在经历探索最简二次根式的定义的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣。
教学重难点1．重点：最简二次根式的运用．2．难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学准备彩色粉笔教学过程一、复习引入计算（1，（2，（3（2（3解：（1二、探索新知观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．在二次根式的运算中，一般要把运算结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
三、例题讲解例1．计算（教材P9例6）：(1)53； (2) 2723； (3) a28解：(1)53=51551551555535322===⨯⨯= (2)2723=36333232332333232=⨯⨯===⨯ (3)a 28=a aa a aa a 2242228==⨯⨯ 例2 （教材P9例7）设长方形的面积为S ，相邻两边长分别为a ，b 。