(完整版)初中数学规律探究题的解题方法
初中数学规律探究题的解法指导
广南县篆角乡初级中学郭应龙
新课标中明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜，频繁考查，考生大都感到困难重重，无从下手，导致丢分。解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。笔者认为：只要善于观察，细心研究，知难而进，就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦。
一、数式规律探究
通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：
1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…
3.熟记常见的规律
① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……
(1)
2
n n+
③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=
(1)
2
n n+
⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)
⑦ 12+22+32….+n2=1
6
n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=
1
4
n2(n+1）
数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法
例1.观察下列等式：①1×1
2
=1-
1
2
②2×
2
3
=2-
2
3
③3×
3
4
=3-
3
4
④4×4
5
=4-
4
5
……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）
分析：将等式竖排：
①1×1
2
=1-
1
2
观察相应位置上变化的数字与序列号
②2×2
3
=2-
2
3
的对应关系（注意分清正整数的奇偶）
③3×3
4
=3-
3
4
易观察出结果为：
④4×4
5
=4-
4
5
n×
1
n
n+
=n-
1
n
n+
例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么
32009的个位数字是。
分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：3
2.函数法
例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：
则a n= （用含n的代数式表示）
分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）
正三角形个数：4、7、10、13 第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b
第一次求差： 3 3 3 代入（1、4）（2、7）解之得：y=3x+1
∴a n=3n+1
例4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。
分析：对这组数据做求差处理：原数 1 2 5 10 17 26
第一次求差：1 3 5 7 9
第二次求差：2 2 2 2
第二次求差结果相等，同二次函数y=ax2+bx+c 代入（1、1）（2、2）（3、5）
解之得y= x2-2x+2=（x-1）2+1 ∴当=8时，y=50
尝试练习：
1.观察下列等式：1×3=12+2×1；2×4=22+2×2；3×5=32+2×3……请将
你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来：。
2.观察下列各式：2
1
×2=
2
1
+2；
3
2
×3=
3
2
+3；
4
3
×4=
4
3
+4；
5
4
×5=
5
4
+5……
设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为。
3.
n(n≥1)的代数式表示出来为。
4.已知：2+2
3
=22×
2
3
；3+
3
8
=32×
3
8
；4+
4
15
=42×
4
15
；5+
5
24
=52×
5
24
…，若
10+b
a
=102
×b a
符合前面式子的规律，则a+b= 。
5.已知下列等式：①13
=12
；②13
+23
=32
；③13
+23
+33
=62
；④13
+23
+33
+43
=102
…由此规律可推 出第n 等式： 。 二、图形规律探究
由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。
拆图法
例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用 根火柴棒，摆第n 个图时，要用 根火柴棒。
分析：本例 ① 可拆为 即1+3=4（根）第②拆为 即
1+3?2=7（根）；第③图可拆为 即1+3?3=10(根)由此可知， 第⑩图为1+3?10=31（根），第n 个图为：（3n+1）根。
例6．按如下规律摆放三角形：则第④堆三角形的个数为 ；第（n ）堆三角形的个数为 。 △ △ △
△ △ △ △△△ △ △ △△△△△ △
△△△△△△△
① ② ③
分析：本例中需要进行比较的因素较多，于是把图拆为横向和纵向两部分，就横向而言，把三角形个数抽出来，就是3，5，7…这是奇数从小到大的排列，其表达式为：2n+1；就纵向而言，发现三角形个数依次增加一个：第①堆有2个，第②堆有3个，第③堆有4个，所以第（n ）堆的个数就为（n+1）个。所以第n 堆三角形的总个数为：（n+1）+(2n+1)即(3n+2)个。 尝试练习：
1.如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用
围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照
（1） （2）
（3）
这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________ 2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．
3．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ，则s ＝ ． （用n 的代数式表示s ）
4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）． 5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ． 通过对此专题的复习和指导，我想你会有所感悟，有所收获，有所进步.别忘记课后注意巩固训练，展示你的能力，体验成功的快乐！
三、课外拓展： 1.探索规律：31
=3，32
=9，33
=27，34
=81，35
=243，36
=729……那么3
2008
的个位数字是 。
2.观察下列等式：71
=7，72
=49，73
=343，74
=2041……由此可判断7100
的个位数字是 。 3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632
……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第七个数据是 。
4.已知a 1=1123??+12=23，a 2=1234??+13=38，a 3=1345??+14=4
15
……按此规律，则a 99= 。
5.已知112?=1-12，123?=12-13，134?=13-14……，则1
12?+123?+134
?+
…+
1(1)n n += ；用相同思路探究：113?+135?+157
?…+1(21)(21)n n -+= 。
6．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．
7．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由_______个圆组成．
第1个
第2个
第3个
... (1)
第2幅
第3幅
第n 幅
图5
…
n =
n =
n =
（（（
8．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．
9．用边长为1cm 的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是_______________cm （用含n 的代数式表示）。
10.如图10，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ， 5
554C A A C
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
…
第1次 第2次 第3次 第4
···
图10