三角形小结与复习
沪科版数学八年级上册 第13章 小结与复习
方法总结
三角形的三条角平分线、三条中线、三条 高 (或延长线) 分别相交于一点，其中中线平分 三角形面积，直角三角形有两条高线在直角边上， 钝角三角形有两条高在三角形的外面.
第 13 章 三角形中的边角 关系、命题与证明
小结与复习
一、三角形的相关概念
A
不在同一直线上的三条线段首尾依次相接
组成的图形叫做三角形． ①三角形有三条边，三个内角，三个顶点；
②组成三角形的线段叫做三角形的边； B
C
③相邻两边所组成的角叫做三角形内角，简称角；
④相邻两边的公共端点是三角形的顶点；
⑤三角形 ABC 用符号表示为△ABC；
方法总结 三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三
条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查 是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查 较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在 求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有 着重要的作用.
针对训练 1.已知四组线段的长分别如下，以各组线 段为边，能组成三角形的是( C ) A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10 2.在等腰三角形 ABC 中，它的两边长分别为 8 cm 和 3 cm，则它的周长为___1_9____cm. 3.以线段 3、4、x - 5 为边组成三角形，那么 x 的取 值范围是 6＜x＜12 .
⑥三角形 ABC 的边 AB 可用边 AB 所对的角 C 的小 写字母 c 表示，AC 可用 b 表示，BC 可用 a 表示.
最新人教版九年级数学下册《相似三角形的小结与复习课》教案(精品教学设计)
《相似三角形的小结与复习课》教案一、教学目标：知识目标：1、通过例题的讲解使学生进一步巩固相似三角形的概念、三角形相似的判定及相似三角形的性质等知识。
能力目标：2、培养学生把课本上所学知识应用到实践中去的认识以及提高学生解决实际问题的能力。
3、培养学生将实际问题抽象成数学问题的思想方法。
情感目标：4、通过学习，养成严谨科学的学习品质。
二、教学重点与难点：1、通过例题的分析、研究，揭示应用相似三角形有关知识解题的规律，提高分析问题和解决问题的能力。
2、数学知识的综合运用。
三、教学方法：启发式。
四、教学过程：（一）复习提问：请同学口述判定三角形相似的方法及性质，教师用投影加以总结：1、相似三角形的判定：1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2）相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
3）判定定理：两角对应相等，两三角形相似。
4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
6）直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。
2、相似形的性质：相似三角形除具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还具有如下性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（2）相似三角形周长的比等于相似比。
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
指出判定中第6个定理只适用于直角三角形相似的判定，而第1个相似三角形的定义因用起来较烦，因此平时不使用。
在性质中强调前提条件是相似。
（二）：基础训练1：判断题1）.所有的等边三角形都相似( ) 2）.所有的等腰直角三角形都相似( ) 3）.所有的直角三角形都相似( ) 4）.所有等腰三角形都相似( ) 5）.有一个角是100°的两个等腰三角形相似( ) 6）.有一个角是70°的两个等腰三角形相似( ) 7）.如果两个三角形周长之比是1∶2，那么它的面积之比为1∶4( )8）.若两等腰三角形面积之比为9∶25，则它的底边之比为3∶5( )2：填空1）.已知两个相似三角形的对应角平分线的比是1∶4，则对应高的比为_____，面积的比为_____。
湘教版八年级数学几何知识汇总
八年级数学几何知识要点汇总上册：三角形知识小结与复习1、三角形有关概念（1）三角形、内角、外角、高、中线、角平分线（2）三角形三中线相交于三角形内一点——重心（3）三角形三高或其延长线相交于一点——垂心（4）三角形三内角平分线相交于三角形内一点——内心（5）三角形三边垂直平分线相交于三角形内一点——外心（6）三角形高、中线、角平分线都是线段2、三角形有关性质（1）三边关系：任意两边之和大于第三边：a+b>c；a+c>b；b+c>a（2）内角关系：三角形三内角和等于180o，即：∠A+∠B+∠C=180o（3）外角定理：一个外角等于与其不相邻两个内角之和。
（4）中线平分对边，角平分线平分一个角，有高就有直角。
3、命题（1）概念的定义：对概念的含义加以描述说明或作出明确规定（2）命题的定义：对一件事情做出判断的语句。
（由条件和结论组成）（3）命题的真假：正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题假命题举反例说明，真命题通过证明说明。
（4）互逆命题：条件和结论互换，不一定同真假。
（5）证明：从条件出发，通过讲道理，得出结论成立。
（6）定理：经过证明为真的命题叫做定理，由定理得出的真命题叫做定理的推论。
4、等腰三角形（1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
（2）等腰三角形的性质：轴对称性；三线合一；等边对等角。
（3）等腰三角形的判定：等角对等边。
（4）等边三角形的特殊性质：三个角都相等，等于60o。
（5）等边三角形的判定：有一个角为60o的等腰三角形是等边三角形。
5、全等三角形的性质与判定（1）定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形（2）性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。
全等三角形周长相等、面积相等，对应边上的中线、高相等，对应角平分线相等。
（3）判定：SAS、ASA、AAS、SSS，至少有一条边相等。
（4）综合应用：证线段相等、线平行，角相等，找它们所在三角形，寻找条件证全等，全等三角形证明不超过两次。
人教版八年级上册 三角形小结与复习课件 (共39张PPT)
一、基础知识
练一练： 1、已知△ABC中,∠A=∠B+∠C,则∠A的度数为 ( B)
A.100° B.90° C.80° D.85°
2、三角形的每个外角都为120°，则这个三角 形是（ C ）
A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、钝角三角形
一、基础知识
A．11
B．12
C．13
D．14
4．如图，在△ABC 中，∠ACB＝100°，∠A＝20°，D 是 AB 上一点，
将△ABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在 AC 边上的 B′处，则∠ADB′等于( D )
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
第4题
二、填空题 5．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三 角形具有____稳定 _____性．
角形的第三边长m的取值范是 6〈m〈10
.
广东省怀集县凤岗镇初级中学 黎方和
一、基础知识
3、如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，BE 是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是 24，则ABE的面积是（ B ）
A
A、3
B、6
E
C、9
D、12
C
B
D
广东省怀集县凤岗镇初级中学 黎方和
一、基础知识
F
B 广东省怀集县凤岗镇初级中学
G 黎方和
E C
二. 强化训练 8.如图，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别为 ∠ABC与∠ADC的平分线，能判断BE∥DF吗？ 试说明理由．
广东省怀集县凤岗镇初级中学 黎方和
一、选择题 章末检测
1．如图，在△ABC 中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD 的度数( B )
湘教版数学八级上《第章三角形》单元复习与小结
湘教版数学八年级上册单元复习与小结第二章：三角形__ __ __一、知识构建二、知识点拨★考点1：三角形三边的关系三角形的任意两边之和第三边。
例1：已知一个三角形的两边长分别是1和5，则第三边C的取值范围是〔〕A．1<C<5 B．4≤C≤6C．4<C<6 D．1<C<6★考点2：三角形的高、角平分线和中线①从三角形的一个向它的所在直线作，和之间的线段．．叫做三角形的高线，简称三角形的高；②在三角形中，一个角的与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线．段．叫做三角形的角平分线；③在三角形中，连接一个顶点和它的对边的线段．．叫做三角形的中线。
例2：能把一个三角形分成两个面积相等的小三角形的是〔〕A.中线B.高C.角平分线D.以上都不是★考点3：三角形的内角和三角形的内角和等于。
例3、已知△ABC中，∠A=20°，∠B－∠C=40°，则∠B=____。
★考点4：三角形按角分类三角形中，三个角都是的三角形叫做锐角三角形；有一个角是的三角形叫做直角三角形；有一个角是的三角形叫做钝角三角形。
例4：满足下列条件的△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？(1)∠A=20°,∠B =65°，则△ABC 是；(2)1123A B C ∠=∠=∠，则△ABC 是 (3)∠A:∠B:∠C=2:3:4，则△ABC 是★考点5：三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一边的所组成的角叫做三角形的外角；②性质：三角形的一个外角等于。
例5：在△ABC 中，∠A 的外角是80°，则∠B+∠C=〔 〕A ．100°B ．80°C ．60°D ．40°★考点6：命题与逆命题①一般地，对某一件事情做出的语句〔陈述句〕叫做命题，命题常写成“如果……，则……〞的形式，其中“如果〞引出的部分是，“则〞引出的部分是；②对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的，则这两个命题称为，其中一个叫做，另一个叫做。
八年级数学上册 三角形的小结与复习 教学设计
八年级上册微型课6 三角形的小结与复习一、内容和内容解析1．内容复习三角形的有关概念和性质；复习多边形的有关概念与多边形内角和、外角和公式．2．内容解析本章中我们学习了与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）和角（内角、外角），探索并证明了三角形两边的和大于第三边以及三角形内角和定理，在此基础上研究了多边形的有关线段（边、对角线）和角（内角、外角），并得出了多边形内角和、外角和公式．学生在前两个学段已学过三角形的一些知识，对三角形的许多重要性质有所了解．本章继续研究三角形的相关内容，不仅可以丰富和加深学生对三角形的认识，也是后续学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）的基础，为学习全等三角形、相似三角形、最短路径问题提供了一个极为方便的工具，同时也是研究其他图形（如平行四边形、圆）的基础，起着承前启后的作用.本节课对本章内容进行梳理总结，建立知识体系，综合运用本章知识解决问题．同时，还要注意加强推理能力的培养，体验如何在旧知的基础上，通过转化、推理、证明从而获得数学结论的方法，培养言之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点：复习本章内容并运用它们进行有关的计算与证明．二、目标和目标解析1．目标(1) 理解三角形及与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）的概念.(2) 运用三角形两边的和大于第三边、三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、有两个角互余的三角形是直角三角形、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、多边形的内角和与外角和公式解决简单问题．(3) 进一步发展推理能力，经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程．2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生能叙述三角形的高、中线、角平分线的定义，并能应用它们解决简单问题.达成目标(2)的标志是：学生能运用三角形两边的和大于第三边、三角形内角和定理、直角三角形两锐角的关系、三角形外角的性质、多边形内角和与外角和公式解决简单的计算与证明问题，能建立这些性质之间的联系，结合知识体系的构建过程，体会研究几何问题的一般思路和方法．达成目标(3)的标志是：学生能够在具体问题情境中应用本章所学的图形的性质进行推理，解决问题．三、教学问题诊断分析学生在前两个学段已经学习过三角形的一些知识，对三角形的许多重要性质有所了解，在第三学段又学过线段、角以及相交线、平行线等知识，初步了解了一些简单几何体和平面图形及其基本特征，会进行简单的说理．学生在本章仍处于进一步熟悉证明的阶段，学习通过推理的方法证明本章中的有关结论有一定的难度.教学的关键是：引导学生分析证明结论的思路，通过多提问题，留给学生足够的思考空间，让学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程．由以上分析，本节课的教学难点是：几何问题的推理证明与计算，综合运用三角形相关知识解决问题．四、教学过程设计1．本章知识结构图图1为本章知识结构图.图1师生活动：教师引导学生对三角形相关知识进行疏理，整理知识脉络．设计意图：学生进行整理，不仅可以全面有序地回顾所学知识，还可以根据学习内容的特点和知识间的内在联系选择较好的整理方式把各部分知识“串联起来”，形成知识脉络.2．本章主要知识回顾问题1 请同学们回答下列问题：(1) 三角形的三边之间有怎样的关系？师生活动：教师引导学生回忆三角形的三边关系，学生自主思考得出这个结论的依据． 设计意图：让学生回忆三角形的三边关系，培养学生的语言表达能力.(2) 三角形的三个内角之间有怎样的关系？如何证明这个结论？师生活动：学生回忆三角形内角和定理，教师引导学生指出“由平行线的性质与平角的定义来证明三角形三个内角的和等于180°”这个结论.设计意图：让学生回忆三角形内角和定理，为后面应用这一结论解决问题做好铺垫；引导学生回忆证明的方法，让学生进一步掌握分析问题和解决问题的方法.(3) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角有怎样的关系？这些结论能由三角形内角和定理得出吗？师生活动：师生共同回忆，由三角形内角和定理可以证得“直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”，教师指出：由三角形的内角和定理还可得“有两个角互余的三角形是直角三角形”.设计意图：让学生回忆三角形的一个外角和它不相邻的两个内角之间的关系，为后面应用这个结论解决问题做好铺垫；由三角形的内角和定理容易得到：直角三角形的两个锐角互余，有两个角互余的三角形是直角三角形，运用它们可以解决直角三角形中角的计算问题.(4) n 边形的n 个内角有怎样的关系？如何推出这个结论？师生活动：学生自主回忆n 边形的内角和公式，教师引导学生回忆“通过连接对角线把多边形的问题转化为三角形的问题的方法，得出多边形的内角和公式”.设计意图：让学生回忆n 边形的内角和公式及其证明过程，提高学生的学习能力，渗透了将复杂图形转化为简单的基本单元的化归思想.(5) n 边形的外角和与n 有关吗？为什么？师生活动：学生自主回忆多边形的外角和等于360°，教师引导学生回忆问题解决的思路──n 边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°， 因此n 边形外角和加内角和等于180n ⨯︒. 所以，n 边形的外角和等于()1802180360n n ⨯︒--⨯︒=︒．设计意图：让学生回忆n 边形的外角和与n 无关.3．本章典型例题例1 如图2，在△ABC 中，AD ，AE 分别是边BC 上的中线和高，则AE =2，S △ABD =1.5，求BC 和DC 的长．师生活动：教师提出问题，学生根据图形回答问题．设计意图：让学生复习巩固三角形的高、中线的概念．图2例2如图3，在△ABC 中，CD平分∠ACB，∠A=68°，∠BCD =31°. 求∠B，∠ADC的度数．图3师生活动：教师提出问题，学生根据图形分析问题，先求∠B 的度数，再用两种方法求∠ADC 的度数.方法1：利用三角形外角性质求∠ADC的度数．方法2：利用三角形内角和定理求∠ADC 的度数．设计意图：本题考查学生对角平分线、三角形的内角及外角性质的掌握．例3一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，并且这个多边形的各内角都相等. 这个多边形的每个内角等于多少度？师生活动：教师提出问题，学生将文字语言转化为符号语言，通过设未知数列方程来求解．设计意图：学生进一步巩固多边形的内角和公式，利用方程思想解决具体问题．例4如图4，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高. 求∠DBC的度数.图4师生活动：教师带领学生去求解问题，先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，再利用直角三角形的两个锐角互余的性质求∠DBC的度数.设计意图：通过练习巩固三角形的内角和定理和直角三角形的两个锐角互余的性质，培养学生的计算能力和逻辑推理能力.例5如图5，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA. 求证BE // DF.图5师生活动：教师带领学生去求解问题，关键是证得∠EBC+∠CDF =90°，∠DFC+∠CDF =90°，利用同角的余角相等，得∠EBC =∠DFC，再根据平行线的判定，证得BE // DF.设计意图：本题用到的知识点较多：四边形的内角和、角平分线的性质、同角的余角相等、平行线的判定，让学生综合复习所学知识，发展学生合情推理与演绎推理的能力.4．练习巩固(1) 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）.（A）3 cm，4 cm，8 cm （B）8 cm，7 cm，15 cm（C）13 cm，12cm，20cm （D）5 cm，5 cm，11cm师生活动：学生独立完成，并口头说明理由．设计意图：让学生复习运用“三角形两边的和大于第三边”这个结论解决问题．(2) 如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形最小内角的度数是°.师生活动：教师提出问题，学生将文字语言转化为符号语言，通过设未知数列方程来求解．设计意图：本题考查学生运用三角形内、外角关系建立方程解决问题的能力．(3) 如图6，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°. 求证AB // CD．师生活动：师生共同分析求解问题，得出两种证明方法.方法1：先求∠A的度数，再由内错角相等判定AB // CD．方法2：先求∠1的度数，再由同旁内角互补判定AB // CD．图6设计意图：通过练习培养学生综合运用三角形内角和定理和平行线的判定解决问题的能力．5．小结提升教师和学生一起回顾本节课所学内容：(1) 三角形是一种基本的几何图形，是认识其他图形的基础，在生产和生活中有广泛的应用．通过学习多边形及其内角和的内容，使三角形的有关内容得到运用和发展．(2) 利用三角形和多边形的重要性质，解决有关问题，加强推理能力的培养，掌握推理规范性．(3) 在三角形这一章，我们应用数形结合思想和方程思想解决了相关问题．设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，指出需要重点关注的问题、提升总结本章的知识，使学生学会总结反思．6. 作业布置教科书28页复习题11第3题、第8题、第9题、第10题．五、目标检测设计1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）．设计意图：考查学生对三角形高的概念的理解．2．等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边长为（）．（A）7 cm（B）3 cm（C）9 cm（D）5 cm设计意图：考查学生对等腰三角形的概念及三角形的三边关系的理解．3．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是多少？设计意图：考查学生对多边形内角和公式、外角和性质的掌握及建立方程解决问题的能力.4. 如图，在△ABC中，∠A=50°，O为△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°.求∠BOC的度数．第4题设计意图：考查学生运用三角形内角和定理或三角形外角性质以及转化思想解决问题的能力．说明：本课程结合了义务教育教科书数学八年级上册（人民教育出版社）第11章小结和复习题11的内容，见教科书第27页至第29页。
第十一章 全等三角形小结与复习教案 新人教版
第十一章 全等三角形 全等三角形小结与复习考点呈现考点一 全等三角形的概念和性质例1 下列命题：①形状相同的三角形是全等三角形；②面积相等的三角形是全等三角形；③全等三角形的对应边相等，对应角相等；④经过平移得到的三角形与原图形是全等形.其中正确的命题有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解析：全等三角形是指两个完全重合的三角形，不仅形状相同，大小也相同，两者缺一不可.互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，平移、翻折、旋转不改变图形的大小与形状，所以③④正确.故选B.点评：本题主要考查了全等三角形的概念和性质，注意把一个图形平移、旋转、折叠后得到的图形与原来的图形全等.例2 如图1，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若︒=∠64CDE ，则ADP ∠等于 （ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°解析：由题意知△C DE ≌△PDE ，所以︒=∠=∠64CDE PDE ,则︒=︒-︒-︒=∠-∠︒=∠526464180-180PDE CDE ADP .故选C.点评：本题以折叠为背景，主要考查全等三角形的性质，运用全等三角形的对应角相等结合平角的概念解决问题.考点二 三角形全等的判定例3 （2010年四川巴中）如图2，AB = AC ，要说明△ADC ≌△AEB ，需添加的条件 不能是 （ ）A ．∠B ＝∠C B. AD = AE C ．∠ADC ＝∠AEB D. DC = BE解析：已知AB =AC ，还有一个公共角∠A ，具备了一边一角的条件，可根据“SAS ”添加AD =AE ；可根据“ASA ”添加∠B =∠C ；可根据“AAS ”添加∠ADC =∠AEB ；若添加ＤC ＝ＢE ，则是 “ＳＳＡ”不能判定两个三角形全等.故选D. 点评：本题目是一道条件开放型问题，判定三角形全等的方法有“SSS 、SAS 、AAS 、ASA ”，要根据已知条件添加一条边或一个角满足以上四个判定方法即可，但是需注意添加边时，不能构成“SSA ”的形式. 例4 （2010年四川凉山州）如图3，已知∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝ ∠C ，AE ＝AF .有下列结论：①EM ＝FN ；②CD ＝DN ；③∠FAN ＝ ∠EAM ；④△ACN ≌△ABM .其中正确的有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：因为∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，所以△AEB ≌△AFC .所以AC ＝AB, ∠EAB ＝∠FAC .在△ACN 和△ABM 中，∠C ＝∠B ，AC ＝AB ，∠CAB ＝∠BAC ，所以△ACN ≌△ABM ，④正确；因为∠EAB ＝∠FAC ，所以∠EAB －∠CAB ＝∠FAC －∠CAB ，即∠EAM ＝∠FAN ，③正确；在△EAM 和△FAN 中，∠EAM ＝∠FAN ，AE ＝AF ，∠E ＝∠F ＝90°，所以△EAM ≌△FAN . 所以A EF B CD M NEM ＝FN ，①正确；由已知条件不能判断出CD ＝DN .故正确的有3个，应选C.点评：本题主要考查三角形全等的判定，求解时应同时从题设条件和图形出发，寻求三角形全等的条件，准确判定.考点三 运用三角形全等证明线段（或角）相等例5 (2010年呼和浩特)如图4，点A ，E ，F ，C 在同一条直线上，AD ∥BC ，AD =CB ，AE =CF .求证BE =DF .分析：要证明的两条线段BE 和 DF 分别为△CBE 和△ADF 中的边，可以考虑通过证明△ADF ≌△CBE 来解决.证明：∵ AD ∥BC ，∴ ∠A ＝∠C .∵ AE ＝FC ， ∴ AF ＝CE .在△ADF 和△CBE 中，AD =CB ，∠A ＝∠C ， AF ＝CE ， ∴ △ADF ≌△CBE . ∴ BE ＝DF . 点评：如果要证明的两条线段分别是两个三角形的边时，通常可以尝试通过三角形全等进行证明.例6 （2010年北京，改编）如图5，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，EC =BF ，AB =DC ．求证∠ACE =∠DBF ．分析：要使∠ACE =∠DBF ，只要Rt △EAC ≌Rt △FDB 即可，两个三角形显然满足“HL ”．证明：∵ AB =DC , ∴ AC =DB .∵ EA ⊥AD ，FD ⊥AD ， ∴ ∠A=∠D=90°.在Rt △EAC 和Rt △FDB 中，EC =FB ，AC =DB ， ∴ Rt △EAC ≌Rt △FDB . ∴ ∠ACE =∠DBF ．点评：注意“HL ”只适用于直角三角形，而“SSS 、SAS 、ASA 、AAS ”适用于所有的三角形．考点四 三角形全等的实际应用例7 （2010年广安）某学校花台上有一块形如图6所示的三角形ABC 地砖，现已破损．管理员要对此地砖测量后再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，现只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由.解析：本题是要利用尺子和量角器测量得到的数据作一个三角形与△ABC 全等，根据全等三角形的判定可以有多种测量方案. 如：⑴用量角器分别量出∠A 、∠B 的大小；⑵用尺子量出AB 的长，根据这三个数据，按照原来的位置关系加工地砖.DOBA 点评：本题是一道方案设计问题，主要考查运用三角形全等解决实际问题的能力，具有一定的开放性，主要依据“SAS 、ASA 、AAS 、SSS ”设计测量方案.考点五 角的平分线的性质例8 有下列说法：①角的平分线上任意一点到这个角两边的距离相等；②到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上；③三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等；④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等.其中正确的有 （ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：由角的平分线的性质可知①②④正确.故选C.点评：解题时要注意用角的平分线的性质，不要总是用全等去证明.例9 （2010年曲靖）如图7，在Rt△ABC 中， ∠C ＝90°，若BC ＝10，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD ︰CD ＝3︰2，则点D 到线段AB 的距离为_________． 解析：要求点D 到AB 的距离，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，线段DE 长度即为所求. 因为AD 平分∠BAC ，所以DE ＝CD . 因为BD ︰CD ＝3︰2，所以4105252=⨯==BC CD ．故DE ＝CD ＝4． 点评：解决本题的而关键是运用角的平分线的性质把求点D 到线段AB 的距离转化为求线段CD 的长度.误区点拨误区一 对“对应”二字理解不深、不透例1 已知两个直角三角形中，有一锐角相等，又有一边相等，说明这两个三角形是否全等.错解：这两个三角形全等.剖析：对全等三角形判定定理中的“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.正解：这两个三角形不一定全等，如图1，在Rt △ABC 与Rt △EDC 中，CD =AB ，∠1=∠2，∠C =∠C =90°，显然△ABC 与△EDC 不全等.误区二 臆造全等的判定方法例2 如图2，AC 和BD 相交点于O ，且C D ∠=∠， BC AD =.求证△DAB ≌△CBA . 错解：在△DAB 和△CBA 中，AD =BC ，AB =BA ，∠D =∠C ，所以△DAB ≌△CBA .剖析：“SSA ”不能判定三角形全等，属于臆造三角形全等的判定方法导致错误. 正解：在△ODA 和△OCB 中，∠D =∠C ，∠AOD =∠BOC ，AD =BC ，所以△ODA ≌△OCB . 所以OD =OC ,OA =OB .所以OD +OB =OC +OA ，即BD =AC .在△DAB 和△CBA 中，AD =BC ，∠D =∠C ，BD =AC ,所以△DAB ≌△CBA . 误区三 忽视图形的多种情况例3 已知△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，若AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的高，且AD ＝A ′D ′.问△ABC 与△A ′B ′C ′是否全等？如果全等，给出证明；如果不全等，请举出反例.错解：这两个三角形全等.证明如下：如图3，在Rt △ABD 和Rt △A ′B ′D ′中，因为E DCBAB DAB ＝A ′B ′，AD ＝A ′D ′，所以Rt △ABD ≌Rt △A ′B ′D ′. 所以BD ＝B ′D ′. 同理可得DC ＝D ′C ′，所以BC ＝B ′C ′.在△ABC 和△A ′B ′C ′中，因为AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，BC ＝B ′C ′，所以△ABC ≌△A ′B ′C ′.剖析：这两个三角形不一定全等.当这两个三角形均为钝角(或锐角)三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等.正解：这两个三角形不一定全等.如图4，虽有BD ＝B ′D ′，DC ＝D ′C ′，但BC ≠B ′C ′，因此这两个三角形不全等.跟踪训练1．如果NMQ ∆∆≌MNP ，且8cm MN =，7cm PN =，6cm PM =，则MQ 的长为 （ ）A ．cm 8B ．cm 7C ．cm 6D ．cm 52．如图1，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△ 的是 （ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠3．如图2，BOP CPO ∠=∠，PC ∥OA ，4=PD ，则点P 到OB的距离是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5A B CD图1PODCB AA ′B ′C ′D ′ABC D图3A BC D图4A ′B ′D ′4．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是 （ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS5．如果△ABC ≌△DEF ，△DEF 周长是32 cm ，DE=9cm ，EF=13 cm ，∠E=∠B ， 则AC=____ cm.6．如图3，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使ABC △≌ADE △，可补充的条件是 ．（写出一个即可）7．如图4，ABE △和ACD △是ABC △分别沿着150BAC ∠=，则θ∠的度数是 ．8.如图5，在Rt△ABC 和Rt △BAD 中，AB 为斜边，AC =BD ，BC ，AD 相交于点E ．求证A D=BC ．9. 如图6，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，CE BE ⊥，CE AD ⊥，垂足分别为E ，D ，且cm AD 5=，cm DE 3=，求BE 的长度．10. 如图7，正方形网格中有一个ABC △，请你在方格内画出满足条件1111A B AB BC BC ==，，1A A ∠=∠的所有的111A B C △，（形状相同算一个），并判断111A B C △与ABC △是否一定全等？你能够得到什么结ACE B D 图3CDA EBθ图4BA C图7论？跟踪训练参考答案1.B2.C3.C4.D5. 106.答案不唯一，如AC AE =或D B ∠=∠等 7．︒60 8.证明：在Rt △ABC 和Rt △BAD 中,AB =BA ,AC =BD , ∴ Rt △ABC ≌Rt △BAD . ∴ A D=BC ．9.解：∵ ︒=∠90ACB ， ∴ ︒=∠+∠90BCE ACD ． ∵ CE BE ⊥，CE AD ⊥，∴ ︒=∠=∠90CEB ADC ,︒=∠+∠90CAD ACD . ∴ ∠CAD =∠BCE . ∵ BC AC =，∴ ACD ∆≌CBE ∆.∴ cm CE AD 5==，BE CD =． ∵ )(235cm DE CE CD =-=-=． ∴ cm BE 2=. 10.解：如图所示：ABC △与111A B C △不一定全等．结论：由两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．BACB 1A 1C 1C 1B 1A 1。
相似三角形 小结与复习
相似三角形小结与复习教学设计思想本节课系统的对本章内容做以归纳总结，让学生对本章内容更加清晰更加条理化。
通过本章知识结构图，让学生对知识有个总体认识，这样本章知识不再是零散的，而是有内在联系的。
这节课设计思路是让学生回顾所学知识，理清知识的脉络，体会知识之间的联系，然后通过例题与练习思考解决问题的方法，查漏补缺，并在原有基础上有所提高。
教学目标知识与技能：1．能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图。
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算。
3．能熟练运用相似的判定证明三角形相似，提高解决实际问题的能力。
4．熟记三角形相似的周长比和面积比。
过程与方法：经历总结与反思的学习过程，进一步加深对相似图形，相似三角形的判定、相似三角形的性质、位似图形以及利用有关知识解决一些实际问题的认识。
情感态度价值观：发展数学的应用意识，进一步提高反思的意识，养成良好的学习习惯。
教学重难点重点：知识的归类整理难点：知识的记忆和应用方法教学方法小组合作与自主探究相结合教学媒体多媒体教学过程【师】本章内容已经全部学完了，你掌握了哪些知识呢？这节课我们一起做一个总结。
（幻灯片打出本章知识结构图）通过知识结构图，让我们对本章内容一幕了然。
回顾与思考把本章内容从四个方面来划分，这样归纳，调理清晰一、概念梳理。
1．相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。
2．相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。
3．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
4．位似：相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的两个图形叫做位似图形。
二、性质1．相似多边形的性质：对应角相等，对应边的比相等。
2．位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
三、相似三角形的判定判定一：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定二：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
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D
B
A
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D C
A
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B
A
64︒
42︒
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D
C
A B
三角形小结与复习
班级： 学生 座号 时间：2014年 月 日
学习目标：
了解三角形的相关概念，能准确画出三角形的高、中线、角平分线，掌握三角形、多边形的
内角和定理，掌握多边形的外角和定理，并会应用；
课前预习：
（一）三角形的分类：
三角形按角分可分为 三角形、 三角形、 三角形； 三角形按边分可分为 三角形和 三角形。
（二）三角形的重要线段：
（1）三角形的高线，如图，在ABC ∆中
∵AD 是ABC ∆的一条高 ∴ ⊥ ，∠ ＝90°
（2）三角形的角平分线，如图，在ABC ∆中 ∵AE 是ABC ∆的一条角平分线
∴∠ ＝∠ ＝21
∠
（3）三角形的中线，如图，在ABC ∆中
∵AF 是ABC ∆的一条中线
∴ ＝ ＝21
（三）三角形的一些性质： 1. 三角形的内角和等于 ° 如图，在ABC ∆中：
__________A ∠+∠+∠=
2、三角形的外角和等于 ° 3. 三角形外角性质
如图：∠ACD ＝∠ ＋∠ ；_______ACD ∠>；_____ACD ∠>；
4、三角形的三边关系： （1）三角形的任何两边之和 。
（2）三角形的任何两边之差 。
如图，ABC ∆中，若BC 〈AC ，则 AB ⎽⎽⎽⎽⎽⎽+⎽⎽⎽⎽⎽⎽>；AB ⎽⎽⎽⎽⎽⎽-⎽⎽⎽⎽⎽⎽< 5、三角形具有 性。
（四）多边形的性质： （1）n 边形的内角和等于 。
（2）n 边形的外角和等于 。
（3）正n 边形的每一个内角等于 。
反馈检测： （一）填空题：
1. 如图：AD 、AE 分别是BAC ∠的角平分线和BC 边上的中线， 如果∠BAC ＝100°，CB ＝10cm ，那么∠DAC= 度， EC ＝ cm ；
2．已知∠A 、∠B 、∠C 是△ABC 的三个内角.
（1）如果∠A ＝90°，∠C ＝55°，那么∠B ＝______； （2）如果∠A=50°，∠B=∠C ， 那么∠B= ；
（3）如果∠A ＝90°，∠B －∠C ＝30°，那么∠B ＝___ __，∠C=______； （4）如果∠C ＝4∠A ，∠A ＋∠B ＝100°，那么∠A ＝______,∠B=______, 3．如图：AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，若∠A=40°， 则BEA ∠=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽︒，∠D= ； 4．已知△ABC 是等腰三角形，
（1）如果它的两条边长的长分别为8cm 和5cm,那么它的周长是 。
（2）如果它的周长为18cm ，一条边的长为4cm ，那么另两边长是 。
5、已知：如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64° 求证：AB ∥CD 。